Gabarito Cálculo Diferencial e Integral III

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Gabarito Cálculo Diferencial e Integral III
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Questão 1
Com base em informações sobre equações diferenciais julgue os itens que seguem.
I- As equações diferenciais são classificadas quanto a linearidade em dois grupos: lineares e não lineares.
II- A equação diferencial y’ + 3y = 0 possui como solução particular a função y(x) = c1 x + c2 x2.
III- Uma equação homogênea linear de 2ª ordem com coeficientes variáveis é da forma
p2(x) y" + p1(x) y’ + p0(x) y = 0, 
onde p2(x), p1(x) e p0(x) são funções contínuas somente de x.
Assinale  a alternativa correta.
A)
 
Apenas o item III está correto.
B)
 
Apenas os itens I e II estão corretos.
C)
 
Apenas o item I está correto.
D)
 
Apenas os itens I e III estão corretos.
E)
 
Apenas o item II está correto.
Questão 2
As integrais triplas podem ser empregadas para o estudo de problemas envolvendo centros de massa, volume. Considere que uma placa descrita pela região D = [0,1] x [0,1] x [0,1] e densidade  . 
Observação:
Assinale a alternativa que contém a massa dessa placa.
A)
 
2.
B)
 
0,5.
C)
 
1.
D)
 
2,5.
E)
 
1,5.
Questão 3
A mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas faz-se necessário em algumas situações envolvendo o cálculo de integrais triplas. Com base em informações sobre esse tipo de mudança de coordenadas, analise os itens que seguem.
I- A função f(x,y,z) = x+y em coordenadas cilíndricas é representada por
.
II- A função f(x,y,z) = y em coordenadas cilíndricas é representada por
III- A função f(x,y,z) = x² em coordenadas cilíndricas é representada por
.
Assinale a alternativa correta.
A)
 
Apenas o item I está correto.
B)
 
Apenas os itens II e III estão corretos.
C)
 
Apenas o item III está correto.
D)
 
Apenas o item II está correto.
E)
 
Apenas os itens I e II estão corretos.
Questão 4
Para o estudo do momento de inércia de um sólido podemos empregar o cálculo de integrais triplas. Para o cálculo do momento de inércia em relação ao eixo x um cubo sólido de densidade constante e limitado pelos planos x = ±1, z = ±1, y = 3 e      y = 5 é necessário determinar a região de integração. Assinale a alternativa que contém a representação da região de integração, R, da integral descrita em relação ao sistema de coordenadas cartesianas.
A)
 
A região R pode ser representada como
B)
 
A região R pode ser representada como
C)
 
A região R pode ser representada como
D)
 
A região R pode ser representada como
E)
 
A região R pode ser representada como
Questão 5
Encontrar as transformadas de Laplace pode ser útil pra resolver problemas de Matemática, Computação, Engenharias, Física e outras ciências aplicadas. Considere a função
determine a transformada de Laplace da função f(t).
Observação:
Assinale a alternativa correta.
A)
 
A transformada é dada por
.
B)
 
A transformada é dada por
.
C)
 
A transformada é dada por
.
D)
 
A transformada é dada por
.
E)
 
A transformada é dada por
.
Questão 6
Suponha que o problema de valor inicial dado por
será resolvido por meio do emprego das transformadas de Laplace, considerando suas principais propriedades.
Com base nas propriedades da transformada e conhecendo a expressão
qual das seguintes alternativas indica corretamente o termo
obtido a partir da equação diferencial ordinária presente no problema de valor inicial apresentado?
Considere
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões.
A)
 
A transformada de Laplace da função considerada é dada por
B)
 
A transformada de Laplace da função considerada é dada por
C)
 
A transformada de Laplace da função considerada é dada por
D)
 
A transformada de Laplace da função considerada é dada por
E)
 
