Geometria Atividade 3

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qualquer, reta horizontal, reta frontal, reta de topo, reta vertical, reta fronto horizontal, e reta
de perfil. Em relação aos planos temos dois que são perpendiculares entre si e ilimitados, o
vertical e o horizontal. Para obter a verdadeira grandeza de restas e faces, é preciso projetá-
las em u m plano auxiliar q ue lhe seja paralelo. Para isso é preciso mudar a posição de um
dos planos de projeção, plano horizontal de projeção ou plano vertical de projeção, ou os
dois um após o outro, de forma que fique paralelo à face inclinada. Assim o objeto
permanece fixo e os planos de projeção mudam de posição.
https://www.ensinoeinformacao.com/geo metria-descritiva-tipos-de-reta
http://www.einsteinlimeir a.com.br/painel/uploads/13_03_2012__23_59_23aula_4_-
__projecoes_mongeanas_-_teoria.pdf
http://www.uel.br/cce /mat/geometrica/php/gd_t/gd_9t.php
http://www.uel.br/cce /mat/geometrica/php/gd_t/gd_17t.php
Introdução
Quando o objetivo é representar objetos no espaço utilizando as técnicas de projeção ortogonal no diedro, rebatendo os planos e formando a épura, ocorre que nem todos os objetos que desejamos estudar (ou criar) estarão paralelos aos planos de projeção vertical e horizontal, o que dificulta a análise das verdadeiras grandezas do objeto. Por isso, é importante estudar paralelismo, perpendicularismo, interseções entre retas e planos com os planos de projeção e mudança de planos de projeção. A mudança de plano de projeção consiste em uma técnica na qual é possível mudar a orientação dos planos de projeção, como se estivesse rotacionando o diedro com a finalidade de obter a verdadeira grandeza de elementos do objeto.
Interseções em Geometria Descritiva
No estudo de objetos no espaço utilizando a técnica de projeção ortogonal a um diedro, são projetados os elementos que compõem o objeto. Consideramos dois planos de projeção: o vertical e o horizontal. É necessário analisar as posições entre retas e planos do objeto com os planos de projeção ortogonal, o que inclui a interseção entre retas e planos.
Posições entre Retas e Planos
Com relação à orientação de planos no espaço e suas posições em relação ao diedro, os planos podem ser: horizontal, frontal, de perfil, de topo, vertical, qualquer e paralelo à linha de terra. Com relação a cada tipo de plano, teremos três tipos de reta (no plano qualquer, são quatro tipos).
Retas no Plano Horizontal
No plano horizontal, só será possível encontrar retas que sejam paralelas ao plano horizontal como retas horizontais, de topo ou retas fronto-horizontais. E, para retas horizontais ou retas de topo, a projeção vertical dessas retas será coincidente com a interseção entre o plano horizontal e o plano de projeção vertical.
Figura 3.1 - Reta horizontal contida em um plano horizontal  
Fonte: Elaborada pela autora.
Retas no Plano Frontal
No plano frontal, só será possível encontrar retas que sejam paralelas ao plano de projeção vertical, como as retas frontal, vertical e retas fronto-horizontais. Nas retas tipo frontal ou tipo vertical, a projeção horizontal será coincidente com a interseção do plano frontal com o plano horizontal de projeção.
Figura 3.2 - Reta frontal contida em um plano frontal
Fonte: Elaborada pela autora.
Retas no Plano de Perfil
No plano de perfil, só ocorrem retas que sejam ortogonais à linha de terra (porque o plano de perfil é perpendicular aos dois planos de projeção), como retas de perfil, retas verticais e retas de topo. A abscissa de todos os pontos dessas retas será a mesma abscissa do plano de perfil (pois é onde o plano de perfil intercepta a linha de terra).
Figura 3.3 - Reta de topo contida em um plano de perfil
Fonte: Elaborada pela autora.
Retas no Plano de Topo
Como o plano de topo é perpendicular ao plano vertical de projeção e oblíquo ao plano horizontal de projeção, só será possível encontrar nesse plano retas de topo, do tipo frontal ou qualquer. Nas retas de topo, a projeção vertical da reta irá coincidir com a interseção do plano de topo com o plano vertical de projeção.
