EP07_PreCalculoEng_gabarito

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EP 07 – Gabarito Pré-Cálculo para Engenharia 
 
1. Diga quais das expressões abaixo são polinômios. 
a. ( ) √ 
 
 
 
b. ( ) 
c. ( ) 
 
 
 
 
d. ( ) 
e. ( ) 
 
 
 
 
Solução: 
a. É um polinômio de grau 5 com coeficientes reais. 
b. É um polinômio constante, grau zero. 
c. Não é polinômio, pois há expoentes da variável x que não são números inteiros, maiores ou 
iguais a 0. 
d. Não é polinômio, pois há expoentes da variável x que não são números inteiros, maiores ou 
iguais a 0. 
e. Não é um polinômio, mas sim um quociente de polinômios. 
 
 
2. Determine o quociente e o resto da divisão dos polinômios ( ) e ( ) nos seguintes casos. 
a. 3423)( 345  xxxxxp e 12)(
3  xxxq 
b. 121143)( 2345  xxxxxxp e )54()( 22  xxxxq 
 
Solução: 
a. 
3423 345  xxxx 123  xx 
235 363 xxx  83 2  xx 
3438 234  xxxx 
xxx  24 2 
3558 23  xxx 
8168 3  xx 
11215 2  xx 
Neste caso, o quociente é 83)( 2  xxxq e o resto é 11215)( 2  xxxr . 
 
 
 
 
 
 
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b. 
121143 2345  xxxxx 234 54 xxx  
345 54 xxx  1x 
12119 234  xxxx 
 
 
121145 23  xxx 
Neste caso, o quociente é 1)(  xxq e o resto é 121145)( 23  xxxxr . 
 
 
3. Determine IRa , de modo que o polinômio axaxaxaxp 4)23()12()( 23  seja 
divisível por 1)(  xxq . Em seguida, obtenha o quociente da divisão. 
 
Solução: 
O polinômio será divisível por 1)(  xxs , se e somente 
se 0)1( p . 
Mas, 
3104231241)23(1)12(1)1(0 23  aaaaaaaaap . 
Donde, 
10
3
a e, portanto, 
10
12
10
11
10
4
10
3
)( 23  xxxxp . 
Vamos usar o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir )( xp por 1)(  xxs . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O quociente procurado é: 
10
12
10
1
10
3
)( 2  xxxq . 
 
 
4. Fatore os seguintes polinômios. 
a. 352)( 2  xxxp 
b. 352)(
23  xxxxp 
c. 1)( 4  xxp 
d. 611692)( 234  xxxxxp 
e. 158)( 24  xxxp 
f. 4472)( 234  xxxxxp 
g. 1)(
4  xxp 
axaxaxaxp 4)23()12()( 23 
234 54 xxx 
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Solução: 
a. )3()12()3()
2
1
(2)
2
3
2
5
(2352)( 22  xxxxxxxxxp . 
Bastou encontrar as raízes do trinômio do segundo grau. 
 
b. 352)( 23  xxxxp 
Como )( xp é um polinômio de grau ímpar 3, possui pelo menos uma raiz real. 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente -3, que são: 
3,3,1,1  . Calculando )3(,)3(,)1(,)1( pppp  , vemos que não são zero. Logo esse polinômio 
não tem raízes inteiras. 
As possíveis raízes racionais, não inteiras, desse polinômio são os divisores do termo independente , 
que são: 3,3,1,1  , divididos pelos divisores, diferentes de 1,1  , do coeficiente do termo de 
maior grau, que são 2,2  . Calculando )
2
1
(p , vemos que 0)
2
1
( p . 
Dividindo )(xp por 
2
1
x , obtemos; 
)3()12()3()
2
1
(2)622()
2
1
(352)( 22223  xxxxxxxxxxxxxp
 O trinômio do segundo grau, )3(
2  xx , não possui raízes reais e é, portanto, irredutível nos reais. 
 
c. )1()1()1()1()1(1)(1)( 222224  xxxxxxxxp 
Observe que estamos tratando o polinômio 1)( 4  xxp , como um trinômio do segundo grau na 
variável 2x e que 1 e 1 são as raízes desse trinômio do segundo grau. O trinômio do segundo 
grau, 12 x , não possui raízes reais e é, portanto, irredutível nos reais. 
 
d. 611692)( 234  xxxxxp 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 6 , que são: 
6,6,3,3,2,2,1,1  . Calculando )1(p , vemos que 0)1( p . 
Dividindo )(xp por 1x , obtemos; 
)617112()1(611692)( 23234  xxxxxxxxxp . 
Como 617112)( 231  xxxxp é um polinômio de grau impar, 3, possui pelo menos uma raiz 
real. 
As possíveis raízes inteiras do polinômio 617112)( 231  xxxxp são os divisores do termo 
independente , que são: 6,6,3,3,2,2,1,1  . Calculando )2(1p , vemos que 
0)2(1 p . 
Dividindo )2(1p por 2x , obtemos; 
)372()2(617112)( 2231  xxxxxxxp . 
 
