Material 01 - Fatoração de Polinômios - GABARITO

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Material 01 – Polinômios e Fatoração – Gabarito Complementos de Matemática I 
 
 
Material 01 – Polinômios e Fatoração - Gabarito 
 
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Exercício 1: O livro "Al-Jabr Wa’l mugãbalah" escrito pelo matemático árabe al-Khwarizmi, que 
morreu antes de 850, tem grande importância na história da Matemática. O nome deste autor 
originou a palavra algarismo e a primeira palavra do título do livro, cujo significado, não se sabe ao 
certo, originou o termo álgebra, pois foi por esse livro que mais tarde a Europa aprendeu o ramo da 
Matemática que hoje tem esse nome. Um dos vários problemas que ilustram tal livro pede que se 
divida o número 10 em duas partes de modo que "a soma dos produtos obtidos, multiplicando 
cada parte por si mesma, seja igual a 58 ". Resolva-o. 
Solução: 
Sejam zex , tais que 10 zx e 5822  zx . 
Mas, xzzx  1010 . 
Substituindo xz  10 em 5822  zx , obtemos: 58)10( 22  xx . 
Mas,  042202582010058)10( 22222 xxxxxxx 









2
1610
12
8410010
12
2114)10(10
02110
2
2 xxx
37
2
410


xoux . 
Então, dividimos 10 em duas partes, tal que: 3710  e 5894937 22  . 
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Exercício 2: Uma fatia com 3 cm de espessura é cortada paralelamente a uma das faces de um 
cubo, deixando um volume de 3cm196 . Encontre o comprimento do lado do cubo original. 
 
Solução: 
Seja IRx , tal que o lado do cubo mede x cm. Se uma fatia de 3 cm de espessura é cortada 
paralelamente a uma das faces desse cubo, o novo paralelepípedo tem a seguinte forma: base 
quadrada de lado medindo x cm. Altura medindo 3x cm 
O volume desse paralelepípedo é 32 cm196)3()3(  xxxxx . 
Resolvendo a equação 196)3(2  xx : 
01963196)3( 232  xxxx 
Os divisores do termo independente são 72 e . Testando se são raízes: 
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0200196232 23  . Logo, 2x não é solução da equação dada. 
0196737 23  . Logo, 7x é solução da equação dada. 
Dividindo 1963 23  xx por 7x obtemos 2842  xx . Mas, para esse trinômio do segundo 
grau, 2842  xx , temos 011216281444 22  cab . Portanto, 2842  xx não tem 
raízes reais. Assim, a única raiz solução real da equação 01963 23  xx é 7x . 
Logo, o comprimento do lado do cubo original é 7x cm. 
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Exercício 3: Diga quais das expressões abaixo são polinômios: 
a) 2
2
1
2)( 35  xxxxp b) 5)( xt c) 53)( 2
1
3
1
 xxxq 
d) 32)( 134   xxxxs e) 
5
34
)(
3
25



x
xx
xr . 
Solução: 
a) É um polinômio de grau 5 com coeficientes reais. 
b) É um polinômio constante, grau zero. 
c) e d) Não são polinômios, pois há expoentes da variável x que não são números inteiros, 
maiores ou iguais a 0. 
e) Não é um polinômio, mas sim um quociente de polinômios. 
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Exercício 4: Determine os valores de cba ,, , números reais, que tornam os polinômios )( xp e 
)( xq iguais: 
)1()1()1()1()(  xxcxxbxxaxp e 53)( 2  xxq . 
 
Solução: Os polinômios )( xp e )( xq são iguais se os seus coeficientes ia da ésimai  potência 
2,1,0, ix i , são iguais. 
Como, 
)1()1()1()1()1()( 222  xcxbxbxaxaxxcxxbxxaxp 
cxbaxcbaxp  )()()( 2 . 
Então, para que os polinômios )( xp e )( xq sejam iguais, é preciso que: 








5
0
3
c
ba
cba









5
352
c
ba
a
 51  ceba 
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Exercício 5: Faça as operações indicadas: 
a) 23 )14(2)14(  xx b) 44)( xhx  . 
Solução: 
a)  )1816(2)11431)4(3)4(()14(2)14( 2322323 xxxxxxx 
3288064216321124864 23223  xxxxxxxx . 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) 43223443223444 464464)( hhxhxhxxhhxhxhxxxhx  . 
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Exercício 6: Determine o quociente e o resto da divisão dos polinômios )( xp e )( xs nos seguintes 
casos: 
a) 3423)( 345  xxxxxp 12)( 3  xxxs 
b) 121143)( 2345  xxxxxxp )54()( 22  xxxxs . 
 