Nas retas frontais, a projeção vertical irá coincidir com a interseção do plano de topo com o plano vertical de projeção, assim como a projeção horizontal da reta irá coincidir com a interseção do plano de topo com o plano horizontal de projeção.
Nos casos de retas do tipo qualquer, a projeção vertical da reta irá coincidir a interseção do plano de topo com o plano vertical de projeção.
Figura 3.4 - Reta qualquer contida em um plano de topo
Fonte: Elaborada pela autora.
Retas no Plano Vertical
No plano vertical, as retas devem ser perpendiculares ao plano horizontal de projeção ou oblíquas ao plano vertical de projeção, por isso só é possível encontrar retas do tipo vertical, ou horizontal ou qualquer. No caso das retas verticais, a projeção horizontal irá coincidir com a interseção do plano vertical com o plano horizontal de projeção. Nas retas horizontais ou do tipo qualquer, terão sua projeção horizontal coincidindo com a interseção do plano vertical com o plano horizontal.
Figura 3.5 - Reta horizontal em um plano de vertical
Fonte: Elaborada pela autora.
Retas no Plano Qualquer
O plano qualquer é oblíquo aos planos de projeção, por isso as retas que pertencem a esse tipo de plano são oblíquas a pelo menos um dos planos de projeção. Dessa forma, no plano qualquer, podemos encontrar retas: de perfil, horizontal, frontal ou qualquer.
Figura 3.6 - Reta qualquer em um plano qualquer
Fonte: Elaborada pela autora.
Retas no Plano Paralelo à Linha de Terra
Um plano paralelo à linha só poderá conter retas paralelas à linha de terra ou oblíquas aos dois planos de projeção, como retas de perfil, retas do tipo qualquer e fronto-horizontal.
Figura 3.7 - Reta qualquer contida em um plano paralelo à linha de terra
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 3.8 - Reta de perfil em um plano paralelo à linha de terra
Fonte: Elaborada pela autora.
Interseção de uma Reta com um Plano
Quando uma reta intercepta um plano forma um ponto de interseção. Para definir esse ponto de interseção, é necessário traçar um plano auxiliar que contenha a reta, para determiná-la.
Posições entre Planos
A posição entre dois planos no espaço pode ser paralela ou secante (quando se interceptam). E quando dois planos se interceptam, a interseção forma uma reta no espaço.
Figura 3.9 - Posição entre planos
Fonte: Elaborada pela autora.
A reta da interseção dos planos pertence aos dois planos simultaneamente, e essa estará sempre na interseção entre suas projeções com os planos de projeção.
Problemas Planimétricos Descritivos
Os problemas planimétricos descritivos envolvem obter informações sobre posição de retas nos planos, ou obter a interseção entre reta e plano ou a interseção de entre planos.
Um exemplo é obter a reta que define a interseção entre dois planos que não se interceptam no 1° Diedro. Para isso, é necessário prolongar os traços dos dois planos para obter a reta correspondente à interseção entre eles.
Figura 3.10 - Obtenção da reta de interseção entre dois planos α e β que não se interceptam no 1° Diedro
Fonte: Elaborada pela autora.
Observe que os planos se interceptam fora do primeiro diedro (do primeiro triedro também), e é necessário representar essa interseção fora do primeiro diedro. Isso é realizado prolongando as retas que formam as projeções dos planos na épura e representando com tracejado a parte dessas retas que está fora do primeiro diedro.
praticar
Vamos Praticar
As representações de planos e retas no espaço utilizando a técnica mongeana considera as projeções ortogonais dessas retas e desses planos nos planos de projeção vertical e horizontal. Pelas projeções, é possível analisar relações de paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos. Assinale a alternativa que descreve as posições que dois planos podem ser entre si.
Parte superior do formulário
a) Paralelas ou reversas.
b) Secantes e concorrentes.
c) Paralelas,secantes ou concorrentes.
d) Paralelos ou secantes.
e) Paralelas e concorrentes
Parte inferior do formulário
Paralelismo e Perpendicularismo em Geometria Descritiva
As retas e os planos no espaço podem ser paralelos ou se interceptarem. Quando se interceptam, é possível verificar se existe uma condição de perpendicularidade entre reta e plano ou entre dois planos no espaço distinto dos planos de projeção.
