ANOTAÇÕES DE AULAS DE FENOMENOS DOS TRANSPORTES NOOTBOOK

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AULAS DE FENOMENOS DOS TRANSPORTES 
Na disciplina de Fenômeno dos Transportes estuda-se a Mecânica dos Fluídos que é uma 
ciência da Engenharia. 
As propriedades massa específica e viscosidade têm papéis relevantes nos escoamentos em 
canais e condutos forçados e nos escoamentos em torno de objetos submersos, importante 
em irrigação e drenagem. 
 
ASSUNTO PARA 1ª PROVA – LIVRO DE STREETER 
 
1ª AULA 
CAPÍTULO 1 - PROPRIEDADE DOS FLUÍDOS 
Definição de Fluído 
Um fluído é uma substância que se deforma continuamente quando submetida a uma 
tensão de cisalhamento, não importando o quanto pequena possa ser essa tensão. 
 
Força de cisalhamento: é a componente tangencial da força que age sobre a superfície, e, 
dividida pela área da superfície, dá origem à tensão de cisalhamento. 
 
Fig. 1.1 – Deformação resultante da aplicação de força de cisalhamento constante. 
 
Fig. 1.1, pagina 4 – Uma substância é colocada entre duas placas. A placa inferior é fixa, e 
uma força F é aplicada na placa superior, a qual exerce uma tensão de cisalhamento F/A 
na substância entre as placas. A é a área da placa superior. Quando a força F movimenta a 
placa superior com uma velocidade constante, pode-se concluir que a substância entre as 
duas placas é um fluído. 
2 
 
O fluído na área abcd escoa para a nova posição ab’cd’ com cada partícula fluídica 
movendo-se paralelamente à placa e a velocidade u variando linearmente de zero na placa 
estacionária até U na placa superior. 
F é diretamente proporcional a A e a U e inversamente proporcional a t: 
𝐹 = µ
𝐴𝑈
𝑡
 
Em que: 
 F – força atuando no fluido; 
 A – área da superfície na qual a força atua; 
 U – velocidade do fluido; 
 t – distância entre as duas placas na Fig. 1.1, ou espessura da camada do fluido; 
µ - (Lê-se micro) fator de proporcionalidade que depende do fluído em estudo. 
 
A tensão de cisalhamento 𝜏 = F/A fica: 
𝜏 = 𝜇
𝑈
𝑡
 
Em que: 
U/t - é a velocidade de deformação angular do fluído. 
 
U/t pode ser escrita du/dy, pois tanto U/t como du/dy expressam a variação de velocidade 
dividida pela distância ao longo da qual a variação ocorre. 
Na forma diferencial, tem-se: 
𝜏 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 (1.1.1) 
 
A Eq. (1.1.1) é a lei de Newton da Viscosidade, a qual estabelece a relação entre a tensão 
de cisalhamento e a velocidade de deformação angular para um escoamento 
unidimensional. O fator de proporcionalidade 𝜇 é chamado viscosidade do fluído. 
 
3 
 
Classificação dos Fluídos 
Os fluídos podem ser classificados como newtonianos e não newtonianos. 
 
Fig. 1.2 – Digrama reológico. 
 
Fluído newtoniano: existe uma relação linear entre o valor da tensão de cisalhamento 
aplicada e a velocidade de deformação angular resultante (𝜇 constante, na Eq. 1.1.1) como 
se mostra na Fig. 1.2, página 5. 
 
Fluído não-newtoniano: existe uma relação não-linear entre o valor da tensão de 
cisalhamento aplicada e a velocidade de deformação angular. 
 
Plástico ideal: é uma substância que sofrerá continuamente uma certa deformação 
proporcional à força, apenas quando a tensão aplicada for superior à sua tensão de 
escoamento, ou seja, é uma substância que tem uma tensão de escoamento definida e uma 
relação linear constante de 𝜏 sobre du/dy. 
 
Substância pseudoplástica (como a tinta de impressão): é uma substância que tem uma 
viscosidade que depende da deformação angular anterior da substância e tem tendência de 
endurecer quando em repouso. 
Gases e líquidos finos tendem a ser newtonianos, enquanto que hidrocarbonetos de longas 
cadeias podem ser não-newtonianos. 
4 
 
Para fins de análise é feita frequentemente a hipótese de que um fluído é não-viscoso. Com 
viscosidade zero, a tensão de cisalhamento é sempre zero, não importando o movimento 
que o fluído possa ter. 
 
Fluído perfeito, ou ideal: quando é considerado incompressível, representado na Fig. 1.2 
pelo eixo das ordenadas. 
 
Lista 1 de exercícios – páginas 5 e 6 do livro de Streeter 
 
Unidades de força, massa, comprimento e tempo 
Unidades Coerentes 
Definição: Um sistema de unidades da mecânica é dito coerente quando a unidade de força 
provoca aceleração unitária na unidade de massa. 
 
No sistema internacional (SI) o conjunto de unidades coerentes é: 
 Unidade de força = newton (N) 
 Unidade de massa = kilograma (kg) 
 Unidade de comprimento = metro (m) 
 Unidade de tempo = segundo (s) 
 
Adotando o quilograma, o metro e o segundo como unidades fundamentais, define-se o 
newton (força) de modo a satisfazer exatamente a segunda lei de Newton da mecânica (F = 
ma). 
1 𝑁 = 1 𝑘𝑔 
1 𝑚
𝑠2
 (1.2.1) 
 
Nos Estados Unidos, o atual conjunto de unidades coerentes (chamado de sistema inglês 
usual) é: 
 Unidade de força = libra-força (lb) 
5 
 
 Unidade de massa = slug (slug) 
 Unidade de comprimento = pé (ft) 
 Unidade de tempo = segundo (s) 
 
O slug é tal que uma libra-força o acelera a um pé por segundo por segundo, ou 
1 𝑙𝑏 = 1 𝑠𝑙𝑢𝑔 
1 𝑓𝑡
𝑠2
 (1.2.2) 
 
Unidades Incoerentes 
O conjunto de unidades incoerentes é: 
Unidade de força = libra-força (lb) 
 Unidade de massa = libra-massa (lbm) 
 Unidade de comprimento = pé (ft) 
 Unidade de tempo = segundo (s) 
 
Definição: No sistema de unidades incoerentes a força de uma libra aplicada sobre uma 
libra-massa, provoca aceleração da massa de 32,174 ft/s
2
, ou 
Com unidades incoerentes é preciso introduzir uma constante de proporcionalidade (go) na 
segunda lei de Newton da mecânica: 
𝐹 = 
𝑚
𝑔𝑜
𝑎 (1.2.3) 
 
Substituindo na Eq. (1.2.3) as unidades desse conjunto, tem-se: 
1 𝑙𝑏 = 
1𝑙𝑏𝑚
𝑔𝑜
32,174
𝑓𝑡
𝑠2
 
 
Donde a constante gravitacional, go, pode ser determinada: 
go = 32,174 lbm ft/lb s
2 
6 
 
go tem este valor, constante, para este conjunto de unidades, e se aplica tanto em 
condições normais como na superfície da Lua. 
 
Ver Tabela 1.1 página 7 – Valores de go para os sistemas de unidades usuais 
 
Massa e Peso (é força) de um corpo 
A massa M de um corpo não muda conforme a localidade, mas seu peso W é determinado 
pelo produto da massa pela aceleração local da gravidade g: 
𝑊 = 𝑀𝑔 (1.2.5) 
Por exemplo: 
Onde g = 32,174 ft/s
2
, um corpo, pesando 10 lb, tem uma massa M = 10/32,174 slug = 
0,311 slug. 
Num local onde g = 31, 5 ft/s2, o peso do corpo é: 0,311 x 31,5 = 9,791 lb 
A aceleração da gravidade normal no SI é 9,806 m/s
2
. 
 
Abreviaturas das unidades no SI 
São escritas em letras minúsculas nos termos como horas (h), metros (m) e segundos (s). 
Quando uma unidade é designada por um nome próprio, a abreviatura (mas não o nome 
por extenso) é escrita com letra maiúscula; exemplos são o watt (W), o pascal (Pa, unidade 
de pressão) e o newton (N). Nos demais sistemas todas as abreviaturas são minúsculas. 
Os múltiplos e submúltiplos, expressos em potências de 10, são indicados por prefixos, os 
quais também são abreviados. Os prefixos não podem ser combinados. 
7 
 
Ver Tabela 1.2 página 7 
 
 
 
Lista 2 de exercícios – página 8 do livro de Streeter 
 
Viscosidade 
De todas as propriedades dos fluídos, a viscosidade requer a maior consideração no estudo 
dos escoamentos. 
 
Definição: Viscosidade é a propriedade pela qual um fluído oferece resistência ao 
cisalhamento. 
Cisalhamento é o fenômeno de deformação ao qual um corpo está sujeito quando as forças 
que sobre ele agem provocam um deslocamento em planos diferentes, mantendo o volume 
constante. 
 
 
Fig. 1.1 – Deformação resultante da aplicação de força de cisalhamento constante. 
 
8 
 
A lei de Newton da viscosidade (Eq. 1.1.1) estabelece que, para uma dada velocidade de 
deformação angular de um fluído,a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à 
viscosidade. 
 
Melaço e alcatrão são exemplos de líquidos muitos viscosos; água e ar têm viscosidades 
muito pequenas. 
A viscosidade de um gás aumenta com a temperatura, mas a viscosidade de um líquido 
diminui. 
 
Causas da resistência de um fluído ao cisalhamento (viscosidade): forças de coesão e a 
velocidade de transferência de quantidade de movimento molecular. 
 
Num líquido as forças de coesão são muito maiores que nos gases, porque as moléculas 
estão muito mais próximas que num gás. 
 
A coesão é, então, a causa predominante da viscosidade num líquido e, como a coesão 
diminui com o aumento da temperatura, a viscosidade segue o mesmo comportamento. 
 
Num gás a causa predominante da viscosidade (resistência ao cisalhamento) é a velocidade 
de transferência da quantidade de movimento molecular, porque as forças de coesão são 
muito pequenas; o aumento da temperatura contribui para um aumento na velocidade de 
transferência da quantidade de movimento molecular e diminuição das forças de coesão. 
 