3
6
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Agora é só tentar fatorar o polinômio 372)( 22  xxxp , o que é possível e resulta em 
)3()12()3()
2
1
(2)
2
3
2
7
(2372)( 222  xxxxxxxxxp . 
Portanto a fatoração procurada é: 
)3()12()2()1(611692)( 234  xxxxxxxxxp . 
 
e. )5()5()3()3()5()3(158)(158)(
2222224  xxxxxxxxxxxp
 
Observe que estamos tratando o polinômio 158)( 24  xxxp , como um trinômio do segundo grau 
na variável e que 3 e 5 são as raízes desse trinômio do segundo grau. 
 
f. 4472)(
234  xxxxxp 
 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 4 , que são: 
4,4,2,2,1,1  . Calculando , vemos que . 
Dividindo )(xp por 1x , obtemos; 
)482()1(4472)( 23234  xxxxxxxxxp . 
Como 482)( 231  xxxxp é um polinômio de grau impar, 3, possui pelo menos uma raiz real. 
As possíveis raízes racionais do polinômio 482)( 231  xxxxp são os divisores do termo 
independente 4 , que são: 4,4,2,2,1,1  , divididos pelos divisores do coeficiente do 
termo de maior grau, que são 2,2,1,1  . Logo, as possíveis raízes racionais de )(1 xp são: 
2
1
,
2
1
,4,4,2,2,1,1  . Aqui estamos incluindo também as raízes inteiras, que também 
são racionais. Calculando 15)1(1 p , 5)1(1 p , 40)2(1 p , 24)2(1 p , 180)4(1 p , 
140)4(1 p , 
2
17
)
2
1
(1 p , 0)
2
1
(1 p , vemos que 0)
2
1
(1 p . 
Dividindo )(1 xp por 
2
1
x , obtemos; 
)82()
2
1
(482)( 2231  xxxxxxp . 
Como o trinômio do segundo grau, 82 2 x , não possui raízes reais e é, portanto, irredutível nos 
reais, nada mais temos a fatorar, logo, 
)82()
2
1
()1(4472)( 2234  xxxxxxxxp . 
 
 
2x
)1(p 0)1( p
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g. 1)(
4  xxp 
Como esse polinômio tem coeficientes inteiros e é mônico (o coeficiente do termo de maior grau é 1), 
se tiver raízes racionais, elas têm que ser inteiras e estar entre os divisores do termo independente 
1 , que são: 1,1  . 
Como 02)1()1(  pp então esse polinômio não tem fatores lineares na sua fatoração em IR . A 
sua fatoração só terá fatores quadráticos irredutíveis. Podemos tentar a seguinte fatoração, onde a
e b são números reais: 
1)()2()()1()1(1)( 234224  xbaxbaxbaxxbxxaxxxp . 
Da igualdade de polinômios, segue que 
2202
0202
0
22 











aaa
ab
ab
ab
ba
ou
2a . 
Se 2a então 2b . 
Se 2a então 2b . 
Portanto, a fatoração pedida é: 
)12()12(1)( 224  xxxxxxp . 
 
 
5. Será um fator do polinômio ( ) ? 
Justifique sua resposta. 
 
Solução: 
 
Se 3x for um fator do polinômio 2187)( 7  xxp , então )()3()( xqxxp  , e assim, 3x , 
será uma raiz do polinômio 2187)( 7 xxp . Basta então verificar se 0)3( p . 
0218721872187)3()3( 7 p . 
Portanto, 3x é um fator do polinômio 2187)( 7  xxp . 
 
 
6. Considerando o que você aprendeu sobre polinômios, responda: existe algum número racional 
que seja igual ao seu cubo mais um? 
Dica: Escreva uma equação equivalente ao texto em negrito e use os conhecimentos estudados 
nesta semana sobre raízes racionais de polinômios. 
 