Solução: 
a) 3423 345  xxxx 123  xx 
235 363 xxx  83 2  xx 
3438 234  xxxx 
xxx  24 2 
3558 23  xxx 
8168 3  xx 
11215 2  xx 
Neste caso, o quociente é 83)( 2  xxxq e o resto é 11215)( 2  xxxr . 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) 121143 2345  xxxxx 234 54 xxx  
345 54 xxx  1x 
12119 234  xxxx 
234 54 xxx  
121145 23  xxx 
Neste caso, o quociente é 1)(  xxq e o resto é 121145)( 23  xxxxr . 
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Exercício 7: Determine IRa , de modo que o polinômio 
axaxaxaxp 4)23()12()( 23  
seja divisível por 1)(  xxs e em seguida, obtenha o quociente da divisão. 
 
Solução: 
O polinômio axaxaxaxp 4)23()12()( 23  será divisível por 1)(  xxs , se e 
somente se 0)1( p . 
Mas, 
3104231241)23(1)12(1)1(0 23  aaaaaaaaap . 
Donde, 
10
3
a e, portanto, 
10
12
10
11
10
4
10
3
)( 23  xxxxp . 
Vamos usar o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir )( xp por 1)(  xxs . 
 
10
12
10
11
10
4
10
3

1
 
10
12
10
1
10
3

0
 
 
O quociente procurado é: 
10
12
10
1
10
3
)( 2  xxxq . 
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Exercício 8: Fatore os seguintes polinômios: 
a) 352)( 2  xxxp b) 352)( 23  xxxxp 
c) 1)( 4  xxp d) 611692)( 234  xxxxxp 
e) 158)( 24  xxxp f) 4472)( 234  xxxxxp 
g) 1)( 4  xxp . 
 
Solução: farei a solução com detalhes, para que vocês possam entender os resultados que foram 
usados. 
 
 
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a) )3()12()3()
2
1
(2)
2
3
2
5
(2352)( 22  xxxxxxxxxp . Bastou encontrar as 
raízes do trinômio do segundo grau. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) 352)( 23  xxxxp . 
Como )( xp é um polinômio de grau ímpar 3, possui pelo menos uma raiz real. 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 3 , que são: 
3,3,1,1  . Calculando )3(,)3(,)1(,)1( pppp  , vemos que não são zero. Logo esse 
polinômio não tem raízes inteiras. 
As possíveis raízes racionais, não inteiras, desse polinômio são os divisores do termo independente 
3 , que são: 3,3,1,1  , divididos pelos divisores, diferentes de 1,1  , do coeficiente do 
termo de maior grau, que são 2,2  . Calculando )
2
1
(p , vemos que 0)
2
1
( p . 
Dividindo )(xp por 
2
1
x , obtemos; 
)3()12()3()
2
1
(2)622()
2
1
(352)( 22223  xxxxxxxxxxxxxp . 
O trinômio do segundo grau, )3( 2  xx , não possui raízes reais e é, portanto, irredutível nos 
reais. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) )1()1()1()1()1(1)(1)( 222224  xxxxxxxxp. 
Observe que estamos tratando o polinômio 1)( 4  xxp , como um trinômio do segundo grau na 
variável 2x e que 1 e 1 são as raízes desse trinômio do segundo grau. O trinômio do segundo 
grau, 12 x , não possui raízes reais e é, portanto, irredutível nos reais. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
d) 611692)( 234  xxxxxp . 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 6 , que são: 
6,6,3,3,2,2,1,1  . Calculando )1(p , vemos que 0)1( p . 
Dividindo )(xp por 1x , obtemos; 
)617112()1(611692)( 23234  xxxxxxxxxp . 
Como 617112)( 231  xxxxp é um polinômio de grau impar, 3, possui pelo menos uma raiz 
real. 
As possíveis raízes inteiras do polinômio 617112)( 231  xxxxp são os divisores do termo 
independente 6 , que são: 6,6,3,3,2,2,1,1  . Calculando )2(1p , vemos que 
0)2(1 p . 
Dividindo )2(1p por 2x , obtemos; 
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)372()2(617112)( 2231  xxxxxxxp . 
 
