AVA2 - Cálculo Numérico - NOTA 10

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UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA 
 
 
 
 
SISTEMAS DE INFORMAÇÃO 
 
 
 
 
 
Cálculo Numérico 
 
 
AVA2 
 
 
Professor Vitor da Mata Quintella 
 
 
 
 
Aluna: Elen Pires de Araújo 
Mat.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nova Iguaçu 
Junho de 2021 
ENUNCIADO 
 
Integração Numérica 
 
A integração aparece com frequência nas soluções de problemas e no cálculo nas mais 
diversas áreas das Engenharias e Ciências. Entretanto há integrais, que o processo de 
resolução possa ser extremamente difícil, ou, até mesmo que não exista solução. 
Para esses casos e integração é de grande importância, pois com esta ferramenta 
pode-se estimar o valor da integral, o que é de grande valia para projetos, principalmente na 
área de Engenharia. 
 
A partir da integral abaixo: 
 
 
 
Determine: 
● O valor da integral, utilizando para isso a Regra do Trapézio Simples; 
● O erro apresentado, quando foi utilizado a Regra do Trapézio simples; 
● O valor da integral, utilizando para isso, a Regra do Trapézio Repetido, com 5 
subdivisões. 
 
Procedimentos para elaboração do TD 
Em ambos os Métodos, devem ser considerados os seguintes passos: 
 
● Utilização da Regra do Trapézio Simples; 
● Montagem da Tabela para encontrar a máx |f′′(x)|; 
● Utilização da Regra do Trapézio Repetida, com o número de subdivisões solicitado. 
 
 
 
OBSERVAÇÃO 
 
Como na AVA1, estou deixando ao fim do trabalho as fotos do caderno caso ajude. 
Utilizei um software de edição de imagem para fazer algumas partes do cálculo e os gráficos 
no computador para que ficasse mais legível. 
 
DESENVOLVIMENTO 
 
 
 
I) O valor da integral, utilizando a regra do trapézio simples: 
 
Dados: 
x 0 = 1 → f(x 0 ) = f(1) = √1 = 1 
x 1 = 4 → f(x 1 ) = f(4) = √4 = 2 
h = | 4 - 1 | = 3 
 
 
 
 
 
 
Para a regra do trapézio simples, temos: 
 x1 4 R.T.S 
I = ∫ x0 f(x) dx = ∫ 1 √xdx ≈ [f (x 0 ) + f (x 1 )] 
 
→ I = [ 1 + 2 ] = = 4,5 .: I ≈ 4,5 (sobra) 2
3
2
9 
 
 
 
 
II) Erro apresentado, quando utilizado a regra do trapézio simples: 
 
Como f(x) = √x, isso implica em f’(x) = e f’’(x) = 
 
 
Montando a tabela: 
 
Portanto, max | f’’ (x) | = 0,25 
1 <= x <= 4 
 
O erro E fica: 12
(4 ­ 1)³ 
 
| E | <= . 0,25 = . = . = = 0,5625 12
(4 ­ 1)³
12
27
4
1
4
9
4
1 9
16 
 
Assim, | E | <= 0,5625 
 
 
III) O valor da integral utilizando a regra do trapézio repetido com 5 subdivisões: 
 
 
X f’’(x) 
1 -0,2500 
2 -0,883 
3 -0,0481 
4 -0,0312 
Utilizamos a fórmula para n = 5: 
 x1 4 
I = ∫ x0 f(x) dx = ∫ 1 √xdx ≈ [ f (x 0 ) + 2 [f (x 1 ) + f (x 2 ) + f (x 3 ) + f (x 4 ) ] + f(x5)] 
 
Fazendo uma tabela, temos: 
 
→ I = [ 1 + 2 [ 1,2649 + 1,4832 + 1,6733 + 1,8439 ] + 2 ] 310 
= . [ 1 + 12,5306 + 2 ] = . (15,5306) ≈ 4,65918 310
3
10 
 
Portanto, I ≈ 4,65918 (Se aproxima melhor) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 0 f(x 0 ) 
1 √1 = 1 
 5
8 √ ≈ 1,2649 5
8 
 5
11 √ ≈ 1,4832 5
11 
 5
14 √ ≈ 1,6733 5
14 
 5
17 √ ≈ 1,8439 5
17 
4 √4 = 2