A transformada de Laplace da função considerada é dada por
Questão 7
Para o cálculo de integrais triplas é fundamental identificar os limites de integração corretos para as variáveis x ,y e z envolvidas de modo a caracterizar corretamente a região de integração. Com base em informações sobre integrais triplas analise as afirmações apresentadas.
I- O cálculo da massa de uma lâmina envolve o cálculo da integral tripla da função densidade sobre uma região.
II- Centroide é o nome dado ao centro de massa quando a densidade do sólido é uma função qualquer.
III- As coordenadas do centro de massa é dada pela razão dos momentos em relação ao três planos coordenados e a massa.
Assinale a alternativa correta.
A)
 
Apenas o item I está correto.
B)
 
Apenas o item III está correto.
C)
 
Apenas os itens I e II estão corretos.
D)
 
Apenas o item II está correto.
E)
 
Apenas os itens I e III estão corretos.
Questão 8
Alguns problemas encontrados na engenharia podem ser analisados por meio das equações diferenciais. Com base em informações sobre as equações diferenciais analise as afirmações abaixo e marque verdadeiro (V) ou falso (F).
( ) Uma equação diferencial é uma igualdade que contém uma variável independente y e algumas das suas derivadas, y’, y", ..., y(n).
( ) Designa-se por ordem da Equação Diferencial Ordinária a maior ordem da derivada (com coeficiente não identicamente nulo).
( ) A solução de uma equação diferencial ordinária é uma relação funcional entre as variáveis dependente e independente, num certo intervalo I, que verifique a equação diferencial.
Assinale a alternativa que contém a sequência correta.
A)
 
F-V-F.
B)
 
F-V-V.
C)
 
F-F-V.
D)
 
V-V-V.
E)
 
V-F-V.
Questão 9
Determinado problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial ordinária:
y’’ + 2y’ – 3y = 0
Para resolver essa equação é necessário determinar qual a solução geral da equação diferencial, por meio da avaliação da equação característica associada.
Assinale a alternativa que contém as raízes da equação diferencial apresentada.
A)
 
r1 = -1 e r2 = -3.
B)
 
r1 = -1 e r2 = 3.
C)
 
r1 = 1 e r2 = -3.
D)
 
r1 = 0 e r2 = 0.
E)
 
r1 = -3 e r2 = 2.
Questão 10
A função custo marginal é definida como a taxa de variação de C em relação à x. Um fabricante constata que o custo marginal (em reais) da produção de x unidades de um componente eletrônico é dado por 50 - 0,02x. Se o custo da produção de uma unidade é R$ 35,00, determine o custo para x = 2. Lembre-se que o custo marginal é a taxa de variação de C (função custo) em relação à x.
Assinale a alternativa que contém a resposta correta.
A)
 
R$ 54,64.
B)
 
R$ 105,45.
C)
 
R$ 70,00.
D)
 
R$ 125,68.
E)
 
R$ 84,97.
Questão 11
Para representar determinados fenômenos, bem como para auxiliar no estudo de máximos e mínimos de funções de duas variáveis, podemos utilizar o recurso de determinar planos tangentes. Sabe-se que 
Considerando o ponto de coordenadas P(6,3,2) pertencente ao plano π e o vetor normal n = (-2,1,5), assinale a alternativa que contém a equação do plano π.
A)
 
x + y + z + 6 = 0.
B)
 
-2x + y + 5z -1= 0
C)
 
2x + y + 5z +1= 0
D)
 
2x – y + 3z + 2 = 0.
E)
 
-x - y - 5z -1= 0
Questão 12
Seja a função y(x) = c1 sen(x) + c2cos(x) solução geral da equação diferencial y’+ y = 0. Deseja-se especificar c1 e c2 de modo que y(x) satisfaça às condições y(0) = 1 e y’(0) = 2. Assinale a alternativa correta.
A)
 
y(x) = 2sen(x) + cos(x).
B)
 
y(x) = 2sen(x) + 2cos(x).
C)
 
y(x) = sen(x) + cos(x).
D)
 
y(x) = sen(x) - cos(x).
E)
 
y(x) = 2sen(x) - cos(x).