Física Geral e experimental - Mecânica - UNOPAR

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Física Geral e 
Experimental: 
Mecânica e 
Energia
Keila Tatiana Boni 
Maurilio Cristiano Batista Bergamo
Física Geral e 
Experimental: Mecânica e 
Energia
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Boni, Keila Tatiana 
 
 
 ISBN 978-85-8482-319-2
 1. Física – Experiências. 2. Movimento. 3. Força 
(Mecânica). I. Bergamo, Maurilio Cristiano Batista. II. Título.
 CDD 530 
Tatiana Boni, Maurilio Cristiano Batista Bergamo. – Londrina:
Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2016.
 192 p.
B715f Física geral e experimental: mecânica e energia / Keila 
© 2016 por Editora e Distribuidora Educacional S.A 
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida 
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2016
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Sumário
Unidade 1 | Aspectos Introdutórios da Física
Seção 1.1 - Medição
Introdução à seção
1.1.1 | Padrões e unidades
1.1.2 | Conversão de unidades
1.1.3 | Notação científica
1.1.4 | Vetores e escalares
Seção 1.2 - Movimento retilíneo
Introdução à seção
2.2.1 | Deslocamento, tempo e velocidade média
2.2.2 | Velocidade instantânea
2.2.3 | Aceleração média
2.2.4 | Aceleração instantânea
2.2.5 | Aceleração constante
2.2.6 | Queda livre de corpos
2.2.7 | Velocidade e posição por integração
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Unidade 2 | Força e Movimento
Seção 2.1 - Movimento em duas e três dimensões
Introdução à seção
2.1.1 | Vetor posição e vetor velocidade
2.1.2 | Vetor aceleração
2.1.3 | Movimento de projéteis
Seção 2.2 - Força e movimento
introdução à seção
2.2.1 | O conceito de força
2.2.2 | Primeira lei de Newton
2.2.3 | Segunda lei de Newton
2.2.3.1 | Força gravitacional e peso
2.2.4 | Terceira lei de Newton
2.2.5 | Aplicacações das leis de Newton
2.2.6 | Forças de atrito
2.2.7 | Dinâmica do movimento circular uniforme
2.2.8 | Forças fundamentais da natureza
2.2.8.1 | A força gravitacional
2.2.8.2 | A força eletromagnétical
2.2.8.3 | Força forte
2.2.8.4 | A força fraca
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Unidade 3 | Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
Seção 3.1 - Trabalho e energia cinética
Introdução à seção
3.1.1 | Trabalho
3.1.1.1 | Trabalho: movimento em uma dimensão com força constante
3.1.1.2 | Trabalho executado por uma força variável
3.1.1.3 | Trabalho realizado por uma mola
3.1.1.4 | Energia cinética
3.1.1.5 | Potência
3.1.2 | Convervação da energia
3.1.2.1 | Trabalho e energia potencial
3.1.2.2 | Energia mecânica
3.1.2.3 | Determinação da energia potencial
3.1.2.3.1 | Energia potencial gravitacional
3.1.2.3.2 | Energia potencial elástica
3.1.2.4 | Forças conservativas e não conservativas
3.1.2.5 | A equação de conservação de energia
3.1.2.6 | Trabalho realizado por uma força de atrito
Seção 3.2 - Sistemas de partículas e colisões
Introdução à seção
3.2.1 | Centro de massa
3.2.2 | Segunda lei de Newton para um sistema de partículas
3.2.3 | Momento linear
3.2.4 | Conservação do momento linear
3.2.5 | Colisão e impulso
3.2.5.1 | Colisão em série
3.2.6 | Colisões elásticas e inelásticas
3.2.6.1 | Colisões unidimensionais
3.2.6.2 | Colisões perfeitamente inelásticas
3.2.6.3 | Colisões elásticas
3.2.6.4 | Colisões em duas dimensões
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Unidade 4 | Termometria e Calorimetria
Seção 4.1 - Termometria
Introdução à seção
4.1.1 | Temperatura
4.1.2 | Partículas de um corpo
4.1.3 | Equilíbrio térmico
4.1.4 | Medida de temperatura
4.1.5 | Escalas termométricas
4.1.5.1 | Escalas Celsius
4.1.5.2 | Escalas Fahrenheit
4.1.5.3 | Escalas Kelvin
4.1.5.4 | Zero absoluto
4.1.6 | Relação entre as escalas
4.1.6.1 | Escala Fahrenheit e Celsius
4.1.6.2 | Escala Fahrenheit e Kelvin
4.1.6.3 | Escala Celsius e Kelvin
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Seção 4.2 - Calorimetria
Introdução à seção
4.2.1 | Calor
4.2.2 | Capacidade térmica
4.2.3 | Calor específico
4.2.4 | Caloria dos alimentos
4.2.5 | Calor sensível e calor latente
4.2.6 | Trocas de calor
4.2.7 | Calorímetro
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Apresentação
O presente material, referente à disciplina de Física Geral e Experimental: 
Mecânica e Energia, foi elaborado com o intuito de proporcionar a você, caro 
estudante, um caminho consistente para o aprendizado de conceitos elementares 
da física, os quais apresentam grande aplicabilidade nas engenharias e áreas afins. 
Particularmente, com este material você introduzirá seus estudos sobre a 
mecânica, e, desse estudo, destacamos a cinemática e a dinâmica. Na Cinemática 
você estudará os movimentos que, certamente, já estudou no ensino médio, 
porém, nessa nova etapa, esses estudos serão aprofundados, sobretudo, com o 
auxílio do cálculo diferencial e integral e da álgebra linear. 
Na dinâmica, você estudará energia e as leis de conservação, além de diversos 
outros conceitos relacionados a esses, e, do mesmo modo que na cinemática, tal 
estudo será aprofundado a partir da utilização de conhecimentos matemáticos 
mais avançados. 
Nesse contexto, visamos com este material que você, estudante, tenha a 
oportunidade de pensar sobre fenômenos físicos em termos matemáticos. 
Contudo, para que a aprendizagem de fato ocorra, as abordagens teóricas, os 
exemplos resolvidos, os problemas propostos e os materiais sugeridos devem ser 
estudados e trabalhados até o estágio de completo entendimento, tanto no que 
diz respeito aos procedimentos matemáticos quanto na interpretação física desses. 
Desejamos que este material seja por você utilizado com muito entusiasmo, 
visando desenvolver sua intuição de maneira a torná-la precisa na modelação 
matemática de problemas físicos, na interpretação física de soluções matemáticas, 
mas, sobretudo, na aplicação de conceitos físicos em situações reais relacionadas 
à sua formação acadêmica.
Bons estudos!
Unidade 1
ASPECTOS INTRODUTÓRIOS 
DA FÍSICA
Na primeira seção, você conhecerá os sistemas de unidades convencionais 
para descrever grandezas físicas, bem como aprenderá maneiras de realizar 
conversões entre diferentes sistemas de unidades. Além disso, você verá como 
representar medidas muito grandes ou muito pequenas, bem como realizar 
operações com esses tipos de representações. 
Nesta seção, serão introduzidos conceitos de mecânica, que envolve o estudo 
das relações entre movimento, massa e força. De maneira mais específica, nesta 
segunda seção, você começará o estudo sobre movimento unidimensional, que é 
o tipo de movimento mais simples, em que uma partícula se desloca ao longo de 
uma linha reta. Nesse contexto, você estudará duas grandezas físicas: velocidade e 
aceleração. 
Seção 1.1 | Medição
Seção 1.2 | Movimento retilíneo
Objetivos de aprendizagem: 
Nesta primeira unidade, objetiva-se introduzi-lo no estudo da física clássica, 
a partir de uma apresentação clara e elementar de conceitos e princípios 
básicos da física. Dentre esses conceitos, destacamos as unidades de medidas e 
conversões, bem como as primeiras ideias relacionadas à posição,velocidade e 
aceleração no movimento unidimensional.
Keila Tatiana Boni
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Aspectos Introdutórios da Física
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Introdução à unidade
A física é, certamente, um estudo fundamental e de extrema relevância para 
diversas áreas. Afinal, diversos conceitos físicos precisam ser estudados para que 
seja possível colocar em prática teorias de outras ciências.
Essa importância de possuir conhecimentos sobre conceitos físicos pode ser 
evidenciada, sobretudo, nas engenharias, pois, por exemplo, não é possível projetar 
uma nave espacial, um veículo mais potente e econômico ou um liquidificador mais 
eficiente sem entender os princípios básicos da física.
Considerando a essencialidade de conhecimentos físicos na engenharia, são 
apresentados, nesta primeira unidade, alguns conceitos preliminares fundamentais, 
tais como: a natureza da teoria física e o uso de modelos matemáticos para representar 
sistemas físicos; os sistemas de unidades utilizados para descrever grandezas físicas; 
e as relações entre movimento, massa e força num deslocamento em linha reta.
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Aspectos Introdutórios da Física
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Seção 1.1
Medição
Dando início à unidade, esta primeira seção contempla conhecimentos essenciais 
para compreender os conceitos físicos que serão estudados no decorrer do curso. 
Esses conceitos dizem respeito às medições.
Pode-se entender que o objetivo geral na física é proporcionar um entendimento 
quantitativo de determinados fenômenos que ocorrem no universo e, para isso, 
recorre-se a observações experimentais e análises matemáticas para elaborar 
teorias que expliquem tais fenômenos e relacione-os a outros já conhecidos. Assim, 
a matemática tem um papel fundamental na física: é a linguagem utilizada para 
estabelecer uma ligação entre teorias e experiências.
E, para descrever fenômenos naturais, além da linguagem matemática, faz-se 
necessário realizar medições adequadas e associadas às quantidades físicas presentes 
nos fenômenos naturais em questão. Assim, justifica-se a relevância de iniciarmos os 
estudos sobre conceitos físicos a partir do estudo sobre medições.
Com a introdução desta seção, é possível que você tenha compreendido que a 
física é uma ciência de natureza experimental e que esses experimentos necessitam 
de medidas e de linguagem matemática para serem descritos. Essa linguagem 
matemática é que permite obter modelos matemáticos para representar sistemas 
físicos.
Na física, os números utilizados para descrever de maneira quantitativa um 
fenômeno físico é chamado de grandeza física. Contudo, esses não podem ser 
apresentados isoladamente, mas precisam ser acompanhados de uma unidade para 
especificar o que este número representa. Por exemplo: dizer que algo mede 30 não 
faz o menor sentido. É preciso especificar se essa medida refere-se a 30 metros, 30 
centímetros, 30 quilômetros etc.
Introdução à seção
1.1.1 Padrões e unidades
1 Modelo é um substituto simplificado para o problema real que nos permite solucioná-lo de um modo 
relativamente fácil. Com a linguagem matemática, podemos obter modelos algébricos (equações, 
funções, gráficos, etc). Contudo, na Física podemos também encontrar outros tipos de modelos, como, 
por exemplo, representações pictóricas (desenhos e figuras) de situações. 
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Você acabou de estudar que uma determinada medida 
representada por um número precisa ser acompanhada de 
uma unidade específica. Mas será que as unidades são as 
mesmas em todas as partes do mundo? Existe um padrão?
Para que seja possível obter medidas precisas e confiáveis, fazem-se necessárias 
unidades de medidas que possam ser compreendidas e reproduzidas por diversos 
observadores, de diversificadas localidades. Por esse motivo, convencionalmente 
utiliza-se o sistema de unidades utilizado por cientistas de diversas partes do mundo, o 
Sistema Internacional de Medidas, conhecido como SI.
No decorrer dos estudos, você perceberá que trabalharemos, de maneira 
predominante, com três grandezas fundamentais: comprimento, massa e tempo. 
E, de acordo com o SI, as unidades fundamentais dessas três grandezas são, 
respectivamente, o metro (m), o quilograma (kg) e o segundo (s).
O padrão legal de comprimento, o metro, tem sua origem na França e é definido 
como a distância que a luz percorre no vácuo em uma fração de 1/299.792.458 
segundos.
 A unidade padrão para massa, o quilograma, é definida como a massa de um 
cilindro específico de liga de platina-irídio mantido na Agência Internacional de Pesos 
e Medidas, em Sèvres, na França. É muito importante ressaltar que peso e massa são 
grandezas bastante distintas!
Apesar de que você ainda evidenciará a distinção entre peso e massa 
no decorrer dos seus estudos, acessando o link indicado você poderá 
adiantar um pouco desse conhecimento:
Disponível em:
<http://www.ipem.sp.gov.br/index.php?option=com_content&view=art
icle&id=13&Itemid=267>. Acesso em: 11 ago. 2015.
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O padrão de tempo, o segundo, é fundamentado em um relógio atômico que usa 
com frequência a diferença de energia entre os dois menores estados de energia do 
átomo de césio. Quando esse átomo é bombardeado por micro-ondas de uma certa 
frequência, os átomos de césio sofrem transições de um estado para outro. Assim, um 
segundo é definido como 9.192.631.770 vezes o período de vibração da radiação do 
átomo de césio.
Com relação às unidades fundamentais elencadas (metro, quilograma e segundo), 
com frequência você se deparará em seus estudos com grandezas físicas que podem 
ser expressas em termos dessas unidades fundamentais do SI. Por exemplo, a unidade 
de medida SI para a força é kg·m/s², a qual é mais conhecida como Newton (N). 
Além disso, vale ressaltar que, a partir dessas unidades fundamentais, é possível 
obter unidades maiores ou menores para as mesmas grandezas físicas por meio de 
múltiplos e submúltiplos de dez, como no caso da massa e do comprimento. A título 
de exemplo, observe a figura a seguir:
Acessando o link indicado abaixo, você conhecerá outras unidades do 
Sistema Internacional (SI), relacionados a outras grandezas, também 
muito utilizados nos conceitos de física que você estudará:
Disponível em: <http://www.inmetro.gov.br/noticias/conteudo/sistema-
internacional-unidades.pdf>. Acesso em: 11 ago. 2015.
Fonte: http://feb.ufrgs.br/resources/284/p3.html. Acesso em: 11 ago. 2015.
Figura 1.1 – Múltiplos e submúltiplos da unidade fundamental de massa
X 1000 : 1000
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Tendo como unidade principal o grama, perceba que, por meio de múltiplos e 
submúltiplos de dez, é possível obter unidades maiores ou menores para a massa. De 
acordo com a figura apresentada, temos, por exemplo, que 1kg=10×10×10 g=103 g e 
que 1 cg= = 10-2 g.
A mesma relação apresentada na Figura 1.1 pode ser escrita e utilizada para a 
unidade fundamental de comprimento (metro), obtendo, assim, da esquerda para a 
direita: quilômetro (km), hectômetro (hm), decâmetro (dam), metro (m), decímetro 
(dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).
Para a unidade fundamental de tempo, vocês já conhecem relações tais como:
1 minuto = 60 segundos
1 hora = 60 minutos = 3.600 segundos
1 dia = 24 horas = 1.440 minutos = 86.400 segundos
Etc...
Contudo, também para o tempo teremos casos em que potências de dez podem 
ser utilizadas para descrever unidades maiores ou menores. Por exemplo:
1 nanossegundo = 1ns = 10–9s (tempo para a luz percorrer 0,3 m)
1 microssegundo = 1 µs = 10–6 s (tempo para um satélite percorrer 8mm)
A Figura 1.2 apresenta esses prefixos (nano e micro) exemplificados acima e outros 
prefixos para as potências de dez e que podem ser utilizados para diversas grandezas 
físicas:
Fonte: http://www.inmetro.gov.br/consumidor/pdf/Resumo_SI.pdf. Acesso em: 3 dez. 2015.
Figura 1.2 – Alguns prefixos para potências de dez
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Em muitos casos, serão necessários converter unidades de um sistema em outro 
ou, até mesmo, dentro de um sistema. Como um exemplo do primeiro caso, de 
conversão entre unidades de um sistema em outro, pode-se citar as igualdades entre 
SI e as unidades usuais de comprimento nos EUA:
1 milha (mi) = 1.609 metros (m) = 1,609 quilômetros (km)
1 metro (m) = 39,37 polegadas (pol) = 3,281 pés
1 pé = 0,3048 metros (m) = 30,48 centímetros (cm)
1 polegada (pol) = 0,0254 metros (m) = 2,54 centímetros (cm)
Quanto ao segundo caso, conversões dentro de um próprio sistema, pode-se 
mencionar as conversões dentro do sistema métrico, como, por exemplo:
1 quilômetro (km) = 1.000 metros (m) = 1.000.000 milímetros (mm)
Todas as medidas de grandezas físicas têm um número e uma unidade. Na 
física, todas essas grandezas são representadas por uma simbologia que contenha 
a primeira letra do nome da grandeza, o valor e a unidade. Por exemplo, t pode 
representar um tempo de 20 s, uma velocidade de 6 m/s e δ um distância de 30 m.
Ao realizar operações matemáticas (adição, subtração, multiplicação ou 
divisão) sobre essas grandezas, numa equação algébrica, por exemplo, as unidades 
envolvidas são tratadas como se fossem qualquer grandeza algébrica. Além disso, 
uma equação deve sempre possuir coerência dimensional, ou seja, só podemos 
realizar a operação matemática ou equacionar dois termos se esses possuírem 
unidades em comum.
Veja um exemplo: deseja-se calcular a distância percorrida, em 50 s, por um 
corpo que se desloca à velocidade constante de 5 m/s (metros por segundo). 
1.1.2 Conversão de unidades
Além do Sistema Internacional de Medidas, existem outros sistemas 
como, por exemplo, o Sistema Técnico Inglês. Saiba mais sobre esse e 
outros sistemas no seguinte link: ftp://ftp.cefetes.br/cursos/Mecanica/
T%E9cnico/Mec%E2nica%20T%E9cnica/cap2.prn.pdf. Acesso em: 3 set. 
2015.
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Nessa situação, a distância equivale ao produto da velocidade (ν) pelo tempo (τ):
 