Paralelismo entre Retas e Planos
Uma reta é paralela a um plano quando essa reta é paralela a uma reta contida nesse plano. Não há regra em relação às interseções do plano com os planos de projeção. Então, em um problema no qual temos um plano β e um ponto A externo ao plano β, como obter uma reta paralela ao plano β passando por A? Nesse caso, a solução é traçar uma reta no plano e depois utilizar essa reta para desenhar uma reta com mesma direção, mas que passe pelo ponto A.
Também pode ocorrer o contrário: o problema dar uma reta e solicitar que encontre um plano paralelo à reta dada. Nesse caso, o processo é semelhante, pois a reta dada será utilizada para dar a direção de uma nova reta na qual será construído o plano. 
Perpendicularismo entre Retas e Planos
Para verificar se um plano α é perpendicular a uma reta s, é necessário que essa reta seja perpendicular a duas retas concorrentes contidas no plano α.
Na épura, a reta perpendicular a um plano terá suas projeções perpendiculares às interseções dos planos com os planos de projeção. No GeoGebra, defina os pontos onde as projeções da reta s irão passar e use a função de desenhar uma reta perpendicular.
Figura 3.11 - Reta sperpendicular ao plano α
Fonte: Elaborada pela autora.
Essa regra só não vale para os planos que passam pela linha de terra ou são paralelos à linha de terra. Nesses casos, primeiro se precisa verificar se a reta é de perfil, porque só uma reta de perfil poderá ser perpendicular a esses dois tipos de plano. Em seguida, traçar um plano auxiliar e rebater para ver se forma o ângulo de 90°. 
Plano Paralelo a outro Plano
Para verificar se um plano α é paralelo a outro plano β, é necessário provar que, se no plano α tiver pelo menos duas retas concorrentes, essas serão paralelas ao plano β. Isso serve para quase todos os tipos de planos, menos os paralelos à linha de terra que sempre possuem interseções com os planos de projeção que formam retas paralelas às linhas de terra.
Imagine o seguinte problema planimétrico descritivo: trace um plano paralelo ao plano α que passe pelo ponto A dado.
Para resolver esse problema, vamos usar a função do GeoGebra de traçar uma reta paralela à outra reta que passe por um ponto dado.
Figura 3.12 - Função no GeoGebra que traça uma reta paralela a outra reta que passe por ponto
Fonte: Elaborada pela autora.
Primeiro, usa-se a função de reta paralela que passa por um ponto para definir a projeção horizontal de s (várias possibilidades). Agora, basta traçar uma paralela a απ' que passe pelo ponto L. Assim, vai definir onde o plano β intercepta a linha de terra. Agora, para definir o resto do plano β(na cor bordô), trace uma paralela a απ'' que passe pelo ponto N.
Figura 3.13 - Solução: traçar uma reta paralela a outra reta que passe por ponto
Fonte: Elaborada pela autora.
Plano Perpendicular a outro Plano
Para verificar se dois planos são perpendiculares entre si, é necessário que um dos planos contenha uma reta que seja perpendicular ao outro plano (o que recai no problema de reta perpendicular a um plano).
Como desenhar um plano perpendicular a um plano dado? Na épura, é necessário traçar uma reta perpendicular ao plano dado e depois traçar um plano que contenha a reta.
reflita
Reflita
Vimos a representação de retas e planos no diedro, mas como encontrar a verdadeira grandeza de objetos cujos detalhes estão em planos que não estão paralelos a nenhum plano de projeção? Imagine você elaborando o projeto de uma peça que deverá ser encaixada em um motor de carro com design já definido, onde o espaço é restrito semelhante a um diedro interceptado por um plano qualquer. Como planejar a peça para se encaixar nesse espaço? E como representar os detalhes da peça para ser construída, considerando que um erro de projeto pode custar caro, pelo desenvolvimento do molde, custo de material, pessoal e logística (isso quando o erro é percebido antes da entrega do produto final, caso contrário teria custos com recall)?
Fonte: Elaborado pela autora.
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Vamos Praticar
No estudo de retas e planos no espaço, é necessário conhecer algumas definições para resolver problemas planimétricos descritivos. Como para definir uma reta basta ter dois pontos e para definir um plano basta ter três pontos não colineares, quais são as posições possíveis entre retas e planos não coplanares?