Um fluido em repouso não apresentará forças de cisalhamento aparente, embora tenha 
viscosidade, porque du/dy é zero em qualquer ponto do fluido. Assim, no estudo da 
estática dos fluidos, não se consideram as forças de cisalhamento porque as mesmas não 
existem num fluido em repouso, e as únicas tensões atuantes são tensões normais ou 
pressões. Isto simplifica bastante o estudo da estática dos fluidos, pois qualquer sistema 
fluido somente pode estar submetido a forças peso e forças de contato normais. 
 
Dimensões da viscosidade 
9 
 
As dimensões da viscosidade são determinadas a partir da lei de Newton da viscosidade 
(Eq. 1.1.1). Isolando a viscosidade µ 
µ = 
𝜏
𝑑𝑢/𝑑𝑦
 
Introduzindo as dimensões F, L, T de força, comprimento e tempo 
𝜏: FL-2 u: LT-1 y: L 
Resulta µ com a dimensão FL-2T. 
 
Com a dimensão da força expressa em função da massa (M) pelo uso da segunda lei da 
mecânica de Newton (F = ma), F = MLT
-2
, a dimensão da viscosidade pode ser expressa 
como ML
-1
T
-1
. 
 
Unidade de viscosidade do Sistema SI: N.s/m
2
 (newton.segundo por metro quadrado) ou 
kg/m.s (quilograma por metro por segundo) 
 
Unidade de viscosidade do sistema inglês usual: 1 lb.s/ft
2 
ou 1 slug/ft.s 
 
Unidade de viscosidade do sistema cgs, denominada poise (P): vale 1 g/cm.s 
 
A unidade SI da viscosidade é 10 vezes maior que o poise, ou seja, 1 µ no SI = 10 poise 
 
O fator de conversão da unidade de viscosidade do sistema inglês usual para a unidade SI 
é: 
1 𝑠𝑙𝑢𝑔
𝑓𝑡. 𝑠
.
14,594 𝑘𝑔
𝑠𝑙𝑢𝑔
.
1 𝑓𝑡
0,3048 𝑚
= 47,9 
𝑘𝑔
𝑚
. 𝑠 
 
1 unidade de viscosidade no sistema inglês usual = 47,9 unidades no SI de viscosidade. 
Converter poise para o sistema inglês usual (UI): converte do sistema cgs (poise) para SI e 
depois de SI para UI, ou seja: UI = 10 poise.47,9 = 479. 
10 
 
 
2ª AULA 
Viscosidade Cinemática 
A viscosidade µ é frequentemente chamada de viscosidade absoluta ou dinâmica para se 
evitar confusão com a viscosidade cinemática ν (lê-se ni). 
Definição: ν é a relação entre viscosidade e massa específica 
ν = 
𝜇
𝜌
 
massa específica = massa/volume 
A dimensão da viscosidade cinemática, ν, é L
2
T
-1
. 
No SI a unidade de viscosidade cinemática é 1 m
2
/s. 
No sistema inglês usual a unidade de ν é ft
2
/s. 
A unidade de ν no sistema cgs, chamada stoke (St), vale 1 cm
2
/s. 
 
Em unidades SI, para passar de ν para µ, multiplicar ν por ρ, a massa específica em kg/m
3
. 
Em unidades inglesas usuais, µ é obtido de ν multiplicando-a pela massa específica em 
slug/ft
3
. 
No sistema cgs, para passar de stoke (ν) para poise (µ), multiplica-se pela massa específica 
em g/cm
3
, que é numericamente igual à densidade. 
 
Exemplo 1.1 Um líquido tem viscosidade 0,005 kg/m.s e massa específica de 850 kg/m
3
. 
Calcular (a) a viscosidade cinemática em unidades SI, (b) a viscosidade cinemática em 
unidades inglesas usuais e (c) a viscosidade (µ) em unidades inglesas usuais. 
(a) ν = 
𝜇
𝜌
= 
0,005
 𝑘𝑔
𝑚
.𝑠
850 𝑘𝑔/𝑚3
= 5,882 𝜇𝑚2/𝑠 
 
(b) ν = 5,882 x 10−6
𝑚2
𝑠
 𝑥 (
1 𝑓𝑡
0,3048 𝑚
)
2
= 6,331 𝑥 10−5 𝑓𝑡2/𝑠 
 
11 
 
(c) 𝜇 = 0,005
𝑘𝑔
𝑚
. 𝑠 𝑥 
1
𝑠𝑙𝑢𝑔
𝑓𝑡
.𝑠
47,9
𝑘𝑔
𝑚
.𝑠
= 0,0001044
𝑠𝑙𝑢𝑔
𝑓𝑡
. 𝑠 
 
Ver gráficos para determinação da viscosidade absoluta e da viscosidade cinemática no 
Apêndice C, páginas 562 e 563. 
 
12 
 
 
 
Lista 3 de exercícios – páginas 11 e 12 do livro de Streeter 
 
Grandezas: Massa específica, Volume específico, peso específico, densidade, pressão 
Massa Específica 
Definição: massa específica (𝜌) de um fluído é sua massa por unidade de volume. 
𝜌 = 
𝑚
𝑣
 
A massa específica num ponto é definida como: 
lim
∆𝑣 → 𝜀3
∆𝑚
∆𝑣
 (1.5.1) 
 
13 
 
Em que: ∆ representa pequeno valor de m e de v e 𝜀 (lê-se épsilon) distância grande quando 
comparada com a distância média entre moléculas. 
Para água, à pressão atmosférica normal (760 mm Hg) e 4 
o
C, 𝜌 = 1,94 slugs/ft3, ou 1000 
kg/m
3
. 
 
Volume específico 
Definição: o volume específico de um fluído vs é o inverso da massa específica 𝜌, isto é, é 
o volume ocupado pela unidade de massa de fluido: 
𝑣𝑠 = 
1
𝜌
=
𝑣
𝑚
 (1.5.2) 
Peso específico 
Definição: o peso específico γ (lê-se ghámma) de uma substância é o seu peso por unidade 
de volume. 
Peso = massa x aceleração da gravidade = mg 
𝛾 =
𝑚𝑔
𝑣
= 𝜌𝑔 (1.5.3) 
É variável com a posição dependendo, portanto da aceleração da gravidade. 
É uma propriedade interessante quando se trata da estática dos fluidos ou de líquidos com 
uma superfície livre. 
 
Densidade 
Definição: A densidade d de uma substância é a relação entre seu peso (Wsub) e o peso de 
um igual volume de água (Wa) nas condições normais, sendo, portanto admissional. 
𝑑 = 
𝑊𝑠𝑢𝑏
𝑊𝑎
= 
𝑚𝑔
𝑊𝑎
 
Pode também ser expressa como a relação entre sua massa ou peso específico e os da 
água. 
𝑑 = 
𝜌𝑠𝑢𝑏
𝜌á𝑔𝑢𝑎
 
 
14 
 
Pressão 
Definição: Pressão é a força normal agindo sobre uma superfície plana, divida pela área da 
superfície. 
𝑃 = 
𝐹
𝐴
 
Pela lei da ação e da reação, se um fluido exerce uma pressão contra as paredes do 
recipiente, então o recipiente exercerá uma reação sobre o fluido que será de compressão. 
 
Os líquidos podem suportar forças de compressão extremamente altas, mas, a menos que 
sejam de alta pureza, não suportam esforços de tração. É por esta razão que as pressões 
absolutas neste livro jamais são negativas, pois isto implicaria em fluidos que suportassem 
esforços de tração. 
Força de tração é quando um corpo é puxado nas extremidades, por exemplo, por uma 
corda, tendendo à sua ruptura. 
 
A unidade de pressão é força por área, que pode ser: 
No SI: Newtons por metro quadro, chamada Pascal (Pa) 
No sistema inglês usual: libras por pé quadrado (lb/ft
2
), chamada psf ou libras por 
polegada (lb/in
2
), chamada psi. 
 
A pressão pode também ser expressa em termos de altura equivalente a uma coluna de 
fluido, muito usado em hidráulica e em irrigação. 
 
Gás perfeito 
Definição: Gás perfeito é uma substância que satisfaz a lei dos gases perfeitos e tem 
calores específicos constantes: 
𝑝𝑣𝑠 = 𝑅𝑇 (1.6.1) 
Em que: 
 p – pressão absoluta; 
 𝑣𝑠 – volume específico; 
 R – constante do gás; 
15 
 
 T – temperatura absoluta (graus Kelvin). 
 
O gás perfeito deve ser cuidadosamente diferenciado do fluido perfeito; um fluido perfeito 
não tem viscosidade e é incompressível; o gás perfeito tem viscosidade e pode sofrer 
tensões de cisalhamento, e é compressível segundo a Eq. (1.6.1). 
 
Uma vez que 𝑣𝑠 = 1/ρ, a Eq. (1.6.1) pode ser escrita:𝑝 = 𝜌𝑅𝑇 (1.6.2) 
As unidades de R podem ser determinadas da equação acima quando se conhecem as 
outras unidades. 
𝑅 = 
𝑝
𝜌𝑇
 
Para p em pascal, 𝜌 em kg/m3 e T em graus Kelvin (K) (oC + 273)* 
*Em 1967 o nome grau Kelvin (oK) foi mudado para kelvin (K). Kelvin é a temperatura absoluta. 
𝑅 = 
𝑁
𝑚2
𝑚3
𝑘𝑔. 𝐾
= 
𝑚. 𝑁
𝑘𝑔. 𝐾
 
Para unidades inglesas usuais, 
o
R = 
o
F + 459,6 (grau Rankine) 
𝑅 = 
𝑙𝑏
𝑓𝑡2
𝑓𝑡3
𝑠𝑙𝑢𝑔. °𝑅
= 
𝑓𝑡. 𝑙𝑏
𝑠𝑙𝑢𝑔. °𝑅
 
 
Para a massa específica 𝜌 em libra-massa – lbm/ft3 
𝑅 = 
𝑙𝑏
𝑓𝑡2
𝑓𝑡3
𝑙𝑏𝑚. °𝑅
= 
𝑓𝑡. 𝑙𝑏
𝑙𝑏𝑚. °𝑅
 
O valor de R quando se usa slug é 32,174 vezes maior do que quando se usa libra-massa. 
 