Perceba que como a unidade 1/s do membro direito da equação é cancelada 
com a unidade s, que está multiplicando, o produto vt possui unidade de metro. 
O cancelamento realizado da unidade de tempo s ocorreu como se fosse uma 
grandeza algébrica comum e é esse tipo de procedimento de tratamento de 
unidades que facilita a conversão de uma unidade em outra.
Veja outro exemplo: deseja-se converter a resposta de 250 metros em milhas. 
Você já viu que uma milha é igual a 1.609 metros e, assim, é possível escrever:
Esse fator é chamado de fator de conversão e, uma vez que qualquer grandeza 
pode ser multiplicada por 1 sem que haja alteração em seu valor, é possível 
converter de 250 metros para milhas de maneira bem simples pela multiplicação 
por esse fator:
E, se quisesse realizar a conversão de maneira contrária – de 
milhas para metros –, você acha que o fator de conversão 
apresentado acima poderia ser utilizado?
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Para melhor compreensão, veja mais um exemplo: “Se o seu carro estiver a 
90 km/h, qual a sua velocidade em metros por segundo e em milhas por hora?” 
(TIPLER, 2000, p. 5).
Resolução: perceba que, nessa situação, a medida dada (90 km/h) deverá ser 
multiplicada por um conjunto de fatores de conversão, cada qual exatamente igual 
a 1, de modo que o seu valor não se altera. Vamos determinar esses fatores de 
conversão:
Sabemos que 1.000 m = 1 km, que 60 s = 1 min, que 60 min = 1 hora e que 1 
mi = 1,609 km. Assim, obtemos, respectivamente, os fatores de conversão:
• Conversão para metros por segundo: multiplicamos 90 km/h por um conjunto 
de fatores de conversão que transformam quilômetros em metros e horas em 
segundos:
 
• Conversão para milhas: multiplicamos 90 km/h pelo fator de conversão 
1/1,609:
A notação científica é muito útil na manipulação de números muito grandes ou 
muito pequenos. Nessa notação, qualquer número é escrito como o produto de 
um número entre 1 e 10 e uma potência de 10 apropriada. Por exemplo:
A distância entre a Terra e o Sol é de aproximadamente 150.000.000.000 m e 
pode ser escrita como 1,5×1011 m;
1.1.3 Notação científica
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o diâmetro de um vírus é de aproximadamente 0,00000001 m e pode ser 
escrito como 1×10–8m.
Perceba que, para escrever números muito grandes em notação científica, 
o expoente da base 10 é positivo, e, para escrever números muito pequenos, o 
expoente da base 10 é negativo.
Em muitos casos, será necessário realizar operações envolvendo números em 
notação científica. Nesse caso, vale lembrar algumas regras de potenciação:
– Adição e subtração: para realizar essas operações, primeiro é preciso verificar 
se as potências de 10 possuem o mesmo expoente. Se forem iguais, basta somar 
ou subtrair as mantissas (sinônimos de mantissa: significando ou coeficiente). Caso 
as mantissas não sejam iguais, será necessário mover a vírgula visando a obter os 
mesmos expoentes. Por exemplo:
(3,15×107 )+(5,02×105)=
(315,0×105)+(5,02×105) ou (3,15×107)+(0,0502×107)=
3,2002×107=32.002.000
– Multiplicação e divisão: ao multiplicar números em notação científica, os 
expoentes são somados. Em contrapartida, quando números em notação científica 
são divididos, os expoentes são subtraídos. Por exemplo:
103×104=1.000×10.000=10.000.000=107
Analogamente,
– Potenciação: ao se elevar uma potência a outra, os expoentes se 
multiplicam. Por exemplo:
(103)5=103×103×103×103×103=1015
1.1.4 Vetores e escalares
Cada uma das grandezas que você estudará na disciplina de física pode ser 
categorizada como escalar ou vetor. Escalar corresponde a uma grandeza que é 
especificada completamente por um número positivo ou negativo com unidades 
apropriadas. Já o vetor é uma grandeza física que, para ser completamente 
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especificada, necessita de módulo (ou magnitude), direção e sentido. Módulo (ou 
magnitude) representa o “tamanho” do vetor.
Por exemplo, dizer que a temperatura do momento é de 25ºC já completa 
essa informação, ou seja, não se faz necessária nenhuma especificação sobre 
direção ou sentido. Sendo assim, temperatura, massa e volume são exemplos de 
grandezas escalares. Esses tipos de grandezas, desde que em mesma unidade, 
podem ser manipuladas de acordo com a aritmética comum (adição, subtração, 
multiplicação e divisão).
Um exemplo de grandeza vetorial é a força, pois, para descrevê-la completamente, 
é preciso especificar a direção e o sentido da força aplicada, bem como o módulo 
dessa. Outros exemplos de grandezas vetoriais são o deslocamento, velocidade, 
aceleração e momento.
Os vetores podem ser representados de duas maneiras: letra em negrito com 
uma flecha em cima, como , ou um caractere simples em negrito, como F. O 
módulo do vetor poderá ser escrito como F ou | |.
Quanto às operações entre vetores, esses se combinam de acordo com 
algumas regras especiais, as quais já foram estudadas na disciplina de geometria 
analítica e álgebra linear. Caso você não se lembre dessas operações, é muito 
importante que você volte a consultar o material dessa disciplina.
uma flecha em cima, como , ou um caractere simples em negrito, como 
módulo do vetor poderá ser escrito como F ou | |.
Acessando os links indicados, abaixo você saberá mais sobre grandezas 
escalares e vetoriais:
Disponível em: <http://efisica.if.usp.br/mecanica/universitario/vetores/
intro/>. Acesso em: 13 ago. 2015.
Disponível em: <http://matematicarev.blogspot.com.br/2010/02/
grandezas-escalares-e-vetoriais.html>. Acesso em: 13 ago. 2015. 
1. Muitas vezes, é necessário fazer a conversão entre unidades 
de um sistema de medida em outro. Supondo que uma pessoa 
trafega em uma certa localidade nos EUA à velocidade de 65 
mi/h, é correto afirmar que a velocidade equivalente em m/s é:
 