Parte superior do formulário
a) Paralelos ou concorrentes.
b) Paralelas, ortogonais e reversas.
c) Reversas e ortogonais.
d) Paralelos ou perpendiculares somente.
e) Concorrentes e perpendiculares somente.
Parte inferior do formulário
Métodos Descritivos: Mudança de Plano
Quando um objeto no espaço possui detalhes que estão em um plano que não é paralelo a nenhum dos planos de projeção, é possível realizar uma técnica na qual é alterada a orientação de um dos planos de projeção com a finalidade de mostrar os detalhes do objeto. Dessa forma, é obtida uma nova orientação e uma nova linha de terra. Todas essas informações são importantes para leitura e interpretação de projetos.
Mudança de Plano
A técnica de mudança de plano é para mudar de plano de orientação, a fim de obter um novo plano de projeção vertical ou um novo plano de projeção horizontal. Isso geralmente ocorre pela necessidade em obter a verdadeira grandeza de algum elemento, seja um segmento de reta, seja uma face de um objeto. Para isso, é necessário construir um plano auxiliar que seja paralelo ao objeto que se deseja obter a verdadeira grandeza. É um método no qual o objeto fica parado no espaço enquanto é alterada a orientação do (s) plano (s) de projeção.
Figura 3.14 - Mudança de plano: exemplo de mudança de plano vertical
Fonte: Elaborada pela autora.
Verdadeira Grandeza de Retas Oblíquas
Para obter a verdadeira grandeza de retas ou segmentos de retas oblíquas aos planos de projeção, é necessário alterar um dos planos de projeção para que fique paralelo à reta ou ao segmento de reta. Dessa forma, a verdadeira grandeza estará projetada nesse novo plano de orientação.
Figura 3.15 - Construindo um plano auxiliar de orientação paralelo a uma reta oblíqua aos planos de projeção
Fonte: Elaborada pela autora.
Problemas Descritivos Planimétricos
Um exemplo de problema descritivo planimétrico envolvendo obter a verdadeira grandeza de um segmento oblíquo é: como obter a verdadeira grandeza de um segmento de reta que é oblíquo aos planos de projeção?
Figura 3.16 - Segmento de reta oblíquo aos planos de projeção
Fonte: Elaborada pela autora.
Para obter a VG (verdadeira grandeza) dessa reta, é necessário construir uma nova linha de terra paralela à projeção horizontal (A'B'). A partir da nova LT (linha de terra), trace linhas de chamada perpendiculares à nova linha de terra e que passem pelos pontos A' e B'. Em seguida, transporte as cotas de A e B para as linhas de chamada desse novo plano vertical de projeção (π′′1π1″).
Figura 3.17 - Obtendo a verdadeira grandeza de uma reta oblíqua
Fonte: Elaborada pela autora.
Lembre-se de que, para usar a função compasso no GeoGebra, é necessário que os pontos de centro e raio já estejam desenhados. Então, antes de usar a função compasso, marque dois pontos com a distância que deseja transportar. Pode marcar no eixo cartesiano de orientação.
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Vamos Praticar
A técnica de mudança de plano é para mudar de plano de orientação, a fim de obter um novo plano de projeção vertical ou um novo plano de projeção horizontal, com uma nova linha de terra. É como se o objeto que está sendo projetado ficasse imóvel no espaço enquanto a orientação dos planos de projeção é alterada. Qual é o principal objetivo para aplicar a técnicade mudança de plano?
Parte superior do formulário
a) Para obter o verdadeiro plano que irá sustentar o objeto.
b) Para obter o verdadeiro plano de projeção.
c) Para obter uma nova posição do objeto no espaço.
d) Para obter a verdadeira linha de terra.
e) Para obter a verdadeira grandeza.
Parte inferior do formulário
Mudança de Plano: Planos
A mudança de plano de orientação, além de ser útil para obter a verdadeira grandeza de retas ou segmentos de retas, também pode ser aplicada para obter a verdadeira grandeza de faces. Na verdade, isso é muito utilizado em projetos de peças, pois, além das vistas convencionais, é adicionada a imagem de uma vista auxiliar paralela à face que se deseja destacar os detalhes.