Valores de R estão na Tabela C.3 Apêndice C, página 561. 
 
16 
 
 
 
3ª AULA 
Gases reais a pressões abaixo da crítica e a temperatura acima da crítica tendem a 
obedecer à lei do gás perfeito. A lei do gás perfeito abrange a lei de Charles e a lei Boyle. 
 
A lei de Charles estabelece que, à pressão constante, o volume de uma massa é 
proporcional à sua temperatura absoluta. 
A lei de Boyle (lei isotérmica) estabelece que, à temperatura constante, a massa específica 
é diretamente proporcional à pressão absoluta. 
 
O volume V de m unidades de massa de um gás é mυs, isto porque 
𝑣𝑠 = 
1
𝜌
=
𝑣
𝑚
 (1.5.2) 
 então a equação do gás perfeito fica: 
𝑝 = 𝜌𝑅𝑇 → 𝑝 = 
1
𝑣𝑠
𝑅𝑇 → 𝑝𝑣𝑠 = 𝑅𝑇 → 𝑣𝑠 = 
𝑉
𝑚
 → 𝑝
𝑉
𝑚
= 𝑅𝑇 → 𝑝𝑉 = 𝑚𝑅𝑇 (1.6.3) 
i. e. 
Lei do gás perfeito em base molar 
Definição de um quilo-mol de um gás: é o número de quilogramas-massa do gás 
correspondendo à sua massa molecular; e. g., um quilo-mol de oxigênio O2 é 32 kg, ou 
seja, sua massa molecular é este valor (32 kg). 
17 
 
Sendo �̅�𝑠 o volume por mol, a lei do gás perfeito fica: 
𝑝�̅�𝑠 = 𝑀𝑅𝑇 (1.6.4) 
 
se M for a massa molecular. Sendo n o número de moles de gás no volume V, da Eq. 
(1.6.3), tem-se: 
𝑝𝑉 = 𝑛𝑀𝑅𝑇 (1.6.5) 
já que nM = m. 
 
Lei de Avogadro: volumes iguais de gases à mesma temperatura absoluta e mesma pressão 
têm o mesmo número de moléculas; portanto, suas massas são proporcionais às massas 
moleculares. 
Assim sendo, pela Lei de Avogadro, da Eq. (1.6.5) conclui-se que MR deve ser constante, 
pois pV/nT é o mesmo para qualquer gás. 
 
O produto MR é chamado constante universal dos gases e seu valor depende somente das 
unidades empregadas. 
No SI: 𝑀𝑅 = 8.312 𝑚.
𝑁
𝑘𝑔
𝑚𝑜𝑙. 𝐾 (1.6.6) 
A constante do gás R pode ser determinada a partir da Eq. (1.6.6), de maneira que 
conhecendo-se a massa molecular (M), chega-se ao valor de R: 
 
𝑅 = 
8.312
𝑀
𝑚.
𝑁
𝑘𝑔
. 𝐾 (1.6.7) 
Em unidades inglesas usuais: 
 
𝑅 = 
49.709
𝑀
𝑓𝑡.
𝑙𝑏
𝑠𝑙𝑢𝑔
. °𝑅 (1.6.8) 
Usando libra-massa (sistema inglês incoerente): 
 
18 
 
𝑅 = 
1.545
𝑀
𝑓𝑡.
𝑙𝑏
𝑙𝑏𝑚
°𝑅 (1.6.9) 
Na Tabela C.3 do Apêndice C página 561 estão relacionadas as massas moleculares de 
alguns gases comuns. 
 
 
Calor específico de um gás à volume constante, cv 
Definição: É a quantidade de calor fornecida por unidade de massa para aumentar a 
temperatura do gás em um grau quando o volume é mantido constante. 
 
Calor específico de um gás à pressão constante, cp 
Definição: É a quantidade de calor fornecida por unidade de massa para aumentar a 
temperatura do gás em um grau quando a pressão é mantida constante. 
 
Definições 
a) Constante adiabática de um gás, k é cp/cv. 
 
b) Energia interna de um gás, u (dependente de p, ρ e T): é a energia por unidade de massa 
devida ao espaçamento e forças moleculares. 
 
c) Entalpia de um gás, h (importante propriedade): h = u + p/ρ. 
19 
 
d) Unidades de cp e cv: quilocaloria por quilograma por Kelvin (kcal/kg.K) ou Btu por 
libra-massa por grau Rankine (Btu/lbm.
o
R). 
 
e) Pelas definições de cp e cv tem-se que: 
Uma quilocaloria eleva em um grau Celsius a temperatura de um quilograma de água nas 
condições normais. 
Um Btu fornecido eleva em um grau Fahrenheit a temperatura de uma libra-massa de água 
nas condições normais. 
 
Devido a essas definições de quilocaloria e Btu, os valores de cp e cv são os mesmos em 
ambos os sistemas de unidades. 
 
A Tabela C.3 do Apêndice C fornece valores de cp e cv, página 561. 
 
 
R está associado a cp e cv através da expressão: 
𝑐𝑝 = 𝑐𝑣 + 𝑅 
Nesta expressão todas as unidades devem está em unidades mecânicas ou em unidades 
térmicas. 
Se o slug for usado, cp, cv e R serão 32,174 vezes maiores que os valores obtidos com 
libra-massa. 
20 
 
Exemplo 1.2: Um gás com massa molecular 44 está à pressão de 0,9 MPa e à temperatura 
de 20 
o
C. Determinar sua massa específica (ρ). 
 
Use a Eq. (1.6.2) de estado para um gás perfeito: 
𝑝 = 𝜌𝑅𝑇 → 𝜌 = 
𝑝
𝑅𝑇
 
Determine R pela Eq. (1.6.7): 
 
𝑅 = 
8.312
𝑀
𝑚.
𝑁
𝑘𝑔
. 𝐾 = 
8.312
44
= 188,91 𝑚.
𝑁
𝑘𝑔
. 𝐾 
 
𝜌 = 
𝑝
𝑅𝑇
= 
0,9 𝑥 106 𝑁/𝑚2
(188,91 𝑚.
𝑁
𝑘𝑔
. 𝐾) (273 + 20 𝐾)
= 16,26 𝑘𝑔/𝑚3 
 
Lista 4 de exercícios – página 16 do livro de Streeter 
 
Módulo de elasticidade volumétrica 
No item anterior a compressibilidade de um gás perfeito foi descrita pela lei dos gases 
perfeitos. 
Na maioria das aplicações, um líquido pode ser considerado incompressível, mas, em 
situações onde existem variações bruscas ou elevadas na pressão, a compressibilidade 
torna-se importante. A compressibilidade dos líquidos e dos gases também se torna 
importante quando se tem variações de temperatura (e.g., convecção natural). 
 
O módulo de elasticidade volumétrica de um líquido expressa sua compressibilidade. 
 
Se a pressão de um volume unitário de líquido aumenta em dp, ocorre uma diminuição de 
volume –dV. A diminuição do volume significa compressão do liquido. 
 
21 
 
Definição: a relação –dp/dV é o modulo de elasticidade volumétrica K. 
Para um volume inicial de líquido V, 
 
𝐾 = −
𝑑𝑝
𝑑𝑉
𝑉
 (1.7.1) 
Como dV/V é admencional, K se exprime em unidades de p. 
 
Tabela C.1 do Apêndice C, página 560, valores de K em unidades SI. 
 
 
Para água a 20 
o
C → 10-7 K = 220 N/m2 → K = 220 107 N/m2 → K = 2,20 GPa (G = 109). 
 
Tabela C.2 do Apêndice C, página 561, valores de K em unidades inglesas. 
22 
 
 
Para água a 60 
o
F → 10-3 K = 311 lb/in2 → K = 311.000 lb/in2. 
 
4ª AULA 
Para se ter uma idea da compressibilidade da água, considere-se a aplicação de 0,1 MPa, 
cerca de uma atmosfera ( M = 10
6
) sobre um metro cúbico de água a 20 
o
C. 
 
𝐾 = −
𝑑𝑝
𝑑𝑉
𝑉
 → 𝑑𝑉 = 
𝑉𝑑𝑝
𝐾
= 
(1,0 𝑚3)(0,1 𝑀𝑃𝑎)
2,2 𝐺𝑃𝑎
= 
(1,0 𝑚3)(0,1 106 𝑃𝑎)
2,2 109 𝑃𝑎
= 
1
22.000
 𝑚3 =
0,0000455 𝑚3 = 45,5 𝑐𝑚3 
 
Aumentando-se a pressão sobre um liquido sua compressão aumenta. Quanto maior o 
valor de K maior é a compressão, ou seja, maior é a diminuição do volume. 
Exemplo 1.3 Um líquido comprimido num cilindro tem volume de 1 litro (1.000 cm
3
) a 1 
MN/m
2
 e volume de 995 cm
3
 a 2 MN/m
2
. Qual é o módulo de elasticidade volumétrica do 
líquido? 
23 
 
𝐾 = 
∆𝑝
∆𝑉/𝑉
= 
2 − 1 𝑀𝑁/𝑚2
(995 − 1.000)/1.000
= 200 𝑀𝑃𝑎 
 
Lista 5 de exercícios – página 17 do livro de Streeter 
 
2ª PROVA 
5ª AULA 
Pressão de vapor 
Definição: é a pressão que as moléculas de vapor exercem no espaço. 
 
Os líquidos evaporam por causa de moléculas que escapam pela superfície livre. 
 
Se o espaço acima do líquido é confinado, depois de um certo tempo o número de 
moléculas de vapor atingindo a superfície do líquido e condensando é exatamente igual ao 
número de moléculas de vapor que escapam em qualquer intervalo de tempo, 
estabelecendo-seo equilíbrio. 
 
Como este fenômeno depende da atividade molecular a qual é função da temperatura, a 
pressão de vapor depende da temperatura e aumenta com a mesma. 
 
Quando a pressão acima da superfície de um líquido iguala à pressão de vapor do mesmo, 
ocorre a ebulição. 
 
Ponto de ebulição: é a mudança do estado líquido para o gasoso. 
 