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a) 27,2 m/s
b) 28,0 m/s
c) 29,1 m/s
d) 30,3 m/s
e) 31,5 m/s
2. (Adaptadade SERWAY; JEWETT JR., 2014) Em uma rodovia 
interestadual na região rural de Wyoming (EUA), um carro viaja 
a 38 m/s. Sabe-se que o motorista está excedendo o limite de 
velocidade que é de 75 mi/h. É correto afirmar que o excedente 
está sendo de:
 
a) 6 mi/h
b) 7 mi/h
c) 8 mi/h
d) 9 mi/h
e) 10mi/h 
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Seção 1.2
Movimento Retilíneo
2.2.1 Deslocamento, tempo e velocidade média
O movimento representa uma mudança contínua na posição de um corpo e, 
para estudar o movimento, ele será descrito utilizando os conceitos de espaço e 
de tempo sem considerar as causas do movimento. Logo, o resultado será uma 
simplificação, o que será chamado de modelo de partícula. Assim, em muitas 
situações um corpo será tratado como uma partícula devido à complexidade de 
análise de detalhes desse corpo.
Para ilustrar essa complexidade, considere que você deseje analisar o movimento 
de uma bola de beisebol atirada ao ar. Os autores Young e Freedman (2008, p. 3) 
descrevem algumas das complicações desse problema. Para simplificar a análise 
Inicia-se, nesta seção, o estudo da Mecânica, que basicamente estuda as relações 
entre movimento, massa e força. De maneira mais específica, nesta seção, você 
estudará a cinemática, a parte da Mecânica que aborda sobre o movimento.
Na cinemática, serão apresentados dois tipos de movimento: unidimensional 
e bidimensional. Nesta primeira unidade, o foco de estudo é o primeiro tipo – o 
unidimensional – que corresponde ao movimento de uma partícula se deslocando ao 
longo de uma linha reta. Nesse sentido, como o objetivo nesse momento é abordar 
apenas o movimento retilíneo, não será necessário (ainda) o tratamento matemático 
completo de vetores. Contudo, conhecimentos advindos das disciplinas de Cálculo I 
e II são fundamentais nesse estudo.
Introdução à seção
A bola não é uma esfera perfeita (ela possui costuras salientes) 
e gira durante seu movimento no ar. O vento e a resistência 
do ar influenciam seu movimento, o peso da bola varia 
ligeiramente com a variação da distância entre a bola e o 
centro da Terra, etc. Se tentarmos incluir todos esses fatores, 
a análise se tornará inutilmente complexa.
Aspectos Introdutórios da Física
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24
desse objeto – a bola de beisebol –, despreza-se o tamanho e a forma da bola, 
representando-a como um objeto puntiforme: uma partícula. O peso considera-se 
como constante e, quanto à resistência do ar, considera-se o movimento ocorrendo 
no vácuo.
Além disso, no estudo do movimento faz-se necessário um sistema de 
coordenadas, do qual vamos utilizar o eixo Ox, em que representaremos a posição 
de um corpo ou objeto representado por uma partícula. 
Assim, no eixo Ox, a posição da partícula é dada pela coordenada x, a qual varia 
com o tempo na medida em que a partícula se move.
Para ilustrar essa situação, observe a figura a seguir:
A figura acima mostra um carro que se encontra na posição x
1
 em determinado 
instante t
1
 e a posição do mesmo carro em x
2
 no instante t
2
. Essa posição alterou 
devido ao carro ter se deslocado de uma posição original para uma outra posição, o 
que demandou um determinado período de tempo.
Consideramos a variação de uma grandeza (no caso, da posição e do tempo) 
como o valor final menos o valor inicial, o que corresponde à variação da grandeza 
que é representado por ∆. Assim, temos que a variação da posição pode ser 
representada por:
∆x=x
2 
– x
1
Analogamente, representamos a variação do tempo por:
∆t=t
2 
– t
1
Veja que nesse deslocamento o carro se movimentará com determinada 
velocidade, grandeza essa que envolve, além do módulo, uma direção e um sentido. 
Portanto, definimos que velocidade média do carro no intervalo de tempo ∆t é uma 
grandeza vetorial cujo componente x é a variação de x (∆x) dividida por esse intervalo 
de tempo ∆t:
Fonte: A autora (2015).
Figura 1.3 – Representação do deslocamento de um carro no eixo Ox
Aspectos Introdutórios da Física
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25
A unidade SI da velocidade pode ser m/s ou km/h, e a conversão de uma unidade 
em outra pode ser feita pelo método já visto nessa unidade ou pela seguinte regra:
Para melhor compreensão, veja o seguinte exemplo:
Suponha que uma pessoa dirija seu carro em um trecho retilíneo. Suponha, ainda, 
que esse carro se encontra no ponto x
1
=277 m em um instante t
1
=16 s e em x
2
=19 
m no instante t
2
=25 s. 
Temos:
Na resolução do exemplo acima, a velocidade média resultou 
em um valor negativo. O que isso significa?
Aspectos Introdutórios da Física
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26
A situação do exemplo pode ser ilustrada no eixo Ox, como mostra a figura a 
seguir:
Observe, na figura acima, que o carro se desloca no sentido negativo do eixo Ox, 
ou seja, em sentido contrário ao que estipulamos como o sentido positivo do eixo 
Ox. Por esse motivo, ao calcularmos a velocidade média, obtemos o resultado com 
sinal negativo. Portanto, o sinal serve como um indicador do sentido do movimento.
Se quiser saber o resultado obtido em km/h, não há necessidade de fazer 
transformações no tempo e na posição; basta usar a relação apresentada: de m/s 
para km/h multiplicamos o resultado por 3,6. Logo, -28,66 m/s×3,6=-32,26 km/h.
Para entender melhor a velocidade média, observe a seguinte figura:
A velocidade média é o coeficiente angular (inclinação) da reta, a qual passa 
por dois pontos: P
1
(t
1
,x
1
) e P
2
 (t
2
,x
2
).
Na Figura 1.5, observa-se um segmento de reta que passa pelos pontos P
1
 e P
2
. 
Esse segmento (P
1
 P
2
 ) é a hipotenusa de um triângulo cujos catetos são ∆x e ∆t. A 
razão ∆x/∆t representa o coeficiente angular (inclinação) da reta, que é o que nos 
permite definir geometricamente a velocidade média:
Fonte: A autora (2015).
Figura 1.4 – Deslocamento do carro no eixo Ox
Fonte: A autora (2015).
Figura 1.5 – Representação gráfica da velocidade média
Aspectos Introdutórios da Física
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27
A velocidade média, em muitos casos, é tudo o que precisamos saber para 
conhecer o movimento de uma partícula. Contudo, tal informação não é o suficiente 
para nos permitir determinar o módulo e o sentido do movimento em cada instante 
do intervalo de tempo considerado.
Para que essas determinações se tornem possíveis, faz-se necessário definir a 
velocidade em um instante (ou em um ponto) específico da trajetória. Essa velocidade 
é que chamamos de velocidade instantânea.
Fonte: A autora (2015).
Figura 1.6 – Representação gráfica da determinação da velocidade instantânea
2.2.2 Velocidade instantânea 
Antes de definir velocidade instantânea, é preciso que fique bem claro o que 
significa um instante no contexto da física: um instante se refere a um único valor 
definido para o tempo e, portanto, não possui duração alguma.
Tendo em vista definir o movimento da partícula em um determinado instante, 
faz-se necessário ter a posição de um corpo em dois ou mais instantes. Observe a 
figura a seguir:
Ao definir o que entendemos por instante na Física, 
percebe-se que, num certo instante, a partícula está num 
certo ponto. Mas, se está exatamente em um determinado 
ponto, como é possível a partícula ter velocidade? E como 
determinar a velocidade em um determinado instante?
Aspectos Introdutórios da Física
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28
Para determinar a velocidade instantânea no ponto P
1
, conforme ilustra a 
Figura 1.6, imaginamos que o ponto P
2
 se aproxima continuamente do ponto P
1
, e 
tais aproximações são evidenciadas por meio das retas secantes traçadas de modo a 
obter pontos entre P
1
 e P
2
, passando por P
1
, de maneira que, conforme a inclinação 
dessas retas secantes vão se aproximando da reta tangente, mais próximos os pontos 
entre P
1
 e P
2
 ficam de P
1
.
Na Figura 1.6, percebe-se que, ao traçar retas secantes com inclinações cada 
vez mais próximas da reta tangente, a qual passa unicamente pelo ponto P
1
, que 
é o ponto de nosso interesse, cada vez mais os intervalos de tempo diminuem. A 
inclinação do segmento de reta (secantes) correspondentea cada intervalo se refere 
à velocidade média em cada um desses intervalos. Quando os intervalos de tempo 
tendem a zerar, essa inclinação tende para a inclinação da reta tangente à curva no 
ponto P
1
. E é essa inclinação (coeficiente angular) que corresponde à velocidade 
instantânea no instante t
1
.
Em outras palavras, conforme o ponto P
2
 se aproxima continuamente do ponto P
1
 
e calculamos a velocidade média (νméd=∆x/∆t) nos deslocamentos e nos intervalos 
que vão se tornando cada vez menores, apesar de ∆x e ∆t se tornarem muito 
pequenos, a razão entre eles não se torna tão pequena e tende a um determinado 
valor. Matematicamente, dizemos que o limite de ∆x/∆t, quando ∆t tende a zero, 
denomina-se derivada de x em relação a t (dx/dt). 
Nesse contexto, a velocidade instantânea é o limite da velocidade média 
(v
méd
=∆x/∆t) quando ∆t tende a zero, e ela é igual à taxa de variação da posição ∆x 
com o tempo. 
Para melhor compreensão da interpretação gráfica apresentada na 
Figura 1.6, assista ao vídeo indicado. Nesse vídeo, um professor explica, 
por meio de animação flash, o comportamento gráfico da situação que 
descrevemos e que leva à noção de limites e de derivadas para determinar 
a velocidade instantânea:
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=yeFvukYw5Gk>. 
Acesso em: 18 ago. 2015.
Aspectos Introdutórios da Física
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29
Vale ressaltar que, tal como a velocidade média, a velocidade instantânea é uma 
grandeza vetorial. Além disso, a inclinação de uma reta pode ser positiva, negativa ou 
nula. Assim sendo, a velocidade instantânea no movimento unidimensional pode ser 
crescente (positiva), decrescente (negativa) ou sem movimento (nula).
Quando o resultado da velocidade instantânea é considerado em módulo 
(valor absoluto), trata-se de velocidade escalar instantânea. Do mesmo modo, 
quando na velocidade média é considerado apenas o módulo (valor absoluto), 
desconsiderando-se a direção e o sentido, chamamos de velocidade escalar média.
Para melhor compreensão da definição de velocidade instantânea, a qual será 
mais frequentemente utilizada em nossos estudos, salvo algumas especificações, 
veja o seguinte exemplo:
(TIPLER, 2000) A posição de uma pedra que cai de um rochedo pode ser descrita, 
aproximadamente, por x = 5t², em que x, em metros, é medida para baixo, a partir 
da posição inicial da pedra em t=0, e t está em segundos. Achar a velocidade em 
qualquer instante de tempo t.
A partir da definição, a velocidade pode ser calculada em qualquer instante t por 
meio da determinação da derivada dx/dt:
Calcularemos o deslocamento ∆x pela função posição x(t) = 5t²:
Aspectos Introdutórios da Física
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30
A expressão a qual chegamos representa a velocidade média no intervalo de 
tempo.
Note que fazer a simplificação de maneira a cancelar o denominador ∆t foi 
necessário, pois, caso contrário, se tivéssemos aplicado o limite fazendo ∆t=0, o 
deslocamento teria sido ∆x=0 e, nesse caso, a razão ∆x/∆t seria indefinida.
Na expressão obtida, se considerarmos intervalos cada vez mais curtos, temos 
que a velocidade instantânea será:
Como você já estudou em Cálculo Diferencial e Integral, as derivadas podem ser 
calculadas com facilidade mediante regras que têm por base os limites. Nesse caso, 
a situação do exemplo poderia ter sido calculada mediante a seguinte regra:
A Figura 1.7 apresenta o gráfico da função x(t)=5t² do exemplo que acabamos de 
resolver:
Fonte: A autora (2015).
Figura 1.7 – Curva de x(t)=5t²
Aspectos Introdutórios da Física
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Na Figura 1.7, temos as retas tangentes em três pontos, A, B e C, os quais podemos 
entender como nos instantes t
1
,t
2
 e t
3
, respectivamente. Nota-se que os coeficientes 
angulares (inclinações) das retas tangentes aumentam monotonamente e, assim, do 
mesmo modo, a velocidade instantânea aumenta monotonamente com o tempo.
Vamos ver mais um exemplo:
(YOUNG; FREEDMAN, 2008) Um leopardo africano está de tocaia a 20 m a leste 
de um jipe blindado de observação. No instante t=0, o leopardo começa a perseguir 
um antílope situado a 50 m a leste do observador. O leopardo corre ao longo de uma 
linha reta. A análise posterior de um vídeo mostra que, durante os 2,0 s iniciais do 
ataque, a coordenada x do leopardo varia com o tempo de acordo com a equação 
x=20 m+(5,0 m/s²)t². A Figura 1.8 ilustra essa situação:
A partir das informações do enunciado e da análise da Figura 1.8:
Determine o deslocamento do leopardo durante o intervalo entre t
1
=1,0 s e 
t
2
=2,0 s.
RESOLUÇÃO:
No instante t
1
=1,0 s, a posição x
1
 do leopardo é:
 
