PROVA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III

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Gabarito 
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Questão 1 
A transformada de Laplace pode ser usada para resolver problemas de valor inicial 
para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Sabe-se que 
 
Considere o problema de valor inicial (PVI) 
y' – 6y = 0 
y(0) = 2 
Assinale a alternativa que contém o valor 
de . 
RESPOSTA 
 
 
Questão 2 
Em problemas de valor inicial podemos empregar as transformadas de Laplace em 
suas resoluções. Para isso temos que considerar as propriedades que envolvem as 
transformadas, como por exemplo, a linearidade das transformadas. Além disso, 
devemos considerar que 
 
 
Com base nessas informações e no problema de valor inicial dado por 
 
assinale a alternativa que indica corretamente a expressão que caracteriza 
 
obtida a partir da EDO presente no problema de valor inicial apresentado. 
 
RESPOSTA 
A) 
A expressão é dada por: 
 
 
Questão 3 
Suponha que seja necessário resolver um problema de cálculo de volume de uma 
determinada região e para isso é preciso que se realize uma mudança de variáveis. 
Sabe-se que o jacobiano associado a essa mudança é dado por 
 
Considere as mudanças, com base no sistema de coordenadas cartesianas, dadas 
por 
x = u2, y = v + w , z = u + w2 
Assinale a alternativa que indica o jacobiano associado à transformação descrita. 
RESPOSTA 
B) J = 4uw. 
 
Questão 4 
Seja o problema de valor inicial definido por 
4y' + y = 1 
y(0) = 1 
Considerando a resolução de problemas de valor inicial empregando transformadas 
de Laplace, analise as afirmações apresentadas a seguir e a relação proposta entre 
elas: 
I. A função y(t) = e-4t é solução do problema de valor inicial apresentado. 
PORQUE 
II. A transformada de Laplace da função y(t) é dada por 
 
Com base nas informações apresentadas, assinale a alternativa correta. 
 
 
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões. 
 
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões. 
RESPOSTA 
B) As afirmações I e II são falsas. 
 
Questão 5 
A modelagem matemática para o decaimento de isótopo radioativo plutônio 241 
conduz à equação diferencial ordinária 
 
Se hoje dispusermos de 50 mg desta substância, quanto restará dela depois de 
decorridos 10 anos? 
Assinale a alternativa correta. 
RESPOSTA 
E) Aproximadamente 30 mg. 
 
Questão 6 
Para o estudo do momento de inércia de um sólido podemos empregar o cálculo de 
integrais triplas. Para o cálculo do momento de inércia em relação ao eixo x um cubo 
sólido de densidade constante e limitado pelos planos x = ±1, z = ±1, y = 3 e y 
= 5 é necessário determinar a região de integração. Assinale a alternativa que 
contém a representação da região de integração, R, da integral descrita em relação 
ao sistema de coordenadas cartesianas. 
RESPOSTA 
C) A região R pode ser representada como 
 
 
Questão 7 
Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas 
respectivas derivadas. Dada uma equação diferencial sua solução é dada por uma 
função que quando substituída na equação diferencial, reduz a equação a uma 
identidade. Com base nessas informações analise os itens que seguem. 
I. A função y = et é solução da equação diferencial y'' + y' = et. 
PORQUE 
II. Quando substituída a função y = et na equação diferencial se tem uma igualdade 
verdadeira. 
Assinale a alternativa correta. 
RESPOSTA 
A) As afirmações I e II estão incorretas. 
 
Questão 8 
Classificar corretamente o tipo de equação diferencial ordinária auxilia na 
identificação do método correto de solução. Com base em informações sobre as 
características das equações diferenciais analise os itens que seguem. 
I. A equação diferencial y' + y = 0 é uma equação diferencial ordinária linear de 
primeira ordem. 
II. A equação diferencial yy''+ xy' + y = 1 é uma equação diferencial ordinária linear 
de segunda ordem. 
III. A equação diferencial y'' + 3y' + 4y = 0 é uma equação diferencial ordinária 
linear de segunda ordem homogênea. 
Assinale a alternativa correta. 
RESPOSTA 
E) Apenas os itens I e III estão corretos. 
 
Questão 9 
Um aluno do curso de engenharia precisa determinar o volume do sólido S limitado 
superiormente pela superfície de equação z = x² + xy + 2, pelos três planos 
coordenados e também pelos planos de equações x = 3 e y = 4. 
Assinale a alternativa que indica uma integral tripla que, ao ser calculada, fornece 
corretamente o volume do sólido S descrito anteriormente: 
RESPOSTA 
B) O volume do sólido S descrito por 
 
 
Questão 10 
Com base em informações sobre equações diferenciais julgue os itens que seguem. 
I- As equações diferenciais são classificadas quanto a linearidade em dois grupos: 
lineares e não lineares. 
II- A equação diferencial y’ + 3y = 0 possui como solução particular a função y(x) = 
c1 x + c2 x2. 
III- Uma equação homogênea linear de 2ª ordem com coeficientes variáveis é da 
forma 
p2(x) y" + p1(x) y’ + p0(x) y = 0, 
onde p2(x), p1(x) e p0(x) são funções contínuas somente de x. 
Assinale a alternativa correta. 
RESPOSTA 
C) Apenas os itens I e III estão corretos. 
 
Questão 11 
Suponha que você esteja resolvendo um problema que envolva a determinação de 
planos. Sabendo que 
 
e considerando o ponto de coordenadas P (1,2,3) pertencente ao plano π e o vetor 
normal n = (2,3,1), assinale a alternativa que contém a equação do plano π. 
RESPOSTA 
D) 2x + 3y + z – 11 = 0. 
 
 
Questão 12 
Suponha que, na resolução de um problema, seja necessário determinar a equação 
de um plano π contendo o ponto P(2, 1, -1) e com vetor normal dado por n = (1, -
2,3). Sabe-se que 
 
Com base nessas informações, assinale a alternativa que indica corretamente a 
equação do plano em questão. 
A) x – 2y + 3z + 3 = 0.