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<p>INSTITUTO SUPERIOR DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DE MOÇAMBIQUE</p><p>LICENCIATURA EM ENGENHARIA GEOLÓGICA E DE MINAS</p><p>ESTATÍSTICA</p><p>“Variável Aleatória Contínua e</p><p>Distribuição Normal de Probabilidade”</p><p>Docente:</p><p>Doutor Salomão Munguambe</p><p>Discentes:</p><p>Daniela Lineco, Cód. 20230552</p><p>Jennifer Benete, Cód. 20230777</p><p>Keyver Ribeiro, Cód. 20231018</p><p>Maimuna Maconha, Cód. 2015105</p><p>Sheinila Lopes, Cód. 20230853</p><p>Willnófia Manave, Cód. 20210750</p><p>Maputo, aos 21 de maio de 2024</p><p>Índice</p><p>1. Introdução ................................................................................................................. 1</p><p>2. Variável Aleatória Contínua...................................................................................... 2</p><p>3. Distribuição Normal de Probabilidades .................................................................... 5</p><p>4. Conclusão ................................................................................................................. 7</p><p>5. Bibliografia ............................................................................................................... 8</p><p>1</p><p>1. Introdução</p><p>Neste presente trabalho iremos abordar sobre as Variáveis aleatórias contínuas que</p><p>desempenham um papel fundamental na teoria da probabilidade e estatística. Elas</p><p>representam resultados de experimentos aleatórios em que a quantidade de resultados</p><p>possíveis é infinita e pode assumir qualquer valor em um intervalo contínuo. A</p><p>distribuição de probabilidade associada a uma variável aleatória contínua é descrita por</p><p>meio de uma função densidade de probabilidade, que descreve a probabilidade de uma</p><p>variável aleatória cair em um intervalo específico.</p><p>Onde também exploraremos as características e propriedades de variáveis aleatórias</p><p>contínuas e suas distribuições de probabilidade, com destaque para a distribuição normal.</p><p>A distribuição normal, também conhecida como distribuição de Gauss, é uma das</p><p>distribuições mais utilizadas na estatística devido à sua versatilidade e propriedades</p><p>matemáticas interessantes. E também apresentaremos alguns exercícios como exemplo.</p><p>2</p><p>2. Variável Aleatória Contínua</p><p>Uma variável aleatória contínua é aquela cujos valores possíveis formam um intervalo</p><p>contínuo. Isso significa que a variável pode assumir qualquer valor dentro desse intervalo,</p><p>e não apenas valores específicos. Ao contrário das variáveis aleatórias discretas, que</p><p>podem apenas tomar valores distintos, as variáveis contínuas possuem um espectro</p><p>infinito de valores possíveis em qualquer intervalo.</p><p>Exemplos de Variável Aleatória Contínua:</p><p>• A altura de uma pessoa: A altura de uma pessoa pode variar entre valores muito</p><p>próximos, como 1.70 metros, 1.71 metros, 1.715 metros, e assim por diante,</p><p>formando um intervalo contínuo de valores.</p><p>• O tempo que um carro leva para completar uma corrida: O tempo que um carro</p><p>leva para percorrer uma pista de corrida pode variar de forma contínua,</p><p>dependendo de vários fatores como condições climáticas, estado da pista e</p><p>desempenho do veículo.</p><p>Função Densidade de Probabilidade (PDF)</p><p>Para descrever a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir um valor</p><p>específico dentro de um intervalo, usamos a função densidade de probabilidade (PDF).</p><p>Esta função, denotada por f(x), atribui uma probabilidade relativa a cada possível valor</p><p>da variável.