Solução: 
 
Consideremos x um número racional. Se este número racional x , é igual ao seu cubo mais um, então 
podemos escrever que 13  xx . 
011 33  xxxx 
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Considerando o polinômio 1)( 3  xxxp, sabemos que as possíveis raízes racionais desse 
polinômio são inteiras, pois o coeficiente do monômio de mais alto grau, 3x , é. 1 . Essas possíveis 
raízes inteiras estão entre os divisores do termo independente, 1 , que são 1 e 1 . 
Calculando )1(p e )1(p 
011111)1()1()1( 3 p 
01111111)1( 3 p 
Vemos, portanto, que esse polinômio não possui raízes racionais. 
Concluímos assim, que não existe número racional que seja igual ao seu cubo mais um. 
 
 
7. Estude o sinal dos polinômios. 
a. 1
2
1
2
1
)( 23  xxxxp 
b. 1243)( 23  xxxxq 
c. 8814143)(
234  xxxxxs 
 
Solução: 
 
a. 1
2
1
2
1
)( 23  xxxxp 
Note que, )22(
2
1
1
2
1
2
1
)( 2323  xxxxxxxp , ou seja , )(
2
1
)( xqxp  , onde )( xq 
é um polinômio com coeficientes inteiros. 
As possíveis raízes de )( xq são inteiras e estão entre os divisores do termo independente 2 , que são: 
2,2,1,1  . 
Calculando os valores de nessas possíveis raízes, verificamos que somente 2x é raiz de 
e portanto de )( xp . 
Dividindo por 2x obtemos, )1()2()( 2  xxxq . 
Portanto, )1()2(
2
1
)(
2
1
)( 2  xxxqxp . 
Como IR,0112  xx , então o sinal de )( xp depende somente do sinal de 2x . 
Logo, 
2020)(  xxxp 
2020)(  xxxp 
2020)(  xxxp 
 
 
 
 
 
)( xq )( xq
)( xq
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b. 1243)( 23  xxxxq 
Vamos, inicialmente, buscar as raízes reais do polinômio 1243)( 23  xxxxq . 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 12 , que são: 
12,12,6,6,4,4,3,3,2,2,1,1  . Calculando. 
0101243112)1(4)1(3)1()1( 23 q . Logo, 1 não é raiz desse polinômio. 
020124311214131)1( 23 q . Logo, 1 não é raiz desse polinômio. 
0812812812)2(4)2(3)2()2( 23 q . Logo, 2 não é raiz desse polinômio. 
0401281281224232)2( 23 q . Logo, 2 não é raiz desse polinômio. 
01212272712)3(4)3(3)3()3( 23 q . Logo, 3 é raiz desse polinômio. 
Dividindo )( xq por 3)3(  xx obtemos, 42 x . 
Portanto, )4()3(1243)( 223  xxxxxxq . 
Como 0442 x então esse polinômio nunca se anula, não tem raízes reais. Assim, 
)4()3()( 2  xxxq é a fatoração do polinômio )(xq em IR . 
Como , então o sinal do polinômio )4()3()( 2  xxxq , depende apenas do sinal do 
fator linear 3x . 
Portanto, 
3030)(  xxxq 
3030)(  xxxq 
3030)(  xxxq 
O polinômio )(xq pode ser calculado para todos os números reais. 
 