No instante t
2
=2,0 s, a posição x
2
 do leopardo é: 
 
Logo, o deslocamento durante esse intervalo é dado por:
∆x=x
2 
– x
1
=40 m – 25 m=15 m
Fonte: adaptado de Young e Freedman (2008, p. 40).
Figura 1.8 – Leopardo atacando um antílope a partir de uma tocaia
Aspectos Introdutórios da Física
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32
Determine a velocidade média durante o mesmo intervalo de tempo.
RESOLUÇÃO:
A velocidade média durante esse intervalo de tempo é:
Determine a velocidade instantânea no tempo t
1
=1,0 s, considerando ∆t=0,1 s, 
logo ∆t=0,01 s, e, a seguir, ∆t=0,001 s.
RESOLUÇÃO:
Para ∆t=0,1 s, o intervalo de tempo é de t
1
=1,0 s a t
2
=1,1 s. No instante t
2
, a 
posição é:
A velocidade média durante esse intervalo de tempo é:
Por procedimentos análogos, cuja resolução deixo para você, para os intervalos 
∆t=0,01 s e ∆t=0,001 s serão obtidos, como resultados para as velocidades médias, 
10,05 m/s e 10,005 m/s, respectivamente.
Nota-se que, à medida que ∆t diminui, a velocidade média fica cada vez mais 
próxima de 10,0 m/s.
Assim sendo, podemos concluir que a velocidade instantânea para t
1
=1,0 s é igual 
a 10,0 m/s.
Deduza uma expressão geral para a velocidade instantânea em função do tempo 
e, a partir, dela, calcule a velocidade para t=1,0 s e t=2,0 s. 
RESOLUÇÃO:
A velocidade instantânea em função do tempo pode ser encontrada a partir da 
derivação da expressão de x em relação a t. Como a derivada de t2=2t, temos:
Assim, no instante t=1,0 s, temos que ν
x
=10 m/s, enquanto que, no instante 
t=2,0 s, temos que ν
x
=20 m/s. 
Aspectos Introdutórios da Física
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33
Perceba que os resultados obtidos fazem sentido para a situação dada: o leopardo 
ganhou velocidade a partir do repouso, ou seja, do instante t=0, alcançando as 
velocidades ν
x
=10 m/s no instante t=1,0 s, quando percorreu 5 m, e ν
x
=20 m/s no 
instante t=2,0 s, quando percorreu mais 15 m. 
1. (Adaptada de SERWAY; JEWETT JR., 2014) A posição de uma 
partícula movendo-se ao longo do eixo x varia no tempo de 
acordo com a expressão x=4t², em que x está em metros e t 
em segundos. É correto afirmar que a velocidade em termos 
de t em qualquer momento será:
 
a) 8t
b) 8t²
c) 4t
d) 4t³
e) 2t³
2.2.3 Aceleração média
Ao estudar sobre velocidade, você viu que ela indica uma taxa de variação da 
posição com o tempo. Agora, ao estudar sobre aceleração, é importante que você 
evidencie que ela também trata sobre taxa de variação, porém, da velocidade com 
o tempo.
Vale destacar que, em nossos cálculos, poderemos obter resultados para 
aceleração positivos ou negativos. Isso porque a aceleração em um movimento 
unidimensional pode referir-se tanto ao aumento quanto à redução da velocidade.
Assim, como fizemos no estudo da velocidade, em que começamos por estudar 
A aceleração é uma grandeza escalar ou vetorial? Por quê?
Aspectos Introdutórios da Física
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34
No gráfico, nota-se um segmento de reta que liga o ponto P
1
 ao ponto P
2
. A 
inclinação da reta que liga esses dois pontos no gráfico da velocidade versus tempo 
fornece a aceleração média entre esses dois pontos.
Em geral, a velocidade será expressa em metros por segundo e o tempo em 
segundos. Sendo assim, a aceleração média será expressa em metros por segundo 
por segundo, ou seja, em m/s².
a velocidade média para, então, compreender a velocidade instantânea, vamos dar 
início à abordagem sobre aceleração média e, na sequência,outras abordagens 
sobre aceleração, além da aceleração instantânea, serão apresentadas.
Para entender a aceleração média, considere o movimento de uma partícula ao 
longo do eixo Ox.
Nesse eixo, em um certo instante t
1
 uma partícula está em um ponto P
1
 e possui 
um componente x da velocidade (instantânea) ν
1x
. Em outro instante t
2
, a partícula 
está em um ponto P
2
 e possui um componente x da velocidade (instantânea) ν
2x
.
Assim, de um ponto para outro temos uma variação do componente x da 
velocidade que é ∆ν
x
=ν
2x
 – ν
1x
 em um intervalo de tempo ∆t=t
2
 – t
1
. Logo, podemos 
definir:
A aceleração média, num certo intervalo de tempo ∆t=t
2
 – t
1
, define-se como a 
razão ∆ν/∆t, em que ∆ν
x
=ν
2x
 – ν
1x
.
Para melhor ilustrar essa definição, observe a figura a seguir:
Fonte: Adaptado de http://www.resumoescolar.com.br/fisica/aceleracao-media-e-aceleracao-instantanea/. Acesso em: 20 
ago. 2015.
Figura 1.9 – Gráfico da velocidade versus tempo e aceleração média
Aspectos Introdutórios da Física
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35
O exemplo a seguir contempla o que foi estudado, até então, sobre aceleração.
(YOUNG; FREEDMAN, 2008) Uma astronauta saiu de um ônibus espacial em 
órbita no espaço para testar uma nova unidade de manobra pessoal. À medida que 
ela se move em linha reta, seu companheiro a bordo do ônibus espacial mede sua 
velocidade a cada intervalo de 2,0 s, começando em t=1,0 s, do seguinte modo:
Calcule a aceleração média e verifique se a velocidade da astronauta aumenta ou 
diminui para cada um dos seguintes intervalos de tempo:
 a) t
1
=1,0 s até t
2
=3,0 s;
 b) t
1
=5,0 s até t
2
=7,0 s;
 c) t
1
=9,0 s até t
2
=11,0 s;
 d) t
1
=13,0 s até t
2
=15,0 s. 
 Antes de darmos início aos cálculos para responder cada item da questão, vamos 
interpretar geometricamente o significado de aceleração média:
Acessando o link indicado abaixo, você assistirá a um vídeo que apresenta 
algumas situações em flash que contribuirá para a sua compreensão 
sobre a aceleração:
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=s-lIqTXK4KI>. 
Acesso em: 20 ago. 2015.
Fonte: YOUNG; FREEDMAN (2008, p. 42).
Tabela 1.1 – Medidas das velocidades médias a cada intervalo de tempo
t νx T νx
1,0s 0,8s 9,0s – 0,4 m/s
3,0s 1,2s 11,0s – 1,0 m/s
5,0s 1,6s 13,0s – 1,6 m/s
7,0s 1,2s 15,0s – 0,8 m/s
Aspectos Introdutórios da Física
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36
Fonte: YOUNG; FREEDMAN (2008, p. 42).
Figura 1.10 – Gráficos de velocidade versus tempo (parte superior) e aceleração versus 
tempo (parte inferior) para a astronauta
A figura acima apresenta, simultaneamente, os gráficos da velocidade em função 
do tempo (parte superior) e da aceleração em função do tempo (parte inferior). Note 
que, no gráfico superior (da velocidade), a inclinação do segmento de reta que liga 
os pontos inicial e final de cada intervalo de tempo nos fornece, no gráfico da parte 
inferior (da aceleração), a aceleração média a
mx
= ∆ν
x
/∆t para cada intervalo.
Utilizando a fórmula que definimos para a aceleração média, determinaremos 
essa para cada intervalo de tempo pedido, bem como analisaremos o que acontece 
com a velocidade da astronauta no intervalo de tempo, considerado:
a) t
1
=1,0 s até t
2
=3,0 s;
De acordo com a Tabela 1.1, no referido intervalo de tempo e com o resultado 
obtido para a aceleração média, o módulo da velocidade instantânea, ou seja, a 
velocidade escalar, aumenta de 0,8 m/s para 1,2 m/s. 
Aspectos Introdutórios da Física
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37
b) t
1
=5,0 s até t
2
=7,0 s;
A velocidade diminui de 1,6 m/s para 1,2 m/s.
c) t
1
=9,0 s até t
2
=11,0 s;
A velocidade aumenta de 0,4 m/s para 1,0 m/s.
d) t
1
=13,0 s até t
2
=15,0 s. 
A velocidade diminui de 1,6 m/s para 0,8 m/s.
Perceba que, a partir dos resultados obtidos, podemos inferir que, quando a 
aceleração média possui o mesmo sentido (mesmo sinal algébrico) da velocidade 
inicial, que é o que acontece nos itens a e c, a astronauta acelera. Em contrapartida, 
quando a aceleração média possui sentido contrário (sinal algébrico contrário), tal 
como evidenciamos nos itens b e d, a astronauta diminui a aceleração.
Assim, podemos entender que:
Aspectos Introdutórios da Física
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38
Sempre que a aceleração é negativa significa necessariamente 
que um corpo está indo mais devagar? Em caso negativo, o 
que mais a aceleração negativa pode significar? 
Acessando o link indicado abaixo, você assistirá a um vídeo que contribuirá 
para a sua compreensão sobre a aceleração média:
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=7JyjvW91rlI>. 
Acesso em: 23 ago. 2015.
2.2.4 Aceleração instantânea 
Para definir aceleração instantânea, vamos considerar a seguinte situação: em uma 
corrida, um piloto entra na reta final do Grand Prix, conforme ilustra a Figura 1.11:
Fonte: Adaptado de Young e Freedman (2008, p. 43). 
Figura 1.11 – Carro de corrida do Grand Prix na reta final
Aspectos Introdutórios da Física
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39
Vamos definir a aceleração instantânea no ponto P
1
. Para isso, imagine o ponto P
2
 
se aproximando de maneira contínua do ponto P
1
. Assim, a aceleração média pode 
ser entendida como calculada em intervalos de tempo cada vez menores (portanto, 
tendendo a zero). Podemos, então, definir que a aceleração instantânea equivale ao 
limite da aceleração média quando consideramos que o intervalo de tempo tende a 
zero, ou seja, a aceleração instantânea é igual à taxa de variação da velocidade em 
função do tempo:
Geometricamente, essa definição de aceleração instantânea pode ser interpretada 
como a inclinação da reta tangente à curva de v contra t.
Note que a aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao 
tempo (dv/dt), e você já estudou, ainda nesta unidade, que a velocidade é a derivada 
da posição x em relação a t. Sendo assim, podemos entender que a aceleração 
instantânea é a derivada de segunda ordem de x em relação a t:
Veja o exemplo a seguir para melhor compreensão da definição de aceleração 
média e instantânea:
(SERWAY; JEWETT JR., 2014) A velocidade de uma partícula movendo-se ao 
longo do eixo x varia de acordo com a expressão ν
x
=40 – 5t², em que ν
x
 está em 
m/s e t em segundos.
 Encontre a aceleração média no intervalo de tempo t=0 a t=2,0 s.
 Determine a aceleração para t=2,0 s.
Antes de começarmos a resolução, vamos entender a situação proposta nesse 
exemplo. Para isso, vamos começar observando a representação gráfica dessa 
situação:
Aspectos Introdutórios da Física
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Fonte: A autora (2015).
Figura 1.12 – Gráfico velocidade-tempo para uma partícula de acordo com a função ν
x
= 40 – 5t2
No gráfico acima, nota-se que a inclinação de toda a curva é negativa. Assim, 
esperamos que a aceleração seja negativa, mas vamos comprovar isso por meio de 
cálculos.
Resolvendo o item a, começaremos encontrando as velocidades no ponto A 
(t
i
=0 s) e no ponto B (t
f
=2,0 s), substituindo tais valores na expressão da velocidade:
 
