aula 11

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Universidade Federal do Rio Grande 
Instituto de Matemática, Física e Estatística 
 
Disciplina: Física II (01263) 
2015/2 
 
Fluidos em movimento. 
Prof. Carla dos Santos (Sala 10) 
e-mail: carlaiochims@furg.br 
Fluidos em movimento 
Corpos rígidos: suportam forças aplicadas e tendem a manter um estado de equilíbrio; 
 
Fluídos: suportam as forças de compressão mas não de cisalhamento. 
 
Quando sujeitos a estas forças, escoam  fluído em movimento: hidrodinâmica. 
 
Como descrever o movimento do fluído? O mesmo é composto por inúmeros 
constituintes, que se movimentam simultaneamente... 
 
É conveniente imaginar o fluído como composto por 
camadas. Quando sujeito a força de cisalhamento, 
ocorre o deslizamento das camadas umas sobre as 
outras. 
Para o estudo de fluídos em movimento, algumas considerações são necessárias: 
 
1) O movimento será descrito em termos da densidade, velocidade e pressão do 
fluído em um ponto r; 
 
2) O escoamento será laminar: a velocidade em um ponto fixo qualquer por onde 
passa o fluído não varia com o tempo, nem em módulo nem em orientação. As 
partículas do fluído se movem em trajetórias paralelas. Camadas se movem 
suavemente. Ex.: velocidade da água no interior de um rio de águas calmas. 
Turbulento 
Laminar 
Trajetórias irregulares, formando redemoinhos. 
Grandezas que caracterizam o fluído assumem 
diferentes valores no ponto e mudam 
rapidamente. 
Trajetórias paralelas e suaves. 
3) O escoamento será incompressível: massa específica tem um valor uniforme e 
constante para qualquer ponto do fluído; 
 
4) O escoamento será não viscoso: a viscosidade tem um papel semelhante ao do 
atrito no movimento de um corpo sobre uma superfície qualquer. É a medida da 
resistência que um fluído possui em escoar. Ex.: comparação entre o escoamento 
do mel e da água; 
 
5) O escoamento será irrotacional: cada componente do fluído não gira em torno 
de seu centro de massa. Pode girar em torno de um outro eixo qualquer, como 
passageiros de uma roda gigante (giram em torno do eixo que passa no centro 
da roda (rotacional) mas em torno de um eixo que passa em seu CM); 
 
6) O escoamento será permanente ou estacionário: em um ponto especifico por 
onde o fluido passa, as grandezas velocidade, densidade e pressão serão 
independentes do tempo. Poderão ter diferentes valores ponto a ponto, mas em 
um ponto específico terá sempre o mesmo valor. 
 
Linhas de corrente (fluxo): linhas imaginárias tangentes em cada ponto ao vetor 
velocidade da partícula do fluído (partículas = elemento do fluído). Uma tangente a 
curva em qualquer ponto representa a velocidade instantânea das partículas fluidas 
naquele ponto. Linhas de corrente não se cruzam. 
 
 
 
 
 
 
 
Tubo de corrente: tubo imaginário envolvido por um conjunto de linhas de corrente, que 
delimitam o escoamento. 
http://www.if.ufrgs.br/cref/werlang/aula2.htm#linhas 
A equação da continuidade 
Por que é possível aumentar a velocidade da água 
obstruindo parcialmente sua saída da mangueira? 
A velocidade de escoamento depende da 
área da seção transversal do cano. 
http://www.if.ufrgs.br/cref/werlang/aula22.htm 
Suponha que na tubulação ao lado: 
 
- O fluído desloca-se da esquerda para a direita; 
 
- A velocidade do mesmo é v1 na extremidade esquerda e 
v2 na direita; 
 
- O tubo tem comprimento L; área transversal A1 na 
extremidade esquerda e A2 na direita; 
 
- Em um intervalo Δt, um volume ΔV do fluido entra pela 
extremidade esquerda. O mesmo volume deve sair na 
direita uma vez que o fluido é incompressível; 
 
- Logo, este ΔV será usado para relacionar as velocidades 
em cada uma das seções transversais da tubulação. 
 
