011_paralelismo-e-perpendicularidade-no-espaco

Prévia do material em texto

FUNDAMENTOS 
DE GEOMETRIA
Mariana Sacrini Ayres Ferraz
Paralelismo e 
perpendicularidade 
no espaço
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir paralelismo no espaço e suas propriedades.
 � Descrever condições de perpendicularidade.
 � Resolver problemas envolvendo demonstrações.
Introdução
As retas e os planos podem ser classificados em relação à sua posição 
no espaço. Especificamente, temos os casos de paralelismos e perpen-
dicularidades: tanto retas entre si, como planos entre si e retas e planos, 
podem ser paralelos e perpendiculares. 
Neste capítulo, você aprenderá sobre as condições de paralelismo e 
perpendicularidade e algumas de suas propriedades, além de resolver 
alguns problemas que envolvem demonstrações sobre a temática.
Paralelismo no espaço e suas propriedades
As retas são linhas infinitas, formadas por, sendo que dois distintos deter-
minam uma única reta. Já um plano é um subconjunto do espaço ℝ3, no qual 
dois pontos quaisquer podem ser ligados por um segmento de reta contido no 
subconjunto. Podemos dizer que três pontos não colineares entre si determinam 
um único plano que passa por eles. 
Observe essas demonstrações de reta e plano na Figura 1, a seguir.
Figura 1. Representação de reta e plano.
Fonte: Reis (2014, p. 4).
Paralelismo entre retas e entre retas e planos
Duas retas, para serem paralelas (r//s), não podem ter pontos em comum (Figura 2a). 
Todavia, se temos r//t e s//t, r e s são paralelas entre si (r//s) (Figura 2b).
Figura 2. Representação de retas paralelas em um plano. (a) Duas retas paralelas (r//s) no 
plano α; (b) três retas paralelas (r//t, r//s, t//s) entre si no plano α. 
(a) (b)
Paralelismo e perpendicularidade no espaço2
O teorema fundamental do paralelismo diz que, para uma reta ser paralela a 
um plano, essa reta não pode estar contida nesse plano e tem que ser paralela a 
uma reta dele (Figura 3). Assim, se r não está contido no plano α, e for paralela 
a uma reta do plano, r//s, então ela será paralela ao plano, r// α.
Figura 3. Representação de reta paralela a um plano (r//α).
Paralelismo entre planos
O teorema fundamental do paralelismo entre planos diz que, para dois planos 
diferentes serem paralelos, um deles tem que possuir duas retas concorrentes 
que sejam ambas paralelas ao outro plano (Figura 4). No plano α, temos duas 
retas concorrentes, s e r, que se cruzam no ponto P. Se ambas as retas r e s 
forem paralelas ao plano β, os planos são paralelos.
Figura 4. Representação de planos paralelos.
P
3Paralelismo e perpendicularidade no espaço
Intersecção entre planos
Se dois planos se intersectam, a resultante dessa intersecção será uma reta 
(Figura 5). Os planos α e β se cruzarem, e a intersecção entre eles é a reta r.
Figura 5. Intersecção entre planos.
r
Se tivermos dois planos paralelos, cortados por um terceiro plano, as suas 
intersecções são paralelas. Na Figura 6, os planos α e β são paralelos e cortados 
pelo plano γ. As suas intersecções, as retas r e s, são paralelas.
Figura 6. Intersecção de dois planos paralelos por um terceiro plano.
r
s
Paralelismo e perpendicularidade no espaço4
Condições de perpendicularidade
Assim como paralelos, tanto retas como planos podem ser perpendiculares 
entre si. Agora, veremos sobre perpendicularidade no espaço.
Perpendicularidade entre retas e entre retas e planos
Duas retas coplanares, para serem perpendiculares (r ┴ s), devem ter um ponto 
em comum e com angulação entre elas de 90° (Figura 7).
Figura 7. Representação de retas perpendiculares em um plano.
P
A intersecção de uma reta com um plano, quando ela não está contida nele, 
é um ponto (Figura 8a). Para essa reta ser perpendicular ao plano, ela precisa 
ter um ângulo de 90° com ele (Figura 8b).
Figura 8. Intersecção entre reta e plano. (a) A Intersecção entre a reta r e o plano α é o 
ponto P; (b) se a angulação entre a reta r e o plano α for de 90°, a reta é perpendicular a ele.
(a) (b)
P P
5Paralelismo e perpendicularidade no espaço
Segundo o teorema fundamental do perpendicularismo, para uma reta ser 
perpendicular a um plano, a condição necessária é que ela tenha ângulo reto 
com duas retas concorrentes do plano (Figura 9).
Figura 9. Esquema da condição para retas perpendiculares a planos.
P
t
A reta perpendicular a um plano pode ser ortogonal a outras retas perten-
centes a ele. Na Figura 10, a reta t é paralela ao plano e à reta r. Assim, a reta t é 
ortogonal à reta s, que é concorrente de r. Ou seja, se a reta t for perpendicular 
ao plano, ela é perpendicular às retas do plano que se intersectam com ela e 
ortogonais às outras que não se intersectam com ela.
Figura 10. Reta ortogonal: a reta t é ortogonal à reta s.
P
t
Paralelismo e perpendicularidade no espaço6
Perpendicularidade entre planos
Dois planos são considerados perpendiculares se, e somente se, um deles possuir 
uma reta perpendicular ao outro plano (Figura 11). Ou seja, se r pertencer ao 
plano α e for perpendicular ao plano β, o plano α é perpendicular ao plano β.
