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Probabilidade de ruptura
São Luís, MA. 
Prof. George Fernandes Azevedo, DSc
UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO - UFMA
ENGENHARIA CIVIL
Fundações II
Insuficiência do fator de segurança global
Considerando fundações com estacas de uma mesma seção transversal
Para cada elemento (individualmente)
Capacidade de carga (resistência R);
Carga atuante (solicitação S)
Mas, existe variabilidade tanto em R quanto em S (incertezas: modelos,
dados e investigações, execução, cargas...)
Ou seja... R e S não são valores únicos
Tratamento estatístico
Curvas das funções de distribuição de 
probabilidade de resistência e carga
Dispersão (variabilidade) de dados = pode ser expressa em coeficientes de
variação:
Insuficiência do fator de segurança global
fR(R) = distribuição de probabilidade para resistência;
fS(S) = distribuição de probabilidade para solicitação;
(distribuições normais simétricas)
Equívoco: É que consideramos o problema
como determinístico (somente valores médios)
𝐂𝐕𝐒 =
𝛔𝐒
𝐒𝐦𝐞𝐝
𝐂𝐕𝐑 =
𝛔𝐑
𝐑𝐦𝐞𝐝
Para carga: Para resistência:
𝑭𝑺𝒈𝒍𝒐𝒃𝒂𝒍 =
𝑹𝐦𝐞𝐝
𝐒𝐦𝐞𝐝
Insuficiência do fator de segurança global
Abordagem determinística: Como os valores de resistência e solicitação
são fixos, não há possibilidade de ruína da fundação. Será?
Tradicionalmente = são utilizados os parâmetros médios para cálculo;
Para cada comprimento da estaca é calculado uma única resistência R
(nem é chamada de Rmed)
𝐏𝐚𝐝𝐦 =
𝐑
𝑭𝑺𝒈𝒍𝒐𝒃𝒂𝒍
Carga admissível:
Mesmo para carga variando com S <
Padm, pode ocorrer ruptura. Por quê?
Resistência real em um ponto pode ser menor que o valor R médio
(variabilidade desprezada em torno da média)
Rreal Sreal
S R
Insuficiência do fator de segurança global
Necessidade de verificar se a probabilidade de ruptura é aceitável para
o FS global adotado;
Se não for... aumentar o valor de FS global!!
FSglobal = distância entre as curvas de resistência e solicitação
Curvas se interceptam em C = há pontos em que a solicitação supera a
resistência (ruína)
Nova curva na região de superposição = densidade de probabilidade de ruína
(pf)
pf = failure = ruína = falha = ruptura
Insuficiência do fator de segurança global
FR(S) = distribuição acumulada da resistência condicionada pela carga;
Frequência acumulada de ocorrências de valores menores ou iguais que certo
valor de resistência e que são limitadas pelo valor de solicitação disponível
Probabilidade total de ruptura = área da curva pf:
𝐩𝐟 = න
−∞
+∞
𝐟𝐒 𝐒 . 𝐅𝐑(𝐒). 𝐝𝐒
50 kN
5
2
Resistências inferiores a carga de 50 kN = ruptura 
Insuficiência do fator de segurança global
Intervalo ao longo do eixo y: Δy = 1
Calcular a probabilidade de ruptura
Exemplo de aplicação: histogramas das funções R e S para uma fundação
65 eventos de resistência e 65 eventos de solicitação escolhidos ao acaso
𝐩𝐟 = න
−∞
+∞
𝐟𝐒 𝐒 . 𝐅𝐑(𝐒). 𝐝𝐒
Insuficiência do fator de segurança global
Avaliando a região de intersecção (de 13 kN a 19 kN):
➢ Probabilidade de ocorrência de valores de resistência menores/iguais que
13 kN (R ≤ 13): FR(13) = 1/65;
➢ Frequência de solicitação (ordenada): fs(13) = 8/65;
➢ Frequência de
ocorrência de ruína
(ordenada da curva pf):