 
Agora, podemos determinar a aceleração média no intervalo de tempo 
especificado ∆t=t
B
 – t
A
=t
f
 – t
i
=2,0 – 0=2,0 s:
Aspectos Introdutórios da Física
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41
Assim como esperávamos, o sinal da aceleração média é negativo. No gráfico 
mostrado na Figura 1.12, a aceleração média é representada pela inclinação do 
segmento de reta que liga os pontos A e B.
Agora, resolvendo o item b, a aceleração pedida em determinado instante (t=2,0 s) 
corresponde à aceleração instantânea. Para realizar esse cálculo, consideramos que 
a velocidade inicial em qualquer momento é dada por ν
x
=40 – 5t² e que se queremos 
saber a velocidade em qualquer outro momento consideramos uma variação no 
tempo representada por t + ∆t.
Assim, obteremos o resultado da aceleração instantânea por:
Substituindo t=2,0 s, temos:
Perceba que as respostas para os itens a e b, ou seja, para a aceleração média 
e para a aceleração instantânea, apesar de terem o mesmo sinal (negativo), são 
diferentes em módulo. Isso porque, considerando a representação gráfica na
AspectosIntrodutórios da Física
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42
Figura 1.12, a aceleração média corresponde à inclinação do segmento de reta que 
liga o ponto B ao ponto A, enquanto que a aceleração instantânea é representada 
pela inclinação da reta pontilhada, tangente à curva no ponto B.
Além disso, é importante perceber que, nessa situação, a aceleração não é 
constante, assunto que você estudará na sequência.
Na Figura 1.13, as flechas representadas na parte superior dos carros representam 
os vetores velocidade, enquanto que as flechas na parte inferior representam os 
vetores aceleração.
No diagrama, na representação (a) temos o movimento retilíneo de um carro que 
ocorre com velocidade constante, ou seja, as imagens do carro têm espaçamento 
igual, movimentando-se pelo mesmo deslocamento em cada intervalo de tempo. 
Assim, o carro tem velocidade positiva constante e aceleração igual a zero.
Na representação (b), percebe-se que as imagens do carro se distanciam à 
medida que o intervalo de tempo avança. Assim, temos que o vetor velocidade 
aumenta no tempo e, portanto, temos um movimento com velocidade positiva 
e aceleração positiva. A aceleração é positiva porque está no mesmo sentido da 
velocidade. Logo, o carro, nessa situação, fica mais rápido.
2.2.5 Aceleração constante
O movimento retilíneo com aceleração constante é, certamente, o movimento 
acelerado mais simples. Nesse acaso, a velocidade varia com taxa constante durante 
todo o movimento.
Para melhor compreensão dos possíveis movimentos acelerados, observe a 
figura a seguir:
 Fonte: http://slideplayer.com.br/slide/337413/. Acesso em: 23 ago. 2015. 
Figura 1.13 – Diagrama de movimento retilíneo de um carro no mesmo sentido
Aspectos Introdutórios da Física
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43
Na representação (c), devemos entender que o carro está diminuindo sua velocidade 
à medida que se move para a direita. Nesse sentido, o carro movimenta-se com 
velocidade positiva e aceleração negativa, pois os vetores aceleração e velocidade 
não estão no mesmo sentido. Nessa situação, o carro fica mais lento no decorrer 
do tempo, podendo, inclusive, chegar à velocidade zero, como num processo de 
frenagem, por exemplo.
Quando a aceleração instantânea a
x
 é constante, a aceleração média a_mx para 
qualquer intervalo de tempo é a mesma que a
x
.
Assim, para determinarmos uma expressão para ν
x
, substituímos a
mx
 por a
x
 na 
expressão da aceleração média, obtendo:
Agora, façamos t
1
=0 e suponhamos que t
2
 seja um instante posterior qualquer t. No 
instante t=0, vamos denotar a velocidade por ν
0x
 e a velocidade no instante t por ν
x
. 
Assim, obteremos:
Essa equação serve apenas para aceleração constante e pode ser interpretada da 
seguinte maneira: a aceleração média a
x
 é a taxa constante da variação da velocidade 
por unidade de tempo.
Agora, vamos deduzir uma expressão para a posição x da partícula que se move 
com uma aceleração constante. Para isso, primeiro vamos considerar a definição 
de velocidade média ν
mx
. Denominaremos a posição no instante t=0 de posição 
inicial, representando-a por x
0
. Em um instante posterior t, chamaremos a posição 
simplesmente de x. 
Fazendo a multiplicação cruzada, obtemos:
Aspectos Introdutórios da Física
U1
44
Assim, a partir da definição de ν
mx
, teremos:
Vamos deduzir, ainda, uma segunda expressão para ν
mx
 válida somente no caso de 
aceleração constante. Assim, como teremos um gráfico ν
x
×t representado por uma reta, 
em que a velocidade estará variando com uma taxa constante, teremos, simplesmente, 
que a velocidade média, em função de qualquer intervalo de tempo será a média 
aritmética desde o instante inicial até o final. Logo, para o intervalo de 0 a t, temos:
Já deduzimos que, no caso da aceleração constante, a velocidade ν
x
 em qualquer 
instante t é dada pela equação: ν
x
=ν
0x 
+ a
x
t. Substituindo essa expressão na que obtemos 
acima, teremos:
Essa equação mostra que, se para um instante inicial t=0 a partícula está em uma 
posição x
0
 e possui velocidade v
0x
, sua posição em qualquer instante t é dada pela soma 
de três termos – a posição inicial x
0
, a distância v
ox
t que ela percorreria no caso de a 
Para finalizar, igualamos a equação ν
mx 
= x – x
0
/t com a obtida acima, obtendo:
Aspectos Introdutórios da Física
U1
45
velocidade permanecer constante, e uma distância (a
x
t2 )/2 produzida pela variação da 
velocidade.
Observe que a última expressão obtida é quadrática (do segundo grau). Logo, o 
gráfico dessa expressão será uma parábola.
Além disso, perceba, que se derivarmos essa última expressão obtida, teremos como 
resultado a primeira que obtemos, o que nos mostra que ambas as expressões são 
coerentes com a hipótese de aceleração constante:
E, se derivarmos mais uma vez, obtemos:
Que concorda com a definição de aceleração instantânea. 
Em alguns casos, faz-se necessário utilizarmos uma equação que envolva a posição, 
a velocidade e a (constante) aceleração, mas que desconsidere o tempo. Para obter essa 
expressão, vamos explicitar t na equação:
Agora, substituímos esse resultado na expressão a seguir e simplificamos o resultado:
Aspectos Introdutórios da Física
U1
46
Transferindo o termo x
0
 para o membro esquerdo e multiplicando por 2a
x
, obtemos:
Igualando as duas expressões de v_mx, podemos obter outra expressão também 
bastante útil:
Essa última expressão poderá ser utilizada quando a
x
 for constante, porém um valor 
desconhecido.
As quatro equações que foram destacadas em quadros são as equações do 
movimento com aceleração constante e poderão ser utilizadas para resolver qualquer 
problema que envolva o movimento retilíneo com aceleração constante.
Veja um exemplo:
(YOUNG; FREEDMAN, 2008) Um motociclista se dirige para o leste ao longo de uma 
cidade e acelera a moto depois de passar pela placa que indica os limites da cidade. Sua 
aceleração é constante e igual a 4,0 m/s². No instante t = 0, ele está a 5,0 m a leste do 
sinal, movendo-se para leste a 15 m/s.
Determine sua posição e velocidade para t = 2,0 s.
Onde está o motociclista quando sua velocidade é de 25 m/s? 
A figura abaixo ilustra a situação:
Simplificando, obtemos:
Aspectos Introdutórios da Física
U1
47
Resolvendo o item a, podemos determinar a posição x em t=2,0 s usando a equação 
do movimento a seguir:
Podemos encontrar a velocidade v
x
 no mesmo instante, usando a equação:
Resolvendo o item b, queremos encontrar o valor de x para v
x
=25 m/s, mas não 
sabemos em que instante a motocicleta possui essa velocidade. Portanto, vamos usar a 
expressão que não envolve t:
Outra maneira de resolver o item b seria utilizar a fórmula v
x
=v
0x
+a
x
t para determinar 
o valor de t e, em seguida, encontrar x pela expressão:
Tente resolver dessa maneira e observe se você realmente conseguirá obter o 
mesmo resultado. 
 Fonte: Adaptado de Young e Freedman (2008, p. 49).
Figura 1.14 – Motociclista deslocando-se com aceleração constante
Aspectos Introdutórios da Física
U1
48
1. (Adaptada de TIPLER, 2000) Numa estrada, de noite, você 
percebe um automóvel parado e freia o seu carro para parar, 
imprimindo-lhe uma desaceleração de 5m/s². É correto 
afirmar que a distância de frenagem do carro, considerando a 
velocidade inicial de 15 m/s (cerca de 53 km/h), é de (considere 
∆x=x
f 
– x
i
):
 