Figura 11. Planos perpendiculares.
Fonte: Colégio Web (2012, documento on-line).
r
Vamos citar aqui duas propriedades de planos perpendiculares (Figura 12). 
Se tivermos uma reta r perpendicular ao plano α, os planos que contêm essa 
reta, como β, γ e δ, são também perpendiculares ao plano α. Por outro lado, 
se tivermos dois planos β e γ perpendiculares ao plano α, a sua intersecção é 
uma reta r também perpendicular ao plano α, caso β e γ não sejam paralelos. 
Se eles forem paralelos, não há intersecção entre eles, mas as intersecções 
com o plano α são retas paralelas.
7Paralelismo e perpendicularidade no espaço
Figura 12. Algumas propriedades de planos perpendiculares.
Fonte: Colégio Web (2012, documento on-line).
r
r
r
r
r
r
r
r
Existem duas propriedades bastante interessantes que envolvem retas e planos pa-
ralelos. Veja as figuras a seguir.
Fonte: Colégio Web (2012, documento on-line).
Se tivermos duas retas perpendiculares a um mesmo plano, elas são paralelas entre 
si. Por outro lado, se tivermos dois planos perpendiculares e uma mesma reta, eles 
são paralelos entre si.
Paralelismo e perpendicularidade no espaço8
Problemas de demonstrações
Vamos ver alguns exemplos de teoremas e suas demonstrações (AZEVEDO 
FILHO, 2015).
Teorema 1
Seja uma reta r paralela a um plano α e um ponto P pertencente ao plano α, 
então a reta paralela a r que passa por P está contida no plano α.
Demonstração: suponha que β seja o plano determinado por P e r. Os planos 
α e β se cruzam, e sua intersecção é a reta s, s = α ∩ β (Figura 13).
Figura 13. Retas r e s paralelas. A reta s passa pelo ponto P, 
e ambas pertencem ao plano α.
Fonte: Azevedo Filho (2015, documento on-line).
Já que s está contida em α, e r é paralela a α, segue que r ∩ s = ∅. Já que 
r e s são coplanares (contidas em β), elas são paralelas. O ponto P é comum 
aos planos α e β, assim, P pertence a s. Dessa maneira, a reta paralela a r que 
passa por P está contida no plano α.
Teorema 2
Seja uma reta r paralela a uma reta r .́ A reta r´ está contida em um plano 
α. Se a reta r não está contida no plano α, então r é paralela a α (Figura 14).
9Paralelismo e perpendicularidade no espaço
Figura 14. Retas r e r’ paralelas: a reta r’ está contida no plano α.
r
r´
Demonstração: vamos fazer uma demonstração por absurdo. 
Suponha que a reta r transpasse o plano α. Seja {P} = r ∩ α, e β o plano 
determinado por r e r .́ Temos que ŕ = α ∩ β. Sendo que P ∈ r ∩ α e r está 
contido em α, assim, P ∈ α ∩ β. Como r´ = α ∩ β, segue que P ∈ r .́ Esse fato 
é uma contradição em relação a P ∈ r e r ser paralela e distinta a r .́
Teorema 3
Por um ponto que não pertence a um plano, um único plano passa paralelo 
ao primeiro (Figura 15).
Figura 15. Ponto P fora do plano α; planos paralelos, onde P está contido no plano β.
P P
Demonstração: primeiramente, demonstraremos a existência e, depois, a 
unicidadedo plano.
Seja um plano α e um ponto P que não pertence a ele. Sejam u e v retas 
concorrentes contidas em α, e as retas r e s que passam por P e paralelas a 
u e v, respectivamente. As r e s não estão contidas em α, e o plano que as 
contém, β, é paralelo a α.
Paralelismo e perpendicularidade no espaço10
Agora, seja γ um plano paralelo a α e que passa por P. Mostraremos que 
γ = β. As retas u e v, que estão contidas em α, são paralelas a γ. Pelo teorema 1, 
as paralelas u e v, que passam por P, estão contidas em γ, já que P ∈ γ. Essas 
paralelas são r e s. Já que duas concorrentes determinam um único plano, 
segue que γ = β.
AZEVEDO FILHO, M. F. Geometria euclidiana espacial. 3. ed. Fortaleza: UECE, 2015. Dis-
ponível em: https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/177804/2/Livro_Matema-
tica_Geometria%20Euclidiana%20Espacial.pdf. Acesso em: 09 jun. 2019.
COLÉGIO WEB. Perpendicularismo. 2012. Disponível em: https://www.colegioweb.
com.br/retas-e-planos-no-espaco/perpendicularismo.html. Acesso em: 09 jun. 2019.
REIS, A. G. Geometrias plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura. Porto 
Alegre: Bookman, 2014.
Leitura recomendada
BARBOSA, L. S. Investigando com o GeoGebra 3D: o método axiomático em atividades 
de geometria espacial e esférica. 2017. Dissertação (Mestrado em Matemática) — Pro-
grama de Pós-graduação em Matemática, Universidade Federal do Rio Grande, Rio 
Grande, 2017. Disponível em: https://profmat.furg.br/images/TCC/TCC_Lucas_Bar-
bosa_FURG_final.pdf. Acesso em: 9 jun. 2019.
11Paralelismo e perpendicularidade no espaço