</p><p>A função densidade de probabilidade f(x) deve satisfazer as seguintes condições:</p><p>1. Não negatividade: A função densidade de probabilidade não pode assumir</p><p>valores negativos para nenhum valor de x no intervalo considerado. Ou seja, f(x)</p><p>≥ 0 para todo x.</p><p>𝑓(𝑥) ≥ 0 para todo x.</p><p>2. Integral total igual a 1: A área sob a curva da função densidade de probabilidade</p><p>ao longo de todo o intervalo considerado deve ser igual a 1. Isso reflete a ideia de</p><p>3</p><p>que a soma de todas as probabilidades para todos os possíveis valores da variável</p><p>deve ser igual a 1.</p><p>∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥</p><p>∞</p><p>−∞</p><p>= 1</p><p>2.1. Esperança Matemática (ou valor esperado)</p><p>É uma medida de centralidade que representa o valor médio que esperamos para uma</p><p>variável aleatória contínua. Matematicamente, é calculada como a integral do produto</p><p>entre o valor da variável e sua função densidade de probabilidade, ao longo de todo o</p><p>intervalo de valores possíveis.</p><p>𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥</p><p>∞</p><p>−∞</p><p>2.2. Variância</p><p>É uma medida de dispersão que indica quão longe os valores da variável aleatória</p><p>contínua estão distribuídos em relação à sua esperança matemática. Matematicamente, é</p><p>a integral do quadrado da diferença entre o valor da variável e sua esperança matemática,</p><p>ponderada pela função densidade de probabilidade.</p><p>𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸 [(𝑋 − 𝐸(𝑋))</p><p>2</p><p>]</p><p>Para calcular a variância, usamos a fórmula:</p><p>𝑉𝑎𝑟(𝑋) = ∫ (𝑥 − 𝐸(𝑋))</p><p>2</p><p>𝑓(𝑥) 𝑑𝑥</p><p>∞</p><p>−∞</p><p>Outra fórmula útil, especialmente em cálculos práticos, é:</p><p>𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2</p><p>Onde E(X2) é a esperança do quadrado de X:</p><p>𝐸(𝑋2) = ∫ 𝑥2</p><p>∞</p><p>−∞</p><p>𝑓(𝑥) 𝑑𝑥</p><p>4</p><p>Exemplo:</p><p>Considere que o consumo semanal de um certo bem alimentar, em famílias de um</p><p>determinado concelho, é uma v. a. 𝑋 com a seguinte função densidade de probabilidade:</p><p>𝑓(𝑥) = {</p><p>1</p><p>9</p><p>𝑥2 0 < 𝑥 < 3;</p><p>0, 𝑐𝑎𝑠𝑜</p><p>a) O consumo médio semanal do bem alimentar, e uma determinada família.</p><p>b) Calcule o valor esperado e a variância do consumo mensal (4 semanas), de uma dada</p><p>família desse concelho. Admita a independência entre os consumos semanais.</p><p>R: a) 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)</p><p>3</p><p>0</p><p>𝑑𝑥 =</p><p>1</p><p>9</p><p>∫ 𝑥33</p><p>0</p><p>𝑑𝑥 =</p><p>1</p><p>9</p><p>[</p><p>𝑥4</p><p>4</p><p>]</p><p>𝑥=0</p><p>𝑥=3</p><p>=</p><p>1</p><p>9</p><p>(</p><p>34</p><p>4</p><p>− 0) = 2.25</p><p>b) O consumo mensal é dado por M=X1+X2+X3+X4</p><p>O consumo mensal esperado é:</p><p>𝐸(𝑀) = 𝐸(𝑋1+𝑋2+𝑋3+𝑋4) = 𝐸(𝑋1) + 𝐸(𝑋2) + 𝐸(𝑋3) + 𝐸(𝑋4)</p><p>= 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑋) = 4 ∗ 2.25 = 9</p><p>A variância do consumo mensal é:</p><p>𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))</p><p>2</p><p>= ∫ 𝑥2𝑓(𝑥) 𝑑𝑥</p><p>3</p><p>0</p><p>− 2.252</p><p>=</p><p>1</p><p>9</p><p>∫ 𝑥4 𝑑𝑥</p><p>3</p><p>0</p><p>− 2.252 =</p><p>1</p><p>9</p><p>[</p><p>𝑥5</p><p>5</p><p>]</p><p>𝑥=0</p><p>𝑥=3</p><p>− 2.252 =</p><p>1</p><p>9</p><p>(</p><p>35</p><p>5</p><p>− 0) − 2.252</p><p>= 0.3375</p><p>5</p><p>3. Distribuição Normal de Probabilidades</p><p>A distribuição normal de probabilidade, também conhecida como distribuição gaussiana,</p><p>é uma das distribuições mais importantes e amplamente utilizadas na estatística. Ela</p><p>descreve muitos fenômenos naturais e é caracterizada por sua forma de sino, simétrica</p><p>em relação à média. Suas origens remontam a Gauss em seus trabalhos sobre erros de</p><p>observações astronômicas, por volta de 1810.