 
c. 8814143)( 234  xxxxxs 
Vamos, inicialmente, buscar as raízes reais do polinômio 8814143)( 234  xxxxxs . 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 8 , que são: 
8,8,4,4,2,2,1,1  . Calculando. 
0388141438)1(8)1(41)1(14)1(3)1( 234 s . Logo, 1 não é raiz 
desse polinômio. 
015881414381811411413)1(
234
s . Logo, 1 não é raiz desse polinômio. 
081656112488)2(8)2(41)2(14)2(3)2( 234 s . Logo, 2 é raiz desse 
polinômio. 
Dividindo )( xs por 2)2(  xx obtemos, 4283 23  xxx . 
Portanto, )4283()2(8814143)( 23234  xxxxxxxxxs . 
Vamos agora buscar as raízes do fator 4283)( 231  xxxxs 
0442 x
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As possíveis raízes inteiras desse polinômio, 4283)( 231  xxxxs , são os divisores do termo 
independente 4 , que são: 4,4,2,2,1,1  . Como 11  e não são raízes de )( xs 
então também não são raízes de . De fato, como )()2()( 1 xsxxs  então o valor de x que 
anular )(1 xs , anula também )( xs . 
Vamos testar 2 e 2 . Calculando. 
084432244)2(2)2(8)2(3)2( 231 s . Logo, 2 não é raiz desse 
polinômio. 
0484432244222823)2( 231 s . Logo, 2 não é raiz desse polinômio. 
Vamos testar 4 e 4 . Calculando. 
060481281924)4(2)4(8)4(3)4( 231 s . Logo, 4 não é raiz desse 
polinômio. 
0308481281924424843)4( 231 s . Logo, 4 não é raiz desse polinômio. 
Vamos verificar agora, possíveis raízes racionais de )(1 xs . 
As possíveis raízes racionais "não inteiras" do polinômio 4283)( 231  xxxxs são os divisores do 
termo independente 4 , que são: 4,4,2,2,1,1  , divididos pelos divisores do coeficiente 
do termo de maior grau, diferentes de 1,1  , que são: 3,3  . As possíveis raízes racionais "não 
inteiras" são 
3
4
,
3
4
,
3
2
,
3
2
,
3
1
,
3
1
 . Calculando. 
0
9
23
4
3
2
3
1
8
3
1
34)
3
1
(2)
3
1
(8)
3
1
(3)
3
1
(
23
23
1 s . Logo, 
3
1
 não 
é raiz desse polinômio. 
0
3
11
4
3
2
3
1
8
3
1
34)
3
1
(2)
3
1
(8)
3
1
(3)
3
1
(
23
23
1 s . Logo, 
3
1
 não é raiz desse 
polinômio. 
04
3
4
3
4
8
3
8
34)
3
2
(2)
3
2
(8)
3
2
(3)
3
2
(
23
23
1 s . Logo, 
3
2
 é raiz desse 
polinômio. 
Dividindo )(1 xs por 
3
2
)
3
2
(  xx obtemos, 663 2  xx . 
Portanto, )663()
3
2
(4283)( 2231  xxxxxxxs . 
Buscando as raízes de 663)( 22  xxxs . 
31
6
366
6
1086
32
)6(3466 2







x 
Portanto, ))31(())31((3663)( 22  xxxxxs . 
 
)(1 xs
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Assim, ))31(())31(()
3
2
()2(38814143)( 234  xxxxxxxxxs . 
Para analisar o sinal do polinômio )(xs , devemos analisar o sinal dos fatores lineares 
31,31,
3
2
,2  xxxx e depois multiplicar os sinais. 
Vamos fazer a tabela de sinais, mas para isso é preciso ordenar os números reais: 
31,31,
3
2
,2  , que são as raízes do polinômio )(xs . 
Temos que: 
013131313  . 
Os números 31,
3
2
,2  são todos negativos e 
3
2
2  . 
Vamos comparar 312  e . 
31312312231  . 
Como a última afirmação da direita é verdadeira, então pelas equivalências a afirmação 231  
também é verdadeira. 
Portanto, 31
3
2
231  
 
 
10 de 21 
 
x<-1- 3 31x 231  x 2x 
3
2
2  x 
3
2
x
 
31
3
2
 x 31x x> -1+ 3 
31x  0        
2x    0      
3
2
x      0    
31x        0  
dosproduto 
sinais 
 0  0  0  0  
 
Concluímos, portanto, que 
31,31,
3
2
,208814143)( 234  xxxxxs 
),31()
3
2
,2()31,(08814143)( 234  xxxxxs 
)31,
3
2
()2,31(08814143)( 234  xxxxxs 
O polinômio 8814143)( 234  xxxxxs pode ser calculado para IR x . 
 
Observação: A fatoração do polinômio )( xs envolve o estudo de raízes racionais. )( xs tem também raízes irracionais. Para fazer o estudo do sinal 
desse polinômio foi preciso ordenar as raízes encontradas, isto é comparar números reais que estudamos na semana 3. 
 
