PPT Mínimos Quadrados Ordinários

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O MODELO DE REGRESSÃO DE DUAS VARIÁVEIS
Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) 
Estimar um função de regressão populacional (FRP) com base na função regressão amostral (FRA) de maneira mais precisa possível. 
Mínimos Quadrados Ordinários (MQO)
Máxima Verossimilhança (MV)
OBJETIVO: minimizar os resíduos ao quadrado
Sabendo que função regressão populacional:
Não pode ser observada diretamente
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Temos que estimar a função regressão da amostra
Então
Os resíduos são a diferença entre os valores observados e estimados
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Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) 
O MODELO DE REGRESSÃO DE DUAS VARIÁVEIS
Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) 
Dados n pares de observações de Y e X, queremos determinar a FRA de maneira que fique mais próximo possível do Y observado. Pode-se adotar o seguinte critério: escolher a FRA de tal forma que a soma dos resíduos seja a menor possível.
Com isso, qualquer ponto dos resíduos estimados terá o mesmo peso, independente da distância que estejam da FRA. 
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Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) 
Critério dos Mínimos ao Quadrado.
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Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) 
Critério dos Mínimos ao Quadrado.
ou
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Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) 
Critério dos Mínimos ao Quadrado.
Exemplo:
	Variáveis	
	Y	X
	1	1
	1	2
	2	2
	2	3
	3	3
	3	4
O MODELO DE REGRESSÃO DE DUAS VARIÁVEIS
Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) 
O MODELO DE REGRESSÃO DE DUAS VARIÁVEIS
Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) 
1	2	2	3	3	4	1	1	2	2	3	3	
O MODELO DE REGRESSÃO DE DUAS VARIÁVEIS
Erros padrão das estimativas de mínimos quadrados:
Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) 
As estimativas de MQO são uma função dos dados amostrais. No entanto, os dados costumam mudar de amostra para amostra. Assim é importante algumas medidas de confiabilidade dos estimadores
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Erros padrão das estimativas de mínimos quadrados:
Todas as quantidades que entram nas equações anteriores podem ser estimadas com base nos dados observados, exceto No entanto:
n-2 = número de graus de liberdade (gl)
= soma do quadrado dos resíduos (SQR)
Número de graus de liberdade representa o número total de observações da amostra menos o número de restrições independentes imposta, no caso detalhado e .
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Erros padrão das estimativas de mínimos quadrados:
A SQR pode ser calculado da seguinte maneira:
A partir dos dados observados
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Erros padrão das estimativas de mínimos quadrados:
Chega-se ao erro padrão da estimativa ou erro padrão da regressão (ep):
É simplesmente o desvio padrão de Y em relação à linha de regressão estimada
A variância de é diretamente proporcional a , mas inversamente proporcional a 
A variância de é diretamente proporcional e , mas inversamente proporcional e ao tamanho da amostra.
Como e são estimadores, eles variam de amostra para amostra e tendem a serem dependentes um do outro em determinadas amostras. 
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As Hipótese Subjacentes ao Método dos Mínimos Quadrados:
Hipótese 1: Modelo de Regressão Linear: o modelo de regressão é linear nos parâmetros, podendo ser não linear nas variáveis 
Hipótese 2: Valores de X fixos ou independente do termo erro: valores assumidos por X podem ser fixos em amostras repetidas, ou podem mudar de acordo com Y 
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As Hipótese Subjacentes ao Método dos Mínimos Quadrados:
Hipótese 3: Valor médio do termo de erro é zero: dado os valor de X, o valor médio ou esperado do termo erro aleatório é zero
Se X é não estocástico,
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As Hipótese Subjacentes ao Método dos Mínimos Quadrados:
Hipótese 4: Homocedasticidade ou variância constante dos erros: a variância do termo erro é a mesma independentemente do valor de X.
Se X é não estocástico 
Homocedasticidade 
Heterocedasticidade 
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Homocedasticidade 
Heterocedasticidade 
As Hipótese Subjacentes ao Método dos Mínimos Quadrados:
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As Hipótese Subjacentes ao Método dos Mínimos Quadrados:
Hipótese 5: Não há autocorrelação entre os termos de erro: dados dois valores X a correlação entre dois valores do termo erro é zero.
Se X é não estocástico 
Hipótese 6: O número de observações deve ser maior que o número de parâmetros a serem estimados.
Hipótese 7: Variabilidade dos valores de X: os valores de X em uma amostra não devem ser os mesmo. 
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O coeficiente de determinação :
Busca identificar a qualidade de ajustamentos dos dados com a linha da regressão. Ou seja, o quão bem a linha de regressão é adequada aos dados. 
O coeficiente de determinação , para caso de duas variáveis, ou , para o caso de regressão múltipla, é uma medida resumida que mostra quanto a linha de regressão amostral se ajusta aos dados. Esperamos que os resíduos em torno da linha de regressão sejam os menores possíveis. 
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O coeficiente de determinação :
Sabe-se que:
Em formato de desvio:
Elevando os dois lados ao quadrado e somando na amostra:
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O coeficiente de determinação :
soma total de quadrados 
soma dos quadrados explicados pela regressão 
1
YX
11-1,5-12,25
12-0,5-10,25
22-0,500,25
230,500,25
330,510,25
341,512,25
Média22,5
1,5
0,5
0
0
0,5
1,5
ࢄ࢏െࢄഥࢅ࢏െࢅഥሺࢄ࢏െࢄഥሻ૛ሺࢅ࢏െࢅഥሻ.ሺࢄ࢏െࢄഥሻ
Y
10,9050,095
11,635-0,635
21,6350,365
22,365-0,365
32,3650,635
33,095-0,095
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