A temperatura de ebulição é a temperatura na qual o liquido vence a pressão atmosférica, 
passando do estado líquido para o gasoso. 
24 
 
Quando ocorrem em certas regiões de um sistema de escoamento de um líquido, pressões 
iguais ou menores que a pressão de vapor, o líquido se evapora muito rapidamente, 
formando uma bolsa de vapor ou cavidade. 
 
Fenômeno da cavitação: corresponde ao colapso da bolsa de vapor, em um sistema de 
escoamento de um líquido, quando a mesma se expande rapidamente e se desloca 
atingindo regiões do escoamento onde a pressão é maior que a pressão de vapor. 
 
Esta formação e extinção de bolhas de vapor (de ar) afeta o desempenho das bombas e 
turbinas hidráulicas e pode erodir partes metálicas na região de cavitação. 
 
Tabela 1.3, página 19 – Pressão de vapor de alguns líquidos. 
 
 
A 20 
o
C a pressão de vapor da água é 2,447 kPa e a do mercúrio, 0,173 Pa. 
 
Capilaridade 
Definição: Capilaridade ou ação capilar é a propriedade física que os fluidos têm de subir 
ou descer em tubos extremamente finos, denominados de tubos capilares. Essa ação 
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fluidos
25 
 
(propriedade) pode fazer com que líquidos fluam mesmo contra a força da gravidade ou à 
indução de um campo magnético. Esta capacidade de subir ou descer resulta da capacidade 
de o líquido "molhar" ou não a superfície do tubo. 
 
Etimologia: A palavra capilar significa tubo estreito; nome que alude ao diâmetro dos 
tubos semelhante ao de um fio de cabelo. A palavra capilar vem do latim capillaris, que 
significa "do cabelo", visto que capillus é cabelo e que caput é cabeça. 
 
Ação capilar: Quando um líquido entra em contato com uma superfície sólida, este vai ser 
sujeito a dois tipos de forças que atuam em sentidos contrários: a força de adesão, e a força 
de coesão. 
 
A força de adesão é a atração entre moléculas diferentes, ou seja, a afinidade das 
moléculas do líquido com as moléculas do tubo sólido. Atua no sentido de o líquido 
molhar o sólido. A força de coesão é a atração intermolecular entre moléculas 
semelhantes, ou seja, a afinidade entre as moléculas do líquido. Atua no sentido de manter 
o líquido em sua forma original. 
 
Se a força de adesão for superior à de coesão (que é o caso da água), o líquido vai interagir 
favoravelmente com o sólido, molhando-o, e formando um menisco. Se a superfície sólida 
for um tubo de raio pequeno, como um capilar de vidro, a afinidade com o sólido é tão 
grande que o líquido sobe pelo capilar. No caso do mercúrio, acontece o contrário, pois 
este não tem afinidade com o vidro (a força de coesão é maior). 
 
A superfície líquida em contato com o ar dentro do tubo, chamada interface líquido-vapor, 
nunca é plana. Quando o líquido molha a parede sólida, a superfície é côncava e adere 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Gravidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADngua_latina
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADquido
https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ades%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Coes%C3%A3o_(qu%C3%ADmica)&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a_de_ades%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Menisco
https://pt.wikipedia.org/wiki/Merc%C3%BArio_(elemento_qu%C3%ADmico)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Vidro
26 
 
tangencialmente à parede, que é o caso da água; se o líquido não molha a parede, sua 
superfície é convexa, que é o caso do mercúrio. 
 
Ao colocarmos uma das extremidades de um tubo capilar de vidro dentro de um recipiente 
com água, observa-se que a água sobe no tubo e entra em repouso a uma determinada 
altura acima da superfície da água no recipiente. Se ao invés de água utilizar mercúrio, 
observa-se que o nível de mercúrio dentro do tubo capilar se estabiliza a uma distância 
abaixo do seu nível no recipiente. No primeiro caso, diz-se ter ocorrido uma ascensão 
capilar e no segundo uma depressão capilar. 
 
Entre os fenômenos que se devem à capilaridade estão a ascensão da água subterrânea até 
a superfície, a formação de bolhas e gotas, a atração e repulsão de corpos que flutuam 
sobre uma superfície líquida e outros. 
 
Exemplo de capilaridade na agricultura, isto é, numa área cultivada 
 
 
A contribuição do lençol freático (LF) para as plantas, através do efeito capilar, só 
acontecerá em solos argilosos se LF estiver a uma profundidade máxima de 3 m e em 
solos arenosos se LF estiver a no máximo 2 m. 
27 
 
Tensão superficial 
Definição: A tensão superficial é a força causada pela coesão entre as moléculas do líquido 
em sua superfície livre (em contato com o ar), atuando no sentido de manter o líquido em 
sua forma original. 
 
Superfície livre de um líquido = interface líquido-ar = interface entre a fase líquida e a fase 
gasosa. 
 
Tabela 1.3, página 19 – Tensão superficial de alguns líquidos. 
 
 
A 20 
o
C a tensão superficial da água é 0,074 N/m 
 
O efeito da tensão superficial é aumentar a pressão dentro de uma gota ou dentro de um 
pequeno jato líquido. 
 
Para uma pequena gota esférica de raio r, a pressão interna p necessária para equilibrar a 
força de tração devida à tensão superficial σ é calculada em função das forças que atuam 
sobre um corpo hemisférico. 
28 
 
𝑝𝜋𝑟2 = 2𝜋𝑟𝜎 𝑜𝑢 𝑝 = 
2𝜎
𝑟
 
 
Para um jato cilíndrico de raio r, aplica-se a equação da tensão em tubos, 
𝑝 = 
𝜎
𝑟
 
As duas equações acima mostram que a pressão se torna grande para gotas ou jatos de raio 
bem pequeno. 
Figura 1.4 página 19 – ascensão capilar (h) para água e mercúrio. 
 
 
 
6ª AULA 
CAPÍTULO 2 – ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
 
Pressão num ponto 
A pressão média é calculada dividindo-se a força normal que age contra uma superfície 
plana pela área desta. 
 
29 
 
Definição: A pressão num ponto é o limite da relação entre a força normal (FN) e a área 
(A) quando fazemos a área tender a zero no entorno do ponto. 
lim
𝐴 →0
𝐹𝑁
𝐴
 
Lei de Pascal: Em qualquer ponto no interior de um líquido em repouso, a pressão é a 
mesma em todas as direções. 
 
Para a demonstração da lei de Pascal considere um pequeno corpo em forma de cunha de 
comprimento unitário, isto é, a dimensão 𝛿z é 1 (z é na profundidade da peça), no ponto 
(x, y) de um fluido em repouso (Fig. 2.1). 
 
 
Fig. 2.1 – Diagrama das forças que agem numa partícula em forma de cunha. 
Como não podem existir tensões de cisalhamento, uma vez que o fluido está em repouso, 
as únicas forças são as normais de contato e o peso. 
 
Considerando as relações abaixo, escreve-se a equação da soma das forças que atuam no 
elemento nas direções x e y: 𝜌 = massa específica; 𝛾 = peso específico 
F = ma; 𝜌 = 
𝑚
𝑣
 → 𝑚 = 𝜌𝑣 = 𝜌 𝛿𝑥 𝛿𝑦; Peso = mg; 𝛾 =
𝑚𝑔
𝑣
 → 𝑚𝑔 = 𝛾𝑣 = 𝛾 𝛿𝑥 𝛿𝑦 
Na equação abaixo, a divisão por 2 é devido estar considerando-se apenas a metade do 
retângulo (paralepipedo). 
30 
 
 
∑ 𝐹𝑥 = 𝑝𝑥𝛿𝑦 − 𝑝𝑠𝛿𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 
𝛿𝑥 𝛿𝑦
2
 𝜌𝑎𝑥 = 0 
 
∑ 𝐹𝑦 = 𝑝𝑦𝛿𝑥 − 𝑝𝑠𝛿𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝛾
𝛿𝑥 𝛿𝑦
2
= 
𝛿𝑥 𝛿𝑦
2
 𝜌𝑎𝑦 = 0 
 
Em que: px, py, ps são as pressões médias nas três faces, 𝛾 é o peso específico do fluido, 𝜌 
sua massa específica e ax, ay são as acelerações, respectivamente, nas direções x e y. 
 
Quando se passa ao limite, fazendo o volume do corpo tender a zero por aproximação da 
face inclinada ao ponto (x, y), mantendo o mesmo ângulo 𝜃 e usando as relações 
geométricas: 
𝛿𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝛿𝑦 𝛿𝑠 cos 𝜃 = 𝛿𝑥 
As equações se simplificam para: 
𝑝𝑥𝛿𝑦 − 𝑝𝑠𝛿𝑦= 0 𝑝𝑦𝛿𝑥 − 𝑝𝑠𝛿𝑥 − 𝛾
𝛿𝑥 𝛿𝑦
2
= 0 
 
O último termo da segunda equação é um infinitésimo de ordem superior, podendo ser 
desprezado. 
Dividindo por 𝛿𝑦 𝑒 𝛿𝑥, respectivamente, e combinando as equações, tem-se: 
 
𝑝𝑠 = 𝑝𝑥 = 𝑝𝑦 (2.1.1) 
 
Como θ é um ângulo arbitrário, esta equação prova que a pressão é a mesma em todas as 
direções num ponto de um fluido em repouso. 
 
Embora a demonstração tenha sido realizada para o caso bidimensional, poder-se-ia provar 
o mesmo no caso tridimensional com a utilização das equações de equilíbrio de um 
31 
 
pequeno tetraedro de fluido, com três faces pertencentes aos planos coordenados e a quarta 
face inclinada arbitrariamente. 
 
EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
Variação da pressão num fluido em repouso 
Lei de Stevin: A diferença de pressão entre dois pontos de uma mesma massa de liquido 
em repouso é igual à diferença de profundidade entre eles multiplicada pelo peso 
específico do fluido. 
 
As forças que agem num elemento de fluido em repouso, Fig. 2.2, são forças de contato e 
forças de campo. 
 
Fig. 2.2 – Paralelepípedo elementar de um fluido em repouso. 
Sendo o peso a única força de campo e orientando o eixo y verticalmente para cima, sua 
projeção nesta direção é – 𝛾𝛿𝑦𝛿𝑥𝛿𝑧. 
 