 
O volume do fluido que passa na extremidade 
da esquerda é o produto da área pelo 
comprimento da porção do fluido que escoa: 
xAV  1
Usando a definição de velocidade: 
tvAVtvx  1111
Como os elementos de volume em cada 
extremidade devem iguais, 
tvAtvAV  2211
2211 vAvA  Equação da continuidade. 
A velocidade do fluido aumenta quando a área da 
seção transversal é reduzida. 
teconsvAvA tan2211 
Fluxo ou vazão. Unidade: m3/s. 
 
Se a densidade é uniforme, podemos multiplicar esta 
equação pela densidade para obter a vazão mássica 
(massa por unidade de tempo): 
AvR 
AvRm 
(se o fluido for ideal e estiver em regime estacionário). 
Exemplo: assumindo que o sangue é um fluído incompressível e que escoa 
com uma velocidade média de 20 m/s em um ponto no interior de um 
vaso sanguíneo, qual será sua velocidade em outro ponto cujo raio é 
metade do primeiro? 
 
A equação de Bernoulli 
Variáveis para descrição do escoamento de um fluido (não viscoso): pressão, 
velocidade, volume e densidade. 
 
Considerações para a equação de Bernoulli: fluído incompressível, regime 
permanente, sem viscosidade. 
 
Seja um fluido em uma tubulação, dadas as condições citadas acima, que passa 
inicialmente no ponto 1 (instante inicial) e posteriormente no ponto 2 (instante 
final). 
 
 
A1, v1, p1 
A2, v2, p2 
• O sistema é o fluido (ideal) que 
possui um volume V no interior 
da tubulação. 
 
• Neste caso, pode-se aplicar o 
princípio de conservação de 
energia ao sistema, 
considerando os pontos 1 e 2. 
 
• Existe variação de altura e de 
velocidade. 
 
y 
x 
y2 
y1 
Δx Δx 
A variação de velocidade do 
sistema nas extremidades 
corresponde a uma variação 
da energia cinética de um 
elemento de massa Δm. 
Vm  
Teorema do trabalho-
energia cinética: o 
trabalho total sobre o 
sistema é igual a variação 
de sua energia cinética. 
Trabalho total possui duas causas: 
 
1) o trabalho da força gravitacional para ir do ponto 1 ao 2 ; 
 
2) e o trabalho sobre o sistema para o mesmo se deslocar Δx para dentro do tubo (ponto 1) e 
para além do ponto 2 do tubo (neste caso, trabalho realizado pelo sistema). 
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
vmmvEW 
1) o trabalho da força gravitacional para ir do 
ponto 1 ao 2: 
)()( 1212 yyVgyymgWg  
É negativo, pois o deslocamento (positivo para cima) é oposto a força gravitacional. 
2) e o trabalho de uma força F (WF) sobre um elemento de volume do 
sistema para o mesmo se deslocar Δx para dentro do tubo (ponto 1) e 
para além do ponto 2 do tubo (neste caso, trabalho realizado pelo 
sistema: 
VppW
VpW
VpW
VpxpAW
F
F




)( 12
22
11 no ponto 1 
no ponto 2 (negativo, pois é o sistema que realiza trabalho) 
trabalho da força F 
Assim, o trabalho total, que é igual a variação de energia cinética do sistema é: 
Fg WWvmmvEW 
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
Sendo: Vm  
)()( 1212 yyVgyymgWg  
VppWF  )( 12
Usando as equações acima e rearranjando os termos algebricamente: 
2
122
2
111
2
1
2
1
vygpvygp  Equação de Bernoulli: 
Expressa a conservação de energia para um fluido ideal, ou seja, 
pois, sendo os pontos 1 e 2 arbitrários, esta constante vale para o fluido como um todo. 
teconsvygp tan
2
1 2  