Agora é só tentar fatorar o polinômio 372)( 22  xxxp , o que é possível e resulta em 
)3()12()3()
2
1
(2)
2
3
2
7
(2372)( 222  xxxxxxxxxp . 
Portanto a fatoração procurada é: 
)3()12()2()1(611692)( 234  xxxxxxxxxp . 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
e)
)5()5()3()3()5()3(158)(158)( 2222224  xxxxxxxxxxxp 
Observe que estamos tratando o polinômio 158)( 24  xxxp , como um trinômio do segundo 
grau na variável 2x e que 3 e 5 são as raízes desse trinômio do segundo grau. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
f) 4472)( 234  xxxxxp . 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 4 , que são: 
4,4,2,2,1,1  . Calculando )1(p , vemos que 0)1( p . 
Dividindo )(xp por 1x , obtemos; 
)482()1(4472)( 23234  xxxxxxxxxp . 
Como 482)( 231  xxxxp é um polinômio de grau impar, 3, possui pelo menos uma raiz real. 
As possíveis raízes racionais do polinômio 482)( 231  xxxxp são os divisores do termo 
independente 4 , que são: 4,4,2,2,1,1  , divididos pelos divisores do coeficiente do 
termo de maior grau, que são 2,2,1,1  . Logo, as possíveis raízes racionais de )(1 xp são: 
2
1
,
2
1
,4,4,2,2,1,1  . Aqui estamos incluindo também as raízes inteiras, que também 
são racionais. Calculando 15)1(1 p , 5)1(1 p , 40)2(1 p , 24)2(1 p , 180)4(1 p , 
140)4(1 p , 
2
17
)
2
1
(1 p , 0)
2
1
(1 p , vemos que 0)
2
1
(1 p . 
Dividindo )(1 xp por 
2
1
x , obtemos; 
)82()
2
1
(482)( 2231  xxxxxxp . 
Como o trinômio do segundo grau, 82 2 x , não possui raízes reais e é, portanto, irredutível nos 
reais, nada mais temos a fatorar, logo, 
)82()
2
1
()1(4472)( 2234  xxxxxxxxp . 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
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g) 1)( 4  xxp 
Como esse polinômio tem coeficientes inteiros e é mônico (o coeficiente do termo de maior grau é 
1 ), se tiver raízes racionais, elas têm que ser inteiras e estar entre os divisores do termo 
independente 1 , que são: 1,1  . 
Como 02)1()1(  pp então esse polinômio não tem fatores lineares na sua fatoração em IR . 
A sua fatoração só terá fatores quadráticos irredutíveis. Podemos tentar a seguinte fatoração, onde 
a e b são números reais: 
1)()2()()1()1(1)( 234224  xbaxbaxbaxxbxxaxxxp . 
Da igualdade de polinômios, segue que: 
 
2202
0202
0
22 











aaa
ab
ab
ab
ba
ou
2a . 
 
Se 2a então 2b . 
Se 2a então 2b . 
 
Portanto, a fatoração pedida é: 
 
)12()12(1)( 224  xxxxxxp . 
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Exercício 9: Será 3x um fator do polinômio 2187)( 7  xxp ? Justifique sua resposta. 
Solução: 
Se 3x for um fator do polinômio 2187)( 7  xxp , então )()3()( xqxxp  , e assim, 
3x , será uma raiz do polinômio 2187)( 7 xxp . Basta então verificar se 0)3( p . 
Calculando: 
0218721872187)3()3( 7 p . 
Portanto, 3x é um fator do polinômio 2187)( 7  xxp . 
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Exercício 10: Considerando o que você aprendeu sobre polinômios, responda: existe algum número 
racional que seja igual ao seu cubo mais um? 
Solução: 
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Consideremos x um número racional. Se este número racional x , é igual ao seu cubo mais um, 
então podemos escrever que 13  xx . Mas, 011 33  xxxx . 
Considerando o polinômio 1)( 3  xxxp , sabemos que as possíveis raízes racionais desse 
polinômio são inteiras, pois o coeficiente do monômio de mais alto grau, 3x , é. 1 . Essas possíveis 
raízes inteiras estão entre os divisores do termo independente, 1 , que são 1 e 1 . 
Calculando )1(p e )1(p : 
 
011111)1()1()1( 3 p e 
01111111)1( 3 p . 
Vemos, portanto, que esse polinômio não possui raízes racionais. 
Concluímos assim, que não existe número racional que seja igual ao seu cubo mais um.