Supondo que no centro (x, y, z) a pressão seja p, a força exercida na face inferior normal 
ao eixo y, será: 
32 
 
(𝑝 − 
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝛿𝑦
2
) 𝛿𝑥𝛿𝑧 
 
E a força que age na face oposta será: 
(𝑝 + 
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝛿𝑦
2
) 𝛿𝑥𝛿𝑧 
 
Onde 𝛿𝑦/2 é a distância do centro à face normal a y. Multiplica-se por 
𝛿𝑦
2
 para obter a 
variação total, uma vez 
𝜕𝑝
𝜕𝑦
 é a variação por unidade de comprimento. 
Ao somar as forças que agem no elemento na direção y, tem-se: 
 
𝛿𝐹𝑦 = (𝑝 − 
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝛿𝑦
2
) 𝛿𝑥𝛿𝑧 − (𝑝 + 
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝛿𝑦
2
) 𝛿𝑥𝛿𝑧 – 𝛾𝛿𝑦𝛿𝑥𝛿𝑧 
𝛿𝐹𝑦 = − 
𝜕𝑝
𝜕𝑦
 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 – 𝛾𝛿𝑦𝛿𝑥𝛿𝑧 
 
Nas direções x e z, nas quais não há forças de campo, tem-se: 
 
𝛿𝐹𝑥 = (𝑝 − 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝛿𝑥
2
) 𝛿𝑦𝛿𝑧 − (𝑝 + 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝛿𝑥
2
) 𝛿𝑦𝛿𝑧 
𝛿𝐹𝑥 = − 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 
 
𝛿𝐹𝑧 = (𝑝 − 
𝜕𝑝
𝜕𝑧
𝛿𝑧
2
) 𝛿𝑥𝛿𝑦 − (𝑝 + 
𝜕𝑝
𝜕𝑧
𝛿𝑧
2
) 𝛿𝑥𝛿𝑦 
𝛿𝐹𝑧 = − 
𝜕𝑝
𝜕𝑧
 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 
 
O vetor da força elementar 𝛿𝐹 é dado por: 
33 
 
𝛿𝐹 = 𝑖 𝛿𝐹𝑥 + 𝑗 𝛿𝐹𝑦 + 𝑘 𝛿𝐹𝑧 = − (𝑖
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝑗
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝑘
𝜕𝑝
𝜕𝑧
) 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 − 𝑗𝛾 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 
 
Dividindo por 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 = 𝛿𝑉 e fazendo o volume do elemento tender a zero (
𝛿𝐹
𝛿𝑉
= 0), 
uma vez que estar se considerando as forças estão atuando em um ponto, tem-se: 
𝛿𝐹
𝛿𝑉
= − (𝑖
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑗
𝜕
𝜕𝑦
+ 𝑘
𝜕
𝜕𝑧
) 𝑝 − 𝑗𝛾 lim 𝛿𝑉 → 0 (2.2.1) 
 
Esta será a força resultante, por unidade de volume num ponto, que deverá ser igualada a 
zero para um fluido em repouso. 
 
A expressão entre parênteses é o gradiente indicado por ∇ (nabla): 
∇ = 𝑖
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑗
𝜕
𝜕𝑦
+ 𝑘
𝜕
𝜕𝑧
 (2.2.2) 
 
O valor negativo do gradiente de p, é o campo dos vetores f das forças de pressão por 
unidade de volume: 
𝑓 = −∇𝑝 (2.2.3) 
 
A lei da variação da pressão num fluido em repouso será, portanto: 
𝑓 − 𝑗𝛾 = 0 (2.2.4) 
 
Na forma de componentes, a Eq. (2.2.4) fica: 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= 0 
𝜕𝑝
𝜕𝑦
= −𝛾 
𝜕𝑝
𝜕𝑧
= 0 (2.2.6) 
 
As derivadas parciais, que dão a variação nas direções horizontais, são uma forma da lei 
de Pascal que afirma ser a mesma a pressão em dois pontos no mesmo nível de uma massa 
contínua de um fluido em repouso. 
34 
 
 
Como p é função apenas de y, tem-se: 
𝑑𝑝 = −𝛾𝑑𝑦 (2.2.7) 
7ª AULA 
Esta equação diferencial simples relaciona a variação da pressão com o peso específico e a 
variação de cota, sendo válida tanto para fluidos compressíveis como para 
incompressíveis. 
A equação (2.2.7) chega, então, à Lei de Stevin: A diferença de pressão entre dois pontos 
de uma mesma massa de liquido em repouso é igual à diferença de profundidade entre eles 
multiplicada pelo peso específico do fluido. 
 
Para fluidos que possam ser considerados homogêneos e incompressíveis, γ é constante e a 
Eq. (2.2.7), integrada, resulta em: 
𝑝 = −𝛾𝑦 + 𝑐 
 
na qual c é a constante de integração. 
 
A lei hidrostática da variação da pressão é escrita frequentemente na forma: 
𝑝 = 𝛾ℎ (2.2.8) 
Em que: 
h - é medido verticalmente para baixo (h = -y) a partir da superfície livre de um 
líquido; 
p - é o aumento da pressão em relação àquela da superfície livre. 
 
Exemplo 2.1 – Um oceanógrafo deve projetar um laboratório marinho de 5 m de altura 
para suportar uma submersão a 100 m, medida do nível do mar ao topo do laboratório 
marinho. Determinar a variação de pressão numa parede lateral do casco e a pressão no 
topo, sabendo que a densidade da água salgada é 1,020. 
 
35 
 
γ = peso específico; ρ = massa específica; pressão normal e aceleração normal são na 
superfície do mar. 
 ρágua = 1000 kg/m
3
 (para a água, à pressão normal (760 mm Hg) e 4 
o
C); g = 9,806 m/s
2
 
(aceleração da gravidade normal no SI). 
𝐹 = 𝑚𝑎 → 1 𝑁 = 1 𝑘𝑔 
1 𝑚
𝑠2
 
𝑝 = 𝛾ℎ 
𝛾 =
𝑚𝑔
𝑣
= 𝜌𝑔 
𝑑 = 
𝜌𝑠𝑢𝑏
𝜌á𝑔𝑢𝑎
 → 𝜌𝑠𝑢𝑏 = 1,020 𝑥 1000 = 1020 𝑘𝑔/𝑚
3 
𝛾 = 𝜌𝑔 = 1020 
𝑘𝑔
𝑚3
 9,806 
𝑚
𝑠2
 = 10002,12
𝑁
𝑚3
= 10 𝑘𝑁/𝑚3 
No topo, 
𝑝 = 𝛾ℎ = 10 𝑥 103 𝑥 102 = 1
𝑀𝑁
𝑚2
= 1 𝑀𝑃𝑎 
Se y é contato verticalmente para baixo, a partir do topo do laboratório marinho, a 
variação de pressão é dada por: 
𝑝 = 𝛾ℎ = 10(𝑦 + 100)𝑘𝑁/𝑚2 
 
Variação da Pressão em um Gás Perfeito à temperatura Constante 
Quando o fluido for um gás perfeito em repouso, à temperatura constante, da equação dos 
gases perfeitos (p = ρRT (1.6.2)), tem-se: 
 
 
𝑝
𝜌
= 
𝑝𝑜
𝜌𝑜
= 𝑅𝑇 → 𝜌 =
𝑝𝜌𝑜
𝑝𝑜
 
𝑝
𝜌
= 
𝑝𝑜
𝜌𝑜
 → 𝜌 =
𝑝𝜌𝑜
𝑝𝑜
 (2.2.9) 
𝑑𝑝 = −𝛾𝑑𝑦 (2.2.7) 
 
Substitui γ = ρg e ρ dado pela Eq. (2.2.9), na Eq. (2.2.7) 
36 
 
𝑑𝑝 = −𝛾𝑑𝑦 → 𝑑𝑝 = −𝜌𝑔𝑑𝑦 → 𝑑𝑦 = −
𝑑𝑝
𝜌𝑔
 → 𝑑𝑦 = −
𝑝𝑜
𝑔𝜌𝑜
𝑑𝑝
𝑝
 
 
Deve ser lembrado que se ρ for dado em libras massa por pé cúbico (kg/m
3
), então γ = 
gρ/go, com go = 32,174 lbm.ft/lb.s
2
. 
 
Se p = po quando ρ = ρo, a integral definida como: 
∫ 𝑑𝑦 = − 
𝑝𝑜
𝑔𝜌𝑜
𝑦
𝑦𝑜
 ∫
𝑑𝑝
𝑝
𝑝
𝑝𝑜
 
Resulta em: 
𝑦 − 𝑦𝑜 = − 
𝑝𝑜
𝑔𝜌𝑜
 𝑙𝑛 
𝑝
𝑝𝑜
 (2.2.11) 
 
Na qual ln é o logaritmo natural ou neperiano. Logo: 
𝑝 = 𝑝𝑜 exp (− 
𝑦 − 𝑦𝑜
𝑝𝑜/𝑔𝜌𝑜
) (2.2.12) 
 
Que é a equação da variação da pressão em função da cota num gás à temperatura 
constante. 
 
Exemplo 2.2 – Admitindo que na atmosfera prevaleçam condições isotérmicas, calcular a 
pressão e a massa específica a 2.000 m de altitude se, ao nível do mar, g = 9,806 m/m
2
, p = 
10
5
 Pa abs, e ρ = 1,24 kg/m
3
. 
 
Usando a equação da variação da pressão com a cota (em função da cota) num gás à 
temperatura constante (2.2.12), tem-se: 
 
37 
 
𝑝 = 𝑝𝑜 exp (− 
𝑦 − 𝑦𝑜
𝑝𝑜/𝑔𝜌𝑜
)
= 105
𝑁
𝑚2
exp (− 
2.000 − 0 𝑚 
(105 𝑁/𝑚2)/[(9,806 𝑚/𝑚2)(1,24 𝑘𝑔/𝑚3)]
)
= 78,4 𝑘𝑃𝑎 𝑎𝑏𝑠 
 
Então, da Eq. (2.2.9), tem-se: 
𝜌 = 
𝜌𝑜
𝑝𝑜
𝑝 = (1,24 𝑘𝑔/𝑚3)
78.400
100.000
= 0,972 𝑘𝑔/𝑚3 
 
Quando levamos em conta a compressibilidade de um líquido em equilíbrio estático, 
devemos utilizar as Eqs. (2.2.7) e (1.7.1). 
 