a) 20,5 m
b) 21,5 m
c) 22,5 m
d) 23,5 m
e) 24,5 m
2.2.6 Queda livre de corpos
Você certamente já deve ter percebido que todos os corpos, quando lançados, 
caem em direção à Terra com uma aceleração quase constante. Isso ocorre 
porque durante o lançamento o corpo está em queda livre, sendo atraído pela força 
gravitacional da Terra.
Aristóteles (IV a.C) defendia a ideia de que corpos mais pesados caíam mais 
rapidamente do que corpos mais leves, com velocidades proporcionais a seus 
respectivos pesos. Porém, Galileu Galilei (1564-1642) demonstrou que um corpo cai 
com aceleração constante independentemente do seu peso, desde que os efeitos 
do ar possamser menosprezados.
Atribui-se a Galileu Galilei a formulação de leis que governam o 
movimento dos corpos em queda livre, dentre tantas outras descobertas 
no campo da física e da astronomia. Saiba mais sobre esse assunto lendo 
o artigo disponível no link: http://posgrad.fae.ufmg.br/posgrad/viienpec/
pdfs/1408.pdf. Acesso em: 23 ago. 2015.
Aspectos Introdutórios da Física
U1
49
Por exemplo, se uma pena e uma maçã forem abandonadas simultaneamente 
da mesma altura, haverá uma pequena diferença de tempo entre suas chegadas ao 
chão, devido, principalmente, à resistência do ar. Porém, se a mesma experiência 
for realizada no vácuo, em que o atrito do ar seria insignificante, ambos os corpos 
cairiam com mesma aceleração.
Nesse caso idealizado, em que a resistência do ar 
é ignorada, o movimento é conhecido como queda 
livre.
O valor da aceleração em queda livre com o 
símbolo g e o vetor de aceleração por , na superfície 
da Terra, consideraremos e que o vetor
 esteja direcionado para baixo, em direção ao centro 
da Terra.
É importante destacar que nem sempre que 
mencionamos um corpo em queda livre ele estará 
partindo de seu repouso, pois um corpo em queda 
livre é aquele que se move livremente, sob a 
influência da gravidade somente, independente de 
seu movimento inicial. Sendo assim, não apenas 
corpos abandonados do seu repouso, mas também 
corpos lançados para baixo ou para cima também 
serão considerados como corpos em queda livre.
Na subseção anterior (2.5.), você conheceu quatro expressões para o movimento 
com aceleração constante. Pois bem, como nos corpos em queda livre também 
consideramos aceleração constante, as quatro expressões que já foram apresentadas 
poderão, do mesmo modo, serem aqui aplicadas. O que muda basicamente é 
que, agora, o movimento será considerado na vertical e, assim, 
usaremos y ao invés de x.
Veja o exemplo:
(SERWAY; JEWETT JR., 2014) Uma pedra lançada do topo de 
um edifício tem velocidade inicial de 20,0 m/s para cima em linha 
reta. A pedra é lançada 50,0 m acima do solo e passa perto da 
ponta do telhado quando desce. 
a) Usando t
A
=0 como o instante em que a pedra sai da mão 
do lançador na posição A, determine o instante em que a pedra 
atinge sua altura máxima.
b) Encontre a altura máxima da pedra.
c) Determine a velocidade da pedra quando ela retorna à altura 
de onde foi lançada.
Fonte: http://www.colegioweb.com.br/
movimento-vertical-do-projetil-sob-
acao-da-gravidade/queda-livre.html 
Acesso em: 23 ago. 2015. 
Aspectos Introdutórios da Física
U1
50
Na situação desse exemplo, temos uma pedra que está em queda livre e, 
portanto, ela será modelada como uma partícula sob aceleração constante por 
conta da gravidade.
Para responder ao item a, perceba que a velocidade inicial pode ser considerada 
como positiva porque a pedra é lançada para cima. Depois, quando a pedra atinge 
seu ponto mais alto, a velocidade muda de sinal, mas sua aceleração será sempre 
para baixo.
Note, ainda, que no ponto mais alto a pedra chegará à velocidade igual a zero, 
para depois mudar de sinal e começar a aumentar de maneira progressiva sua 
velocidade durante a queda.
Assim, consideramos, nesse primeiro item, que a velocidade inicial é igual a 20,0 
m/s por ter sido arremessada e a final é de 0 m/s (ponto mais alto – B). Logo, o 
instante em que a pedra atingirá sua altura máxima será:
No item c, queremos saber a velocidade da pedra quando ela passa pela mesma 
posição em que se encontra o ponto A, durante a descida. Vamos denominar esse 
local, lado a lado à posição A, de D. Assim, temos:
Observe que a aceleração da gravidade foi considerada com sinal negativo 
porque se trata do momento de subida da pedra e, portanto, o movimento está 
sendo contrário ao da gravidade.
Respondendo ao item b, vamos considerar a posição inicial (no ponto A) igual a 
0. Assim, podemos encontrar a altura máxima por:
Aspectos Introdutórios da Física
U1
51
Quando resolvemos a raiz quadrada, podemos obter um resultado positivo e um 
negativo. Escolhemos a negativa porque sabemos que a pedra se move para baixo 
no ponto D. A velocidade da pedra, quando retorna à sua altura original, é igual à 
sua velocidade inicial em módulo, mas tem direção oposta.
2.2.7 Velocidade e posição por integração
Você estudou, até o momento, o movimento retilíneo com aceleração constante. 
Porém, as equações deduzidas para esses casos não são aplicáveis em situações em 
que a aceleração não é constante.
Para iniciar o estudo desse caso, observe o gráfico abaixo:
No gráfico, temos a aceleração versus tempo para um corpo cuja aceleração 
não é constante. Nesse caso, podemos dividir o intervalo de tempo entre t
1
 e t
2
 em 
intervalos muito menores (∆t). Assim, teremos que ∆ν
x
=a
mx
 ∆t, onde ∆ν
x
 é a área 
do retângulo que possui altura a
mx
 e largura ∆t. A variação total da velocidade em 
qualquer intervalo de tempo é a soma das variações de ∆ν
x
 de todos os pequenos 
intervalos.
No limite em que todos os intervalos ∆t tornam-se muito pequenos e numerosos, 
o valor de a_mx para o intervalo de tempo entre t e t+∆t se aproxima da aceleração 
a
x
 no tempo t. Nesse limite, a área sob a curva a
x
t será dada pela integral de a
x
 de 
t
1
 e t
2
:
Fonte: Adaptado de: http://slideplayer.com.br/slide/1601536/. Acesso em: 23 ago. 2015.
Figura 1.15 – Exemplo de gráfico a
xt
 para um corpo cuja aceleração t não é constante
Aspectos Introdutórios da Física
U1
52
Onde ν
1x
 e ν
2x
 são as velocidades dos corpos nos tempos t
1
 e t
2
, respectivamente.
Com a curva da velocidade versus tempo, podemos fazer um procedimento 
análogo, considerando x
1
 e x
2
 como as posições nos tempos t
1
 e t
2
, respectivamente. 
O deslocamento ∆x durante um pequeno intervalo de tempo ∆t será igual a ν
mx
 ∆t. 
Assim, temos:
Veja o exemplo:
(TIPLER, 2000) Uma barca navega com a velocidade constante de ν
0
=8 m/s 
durante 60 s. Depois, desliga os motores e fica navegando ao léu com velocidade 
expressa por v=(ν
0
 t
1
 )/t², em que t
1
=60 s. Qual o deslocamento da barca de t=0 até 
t→ ∞?
Resolução:
A velocidade da barca é constante durante os primeiros 60 s. Logo:
Considerando t
1
=0 t
2
=t (instante posterior) e x
0
 e ν
0x
 como sendo a posição e a 
velocidade inicial, respectivamente, para t=0, então, teremos:
²
Aspectos Introdutórios da Física
U1
53
O deslocamento restante é dado pela integral da velocidade de t=60 s até t→ ∞:
O deslocamento total é igual à soma dos dois deslocamentos calculados:
∆x=∆x
1 
+ ∆x
2
=480 + 480=960 m
Nesta unidade, você aprendeu:
• As unidades do sistema SI e algumas conversões entre sistemas 
de unidades.
• A notação científica como forma de representar medidas muito 
grandes ou muito pequenas, bem como as maneiras de realizar 
operações com esse tipo de notação.
• Os conceitos e expressões matemáticas relacionados à velocidade.
• Os conceitos e expressões matemáticas relacionados à aceleração.
•.Os conceitos e aplicações de expressões do movimento para 
aceleração constante em situações de queda livre.
• A determinar a velocidade e a aceleração por integração. 
Os conceitos trabalhados nesta unidade são elementares para o 
estudo geral da física, sobretudo no que diz respeito à mecânica 
clássica.
Espera-se que, ao final deste estudo, além de compreender 
os conceitos abordados, você tenha apreendido maneiras de 
pensar sobre fenômenos físicos em termos matemáticos, sendo 
capaz de modelar um fenômeno físico por meio de linguagem 
Aspectos Introdutórios da Física
U1
54
matemática, bem como de interpretar fisicamente soluções 
matemáticas.
Contudo, vale destacar que, para que a aprendizagem nesta 
disciplina de fato ocorra, é muito importante que você faça 
as leituras sugeridas, resolva as atividades de aprendizagem e 
também, se possível, faça pesquisa em bibliotecas e estude os 
materiais que compõem a bibliografia dessa unidade.
Além disso tudo, não se esqueça de acessar o fórum. É por meio 
dele quevocê poderá sanar suas dúvidas.
Bons estudos!
1. (Adaptada de TIPLER, 2000) No dia da formatura, um 
estudante de física, muito satisfeito, joga seu boné para 
cima com velocidade inicial de 14,7 m/s. Sendo de 9,81 m/
s² a aceleração da gravidade para baixo (desprezando-se a 
resistência do ar), é correto afirmar que o tempo que o boné 
leva para chegar ao ponto mais elevado da trajetória é: 
a) 1,15 s
b) 1,20 s
c) 1,30 s
d) 1,45 s
e) 1,50 s 
2. (Adaptada de TIPLER, 2000) Num ensaio de colisão, um 
carro, a 100 km/h, colide com uma barreira de concreto. Em 
quanto tempo o carro para?
a) 0,051 s
b) 0,053 s
c) 0,054 s
d) 0,057 s
e) 0,059 s 
 
Aspectos Introdutórios da Física
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55
3. (Adaptada de YOUNG; FREEDMAN, 2008) Uma moeda de 
1 euro é largada da Torre de Pisa. Ela parte do repouso e se 
move em queda livre. É correto afirmar que sua posição e sua 
velocidade no instante 2,0 s será:
 
a) –19,6 m e –19,6 m/s
b) 19,6 m e –19,6 m/s
c) –19,6 m e 19,6 m/s
d) 19,6 m e 19,6 m/s
e) –19,8 m e 19,6 m/s 
 
4. (Adaptada de TIPLER, 2000) Um carro passa a 25 m/s 
(cerca de 90 km/h) diante de uma escola. Um carro de polícia 
sai atrás do infrator, acelerando a 5 m/s². Quando o carro da 
polícia alcança o do infrator?
 
a) Em 5 s
b) Em 10 s
c) Em 15 s
d) Em 20 s
e) Em 25 s 
 
5. (Adaptada de YOUNG; FREEDMAN, 2008) Sueli está 
dirigindo um carro em um trecho retilíneo de uma estrada. 
No tempo t=0, quando está se movendo a 10 m/s no sentido 
positivo do eixo 0x, ela passa por um poste de sinalização a 
uma distância x = 50 m. Sua aceleração em função do tempo 
é dada por:
a
x
=2,0 m/s²-(0,10 m/s³)t
É correto afirmar que a velocidade máxima atingida, sabendo 
que essa ocorre no instante t=20, é de:
 