pf(13) = 1/65*8/65
pf(13) = 8/65² = 1,893*10-3
𝑭𝒓𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕.=
𝑵º𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂çõ𝒆𝒔
𝑵º 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
Insuficiência do fator de segurança global
Avaliando a região de intersecção:
➢ Probabilidade de ocorrência de valores de resistência menores/iguais que 14
kN (R ≤ 14): FR(14) = 2/65;
➢ Frequência de solicitação (ordenada): fs(14) = 7/65;
➢ Frequência de
ocorrência de ruína
(ordenada da curva pf):
pf(14) = 2/65*7/65
pf(14) = 14/65² = 3,313*10-3
Insuficiência do fator de segurança global
Avaliando a região de intersecção:
➢ Probabilidade de ocorrência de valores de resistência menores/iguais que 15
kN (R ≤ 15): FR(15) = 4/65;
➢ Frequência de solicitação (ordenada): fs(15) = 5/65;
➢ Frequência de
ocorrência de ruína
(ordenada da curva pf):
pf(15) = 4/65*5/65
pf(15) = 20/65² = 4,734*10-3
Insuficiência do fator de segurança global
Avaliando a região de intersecção:
➢ Probabilidade de ocorrência de valores de resistência menores/iguais que 16
kN (R ≤ 16): FR(16) = 8/65;
➢ Frequência de solicitação (ordenada): fs(16) = 4/65;
➢ Frequência de
ocorrência de ruína
(ordenada da curva pf):
pf(16) = 8/65*4/65
pf(16) = 32/65² = 7,574*10-3
Insuficiência do fator de segurança global
Avaliando a região de intersecção:
Para R = S = 17 kN:
A partir desse ponto temos que aplicar a restrição de solicitação;
frequência de S (fS(17) = 2) é menor que frequência de R (fR(17) = 5);
Ou seja, das 5 ocorrências de resistência de
17 kN apenas 2 estão na iminência de
ruptura por carga igual a 17 kN;
Logo, só serão somadas 2 ocorrências às 8
inferiores a 17 kN;
(Todos os 8 casos de R < 17 kN vão romper para
S = 17 kN!!!)
(2 casos vão romper por solicitação igual a 17
kN!!) 1 1
2
Insuficiência do fator de segurança global
Avaliando a região de intersecção:
➢ Probabilidade de ocorrência de valores de resistência menores/iguais que 17
kN (R ≤ 17): FR(17) = 10/65;
➢ Frequência de solicitação (ordenada): fs(17) = 2/65;
➢ Frequência de
ocorrência de ruína
(ordenada da curva pf):
pf(17) = 10/65*2/65
Pf(17) = 20/65² = 4,734*10-3
Insuficiência do fator de segurança global
Avaliando a região de intersecção:
Para as abscissas 18 e 19 faz-se o mesmo raciocínio para cálculo da
probabilidade de ruptura:
➢ pf(18) = fs(18). FR(S≤18) = 1/65*11/65 = 2,604*10-3;
pf(19) = fs(19). FR(S≤19)
pf(19) = 1/65*12/65
Das 7 ocorrências de resistência 18 kN, apenas 1 rompe 
pf(19) = 2,84*10-3
Das 8 ocorrências de
resistência 19 kN, apenas 1
rompe
Insuficiência do fator de segurança global
O somatório dos produtos fornece a probabilidade de ruptura:
𝐩𝐟 =
𝟖 + 𝟏𝟒 + 𝟐𝟎 + 𝟑𝟐 + 𝟐𝟎 + 𝟏𝟏 + 𝟏𝟐
𝟔𝟓𝟐
= 𝟐, 𝟕𝟔𝟗. 𝟏𝟎−𝟐 ≈
𝟏
𝟑𝟔
pf X 65 pfacum X 65
Ordenada de pf Área de pf
Insuficiência do fator de segurança global
Se as curvas R e S forem aproximadas (diminui o FS global)...
... probabilidade de ruptura aumenta! Sempre terá uma
intersecção entre as curvas
(por menor que seja)
Pode-se reduzir o valor de pf (com FS altos), mas NUNCA eliminá-la!
MITO: valor adequado de FS levará a inexistência de pf
“A ruptura não é uma questão de possibilidade... mas de probabilidade!”
