Aula 6

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Problemas de valores iniciais 
imediatosimediatos
• Nesta seção, vamos conhecer e resolver os
problemas de valores iniciais imediatos que
são essenciais para compreender o uso das
integrais no cotidiano e em outras disciplinasintegrais no cotidiano e em outras disciplinas
de exatas.
Integral indefinida
• Como vimos nas seções anteriores, devemos
sempre acompanhar uma integral indefinida por
uma constante C.
• Isso ocorre porque existe uma família de• Isso ocorre porque existe uma família de
primitivas que nos respondem a pergunta: qual a
função F(x) que, derivada, resulta na função f(x)?
• Qualquer função F(x) + C resultará na mesma
derivada f(x), uma vez que a derivada de uma
constante é zero.
Integral indefinida
• Você percebe que todas as funções apresentadas têm a
mesma derivada no mesmo valor constante de x? São a
mesma função, deslocadas no eixo y.
• Todas cruzam o eixo y em valores distintos.
• Em alguns casos, é importante e tem
significado a escolha precisa de uma
determinada primitiva, com a obtenção da
constante de integração C.constante de integração C.
Velocidade instantânea de um corpo 
• Um exemplo de aplicação muito comum vem
da Física. A velocidade instantânea de um
corpo é dada pela variação da posição com
relação ao tempo, ou seja, a derivada da
posição com o tempo.posição com o tempo.
• Digamos que você conhece a função que
descreve essa velocidade em função do
tempo:
v(t) = 3t2 − 2t + 1. 
Velocidade instantânea de um corpo 
• Pode ser que você queira obter a posição
desse objeto em um determinado instante de
tempo.
• Basta integrar, pois a função posição é uma• Basta integrar, pois a função posição é uma
das primitivas da função velocidade.
• Teremos então:
Velocidade instantânea de um corpo 
• No instante 3 s, qual a posição exata do
objeto? Obteremos como resposta:
Posição inicial
• Ou seja, não obtivemos a posição inicial exata!
Obtivemos apenas o deslocamento do objeto
no intervalo de 3 segundos, 21 metros.
• A resposta exata depende da posição inicial do• A resposta exata depende da posição inicial do
corpo ou ao menos, que tenhamos
conhecimento da posição do corpo em algum
instante.
Posição inicial
• Se for de nosso conhecimento que a posição 
inicial do corpo era 5 m, ou seja:
s(0) = 5m,
• então sabemos que• então sabemos que
s(0) = 03 − 02 + 0 +C = 5m,
• e portanto:
C = 5m.
Posição inicial
• Utilizando a condição inicial, podemos
descobrir qual a posição do corpo no instante
3 s:
s(3) =33 − 32 + 3 + 5 =21+ 5 = 26ms(3) =33 − 32 + 3 + 5 =21+ 5 = 26m
• Esta é uma aplicação específica.
• No geral, teremos sempre uma “condição
inicial” ou uma “condição de contorno”.
• Receberemos o valor da função em um
determinado ponto, algo do tipo F(a)+C = b
com a e b números reais.
• Tal informação nos permitirá encontrar a• Tal informação nos permitirá encontrar a
constante C.
• Poderíamos também receber a constante de
integração e obter o limite a ou o limite b.
Exemplificando
• Em uma refinaria, uma máquina parou de
funcionar, gerando uma taxa de variação do
prejuízo (em milhares de reais) em função do
tempo (em horas) em que a máquina fica paradatempo (em horas) em que a máquina fica parada
dada por:
P'(t) = 2t + 20
• Sabendo que com a máquina funcionando não há
prejuízo (P(0) = 0), calcule o prejuízo da empresa
caso a máquina fique parada por 4 horas.
• Muitos casos precisamos utilizar derivadas de
segunda ordem para obter a função desejada.
• No caso, utilizaremos o mesmo procedimento,
a diferença será que precisaremos de duasa diferença será que precisaremos de duas
informações: f(a) = b e f’(c) = d.
• Primeiro faremos a integral indefinida de f’’,
obtendo f’ + C e utilizando a informação f’(c) =
d.
• Depois, integramos f’ para obter f + D, onde D• Depois, integramos f’ para obter f + D, onde D
é uma segunda constante de integração.
• Utilizamos a informação f(a) = b e
descobrimos D.
• Na Física, por exemplo, podemos receber
como informação uma função aceleração a(t)
de um móvel, sua velocidade inicial e sua
posição inicial, para encontrar a posição finalposição inicial, para encontrar a posição final
do móvel.
• Na verdade, faremos um problema que
envolve espaço s = s(t), velocidade v = s'(t) e
aceleração a = s"(t).
Exemplificando
• Vamos fazer um exemplo mais geral, para
entender bem. Qual é a função f cuja derivada
de segunda ordem é dada por f"(x) = 6x + 6,
sabendo que f'(2) = 20 e f(1) = 5?sabendo que f'(2) = 20 e f(1) = 5?
Exemplificando
• Em uma corrida de automóveis, a largada é
feita em movimento. Após 3 segundos, um
carro encontra-se a 10 m da linha de largada
(s(3) = 10) e após 2 segundos, a velocidade é(s(3) = 10) e após 2 segundos, a velocidade é
de 10 m/s (s'(2) = 10). Sabendo que a
aceleração do automóvel é dada por s"(t) = 2t
m/s2, determine a posição do carro após 6
segundos.
Exercícios
1. Qual é a função f cuja derivada é dada por 
f'(x) = 2x + 5 e f(0) = 2?
a) f(x) = x2 + 3
b) f(x) = x2 + 3x + 2b) f(x) = x2 + 3x + 2
c) f(x) = x2 + 5x + 3
d) f(x) = x2 + 5x + 2
e) f(x) = 5x + 2
Exercícios
2. Qual é a função f cuja derivada é dada por
f'(x) = 2e2x – 3 e f(0) = 1?
a) f(x) = e2x – 3x + 1
b) f(x) = e2x – 3xb) f(x) = e2x – 3x
c) f(x) = 2e2x – 3x + 1
d) f(x) = 2e2x – 3x
e) f(x) = e2x + 1
Exercícios
3. Qual é a função f cuja derivada é dada por
f'(x) = In(2x) + 1 e f(1) = 0?
a) f(x) = x In(2x) – 2x + 2
b) f(x) = In(2x) – In2b) f(x) = In(2x) – In2
c) f (x) = 2/x − 2
d) f(x) = In(2x) + 1
e) f(x) = x In(2x) – In2