11 de 21 
 
 
8. Determine o conjunto S de números reais para os quais o gráfico de xxxg 92)( 3  está acima 
ou intersecta o gráfico da parábola 52  xy . 
Solução: 
Para responder o que é solicitado, é preciso resolver a inequação 592 23  xxx , ou seja, a 
inequação, 0592 23  xxx . Este problema geométrico será tratado algebricamente. 
Temos, então, que estudar o sinal do polinômio 592)( 23  xxxxp . 
Pesquisando as raízes inteiras 
275)5(,315)5(,15)1(,7)1(  pppp . 
Concluímos que o polinômio )( xp não tem raízes inteiras. 
Pesquisando as raízes racionais, não inteiras 
2
105
)
2
5
(,55)
2
5
(,
2
19
)
2
1
(,0)
2
1
(  pppp . 
Concluímos que a única raiz racional do polinômio )( xp é 
2
1
x . 
Portanto, )1022()
2
1
(592)( 223  xxxxxxxp . 
Temos que 01022 2  xx , pois este trinômio do segundo grau não tem raízes reais, já que 
768041024)2(4 22  cab é negativo e0a . 
Assim, o sinal de )( xp depende apenas do sinal de 
2
1
x . 
2
1
0
2
1
0)(  xxxp 
2
1
0
2
1
0)(  xxxp 
2
1
0
2
1
0)(  xxxp 
Portanto, 





 ,
2
1
S . 
Apenas por curiosidade, veja os gráficos de xxy 92 3  e 52  xy . 
EP 07 – Gabarito Pré-Cálculo para Engenharia 
 
12 de 21 
 
 
 
9. Analise o sinal da expressão 
3
23
1
1
)(
x
xxx
xE



.
 
Solução: 
 
Fatorando o numerador 123  xxx : 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente, 1, que são 1,1  . 
Calculando: 011111)1()1()1( 23  . 
Logo, 1x é raiz do polinômio 123  xxx . Assim, )1()1(1 223  xxxxx . 
Como 112 x , então IR,012  xparax , não tem raízes reais. 
Portanto, )1()1(1 223  xxxxx está completamente fatorado em IR . 
 
Fatorando o denominador 11 33  xx : 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente, 1, que são 1,1  . 
Calculando: 0111)1( 3  . 
Logo, 1x é raiz do polinômio 13  x . Assim, )1()1()1()1(1 223  xxxxxxx . 
Temos que 012  xx , IR x , pois este trinômio do segundo grau não tem raízes reais, já que 
34111414 22  cab é negativo e 0a . 
Temos, portanto, que 
)1()1(
)1()1(
1
1
)(
2
2
3
23






xxx
xx
x
xxx
xE 
 
 
 
Organizando as informações na tabela. 
EP 07 – Gabarito Pré-Cálculo para Engenharia 
 
13 de 21 
 x<-1 1x 11  x 1x x >1 
1x  0    
12 x  +    
x1  +  0  
12  xx  +    
E(x)  0  ND  
Assim, 
E(x) > 0 Û xÎ (-1, 1 ) 
E(x) < 0 Û xÎ ( -¥ ,-1 ) È (1,+¥ ) 
E(x)= 0 Û x = -1 
E(x) não pode ser calculada para 1x . 
 
 
10. Diga para que valores de IRx , a expressão 
1
232
)(
23



x
xxx
xE pode ser calculada. 
 
Solução: 
 
A expressão 
1
232
)(
23



x
xxx
xE pode ser calculada para IR x , tal que, 0232 23  xxx e 
01 x . 
Vamos fatorar o polinômio 232)( 23  xxxxp . 
Buscando as raízes de )( xp . As possíveis raízes inteiras da equação são os divisores do termo 
independente 2 , que são 2,1  Testando 1x , obtemos 02)1(3)1(2)1( 23  . Assim, 
1x é raiz de )( xp . 
Dividindo o polinômio 232)( 23  xxxxp por 1x , obtemos 
)2()1(232)( 223  xxxxxxxp 
Note que 22  xxy nunca se anula, pois 0721414 22  cab e 022  xx , para 
IR x , pois o coeficiente 01 a . 
Portanto, o sinal do polinômio )2()1(232)( 223  xxxxxxxp depende apenas, do sinal 
de 1x . 
Logo, 
EP 07 – Gabarito Pré-Cálculo para Engenharia 
 
14 de 21 
1010)(  xxxp . 
1010)(  xxxp . 
Assim, 1010)(  xxxp 
Donde, ),1()1,1[11010232 23  xxexxexxx . Concluímos 
então que, a expressão 
1
232
)(
23



x
xxx
xE pode ser calculada para ),1()1,1[ x . 
 
 
11. Encontre os valores de IRx para os quais é possível calcular a expressão 
)2)(4(4
)3()2(
)(
45



xx
xx
xE
. 
 