Mudança de Planos para Planos
É possível realizar uma mudança de plano horizontal de orientação (obtendo \pi ''_{1}^{{}}\pi ''_{1}^{{}}), ou realizar uma mudança de plano vertical de projeção (obtendo \pi ''_{1}^{{}}\pi ''_{1}^{{}}), ou ainda realizar as duas, uma seguida da outra.
Na mudança de plano horizontal, a projeção vertical continua no novo sistema de orientação. O afastamento também é mantido. A nova projeção vertical forma com a projeção horizontal uma reta perpendicular a nova linha de terra (pois corresponde à nova linha de chamada).
Figura 3.18 - Mudança de plano horizontal de projeção
Fonte: Elaborada pela autora.
Na mudança de plano vertical, a projeção horizontal continua inalterada; a cota é mantida no novo sistema. Além disso, a projeção horizontal forma com a nova projeção vertical um segmento de reta perpendicular com a nova linha de terra.
Figura 3.19 - Mudança de plano vertical de projeção
Fonte: Elaborada pela autora.
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A técnica de mudança de plano para planos no espaço é semelhante à mudança de plano para retas. Contudo, possui mais passos do que na mudança de plano para retas (que corresponde à mudança dos planos de projeção de retas no espaço). É fundamental compreender como ocorre a mudança de plano para planos no espaço, pois é o que mais ocorre na vida profissional para obter a verdadeira grandeza de faces de objetos. Para visualizar o passo a passo de mudança de plano, consulte o vídeo abaixo:
Fonte: Elaborado pela autora.
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Verdadeira Grandeza de Planos
Para obter a verdadeira grandeza de uma face que é oblíqua aos planos de projeção, é necessário construir um plano auxiliar que seja paralelo ao plano da face do objeto. Nesse ponto, deparamo-nos com o problema de construir um plano paralelo a outro plano que consiste em usar pontos da face do objeto do qual se pretende construir um plano paralelo. A partir desses pontos, construa duas retas concorrentes. Em seguida, construa um plano paralelo a essas duas retas.
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No artigo “HyperCAL3D, uma ferramenta computacional para o apoio do processo de ensino-aprendizagem de geometria descritiva”, os autores Sérgio Leandro do Santos e Fábio Teixeira Gonçalves avaliam o uso do aplicativo no processo de aprendizagem de Geometria descritiva. O artigo está disponível em:
Fonte: Elaborado pela autora.
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Problemas Descritivos Planimétricos
Os problemas descritivos planimétricos que abordam mudança de plano para faces de objetos geralmente consistem em obter a verdadeira grandeza de objetos que estão apoiados em planos que não são paralelos aos planos de projeção. Por exemplo: como representar a verdadeira grandeza de um cilindro cuja base está sobre um plano paralelo à linha de terra?
Figura 3.20 - Mudança de plano da base do cilindro
Fonte: Elaborada pela autora.
Para resolver esse problema, foram realizadas duas mudanças de plano, primeiro obtendo um novo \pi '_{1}^{{}}\pi '_{1}^{{}} com uma mudança de plano vertical e depois obtendo \pi '_{1}^{{}}\pi '_{1}^{{}} com uma mudança de plano horizontal.
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Exemplos de problemas práticos envolvendo mudança de plano podem ser vistos no artigo “Geometria descritiva aplicada à solução de problemas de arquitetura e engenharia”, publicado na revista Educação Gráfica. O artigo está disponível:
Fonte: Elaborado pela autora.
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Há diversas aplicações da geometria descritiva no cotidiano profissional de arquitetos, designers e engenheiros das mais diversas especializações. Principalmente quando se trata da aplicação de mudança de plano para a solução de problemas.
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Vamos Praticar
A mudança de plano é um procedimento normalmente aplicado para obter a verdadeira grandeza de segmentos de reta ou faces de objetos, que não estão paralelos aos planos de projeção (e por isso suas projeções não apresentam verdadeira grandeza). Assinale a alternativa que indica qual plano pode ser alterado na técnica mudança de plano.
Parte superior do formulário
a) O plano vertical de projeção somente.
b) O plano horizontal de projeção somente.
c) O plano vertical de projeção, ou o plano horizontal de projeção, ou ainda os dois.
d) O plano da face lateral do objeto de estudo.
e) O plano da base do objeto de estudo.
Parte inferior do formulário