a) 10 m/s
b) 20 m/s
c) 30 m/s
d) 40 m/s
e) 50 m/s
Aspectos Introdutórios da Física
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56
U1
57Aspectos Introdutórios da Física
Referências
SERWAY, Raymond A.; JEWETT JR., John W. Princípios de Física. Tradução de Márcio 
Maia Vilela. São Paulo: Cengage Learning, 2014.
TIPLER, Paul A. Física para cientistas e engenheiros. Tradução de Horácio Macedo. 
Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos S. A., 2000.
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física I. Tradução de Sonia Midori Yamamoto. 
12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008.
Unidade 2
FORÇA E MOVIMENTO
Nesta seção, você estudará a cinemática de um objeto que pode ser 
modelado como uma partícula que se move em um plano ou em um 
espaço (movimento bidimensional e tridimensional, respectivamente). 
Ainda, nesta mesma seção, você estudará alguns aspectos relacionados ao 
deslocamento de partículas em trajetórias curvas (movimento de projéteis).
Nesta seção, você dará início ao estudo da dinâmica, em que se iniciam 
discussões sobre as causas da mudança no movimento das partículas 
usando os conceitos de força e massa e, ainda, as três leis fundamentais 
de movimento formuladas por Newton. Em seguida, tendo estudado as 
leis de movimento, enfatizamos aplicações dessas às situações diversas, 
inclusive quando envolvemos a força de atrito, permitindo-nos, assim, 
modelar situações de maneira mais próxima à realidade. Dentre essas 
aplicações, damos destaque ao movimento circular.
Seção 2.1 | Movimento em duas e três dimensões
Seção 2.2 | Força e movimento
Objetivos de aprendizagem: 
Com esta unidade, objetiva-se que você apreenda como representar a 
posição de um corpo em duas ou três dimensões, bem como seja capaz 
de determinar a velocidade e a aceleração vetoriais de um corpo nessas 
condições. Além disso, objetiva-se que você compreenda como descrever a 
trajetória em curva percorrida por um projétil e os conceitos relativos à força 
e suas aplicações, inclusive alguns casos de forças fundamentais da natureza.
Keila Tatiana Boni
Força e Movimento
U2
60
Força e Movimento Força e Movimento
U2
61
Introdução à unidade
Nesta seção, você dará início ao estudo da dinâmica, em que se iniciam 
discussões sobre as causas da mudança no movimento das partículas usando 
os conceitos de força e massa e, ainda, as três leis fundamentais de movimento 
formuladas por Newton. Em seguida, tendo estudado as leis de movimento, 
enfatizamos aplicações dessas às situações diversas, inclusive quando envolvemos 
a força de atrito, permitindo-nos, assim, modelar situações de maneira mais próxima 
à realidade. Dentre essas aplicações, damos destaque ao movimento circular.
Introdução à unidade
A partir das abordagens realizadas na unidade anterior, você já deve ter percebido 
que vivemos cercados de grandezas físicas, as quais podem ser consideradas 
como vetoriais ou escalares.
Contudo, na primeira unidade, você aprendeu a equação e a modelação de 
situações envolvendo posição, velocidade e aceleração, todos em um determinado 
instante de tempo, apenas em movimentos em unidimensionais. Agora, você 
aprofundará seus conhecimentos sobre esses mesmos conceitos da cinemática, 
porém em movimentos em duas e três dimensões.
Mas, até o momento, você estudou conceitos relativos a movimento, sempre 
desconsiderando as causas desses. Sobre essas causas, você estudará, ainda nesta 
segunda unidade, uma introdução à dinâmica, que é a parte da mecânica que 
estuda os movimentos, considerando os fatores que os produzem e modificam. 
Assim, nessa parte de seus estudos, você conhecerá as leis que regem movimentos, 
envolvendo os conceitos de massa, força e energia, entre outros.
Destacamos, desde já, que essas abordagens relativas às causas de movimentos 
serão realizadas na perspectiva da mecânica clássica, que é embasada nos 
pensamentos de Galileu e Newton.
Força e Movimento
U2
62
Força e Movimento Força e Movimento
U2
63
Seção 2.1
Movimento em duas e em três dimensões
2.1.1 Vetor posição e vetor velocidade
Na unidade anterior, você já estudou o movimento de uma partícula ao longo 
de uma linha reta (como o eixo x), em que você deve ter percebido que ela é 
completamente especificada se sua posição é conhecida como uma função do 
tempo. Essa ideia será agora estendida para o movimento no plano xy e no espaço 
xyz e, portanto, obteremos as mesmas funções já estudadas na unidade anterior, 
porém de natureza vetorial.
Primeiramente, para que possamos descrever um movimento, precisamos 
descrever a posição da partícula. Considere, em um dado instante, uma partícula em 
um ponto P. Nesse caso, o vetor posição da partícula, no especificado instante, é 
um vetor que vai desde a origem do sistema de coordenadas até o ponto P:
Considerar partículas se movendo simplesmente ao longo de uma linha reta nos 
impossibilita de responder questionamentos, tais como: ao chutar uma bola, o que 
determina onde a bola irá parar? Ou, ao longo de uma curva, como seria possível 
descrever o movimento do carrinho de uma montanha-russa?
Para responder a questionamentos como esses, precisamos estender a descrição 
do movimento para duas e três dimensões. Você perceberá que continuaremos, 
nesses casos, utilizando as grandezas vetoriais de deslocamento, velocidade e 
aceleração. A única diferença é que agora tais grandezas não serão limitadas apenas 
aos movimentos retilíneos.
Versando descrever o movimento, não importando analisar suas causas, você 
perceberá que nessa seção recorreremos, ao mesmo tempo, a conceitos estudados 
na unidade anterior, sobretudo à linguagem cinemática que foi estudada, bem como 
a conhecimentos advindos da disciplina de geometria analítica e álgebra vetorial, 
principalmente no que diz respeito à linguagem e operações vetoriais.
Introdução à seção
Força e Movimento
U2
64
Fonte: A autora (2015).
Figura 2.1 – Vetor posição no espaço e no plano (respectivamente)
As coordenadas cartesianas x,y,z (espaço) e x,y (plano) do ponto P são os 
componentes do vetor . Usando vetores unitários, podemos escrever como vetor 
posição:
A partir dessa ideia, podemos definir a velocidade média da mesma maneira que 
definimos na unidade anterior para o movimento retilíneo, dividindo o deslocamento 
pelo intervalo de tempo:
Comovocê pode perceber, as equações que utilizamos para o espaço e para 
o plano serão os mesmos, diferenciando-se apenas pela última componente . 
Nesse sentido, a partir de agora, nos referiremos apenas às equações no espaço, 
destacando que deverá ficar subentendido que elas serão análogas para as 
equações no plano, sendo necessário, nesse caso, simplesmente, desconsiderar a 
componente .
Durante um intervalo de tempo ∆t, a partícula movimenta-se de um ponto P
1
, 
em que o vetor posição é , até um ponto P
2
, em que o vetor posição é . Logo, a 
variação da posição é 
o plano serão os mesmos, diferenciando-se apenas pela última componente . 
componente .
em que o vetor posição é , até um ponto P , em que o vetor posição é . Logo, a 
 da mesma maneira que 
Agora, vamos definir a velocidade instantânea, tal como já fizemos no movimento 
unidimensional: como o cálculo do limite da velocidade média quando o intervalo de 
tempo tende a zero, sendo o resultado desse limite igual à taxa de variação do vetor 
posição com o tempo. A principal diferença que temos agora é que tanto a posição 
 quanto a velocidade instantânea são vetores: quanto a velocidade instantânea são vetores:
Força e Movimento Força e Movimento
U2
65
Fonte: <http://interna.coceducacao.com.br/ebook/pages/1896.htm>. Acesso em: 26 set. 2015.
Figura 2.2 – Deslocamento entre os pontos P
1
 e P
2
Perceba, na Figura 2.2, que, quando ∆t → 0, o ponto P
1
 aproxima-se cada vez 
mais de P
2
. Dessa forma, nota-se que, nesse limite, o vetor torna-se tangente à 
curva, sendo esse vetor de mesma direção e sentido que a velocidade instantânea . 
Assim, podemos concluir que o vetor velocidade instantânea é tangente à trajetória 
em cada um dos seus pontos.
Considerando as variações ∆x,∆y e ∆z, durante qualquer deslocamento de , 
temos que tais variações correspondem às componentes de . Do mesmo modo, 
podemos considerar que as componentes de e são as derivadas das 
coordenadas x,y e z em relação ao tempo:
Perceba que os mesmos resultados podem ser obtidos se derivarmos a equação 
do vetor posição:
Quanto ao módulo do vetor velocidade instantânea ( ), ou seja, a velocidade 
escalar, pode ser obtida pelo teorema de Pitágoras, a partir dos componentes 
e :
Vale destacar que o módulo do vetor em qualquer instante é a velocidade 
escalar v da partícula no referido instante. A direção e o sentido de em qualquer 
instante é a mesma direção e sentido em que ela se move no referido instante. 
Observe a figura a seguir:
. Dessa forma, nota-se que, nesse limite, o vetor torna-se tangente à 
curva, sendo esse vetor de mesma direção e sentido que a velocidade instantânea . 
temos que tais variações correspondem às componentes de . Do mesmo modo, 
, durante qualquer deslocamento de , 
podemos considerar que as componentes de e são as derivadas das podemos considerar que as componentes de e são as derivadas das 
Força e Movimento
U2
66
Quanto à direção da velocidade instantânea , essa pode ser obtida pelo cálculo 
da tangente do ângulo a formado por duas das componentes.
Tendo em vista que o vetor velocidade instantânea, em geral, é mais útil que 
o vetor velocidade média, a partir de agora, sempre que mencionarmos a palavra 
“velocidade” estaremos nos referindo ao vetor velocidade instantânea ( ).
Para fixar melhor os estudos realizados até agora, veja um exemplo:
Exemplo 1: (YOUNG; FREEDMAN, 2008, p. 71) Um veículo robótico está 
explorando a superfície de Marte. O módulo de aterrissagem é a origem do sistema de 
coordenadas e a superfície do planeta é o plano xy. O veículo, que será representado 
por um ponto, possui componentes x e y, que variam com o tempo de acordo com:
x=2,0m-(0,25m/s²)t²
y=(1,0 m/s)t + (0,025 m/s³)t³ 
a) Calcule as coordenadas do veículo e sua distância do módulo de aterrissagem 
no instante t=2,0 s.
b) Calcule o vetor deslocamento e o vetor velocidade média no intervalo de 
tempo entre t=0 s e t=2,0 s.
c) Deduza uma expressão geral para o vetor velocidade instantânea do veículo. 
Expresse a velocidade instantânea em t=2,0 s, usando componentes e também em 
termos do módulo, direção e sentido.
Resolução:
Esse problema se refere ao movimento em duas dimensões.
Por que, em geral, o vetor velocidade instantânea é mais 
útil que o vetor velocidade média? E em que situações 
encontramos utilidade para esses tipos de vetores?
Força e Movimento Força e Movimento
U2
67
No instante t=2,0 s, as coordenadas do carro são:
x=2,0 m-(0,25 m/s²) (2,0 s)²=1,0 m
y=(1,0 m/s)(2,0 s)+(0,025 m/s³)(2,0 s)³=2,2 m
A distância entre o veículo e a origem nesse instante é:
Para determinar o deslocamento e a velocidade média, escrevemos o vetor 
posição em função do tempo t:
Para t=0 s, o vetor posição é:
No item a), encontramos para t=2,0 s a expressão:
Portanto, o deslocamento entre t=0 s e t=2,0 s é:
Durante esse intervalo de tempo, o veículo se desloca 1,0 m no sentido negativo 
do eixo Ox e 2,2 m no sentido positivo do eixo Oy. A velocidade média no intervalo 
de tempo entre t=0 s e t=2,0 s é o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo:
Os componentes dessa velocidade média são: 
Força e Movimento
U2
68
Os componentes da velocidade instantânea são as derivadas das coordenadas 
em relação ao tempo:
Podemos escrever o vetor velocidade instantânea como:
Para t=2,0 s os componentes da velocidade instantânea são:
O módulo da velocidade instantânea (a velocidade escalar) para t=2,0 s é:
Sua direção em relação ao eixo positivo Ox é dada pelo ângulo a, onde:
Logo, a =128°.
Se você utilizar a calculadora, notará que a função inversa da tangente de –1,3 
é –52°. Contudo, é preciso analisar qual é a direção e o sentido do vetor. Logo, a 
resposta correta para a é –52°+180°=128°. 
Força e Movimento Força e Movimento
U2
69
2.1.2 Vetor aceleração
Assim como você já estudou no caso de movimento unidimensional, a aceleração 
indica como a velocidade de uma partícula está variando. Assim, considerando que a 
velocidade é um vetor, a aceleração descreverá variações do módulo da velocidade 
escalar, bem como variações da direção e do sentido do movimento no espaço.
Observe a figura a seguir:
De acordo com a Figura 2.3, o carro acelera enquanto reduz ao fazer uma curva 
(sua velocidade instantânea varia tanto em módulo quanto direção).
Perceba, pela Figura 2.3, que os vetores e v representam, respectivamente, 
o vetor velocidade instantânea da partícula no instante t
1 
, quando ela está no ponto 
P
1
 , e o vetor velocidade instantânea da partícula no instante t
2
 , quando ela está no 
ponto P
2
.
No intervalo de tempo entre t
a
 e t
b
, a variação vetorial da velocidade é 
Assim, definimos o vetor aceleração média da partícula nesse intervalo de 
tempo como sendo a variação vetorial da velocidade dividida pelo intervalo de 
tempo:
Fonte: <http://osfundamentosdafisica.blogspot.com.br/2014/05/cursos-do-blog-mecanica_12.html>. Acesso em: 22 out. 2015.
Figura 2.3 – Carro se movendo ao longo de uma trajetória curva 
As duas velocidades, e , podem possuir módulos e 
direções diferentes?
Força e Movimento
U2
70
Vale destacar que a aceleração média é uma grandeza vetorial que possui a 
mesma direção e sentido do vetor 
Vale destacar que a aceleração média é uma grandeza vetorial que possui a 
 Além disso, perceba que o componente 
x da última equação apresentada (da ) é a
mx
= (ν
bx 
– ν
ax
)/(t
b
 – t
a
) = que 
é exatamente a mesma equação que você estudou na unidade anterior para a 
aceleração média no movimento unidimensional.
Definindo a aceleração instantânea , consideramos a mesma no ponto P
1
 
