ELEMENTOS DE EUCLIDES n135

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EUCLIDES
(Pr. 14.11.) entre si. Logo, o plano, que passa pelas. retas AB, BC, é paralelo 
ao plano, que passa pelas retas. DE, EF.
PROP. XVI. TEOR.
Se dois planos paralelos forem cortados por outro plano 
as seções comuns dêstes planos serão paralelas (Fig. 15.).
Sejam cortados os dois planos paralelos AB, CD pelo plano EFHG, e 
sejam as retas EF, GH as seções comuns dêstes planos. Digo que as retas EF, 
GH são paralelas.
Se as retas EF, GH não são paralelas, produzidas devem concorrer, ou 
para a parte FH, ou para a parte oposta EG. Sejam, por exemplo, produzidas 
para a parte FH, e concorram no ponto K. Como a reta EFK existe no plano AB, 
qualquer ponto dela, como o ponto K, deve existir no mesmo plano. Pela 
mesma razão, o ponto K deve também existir no plano CD. Logo, os planos 
AB, CD produzidos concorrem entre si. Mas isto é contra a suposição de serem 
paralelos os planos AB, CD. Logo, as retas EF, GH não concorrem para a parte 
FH, por mais que sejam produzidas. Com o mesmo discurso podemos 
demonstrar que as mesmas retas EF, GH, produzidas para a parte EG, nunca 
poderão concorrer entre si. Logo, são paralelas.
PROP. XVII. TEOR.
Se duas linhas retas forem cortadas por diferentes planos 
todos entre si paralelos, estas retas ficarão tôdas divididas na 
mesma razão (Fig. 16.).
Sejam cortadas as duas retas AB, CD pelos planos paralelos GH, KL, MN 
nos pontos A, E, B; C, F, D. Digo que, será AE:EB::CF:FD. 
Tirem-se as retas AC, BD, AP, e encontre a reta AD o plano KL no ponto 
X. Tirem-se também as retas EX, XF. Como os dois planos paralelos KL, MN 
são cortados pelo plano EBDX, serão paralelas (Pr. 16.11.) entre si as seções 
comuns EX, BD. Pela mesma razão, porque os dois planos paralelos GR, KL 
são cortados pelo plano AXFC, devem ser também paralelas as seções comuns 
AC, XF. Sendo pois no triângulo ABD a reta EX paralela ao lado BD, será 
AE:EB::AX:XD (Pr. 2.6.). E no triângulo ADC, será AX:XD::CF:FD.Mas temos 
visto ser AX:XD::AE:EB. Logo, será AE:EB::CF:FD (Pr. 11.5.).
PROP. XVIII. TEOR.
Se uma linha reta cair perpendicularmente sôbre um 
plano, todos os planos, que passarem pela dita reta, serão 
perpendiculares ao dito plano (Fig. 17.).
Caia a reta AB perpendicularmente sôbre o plano CK. Digo que todos os 
planos conduzidos pela reta AB são perpendiculares ao plano CK.
Seja conduzido pela reta AB o plano DE, e seja a reta CE a seção 
comum dos planos DE, CK. Tome-se na reta CE o ponto F, como se quiser; e 
ELEMENTOS DE GEOMETRIA 135