Solução: 
Três condições devem ser satisfeitas, 
(I) 
(II) 
(III) 
Precisamos encontrar a solução de cada condição e depois fazer as interseções das três soluções. 
Resolvendo cada condição. 
(I) 
Como a potência de é ímpar, sabemos que 
; 
 
 
Como a potência de é par, sabemos que: 
 
 
 x< -3 x > 2 
 - 0 
 0 + 
 0 0 
 
A solução de (I) é 
 
0)3()2( 45  xx
0)2)(4(  xx
0)2)(4(4  xx
0)3()2( 45  xx
)5( x
2020)2( 5  xxx
2020)2( 5  xxx
2020)2( 5  xxx
)3( x
3030)3( 4  xxx
3030)3( 4  xxx
3x 23  x 2x
5)2( x   
4)3( x   
45 )3()2(  xx   
  ),2[31 S
EP 07 – Gabarito Pré-Cálculo para Engenharia 
 
15 de 21 
 
II) 
 
 x< -2 x > 4 
 - 0 
 0 + 
 0 0 
 
A solução de (II) é 
 
 
III) 
 
Vamos resolver a equação de grau 2: 
 
 
 
 
 
6x ou 
 
Resolução de (III) é . 
 
 
Para visualizar melhor a interseção das 3 soluções, vamos visualizar cada uma na reta real: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta em forma de intervalo: * + , ) ( ) 
 
 
12. Analise o sinal da expressão 
xx
xx
xE
2
12
)(
2
23


 e diga para que valores de IRx , a expressão 
xx
xx
xE
2
12
)(
2
23
1


 pode ser calculada. 
 
 
0)2)(4(  xx
2x 42  x 4x
)4( x   
)2( x   
)2)(4(  xx   
),4[]2,(1 S
16)2)(4(4)2)(4(0)2)(4(4  xxxxxx
16)2)(4(  xx
16)2)(4(  xx
168422  xxx
02422  xx
2
102
2
9642 


x
4x
 64:3  xexxS lR
:1S
:2S
:3S
:321 SSS 
 
 
 
 
 
EP 07 – Gabarito Pré-Cálculo para Engenharia 
 
16 de 21 
Solução: 
Para que possa ser calculada é preciso que o radicando, 
 seja positivo ou nulo e o denominador não se anule. 
Portanto queremos que e . 
Mas, . 
 
Vamos encontrar as raízes da equação . 
As possíveis raízes inteiras são os divisores do termo independente , que são . 
Testando , obtemos: . Logo, é raiz da equação. 
Dividindo, obtemos 
 
Assim, . 
Analisando 
. 
 
Analisando o sinal da expressão . 
Os valores de que anulam o numerador ou o denominador são: . 
Precisamos ordenar esses números : 
 
xx
xx
xE
2
21
)(
2
23
1



xx
xx
xE
2
21
)(
2
23


 xx 22 
0
2
21
)(
2
23




xx
xx
xE 022  xx
200)2(022  xexxxxx
012 23  xx
1 11  e
1x 01211121 23  1x
)1()1(12 223  xxxxx
01010)1()1(012 2223  xxouxxxxxx
012  xx
2
51
2
411
12
)1(14)1()1(
01
2
2 




 xxx
)2(
)1()1(
2
12
)(
2
2
23






xx
xxx
xx
xx
xE
lRx
2
51
;
2
51
;1;2;0

2
2
51
10
2
51




17 de 21 
 
 x <
1 - 5
2
 x > 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, o sinal da expressão é o seguinte. 
. 
. 
. 
. 
xx
xx
xE
2
21
)(
2
23



2
51
1
2
51
0
2
21
)(
2
23 





 xouxoux
xx
xx
xE
),2()
2
51
,1()0,
2
51
(0
2
21
)(
2
23







 x
xx
xx
xE
)2,
2
51
()1,0()
2
51
,(0
2
21
)(
2
23 





 x
xx
xx
xE
20paracalculadaserpodenão
2
21
)(
2
23



 xex
xx
xx
xE
18 de 21 
Como queremos que e , então, 
. 
Logo, os valores de , para os quais a expressão pode ser calculada são 
os valores de , tais que . 
 
 
13. Resolva em IR , as seguintes inequações. 
a. 
32
2 21
xx
xx


 
b. 
1
22



x
x
 
 
Solução: 
 
a. Para que a inequação 
32
2 21
xx
xx


 possa ser resolvida é preciso que 0x , para que os 
denominadores não se anulem. 