Cada valor de FS está
relacionado a uma pf
(mantendo-se o desvio
padrão)
Insuficiência do fator de segurança global
Variação de FS modifica pf. Mas, há outra forma de alterar pf mantendo FS fixo?
Variando a dispersão dos dados!!
Curva de resistência (ou carga) mais fechada (menor CV) = menor pf;
Curva de resistência (ou carga) mais aberta (maior CV) = maior pf;
De forma tradicional = curvas de distribuição estatística representadas por
pontos únicos (médias);
pf depende da forma das curvas de resistência e solicitação = não há
como criar uma tabela única que associe DIRETAMENTE FS e pf;
Função margem de segurança (S e R variáveis estatisticamente independentes):
𝒇𝒁 𝒁 = 𝒇𝑹 𝑹 − 𝒇𝑺(𝑺)
Ruptura: R ≤ S
𝒁𝒎𝒆𝒅 = 𝑹𝒎𝒆𝒅 − 𝑺𝒎𝒆𝒅
𝝈²𝒁 = 𝝈²𝑹 + 𝝈²𝑺
Teorema central do limite: soma/subtração de variáveis aleatórias independentes e
identicamente distribuídas converge em uma distribuição normal (a variável resultante
apresenta VARIÂNCIA igual a soma das VARIÂNCIAS das variáveis independentes)
Margem de segurança
Função margem de segurança (S e R variáveis estatisticamente independentes):
𝒇𝒁 𝒁 = 𝒇𝑹 𝑹 − 𝒇𝑺(𝑺) 𝒁𝒎𝒆𝒅 = 𝑹𝒎𝒆𝒅 − 𝑺𝒎𝒆𝒅
𝝈²𝒁 = 𝝈²𝑹 + 𝝈²𝑺 β =
𝑹𝒎𝒆𝒅 − 𝑺𝒎𝒆𝒅
𝝈𝒁
Margem de segurança
Índice de confiabilidade: distância de Zmed até a
condição crítica de ruptura (S = R) em termos de
desvios padrões;
Ruptura: R ≤ S
Margem de segurança
Exemplo: Placa de concreto armado sob um tanque de aço de 14 m de diâmetro
para armazenamento de produtos químicos na Baixada Santista.
Fundação: 68 estacas pré-moldadas
de concreto armado com diâmetro
de 0,33 m, comprimento médiode
31,6 m (cravado) e carga admissível
de 550 kN;
Foram encontradas as máximas 
resistências mobilizadas na 
cravação (sensores)
Distribuição estatística de 
resistência
Exemplo: Análise estatística da curva:
𝑹𝒎𝒆𝒅 = 𝟏𝟐𝟒𝟏 𝒌𝑵
𝝈𝑹 = 𝟐𝟏𝟓 𝒌𝑵
𝑪𝑽𝑹 =
𝝈𝑹
𝑹𝒎𝒆𝒅
= 𝟎, 𝟏𝟕𝟑
Natureza das cargas (permanentes)
considerar que a solicitação seja constante = carga admissível de 550 kN
𝑺𝒎𝒆𝒅 = 𝟓𝟓𝟎 𝒌𝑵 𝝈𝑺 = 𝟎 𝒌𝑵 𝑪𝑽𝑺 = 𝟎
Calcular a probabilidade de
ruptura usando a função
margem de segurança
Margem de segurança
𝒇𝒁 𝒁 = 𝒇𝑹 𝑹 − 𝒇𝑺(𝑺)
Exemplo:
Probabilidade de Ruptura = área da curva para (Z ≤ 0)
Margem de segurança
𝑭𝑺 =
𝑹𝒎𝒆𝒅
𝑺𝒎𝒆𝒅
=
𝟏𝟐𝟒𝟏
𝟓𝟓𝟎
= 𝟐, 𝟐𝟔
𝒁𝒎𝒆𝒅 = 𝑹𝒎𝒆𝒅 − 𝑺𝒎𝒆𝒅 = 𝟏𝟐𝟒𝟏 − 𝟓𝟓𝟎 = 𝟔𝟗𝟏 𝒌𝑵
𝝈𝒁 = 𝝈²𝑹 + 𝝈²𝑺 = 𝟐𝟏𝟓
2 + 𝟎² = 𝟐𝟏𝟓 𝒌𝑵
𝒛𝒄𝒓𝒊𝒕 =
𝟎 − 𝟔𝟗𝟏
𝟐𝟏𝟓
= −𝟑, 𝟐𝟏
Padronizando Z = 0 (valor crítico S = R)
𝒛𝒑𝒂𝒅𝒓 =
𝒁 − 𝒁𝒎𝒆𝒅
𝝈𝒁
Exemplo:
Margem de segurança
Por que padronizar Z = 0?