Lista 6 de exercícios – páginas 29 e 30 do livro de Streeter 
 
Unidades e escalas para medida de pressãoUnidades de pressão: No SI: Pascal; No sistema inglês usual: libras por pé quadrado 
(lb/ft
2
), chamada psf ou libras por polegada quadrada (lb/in
2
), chamada psi; polegadas de 
mercúrio; pés de água; metros de água; centímetro de mercúrio; milímetro de mercúrio. 
 
Escalas de pressão 
a) Escala efetiva (relativa): é aquela que toma como referencia zero a pressão atmosférica 
local. As pressões nessa escala são chamadas de efetivas. 
b) Escala absoluta: é aquela que toma como referencia zero o vácuo absoluto (pressão 
muito baixa, negativa). As pressões nessa escala são chamadas de absolutas. 
 
Pressão manométrica ou efetiva (Pefetiva): é simplesmente o valor da pressão causada pela 
altura da coluna do líquido. 
 
38 
 
Pressão absoluta (Pabsoluta): é a pressão total em um ponto qualquer no interior de um 
líquido. É a pressão em relação ao vácuo absoluto. 
Pabsoluta = Pefetiva + Patmosférica 
Pressão em um ponto no interior 
do reservatório de água 
ᴥ ᴥ 
 
 
ᴥ ᴥ 
 
ᴥ ᴥ 
 
 
As pressões manométricas são normalmente usadas na hidráulica, pois a pressão 
atmosférica (Patm) atua em todos os pontos a ela expostos, de forma que as pressões 
acabam se anulando. 
 
3ª PROVA 
8ª AULA 
Medidores de pressão (Manômetros) – Livro de Hidráulica Aplicada 
a) Piezômetro 
 
Tubo transparente (plástico ou vidro) inserido no ponto onde se quer medir a pressão. 
A altura da água no tubo corresponde à pressão. 
O liquido indicador é o próprio fluido da tubulação onde está sendo medida a pressão. 
39 
 
 
Pressão hidrostática: é a pressão que um líquido exerce sobre um determinado ponto de 
um recipiente, dada por: 
 
Pressão no ponto 1: P1 = ρgh = γh 
 
Em que: 
P1 – pressão no pnto 1 (Pa) 
ρ – massa específica do líquido (kg m
-3
) 
γ – peso específico do líquido (N m
-3
) 
h – altura da coluna de água (m) 
 
b) Tubo em U 
 
Esse tipo de medidor é utilizado quando a pressão é muito alta, inviabilizando o uso do 
piezômetro. 
Utiliza-se um líquido de grande massa específica, normalmente mercúrio, que deve ser 
imiscível (que não se mistura) com o fluido da tubulação onde será medida a pressão. 
 
Pressão no ponto 1: 
P1 = ρ2gh2 – ρ1gh1 
 
40 
 
Em que: 
P1 – pressão no ponto 1 
ρ1 – massa específica do fluido onde está sendo medida a pressão (kg m
-3
) 
ρ2 - massa específica do fluido indicador (kg m
-3
) 
h1 – altura do fluido onde está sendo medida a pressão (m) 
h2 – altura do fluido indicador (m) 
 
c) Barômetro 
Mede a pressão atmosférica 
 
Tubo em U 
Construção de um barômetro muito simples: Tubo em U fechado numa das extremidades. 
Depois de evacuado o ar no interior do tubo (fazendo a pressão se anular), coloca-se um 
fluido denso. Normalmente, usa-se mercúrio, cuja densidade é 13,6 vezes maior do que a 
da água. 
 
A pressão atmosférica (Patm) é dada por: 
Patm = ρHggh 
 
Em que: 
ρHg –massa específica do mercúrio, kg m
-3
 
41 
 
g – aceleração da gravidade, m s
-2
 
h – altura da coluna de mercúrio, m 
 
Ao nível do mar, a altura da coluna de mercúrio é de aproximadamente 76 cm (760 mm 
Hg). 
A própria pressão atmosférica é utilizada como unidade de medida de pressão (1 atm) 
 
d) Manômetro diferencial 
● Medição da diferença de pressão entre dois pontos que estão em níveis diferentes 
 
Usa-se também um líquido de grande massa específica, normalmente mercúrio, que deve 
ser imiscível com o fluido da tubulação onde será medida a diferença de pressão. 
 
A diferença de pressão (∆𝑃) será dada por: 
∆𝑃 = 𝜌2𝑔ℎ2 + 𝜌3𝑔ℎ3 − 𝜌1𝑔ℎ1 
 
Em que: 
∆𝑃 – diferença de pressão (Pa) 
𝜌1 e 𝜌3 – massas específicas do fluido onde está sendo medida a diferença de pressão (kg 
m
-3
) 
𝜌2 – massa específica do fluido indicador (kg m
-3
) 
42 
 
h1 e h3 – altura do fluido onde está sendo medida a pressão (m) 
h2 – altura do fluido indicador (m) 
 
● Medição da diferença de pressão entre dois pontos que estão no mesmo nível 
 
 
 
∆𝑃 = (𝜌2 − 𝜌1)𝑔ℎ2 
𝜌1 - massa específica do fluido onde está sendo medida a diferença de pressão (kg m
-3
) 
𝜌2 – massa específica do fluido indicador (kg m
-3
) 
h2 – altura do fluido indicador (m) 
 
e) Manômetro metálico tipo Bourdon 
 
 
● É o mais utilizado na agricultura, medindo pressões efetivas (toma como referencia zero 
a pressão atmosférica local) positivas ou negativas, quando são denominados vacuômetros. 
43 
 
● O elemento medidor de pressão é um tubo metálico achatado e recurvado, fechado de 
um lado e ligado do outro na tomada da pressão a ser medida. 
● Quando a pressão interna ao tubo é aumentada, este tende a esticar (endireitar), puxando 
um sistema de alavancas ligado a um ponteiro, causando desta forma seu movimento. 
● O zero será indicado no mostrador sempre que as pressões interna e externa do tubo 
forem iguais, independentemente de seu valor. 
● O mostrador do manômetro pode ser graduado para quaisquer unidades convenientes. 
Este manômetro medirá pressões em relação à pressão reinante no meio que circunda, que 
é a pressão atmosférica local. 
Os manômetros normalmente são instalados diretamente no ponto onde se quer medir a 
pressão. Ocasionalmente, para facilitar as leituras, o manômetro pode ser instalado a 
alguma distância, acima ou abaixo, do ponto cuja pressão se quer conhecer. Se o 
manômetro for instalado abaixo do ponto, ele medirá uma pressão maior do que a do ponto 
e se for instalado acima, ele medirá uma pressão menor. 
 
f) Manômetro digital 
São equipamentos precisos, mas de custo elevado. Sendo mais usados em laboratórios de 
pesquisa. 
 
Empuxo 
 
● Forças que atuam em corpo submerso em fluido em repouso 
a) Peso do corpo: devido à interação do corpo com o campo gravitacional da terra 
44 
 
b) Empuxo: devido à interação do corpo com o líquido 
● Exemplo da imersão da bola em um recipiente com água: a força que faz a bola flutuar é 
denominada de empuxo do fluido sobre a bola. 
 
● O objeto irá flutuar, se o peso do líquido deslocado por ele for maior que o próprio peso 
do objeto. 
 
● Empuxo: é a força vertical, dirigida para cima, exercida por um fluido em repouso num 
corpo, nele submerso ou parcialmente submerso, ou seja, flutuando. 
 
O princípio de Arquimedes quantifica o valor desta força. 
 
● Princípio de Arquimedes: “Todo corpo mergulhado num fluido em repouso sofre, por 
parte do fluido, uma força vertical para cima, cuja intensidade é igual ao peso do volume 
do fluido deslocado pelo corpo”. 
 
Assim, um corpo imerso na água torna-se mais leve devido a força (empuxo) exercida pelo 
líquido sobre o corpo, vertical e para cima, que alivia o peso do corpo. Portanto, quando 
mergulhamos um corpo em um líquido em repouso, o corpo desloca uma quantidade de 
líquido igual ao seu volume, e o peso desse volume de líquido deslocado é subtraído do 
peso do corpo pela força denominada empuxo. 
 
● Cálculo do empuxo, E 
 
45 
 
● O empuxo é dado pela diferença entre a componente vertical da força de pressão agindo 
na face inferior do corpo e a componente vertical da força de pressão na sua face superior. 
● A diferença entre as duas forças será uma força vertical, dirigida para cima, igual ao 
peso do volume do fluido que é deslocado pelo corpo. 
𝐸 = 𝐹2 − 𝐹1 = 𝑃2𝐴 − 𝑃1𝐴 
Pela Lei de Stevin: 
𝑃2 − 𝑃1 = 𝜌𝑔ℎ 
Logo: 
𝐸 = 𝐴(𝑃2 − 𝑃1) = 𝐴𝜌𝑔ℎ 
Como V = Ah, então: 
𝐸 = 𝜌𝑔𝑉 = 𝛾𝑉 
Em que: 
E é o empuxo; 
V é o volume do fluido deslocado; 
𝜌 é a massa específica do fluido; 
𝛾 é o peço específico do fluido; 
 𝜌𝑔𝑉 representa o peso do fluido deslocado pelo corpo submerso. 
 
O conceito de empuxo é aplicado nos projetos de comportas, registros, barragens, tanques, 
canalizações, etc. 
 
PAREI 
9ª AULA 
Comportas Fig. 13 
 
 
46 
 
 
 
● Empuxo sobre uma superfície plana imersa, é igual ao produto da área pela pressão 
relativaao centro de gravidade da área 
𝐸 = ℎ𝑐𝑔𝛾𝐴 
𝑦𝑐𝑝 = 𝑦𝑐𝑔 + 
𝐼𝑜
𝑦𝑐𝑔𝐴
 
𝑦𝑐𝑝 = 
ℎ𝑐𝑝
𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
𝑦𝑐𝑔 = 
ℎ𝑐𝑔
𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
Em que: 
 𝛾 – peso específico do líquido; 
 hcg – profundidade do centro de gravidade da superfície; 
 hcp – profundidade do centro de pressão da superfície; 
 A – área da superfície plana; 
 ycp – distância do nível da água ao centro de pressão; 
 ycg – distância do nível da água ao centro de gravidade; 
47 
 
 Io – momento de inércia em relação ao eixo horizontal que passa no centro de 
gravidade. 
 