</p><p>Dizemos que a v.a. X tem distribuição normal com parâmetros μ e σ2, –∞ < μ < +∞ e 0 <</p><p>σ2 < ∞, se sua densidade é dada por</p><p>𝑓(𝑥; 𝜇, 𝜎2) =</p><p>1</p><p>𝜎√2𝜋</p><p>𝑒</p><p>−</p><p>(𝑥−𝜇)2</p><p>2𝜎2 , −∞ < 𝑥 < ∞.</p><p>Claramente, f (x; μ, σ2) ≥ 0, para todo x e pode-se provar que ∫ 𝑓(𝑥; 𝜇, 𝜎2) 𝑑𝑥 = 1</p><p>∞</p><p>−∞</p><p>Figura 1. f.d.p. de uma v.a. normal com média μ e desvio padrão σ.</p><p>3.1. Esperança matemática e Variância da Distribuição normal</p><p>A esperança matemática da distribuição normal é igual à sua média, o que significa que é</p><p>o valor central da distribuição. Se a distribuição normal é simétrica, a esperança</p><p>matemática estará localizada exatamente no meio da distribuição. Em outras palavras, a</p><p>esperança matemática da distribuição normal é o ponto onde a curva atinge o seu pico.</p><p>𝐸(𝑋) = 𝜇</p><p>A variância da distribuição normal é dada pela fórmula:</p><p>𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜎2</p><p>6</p><p>Além disso, f (x; μ; σ2)→0, quando x →∞, μ-σ e μ+σ são pontos de inflexão de f (x; μ;</p><p>σ2), x= μ é o ponto de máximo de f (x; μ; σ2), e o valor máximo é</p><p>1</p><p>𝜎√2𝜋</p><p>. A densidade f (x;</p><p>μ; σ2) é simétrica em relação à reta x= μ, isto é,</p><p>𝑓 (𝜇 + 𝑥; 𝜇; 𝜎2) = 𝑓 (𝜇 − 𝑥; 𝜇; 𝜎2 ),</p><p>𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝑟𝑒𝑎𝑙.</p><p>Para simplificar a notação, denotamos a densidade da normal simplesmente por f(x) e</p><p>escrevemos simbolicamente,</p><p>𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎2).</p><p>3.2. Padronização</p><p>Quando μ=0 e 𝜎2=1, temos uma distribuição padrão ou reduzida, ou brevemente N (0,1).</p><p>Para essa a</p><p>função densidade reduz-se a</p><p>𝜙(𝑧) =</p><p>1</p><p>√2𝜋</p><p>𝑒</p><p>−𝑧2</p><p>2 − ∞ < 𝑧 < ∞.</p><p>Figura 2. f.d.p. de uma v.a. normal padrão</p><p>Se X~N (μ; σ2), então a v.a. definida por</p><p>𝑍 =</p><p>𝑋 − 𝜇</p><p>𝜎</p><p>,</p><p>Terá média zero e variância 1.</p><p>7</p><p>4. Conclusão</p><p>Uma variável aleatória contínua é uma variável que pode assumir um número infinito de</p><p>valores dentro de um intervalo específico. Ela está associada a uma função de densidade</p><p>de probabilidade (PDF), que descreve a probabilidade de a variável assumir um</p><p>determinado valor ou intervalo de valores. As distribuições de probabilidade, como a</p><p>distribuição normal, descrevem o comportamento dessas variáveis. A distribuição normal,</p><p>por exemplo, é simétrica em torno da média e é comumente usada para modelar</p><p>fenômenos na natureza, como altura, peso e pontuações de testes. As normas de</p><p>probabilidade, como a regra empírica e o teorema do limite central, fornecem maneiras</p><p>de entender e calcular probabilidades associadas a essas distribuições.</p><p>8</p><p>5. Bibliografia</p><p>Bussab, W. O.; Morettin, P. A. (2010): Estatística Básica (6ª edição), Editora Saraiva</p><p>Afonso, A.; Nunes, C. (2019): PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA Aplicações e</p><p>Soluções em SPSS (1ª edição), Universidade de Évora.</p><p>Magalhães, M.N. (2006): Probabilidade e Variáveis Aleatórias (2ª edição), Edusp</p><p>https://www.inf.ufsc.br/~andre.zibetti/probabilidade/normal.html acedido a 20 de maio</p><p>de 2024</p><p>https://www.mensuracaoflorestal.com.br/distribuicao-normal-e-quottquot-de-student</p><p>acedido a 20 de maio de 2024</p><p>https://www.inf.ufsc.br/~andre.zibetti/probabilidade/normal.html</p><p>https://www.mensuracaoflorestal.com.br/distribuicao-normal-e-quottquot-de-student</p>