Para usar a tabela da
distribuição normal padrão e
encontrar a área que
representa pf!!
𝒛𝒄𝒓𝒊𝒕 =
𝟎 − 𝟔𝟗𝟏
𝟐𝟏𝟓
= −𝟑, 𝟐𝟏
z = 0
𝛔 = 𝟏
PR = Área(z < 0) – Área(zcrit< z < 0)
PR = 0,5 – 0,49934 = 0,00066 =
1/1515
Análise probabilística
Métodos Probabilísticos: Permitem a avaliação da distribuição de probabilidade
de uma variável dependente em função do conhecimento das distribuições
estatísticas das variáveis independentes que a geram;
Variável X1
Variável X2
Variável X3
)...,( 21 nxxxfy =
Função de desempenho
Método FOSM (First Order Second Moment)
✓ Baseia-se no truncamento da série de Taylor para a função da variável
dependente após os termos de primeira ordem, valendo-se somente
da primeira derivada (Primeira Ordem);
✓ As saídas e entradas de dados são expressas pelas médias e pelos
desvios padrões das variáveis envolvidas (Segundo Momento);
Vantagens:
❑ Formulação matemática simples;
❑ Não requer grandes esforços computacionais;
❑ Quantificar a influência de cada variável independente na variância da
variável dependente;
Desvantagem:
❑ Não obtém uma distribuição completa da variável dependente (adotar
hipóteses sobre esta distribuição);
Análise probabilística
Método FOSM (First Order Second Moment)
Metodologia de Cálculo
Para o uso de N variáveis independentes com natureza estatística:
1) Calcula-se o fator de segurança médio E[FS] usando os valores
dos parâmetros médios:
𝑬 𝑭𝑺 = 𝑭(ഥ𝒙𝟏, ഥ𝒙𝟐, … , ഥ𝒙𝑵)
2) Calcula-se a variância do fator de segurança pela seguinte
expressão:
𝑽 𝑭𝑺 =෍
𝒊=𝟏
𝑵
𝒅𝑭𝑺
𝒅𝒙𝒊
𝟐
𝑽(𝒙𝒊)
3) Determina-se o desvio-padrão do FS (σFS) pela extração da raiz
quadrada da variância;
Análise probabilística
Método FOSM (First Order Second Moment)
Metodologia de Cálculo
4) Obtenção do índice de confiabilidade βI do FS pela seguinte
expressão (considerando o valor FS crítico igual a 1):
𝜷𝑰 =
𝑬 𝑭𝑺 −𝟏
𝝈[𝑭𝑺]
5) Verificação da contribuição de cada variável independente na
dispersão do fator de segurança.
Distância entre FS médio e o valor
crítico em termos de σ[FS]
Análise probabilística
Método FOSM (First Order Second Moment)
Observações:
➢ As derivadas (dFS/dxi) são calculadas a partir das variações no
fator de segurança (dFS) causadas por "pequenas" variações nas
variáveis independentes (dxi);
➢ Cada variável independente é incrementada separadamente,
enquanto as demais são mantidas fixas e iguais aos valores
médios;
➢ O tamanho dos incrementos (dxi) deve ser em torno de 10% dos
valores médios;
➢ O método FOSM exige pelo menos n+1 análises, para n variáveis 
independentes estatísticas:
❑ Uma para os valores médios;
❑"n" análises para determinar as derivadas (dFS/dxi) para 
cada variável independente.