Lista 7 de exercícios resolvidos: 2, 4, 6, 9, 10, 11, 14, 15, 17, 18 - páginas 51 a 63 do livro 
de Hidráulica Aplicada 
 
ASSUNTO PARA 3ª PROVA 
CAPÍTULO 3 – Livro de Streeter 
Escoamentos dos Fluidos e Equações Fundamentais 
 
Classificação dos escoamentos 
48 
 
Os escoamentos podem ser classificados de diversas formas, como: turbulento ou laminar; 
ideal ou real; reversível ou irreversível, adiabático, isoentrópico; permanente ou variado; 
uniforme ou não uniforme; rotacional ou irrotacional. 
a) Escoamento turbulento ou laminar 
●O escoamento turbulento é o mais frequente na prática da engenharia. 
 
●No escoamento turbulento, as partículas do fluido movem-se em trajetórias irregulares, 
isto é, de forma aleatória, causando uma transferência de quantidade de movimento de 
uma porção do fluido para outra. 
 
No escoamento turbulento, o tamanho das partículas do fluido pode variar desde muito 
pequeno até muito grande, como por exemplo, milhares de pés cúbicos num redemoinho 
de um rio ou numa ventania na atmosfera. 
 
●No escoamento laminar, as partículas movem-se ao longo de trajetórias suaves, em 
lâminas ou camadas, com cada uma destas deslizando suavemente sobre outra adjacente. 
 
●No escoamento turbulento, devido às turbulências, as tensões de cisalhamento são 
maiores que no escoamento laminar, causando maiores irreversibilidades ou perdas de 
carga. 
 
●No escoamento turbulento, as perdas de carga variam com uma potência de 1,7 a 2 da 
velocidade, enquanto que no escoamento laminar as perdas de carga variam linearmente 
com a velocidade. 
 
●O escoamento laminar é governado pela lei de Newton da viscosidade (Eq. 1.1.1), que 
relaciona as tensões de cisalhamento com a taxa de deformação angular. 
𝜏 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 (1.1.1) 
Em que: 
49 
 
 𝜏 - tensão de cisalhamento; 𝜇 - fator de proporcionalidade chamado viscosidade do 
fluído; du/dy - velocidade de deformação angular. du/dy expressa a variação de velocidade 
dividida pela distância ao longo da qual a variação ocorre. 
No escoamento laminar, a ação da viscosidade amortece a tendência de aparecimento de 
turbulências, uma vez que a viscosidade é uma propriedade do fluido que oferece 
resistência ao seu movimento. 
O escoamento laminar não é estável em situações que envolvem as combinações de baixa 
viscosidade, alta velocidade ou grandes seções de escoamento, passando para o 
escoamento turbulento. 
 
● Para o escoamento turbulento, pode-se escrever uma equação semelhante à lei de 
Newton da viscosidade: 
𝜏 = η
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 (3.1.1) 
 
O fator η, entretanto, não é uma propriedade do fluido somente, dependendo do 
escoamento e da massa específica. É chamado viscosidade turbilhonar. 
 
Em muitos escoamentos da prática, tanto a viscosidade quanto as turbulências contribuem 
para as tensões de cisalhamento: 
𝜏 = (𝜇 + η)
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 (3.1.2) 
 
b) Escoamento ideal ou real 
● O escoamento real diz respeito ao escoamento de um fluido ideal ou perfeito, isto é, sem 
atrito e incompressível, o qual não deve ser confundido com um gás perfeito. 
 
A hipótese de fluido ideal é útil na análise de escoamentos em grandes extensões de 
fluidos, como no movimento de um aeroplano ou um submarinho. 
 
50 
 
Camada limite é a camada de fluido num escoamento real, próxima a uma superfície 
sólida e que tem sua velocidade relativa à fronteira afetada por tensões de cisalhamento. 
As camadas limites podem ser laminares ou turbulentas, dependendo em geral de seu 
comprimento, da viscosidade, da velocidade do fluido em sua vizinhança e da rugosidade 
da parede sólida. 
 
● O escoamento real diz respeito ao escoamento de um fluido real, ou seja, que tem atrito 
e é compressível. 
 
c) Escoamento reversível ou irreversível, adiabático, isoentrópico 
● Os escoamentos reversível e irreversível dizem respeito ao escoamento de um fluido, 
respectivamente, sem e com atrito, ou seja, não viscoso e viscoso. 
 
● Escoamento adiabático é aquele no qual não há transferência de calor para o fluido ou 
do fluido. 
 
● Escoamento isoentrópico é um escoamento reversível adiabático (sem atrito, adiabático) 
 
Um processo isoentrópico pode ocorrer, entretanto, num escoamento irreversível com 
troca de calor adequada (isoentrópico = entropia constante) 
 
c) Escoamento permanente ou variado 
Escoamento permanente 
Tem-se um escoamento permanente quando as condições do escoamento em qualquer 
ponto do fluido não variam com o tempo. 
Este fato pode ser expresso por: 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 0 
𝜕𝑝
𝜕𝑡
= 0 
𝜕𝑣
𝜕𝑡
= 0 
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= 0 
 
51 
 
Em que: 𝜌, p, v, T – são massa específica, pressão, velocidade, temperatura. 
 
Exemplo de escoamento permanente: água bombeada por um sistema fixo, com vazão 
constante. 
Outro exemplo: caixa d`água residencial com boia, ou seja, com carga hidráulica 
constante. 
 
Escoamento variado 
O escoamento é variado quando suas condições variam em qualquer ponto com o tempo. 
 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
 ≠ 0 
𝜕𝑝
𝜕𝑡
 ≠ 0 
𝜕𝑣
𝜕𝑡
 ≠ 0 
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 ≠ 0 
 
Exemplo de escoamento variado: água bombeada por um sistema fixo, com vazão 
crescente. 
Outro exemplo: caixa d`água residencial sem boia, ou seja, com carga hidráulica variável. 
 
d) Escoamento uniforme ou não uniforme 
Escoamento uniforme 
●Escoamento uniforme é aquele para o qual o vetor de velocidade é idêntico em todos os 
pontos para qualquer instante, ou seja, 
𝜕𝑣
𝜕𝑠
= 0, onde o tempo é mantido constante e 𝜕𝑠 é 
um deslocamento em qualquer direção (𝜕𝑥, 𝜕𝑦, 𝜕𝑧). 
 
Em outras palavras: não existe variação na velocidade com o espaço num dado instante. 
Quando todas as seções transversais paralelas do conduto forem idênticas (isto é, quando o 
conduto for prismático) e a velocidade média em todas as seções, num certo instante, for a 
mesma, o escoamento é dito uniforme. 
 
52 
 
 
 
Escoamento não-uniforme 
O escoamento é não-uniforme quando o vetor da velocidade varia de local para local, num 
instante qualquer (
𝜕𝑣
𝜕𝑠
 ≠ 0). 
 
Exemplo de escoamento não-uniforme: um líquido que escoa por um conduto de seção 
transversal variável ou por um conduto curvo. 
 
Exemplos de tipos de escoamentos 
1) Escoamento permanente e uniforme: um líquido escoando por um conduto longo com 
vazão constante. 
A velocidade não muda com o tempo nem com o espaço. 
 
2) Escoamento variado e uniforme: um líquido escoando por um conduto longo com vazão 
decrescente. 
A velocidade diminui com o tempo mas não varia com posição num dado tempo. 
Um exemplo é a vazão em uma tubulação que sai de uma caixa d´água com carga 
hidráulica variável. 
3) Escoamento permanente e não uniforme: o escoamento por um conduto de seção 
crescente, com vazão constante. 
A velocidade diminui com a posição mas não varia com o tempo numa dada seção. 
 
4) Escoamento variado e não uniforme: escoamento por um conduto de seção crescente, 
com vazão crescente. 
A velocidade varia com o tempo e o espaço. 
 
e) Escoamento rotacional ou irrotacional 
53 
 
O escoamento é dito rotacional ou em vórtices quando as partículas do fluido numa certa 
região possuem rotação em relação a qualquer eixo. 
O escoamento é ditorotacional se o fluido, numa certa região, não tiver rotação. 
 
e) Escoamento unidimensional ou bidimensional ou tridimensional 
Escoamento unidimensional 
● Um escoamento unidimensional despreza as variações de velocidade, pressão etc, 
transversalmente à direção principal do escoamento. 
 
As condições numa seção transversal são expressas em termos de valores médios da 
velocidade, massa específica e outras propriedades . 
 
●O escoamento num conduto caracteriza-se normalmente como unidimensional. 
 
Escoamento bidimensional 
● No escoamento bidimensional, admite-se que todas as partículas escoem em planos 
paralelos segundo trajetórias idênticas em cada um desses planos; desta forma, não há 
variações do escoamento na direção normal aos mesmos. 
 
Escoamento tridimensional 
● No escoamento tridimensional, as componentes de velocidades, u, v, w, segundo eixos 
triortogonais, são funções das coordenadas x, y, z e do tempo t. 
 
Linha de corrente 
Uma linha de corrente é uma linha contínua traçada no fluido, tangente em todos os pontos 
aos vetores da velocidade. Assim sendo, uma linha de corrente representa a trajetória de 
uma partícula do fluido. 
 
54 
 
Nos escoamentos permanentes, como não há variação, ao longo do tempo, da direção do 
vetor de velocidade em cada ponto, as linhas de corrente têm uma mesma direção num 
determinado ponto, ao longo do tempo. Logo, a trajetória de uma partícula em um ponto 
não muda ao longo do tempo. 
 
Nos escoamentos variados, como a direção do vetor de velocidade, em qualquer ponto, 
varia com o tempo, uma linha de corrente muda de direção em um dado ponto, de instante 
para instante. Deste modo, uma partícula segue uma linha de corrente num certo instante, 
outra noutro instante e assim por diante. Isto significa que a trajetória de uma partícula em 
um ponto está mudando de direção de instante para instante. 
 