0
2)1(
0
2121
3
2
32
2
32
2
x
xxx
xx
xx
xx
xx
 
0
2
3
23


x
xxx
. 
Vamos fatorar o polinômio 2)( 23  xxxxp . 
As possíveis raízes inteiras são os divisores do termo independente 2 , que são 2,2,1,1  . 
Testando 1x , obtemos: 032)1()1()1( 23  . Logo, 1x não é raiz do 
polinômio )(xp . 
Testando 1x , obtemos: 032)1()1(1 23  . Logo, 1x não é raiz do polinômio )(xp . 
Testando 2x , obtemos: 02)2()2(2 23  . Logo, 2x é raiz do polinômio )(xp . 
Fatorando, obtemos: 
)1()2(2 223  xxxxxx . 
O trinômio do segundo grau 12  xx não tem raízes reais, pois 011414 22  cab . Como o 
coeficiente a de 2x é 1, positivo, então IR,012  xxx . 
 
 
0
2
21
)(
2
23




xx
xx
xE 02
2  xx
 







 








 
 ,2
2
51
,10,
2
51
x
IRx
xx
xx
xE
2
12
)(
2
23
1



IRx  







 








 
 ,2
2
51
,10,
2
51
x
EP 07 – Gabarito Pré-Cálculo para Engenharia 
 
19 de 21 
Analisando o sinalda expressão: 
3
2
3
23 )1()2(2
x
xxx
x
xxx 


 
 
 x <0 0x 20  x 2x x > 2 
2x    0  
12  xx      
3x  0    
3
23 2
x
xxx 
  ND  0  
 
Assim, )2,0(0
2
3
23


x
x
xxx
. 
 
b. Para que a inequação 
1
22



x
x possa ser resolvida é preciso que o denominador 1x 
seja diferente de zero. Mas, 
11101  xexxx . 
Vamos analisar x . 
I) Se 0x então xx  . Portanto, 











 0
1
2
0
1
2
1
2
1
2 2222
x
x
x
x
x
x
x
x 
0
1
2
0
1
2)1( 232






x
xx
x
xx
. 
Vamos fatorar o polinômio 2)( 23  xxxp . 
As possíveis raízes inteiras são os divisores do termo independente 2 , que são 2,2,1,1  . 
Testando 1x , obtemos: 02)1()1( 23  . Logo, 1x é raiz do polinômio )(xp . 
Fatorando, obtemos: 
)22()1(2 223  xxxxx . 
O trinômio do segundo grau 222  xx não tem raízes reais, pois 0214)2(4 22  cab . Como 
o coeficiente a de 2x é 1, positivo, então IR,0222  xxx . 
Analisando o sinal da expressão: 
1
)22()1(
1
2 223





x
xxx
x
xx
, para 0x . 
 0x 10  x 1x 1 <x 
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20 de 21 
 
 
 
 
 
Logo, para 0x , temos que ),1(0
1
223



x
x
xx
. 
II) Se 0x então xx  . Portanto, 










 0
1
2
1
2
1
2
1
2 2222
x
x
x
x
x
x
x
x 
0
1
2
0
1
2)1( 232






x
xx
x
xx
. 
Vamos fatorar o polinômio 2)( 23  xxxq . 
As possíveis raízes inteiras são os divisores do termo independente 2 , que são 2,2,1,1  . 
Testando 1x , obtemos: 022)1()1( 23  . Logo, 1x não é raiz do polinômio )(xq . 
Testando 1x , obtemos: 0211 23  . Logo, 1x é raiz do polinômio )(xq . 
Fatorando, obtemos: )22()1(2 223  xxxxx . 
O trinômio do segundo grau 222  xx não tem raízes reais, pois 021424 22  cab . Como o 
coeficiente a de 2x é 1, positivo, então IR,0222  xxx . 
Analisando o sinal da expressão: 
1
)22()1(
1
2 223





x
xxx
x
xx
, para 0x . 
 x < -1 1x 01  x 
1x    
222  xx    
1x  0  
1
223


x
xx
  nd  
Logo, para 0x , temos que: )1,(0
1
223



x
x
xx
. Portanto, 
),1()1,(
1
22 


 x
x
x . 
 
 
1x     
222  xx     
1x   0  
1
223


x
xx
   nd  
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