Análise probabilística
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + ∆𝒉 − 𝒇(𝒙)
∆𝒉
Análise probabilística
Exemplo: calcular a probabilidade de ruptura associada a sapata
corrida abaixo;
𝐅𝐒 =
𝒄′. 𝑵𝒄 + 𝒒.𝑵𝒒 +
𝟏
𝟐
. 𝜸. 𝑩.𝑵𝜸
𝟓𝟎𝟎
𝑭𝑺 =
𝒒𝒖𝒍𝒕
𝒒𝒕𝒓𝒂𝒃
Fórmula teórica: Terzaghi
Equação de desempenho
Sapata corrida:
Sc = Sq = Sγ = 1
Análise probabilística
Exemplo:
Fatores de capacidade de carga = aprimoramento da solução de Terzaghi por
vários autores
Coeficiente de empuxo passivo
Nc e Nq não apresentam grande variação. Nγ varia bastante entre as abordagens
dos diversos pesquisadores;
Por ensaios de modelos, a hipótese da superfície de ruptura de Terzaghi está
correta. Mas o ângulo formado com a horizontal é de 45° + φ’/2 (e não φ’);
Análise probabilística
Exemplo: Parâmetros do solo
Variáveis
independentes
Valores 
médios
Coeficientes 
de variação
Coesão 20 kPa 18%
Ângulo de atrito 30° 16%
Peso específico 17 kN/m³ 9%
𝐅𝐒 =
𝒄′. 𝑵𝒄 + 𝒒.𝑵𝒒 +
𝟏
𝟐
. 𝜸. 𝑩.𝑵𝜸
𝟓𝟎𝟎
Fórmula teórica: Terzaghi
Variáveis Aleatórias
Análise probabilística
𝑪𝑶𝑽 =
𝝈
ഥ𝑿
𝝈 = 𝑪𝑶𝑽. ഥ𝑿
Variáveis
independentes
Valores médios
Coeficientes de 
variação
Desvio padrão Variância
c´ 20 kPa 18% 3,6 kPa 12,96 kPa
Φ´ 30° 16% 4,8° 23,04°
γ 17 kN/m³ 9% 1,53 kN/m³ 2,34 
kN/m3
𝑽 𝒙𝒊 = 𝝈
𝟐
Exemplo:
Calcula-se a variância das variáveis independentes a partir do seus
coeficientes de variação
Análise probabilística
Exemplo:
Cálculo do fator de segurança médio 𝐅𝐒 =
𝒄′. 𝑵𝒄 + 𝒒.𝑵𝒒 +
𝟏
𝟐
. 𝜸. 𝑩.𝑵𝜸
𝟓𝟎𝟎
Fator de capacidade de carga para sobrecarga
𝑵𝒒 = 𝒆
𝝅.𝒕𝒂𝒏𝟑𝟎°𝒕𝒈2 𝟒𝟓° +
𝟑𝟎°
𝟐
= 𝟏𝟖, 𝟒
𝑵𝒄 = 𝟏𝟖, 𝟒 − 𝟏 . 𝒄𝒐𝒕𝟑𝟎° = 𝟑𝟎, 𝟏𝟑
𝑵𝜸 = 𝟏𝟖, 𝟒 − 𝟏 . 𝒕𝒈 𝟏, 𝟒. 𝟑𝟎° = 𝟏𝟓, 𝟔𝟕
𝐄[𝐅𝐒] =
𝟐𝟎. 𝟑𝟎, 𝟏𝟑 + 𝟏𝟕. 𝟏, 𝟓 . 𝟏𝟖, 𝟒 +
𝟏
𝟐
. 𝟏𝟕. 𝟐. 𝟏𝟓, 𝟔𝟕
𝟓𝟎𝟎
=
𝟏𝟑𝟑𝟖, 𝟏𝟗
𝟓𝟎𝟎
= 𝟐, 𝟔𝟕
Valor médio
Fator de capacidade de carga para coesão
Fator de capacidade de carga para peso específico
Análise probabilística
Exemplo:
Cálculo dos incrementos do Fator de Segurança (dFS) a partir das
variações nas variáveis independentes aleatórias (dxi):
xi dxi xi + dxi FSincr = FS(xi + dxi)
dFS =
FSincr- E[FS]
c’ = + 20 kPa +2 +22 2,8 +0,13
Φ’ = + 30° +3° +33° 3,77 +1,1