Um corante ou fumaça são injetados num fluido para visualização das linhas de corrente. 
 
 
Fig. 3.2 – Linhas de corrente para um escoamento permanente em torno de cilindro, entre 
paredes paralelas. 
 
A Fig. 3.2 ilustra um escoamento bidimensional de um fluido incompressível onde o 
volume que escoa por unidade de tempo (vazão) entre duas linhas de corrente adjacentes é 
constante, considerando-se uma largura unitária normal ao plano da figura. 
 
Se v for a velocidade média entre duas linhas de corrente adjacentes, num local onde a 
distância entre as mesmas for h, a vazão q será: 
 
q = vh x unidade de largura 
 
55 
 
Em outra posição do diagrama, onde a distância entre as linhas for h1, a velocidade média 
será v1 = q/h1. 
Como a vazão é constante, quando as linhas de corrente estiverem próximas, a velocidade 
deverá ser maior e vice-versa. 
 
Exemplo 3.1 – Num escoamento bidimensional, permanente, de um fluido incompressível 
em torno de um aerófolio, traçam-se as linhas de corrente de forma que elas distam 10 mm 
entre si, onde a velocidade é 40 m/s. Qual será a velocidade nas proximidades do 
aerofólio, onde as linhas de corrente distam 7,5 mm? 
 
q = vh x unidade de largura 
q = (40 m/s) x (0,01 m) x (1 m) = 0,40 m
3
/s 
𝑣 = 
0,40 𝑚3/𝑠
0,0075 𝑚 1 𝑚
= 53,3 𝑚/𝑠 
 
Relações que devem ser obedecidos pelo escoamento de qualquer fluido, real ou 
perfeito 
 Independentemente de sua natureza (fluido real ou perfeito), todos os escoamentos estão 
sujeitos às seguintes relações: 
1) A lei de Newton do movimento que deve valer para todas as partículas em qualquer 
instante. 
2) A equação da continuidade, isto é, a lei da conservação de massa. 
3) A primeira e a segunda leis da termodinâmica. 
4) Condições de contorno, que são formulações analíticas, segundo as quais um fluido real 
tem velocidade nula em relação a uma fronteira sólida com a qual esteja em contato e um 
um fluido ideal não pode penetrar uma fronteira sólida. 
 
Lista 8 de exercícios – páginas 92 a 94 do livro de Streeter 
 
 
56 
 
 
Equação da continuidade 
Conceitos de sistema e volume de controle aplicados na dedução da equação da 
continuidade 
 
Sistema 
Um sistema é definido como uma quantidade fixa de massa. 
Os limites que definem a fronteira de um sistema podem ser, por sua vez, fixos ou 
mutáveis, mas nenhuma quantidade de massa cruza esses limites. 
A fronteira de um sistema é uma superfície fechada que pode variar com o tempo desde 
que contenha sempre a mesma massa, qualquer que seja a transformação. 
 
A lei da conservação de massa afirma que a massa de um sistema permanece constante 
com o tempo. 
 
Em forma de equação, tem-se: 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 0 (3.2.1) 
Onde m é a massa total. 
 
A segunda lei de Newton, do movimento, para um sistema pode ser escrita da seguinte 
forma: 
∑ 𝐹 = 
𝑑
𝑑𝑡
 (𝑚𝑣) (3.2.2) 
Na qual: 
m – é a massa constante do sistema; 
∑ 𝐹 – é a resultante de todas as forças externas que agem no sistema, incluindo as de 
campo como o peso; 
V – é a velocidade do centro de massa do sistema. 
57 
 
 
Volume de controle 
Volume de controle refere-se a uma região arbitrária no espaço, de dimensão e forma 
fixas, por onde pode fluir massa. 
 
O limite (a fronteira) de um volume de controle é chamado de superfície de controle. 
 
O conceito de volume de controle é relacionado com o sistema através de uma propriedade 
geral deste, sendo aplicado para a obtenção das equações da continuidade, da quantidade 
de movimento e da energia. 
 
Formulação da taxa de variação com o tempo da grandeza N de um sistema em 
termos de volume de controle 
 
𝑑𝑁
𝑑𝑡
= 
𝜕
𝜕𝑡
 ∫ ƞ
𝑣𝑐
𝜌𝑑𝑉 + ∫ ƞ
𝑠𝑐
𝜌𝑣 . 𝑑𝐴 (3.2.6) 
Em que: 
𝑑𝑁
𝑑𝑡
 – taxa de variação do valor de N do sistema; 
𝜕
𝜕𝑡
 ∫ ƞ
𝑣𝑐
𝜌𝑑𝑉 - taxa de variação da grandeza N no volume de controle; 
∫ ƞ
𝑠𝑐
𝜌𝑣 . 𝑑𝐴 – fluxo de N através da superfície de controle; 
N – valor de alguma grandeza associada ao sistema (massa, energia, quantidade 
movimento); 
Ƞ - valor da grandeza N por unidade de massa, através do fluido; 
dV – elemento de volume; 
𝜌 – massa específica do fluido; 
dA – elemento de área de saída; e, 
v – velocidade do fluido. 
58 
 
 
A equação (3.2.6) (deduzida nas páginas 95 a 97 do livro de Streeter), afirma que a taxa de 
variação do valor de N do sistema é igual à taxa de variação da grandeza N no volume de 
controle mais o fluxo de N através da superfície de controle. 
 
Se na Eq. (3.2.6) N for a massa do sistema, Ƞ será a massa por unidade de massa, ou seja, 
Ƞ = 1. 
 
Então, a Eq. (3.2.6), fica: 
0 = 
𝜕
𝜕𝑡
 ∫ ƞ
𝑣𝑐
𝜌𝑑𝑉 + ∫ ƞ
𝑠𝑐
𝜌𝑣 . 𝑑𝐴 (3.3.1) 
 
O lado esquerdo da Eq. (3.3.1) é nulo devido o princípio geral da conservação da massa, 
Eq. (3.2.1). 
Logo, a equação da continuidade para volume de controle afirma que a taxa de variação da 
massa no volume de controle é igual ao saldo dos fluxos de massa através da superfície de 
controle, ou seja: 
𝜕
𝜕𝑡
 ∫ ƞ
𝑣𝑐
𝜌𝑑𝑉 = ∫ ƞ
𝑠𝑐
𝜌𝑣 . 𝑑𝐴 
 
Considere o escoamento permanente num trecho do tubo de corrente da Fig. 3.4. 
 
Fig. 3.4 – Escoamento permanente por um tubo de corrente. 
 
59 
 
O volume de controle é limitado pelas paredes do tubo de corrente, entre as seções 1 e 2, e 
pelas áreas destas. 
Já que o escoamento é permanente, o primeiro termo da Eq. (3.3.1) é nulo, logo: 
∫ 𝜌𝑣
𝑠𝑐
 . 𝑑𝐴 = 0 (3.4.1) 
 
O que mostra que o fluxo total de massa através do volume de controle deve ser nulo. 
Na seção 1, o fluxo total de massa é 𝜌1𝑣1𝑑𝐴 e, na seção 2, é 𝜌2𝑣2𝑑𝐴 
 
Como não há escoamento através das paredes de um tubo de corrente, então: 
𝜌1𝑣1𝑑𝐴 = 𝜌2𝑣2𝑑𝐴 (3.4.2) 
 
Que é a equação da continuidade aplicável entre duas seções de um tubo de corrente num 
escoamento permanente. 
 
A Fig. 3.5 ilustra um conjunto detubos de corrente. 
 
Fig. 3.5 - Conjunto de tubos de corrente entre contornos fixos. 
 
Para um conjunto de tubos de corrente, como na Fig. 3.5, se 𝜌1 é a massa específica média 
na seção 1 e 𝜌2 é a massa específica média na seção 2, tem-se: 
 
𝑚 = 𝜌1𝑉1𝑑𝐴1 = 𝜌2𝑉2𝑑𝐴2 (3.4.3) 
 
60 
 
Onde V1 e V2 representam as velocidades médias nas seções transversais e m é a vazão em 
massa. 
A velocidade média numa seção transversal é dada por: 
𝑉 = 
1
𝐴
∫ 𝑣 𝑑𝐴 
 
Definindo vazão Q (também chamada vazão em volume ou descarga) como: 
Q = AV (3.4.4) 
 
A equação da continuidade pode ser escrita na forma: 
𝑚 = 𝑚 = 𝜌1𝑄1 = 𝑚 = 𝜌2𝑄2 (3.4.5) 
 
Para um escoamento permanente de fluido incompressível (𝜌1 = 𝜌2 = massa específica 
constante), tem-se: 
𝑄 = 𝐴1𝑉1 = 𝐴2𝑉2 (3.4.6) 
 
Que é uma forma de grande utilidade da equação. 
 
Exemplo 3.2 – Na seção 1 de um conduto pelo qual escoa água (Fig. 3.6), a velocidade é 
3,0 ft/s (0,91 m/s) e o diâmetro é 2,0 ft (0,61 m). Este mesmo escoamento passa pela seção 
2 onde o diâmetro é 3,0 ft (0,91 m). Determinar a vazão e a velocidade na seção 2. 
 
Fig. 3.6 – Volume de controle para o escoamento por tubos em série. 
 
61 
 
Da Eq. (3.4.6), tem-se: 
𝐴 = 𝜋𝑟2 𝜋 = 3,1416 
𝑄 = 𝐴1𝑉1 = 3,1416 𝑥 (1)
2 𝑥 3,0 = 9,42 𝑐𝑓𝑠 − 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑐 𝑓𝑒𝑒𝑡 = 
𝑓𝑡3
𝑠
 (0,267 
𝑚3
𝑠
) 
𝑉2 = 
𝑄
𝐴2
= 
9,42
3,1416 𝑥 1,52
= 1,33
𝑓𝑡
𝑠
 (0,40 
𝑚
𝑠
) 
 
Para o cálculo de escoamentos bi e tridimensionais, a equação da continuidade é usada na 
forma diferencial. Ver dedução da forma diferencial nas páginas 101 a 104 do livro de 
Streeter. 
 
Lista 9 de exercícios – página 104 do livro de Streeter.