γ = + 17 kN/m³ +1,7 +18,7 2,73 +0,06
A cada iteração, as demais variáveis são mantidas fixas e iguais aos valores médios
Cada variável é incrementada separadamente 𝒅𝒙𝒊 = 𝟎, 𝟏. ഥ𝒙𝒊
𝑬 𝑭𝑺 = 𝟐, 𝟔𝟕
𝐍𝐪𝟑𝟑° = 𝟐𝟔, 𝟎𝟗;𝐍𝐜𝟑𝟑° = 𝟑𝟖, 𝟔𝟒;𝐍𝛄𝟑𝟑° = 𝟐𝟔, 𝟏𝟔
Análise probabilística
Exemplo:
Cálculo da variância total do FS a partir das parcelas de variância de
cada variável
xi dxi dFS
𝒅𝑭𝑺
𝒅𝒙𝒊
V[xi]
𝒅𝑭𝑺
𝒅𝒙𝒊
𝟐
𝒙𝑽[𝒙𝒊]
c’ = + 20 kPa +2 +0,13 +0,065 12,96 kPa 0,05 (1,56%)
Φ’ = + 30° +3° +1,1 +0,37 23,04 3,15 (98,35%)
γ = + 17 kN/m³ +1,7 +0,06 +0,035 2,34 kN/m3 0,003 (0,09%)
Total V[FS] 3,203 (100%)
𝑽 𝑭𝑺 =෍
𝒊=𝟏
𝑵
𝒅𝑭𝑺
𝒅𝒙𝒊
𝟐
𝑽(𝒙𝒊)
Análise probabilística
Exemplo:
Determinação do desvio padrão para FS e do índice de
confiabilidade:
𝛔 𝐅𝐒 = 𝐕 𝐅𝐒 = 𝟏, 𝟕9 𝛃𝐈 =
𝐄[𝐅𝐒] − 𝟏
𝛔[𝐅𝐒]
=
𝟐, 𝟔𝟕 − 𝟏
𝟏, 𝟕𝟗
= 𝟎, 𝟗𝟑
1 FS =2,67
𝛔 𝐅𝐒 = 𝟏,79
0
50
100
Coesão Atrito Peso
específico
98,35%
1,56%
0,09%
Variância de FS
Análise probabilística
Exemplo: Como estimar a PR?
1 FS =2,67
𝛔 𝐅𝐒 = 𝟏,79
z = 0
𝛔 = 𝟏
𝒛𝒄𝒓𝒊𝒕 =
𝟏 − 𝟐, 𝟔𝟕
𝟏, 𝟕𝟗
= −𝟎, 𝟗𝟑
PR = Área(z < 0) – Área(zcrit< z < 0)
PR = 0,5 – 0,3238 = 0,1762 = 17,62%
Valores de probabilidade de ruptura
Qual valor de pf adotar?
Mesma coisa que responder: O que é seguro?? Seguro pra quem??
EUA e Europa = Agências reguladoras
(Proteção Ambiental e Comissão
Reguladora Nuclear) definem os riscos
“razoáveis” (sempre com o consenso
público);
É aceitável a morte de uma pessoa?
Depende... se a probabilidade de
ruptura for baixa pode-se assumir!
E a morte de milhares de pessoas?
Mesmo para pf baixas o resultado é
catastrófico!
pf depende das consequências da ruptura!
Risco social aceitável para Hong Kong
(diretrizes estabelecidas pelo governo)
Valores de probabilidade de ruptura
Para fundações:
Lumb (1966): risco para estabilidade
de fundações de 1/1000 a 1/100.000;Whitman (1984): risco admissível
(tolerável) em fundações de 1/100 a
1/1000
Cartas F-N:
probabilidade anual de
falha vs. consequências
quantificadas como custos
(dados históricos)
Perdas: US$ 100.000 a
US$ 1.000.000
Baecher & Christian 2003 
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