como o limite da aceleração média quando o ponto P
2
 se aproxima de P
1
 e e ∆t 
tendem a zero simultaneamente. Além disso, a aceleração instantânea é igual à taxa 
de variação da velocidade instantânea com o tempo, sendo, agora, a aceleraçãoinstantânea uma grandeza vetorial:
Na Figura 2.3, você pôde perceber que o vetor velocidade é tangente à trajetória 
da partícula. Já o vetor aceleração instantânea de uma partícula em movimento 
sempre aponta para o lado interno de qualquer volta que a partícula esteja fazendo, 
conforme você pode observar na figura a seguir:
Fonte: Adaptado de <http://www.notapositiva.com/pt/trbestbs/fisica/12_movimento_circular_unif_acelerado_d.htm>. Acesso 
em: 27 set. 2015.
Figura 2.4 – Aceleração instantânea de uma partícula em movimento
da partícula. Já o vetor aceleração instantânea de uma partícula em movimento 
Força e Movimento Força e Movimento
U2
71
É importante destacar que, mesmo quando a velocidade escalar é constante, a 
aceleração é sempre diferente de zero.
Como a aceleração instantânea nos interessa mais que a aceleração média, a 
partir de agora, sempre que mencionarmos a palavra “aceleração”, estaremos nos 
referindo ao vetor aceleração instantânea 
partir de agora, sempre que mencionarmos a palavra “aceleração”, estaremos nos 
.
Assim como no caso da velocidade, cada componente do vetor aceleração pode 
ser obtido a partir da derivada do respectivo componente do vetor velocidade:
Em termos dos vetores unitários, temos:
Tendo em vista que cada componente da velocidade é dado pela derivada da 
respectiva coordenada da posição, temos os componentes a
x
, a
y
 e a
z
 do vetor 
aceleração 
respectiva coordenada da posição, temos os componentes 
 a partir de:
E o vetor aceleração pode ser obtido da seguinte forma:
Você pode aprofundar seus conhecimentos sobre aceleração instantânea 
acessando o link: https://www.youtube.com/watch?v=nzarbKerK8U. 
Nesse link, você encontrará um vídeo que traz maiores esclarecimentos 
sobre aceleração instantânea, bem como a explicação de exercícios 
resolvidos.
Força e Movimento
U2
72
2.1.3 Movimento de projéteis
Qualquer corpo lançado com uma velocidade inicial e que segue uma determinada 
trajetória exclusivamente pela aceleração da gravidade e pela resistência do ar pode 
ser considerado como um projétil. Consideramos, ainda, como trajetória desse 
projétil a curva descrita por ele.
Assim, podemos citar como exemplos de movimentos de projéteis: uma bola de 
futebol quando chutada, uma bala atirada por uma arma de fogo etc.
Para nossos estudos, representaremos um projétil por uma partícula com 
aceleração constante em módulo, direção e sentido, desprezando a resistência do 
ar e a curvatura e rotação da Terra.
Primeira observação a ser feita é que o movimento de um projétil sempre está 
limitado a um plano vertical determinado pela direção da velocidade inicial, conforme 
pode ser visto na figura seguinte:
Essa primeira observação decorre da aceleração da gravidade que é sempre 
vertical, não podendo, portanto, produzir um movimento lateral no projétil. Assim, o 
movimento de um projétil ocorre sempre em duas dimensões.
Ao analisar um projétil, o primeiro passo é analisar separadamente as 
coordenadas x e y: o componente x da aceleração é igual a zero e o componente 
y é constante e igual a -g. Logo, podemos considerar o movimento de um projétil 
como a combinação de um movimento horizontal com velocidade constante e um 
movimento vertical com aceleração constante.
Assim, os componentes de são:
Fonte: A autora (2015).
Figura 2.5 – A trajetória de um projétil
Força e Movimento Força e Movimento
U2
73
Pela Figura 2.6, podemos notar que o componente x da aceleração é igual a zero, 
portanto ν
x
 é constante. O componente y da aceleração é constante e não nulo, 
de modo que ν
y
 varia em quantidades iguais durante intervalos de tempo iguais. No 
ponto mais elevado da trajetória, ν
y
=0.
Outra maneira de representar a velocidade inicial 
0
 é pelo seu módulo ν
0
 (velocidade 
escalar inicial) e seu ângulo a
0
 com o sentido positivo do eixo 0x. Quanto aos 
componentes, nesse caso, temos:
Considerando que os componentes x e y da aceleração são constantes, podemos 
utilizar as mesmas fórmulas já estudadas na unidade anterior. Por exemplo: supondo 
t=0 o instante em que uma partícula encontra-se em repouso no ponto (x
0
,y
0
) e que 
nesse instante a velocidade inicial possua componentes ν
0x
 e ν
0y
, os componentes 
da aceleração são a
x
=0 e a
y 
= –g. Logo, temos:
Isso foi feito considerando o movimento no eixo 0x. Agora, para o movimento 
no eixo 0y, temos:
Observe a figura a seguir:
Fonte: http://www.coladaweb.com/fisica/mecanica/composicao-de-movimentos. Acesso em: 27 set. 2015.
Figura 2.6 – Trajetória de um projétil que começa na origem em dado instante t=0
Força e Movimento
U2
74
Assim, utilizando x_0=y_0=0 nas equações que já são conhecidas, temos:
Tais equações descrevem a posição e a velocidade de um projétil em qualquer 
instante t e, a partir delas, é possível obtermos diversas informações, como, por 
exemplo:
A distância r entre o projétil e a origem (módulo do vetor posição ):
A velocidade escalar do projétil (módulo de sua velocidade):
A direção e o sentido da velocidade (sentido positivo de 0x):
Em cada ponto, o vetor velocidade é tangente à trajetória nesse ponto.
Eliminando t e considerando x e y, podemos obter a equação da forma da 
trajetória. A partir das equações
e considerando x
0 
= y
0 
= 0, obtemos:
Nessa equação, as grandezas são constantes, o que nos 
Força e Movimento Força e Movimento
U2
75
conduz à compreensão de que essa equação tem a forma:
Para melhor compreensão sobre o movimento de projéteis, vamos analisar e 
resolver um exemplo.
Exemplo 2: (TIPLER, 2000, p. 62) Um helicóptero descarrega suprimentos para 
uma tropa acampada na clareira de uma floresta. A carga do helicóptero, a 100 m de 
altura, voando a 25 m/s num ângulo de 36,9º com a horizontal.
a) Em que ponto a carga atinge o solo?
b) Se a velocidade do helicóptero for constante, onde estará quando a carga 
atingir o solo?
Resolução:
A distância horizontal coberta pela carga é dada pela equação: 
onde t é o tempo de queda.
Esse valor de t pode ser calculado pela equação:
A origem pode estar no pé da vertical baixada do helicóptero no instante do 
lançamento da carga. A velocidade inicial da carga é a velocidade inicial do 
helicóptero.
A partir de todas essas informações, vamos resolver cada um dos itens solicitados 
no exercício:
A partir da última equação apresentada, y=bx – cx2, é correto 
afirmar que o movimento de um projétil é sempre uma 
parábola?
Força e Movimento
U2
76
a) O ponto de impacto da carga com o solo, x, é dado pelo produto entre a 
velocidade horizontal e o tempo de queda:
Calculando a velocidade horizontal da carga lançada, temos:
Agora, pela equação de y, obtemos t quando y=0:
Calculamos x considerando a raiz positiva de t:
b) Determinando as coordenadas do helicóptero no instante em que a carga 
atinge o solo, temos:
ee
Força e Movimento Força e Movimento
U2
77
1. (Adaptada de SERWAY; JEWETT JR., 2014, p. 80) Uma pedra 
é lançada para cima do topo de um edifício a um ângulo de 
30° na horizontal, com velocidade escalar inicial de 20 m/s. A 
altura de onde a pedra é lançada é de 45 m acima do solo. Qual 
é a velocidade da pedra imediatamente antes de atingir o solo?
 
a) 33,9 m/s
b) 34,1 m/s
c) 34,7 m/s
d) 35,2 m/s
e) 35,8 m/s
 
2. (Adaptada de YOUNG; FREEDMAN, 2008, p. 81) Um 
motociclista maluco se projeta para fora da borda de um 
penhasco. No ponto exato da borda, sua velocidade é horizontal 
e possui módulo igual a 9 m/s. É correto afirmar que a distância 
do ponto de partida até a borda do penhasco depois de 0,50 
segundos é:
 
a) 4,5 m
b) 4,7 m
c) 4,9 m
d) 5,1 m
e) 5,3 m
Força e Movimento
U2
78
Força e Movimento Força e Movimento
U2
79
Seção 2.2
Força e Movimento
2.2.1 O conceito de força
Com base na experiência cotidiana, você já deve ter uma compreensão básica 
do que é força: quando você puxa ou empurra um corpo exerce força sobre ele. 
Mas uma definição melhor para força é que consiste em uma interação entredois 
corpos ou entre o corpo e seu ambiente. É por esse motivo que você perceberá, 
no decorrer do estudo desta seção, que faremos referência sempre à força que um 
corpo exerce sobre outro.
Você já aprendeu, até o momento, como descrever o movimento em uma, duas e 
três dimensões. Mas quais são as causas subjacentes de um movimento?
Na tentativa de responder a esse questionamento, você estudará nesta seção uma 
introdução à dinâmica, em que terá contato com conhecimentos que permitirão 
relacionar movimentos com as forças que os produzem.
Nessa perspectiva, você conhecerá dois novos conceitos: força e massa, os quais 
permitirão analisar os princípios da dinâmica. Esses princípios correspondem às três 
leis de Newton para o movimento e são embasados em observações e experimentos 
sobre como os objetos se movem e, por esse motivo, são leis fundamentais que não 
precisam ser deduzidas ou demonstradas a partir de outros princípios.
Após estudar toda essa abordagem sobre os princípios dos movimentos, você 
conhecerá algumas aplicações das leis de Newton em situações diversas de movimento 
de objetos, inclusive em casos de movimento circular. Todas essas situações abrangem 
o conceito de força, sobre a qual abordaremos, ainda, a sua natureza fundamental e 
tipos existentes na natureza.
Introdução à seção
Força e Movimento
U2
80
Fonte: http://slideplayer.com.br/slide/336388/. Acesso em: 27 set. 2015. 
Figura 2.7 – Algumas propriedades das forças
Perceba, na Figura 2.7, que a força é uma grandeza vetorial, pois você pode 
empurrar ou puxar um corpo em diferentes direções.
O quadro a seguir mostra alguns tipos comuns de força:
Dentre os tipos de força apresentados no Quadro 2.1, destacamos que as forças 
(a), (b) e (c) são chamadas de forças de contato, pois envolvem o contato direto entre 
dois corpos. Quanto à força (d), essa é denominada de força de longo alcance, pois 
(a) Força normal : quando um 
objeto repousa sobre uma superfície 
ou a empurra, a superfície exerce 
sobre ele uma força, que é orientada 
perpendicularmente à superfície
(b) Força de atrito : além da força 
normal, uma superfície pode exercer 
uma força de atrito sobre um objeto, que 
é orientada paralelamente à superfície.
(c) Força de tensão : uma força de 
puxar exercida sobre um objeto por 
uma corda, cordão etc.
(d) Peso : uma força de puxar a 
gravidade sobre um objeto é uma força 
de longo alcance (uma força que age a 
certa distância).
Quadro 2.1 – Tipos de força
Fonte: Adaptado de <http://slideplayer.com.br/slide/336388/>. Acesso em: 27 set. 2015.
Força e Movimento Força e Movimento
U2
81
é um tipo de força que atua mesmo quando corpos estão muito afastados entre si.
Como a força é vetorial, então é preciso descrever a direção e o sentido em 
que o vetor age, assim como o seu módulo, que explicita “quanto”, ou, melhor 
dizendo, a “intensidade” com que a força puxa ou empurra. No SI, a unidade do 
módulo de uma força é o Newton (N).
Para inferir o módulo de forças, existe um aparelho semelhante a uma balança de 
molas, que é o dinamômetro.
Imagine que você está jogando vôlei com seus amigos. Que força está agindo 
sobre a bola? Acho que você vai concordar que existem, no mínimo, duas forças 
agindo sobre essa bola: o empurrão que você dá com suas mãos e a força da 
gravidade que “puxa” a bola para baixo. Numa situação como essa, em que 
evidenciamos mais de uma força agindo sobre um mesmo corpo de maneira 
simultânea, é possível comprovar, experimentalmente, que as duas forças atuantes 
nesse caso, 
simultânea, é possível comprovar, experimentalmente, que as duas forças atuantes 
 e , produzem um mesmo efeito que uma única força , dada pela 
soma vetorial das duas forças: 
, produzem um mesmo efeito que uma única força 
. Assim, de maneira geral, temos que o 
efeito sobre o movimento de um corpo produzido por um número qualquer de 
forças é o mesmo efeito produzido por uma força única igual à soma vetorial de 
todas as forças (YOUNG; FREEDMAN, 2008). Isso que acabamos de generalizar 
corresponde ao que chamamos de superposição de forças.
Para saber mais sobre o que é e como funciona um dinamômetro, 
acesse os links: Disponível em: <http://www.if.ufrgs.br/
cref/?area=questions&id=256>. Acesso em: 28 set. 2015.
Disponível em: <http://www.cienciamao.usp.br/dados/coci/_
arquimedesemconstrucao.anexo.pdf>. Acesso em: 28 set. 2015.
É possível que exista mais de uma força agindo sobre um 
mesmo corpo ao mesmo tempo? Em caso afirmativo, que 
tipo de situação poderia ilustrar a ação simultânea de mais 
de uma força sobre um mesmo corpo?
Força e Movimento
U2
82
Os procedimentos para efetuar operações com vetores, sobretudo a 
soma vetorial, você encontra no livro da disciplina de Geometria Analítica 
e Álgebra Vetorial. Caso não lembre desses procedimentos, é muito 
importante que você consulte esse material, pois esses conhecimentos 
serão bastante utilizados nesse estudo sobre forças.
Veja alguns exemplos:
Fonte: Adaptado de http://slideplayer.com.br/slide/336388/. Acesso em: 28 set. 2015. 
Figura 2.8 – Superposição de forças
Na Figura 2.8, você pode observar no item (A) uma força que atua sobre o 
corpo em um ponto O. Os vetores componentes de nas direções Ox e Oy são, 
respectivamente, 
Na Figura 2.8, você pode observar no item (A) uma força 𝐹𝐹 que atua 
sobre o corpo em um ponto 𝑂𝑂. Os vetores componentes de 𝐹𝐹 nas direções 
𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑂𝑂𝑂𝑂 são, respectivamente, 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹!. Quando aplicamos 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹! 
𝑅𝑅 = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! +⋯ = 𝐹𝐹 (𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟ç𝐚𝐚𝐚𝐚) 
 
𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 
 
Onde 𝐹𝐹! corresponde à soma dos componentes 𝑥𝑥 e 𝐹𝐹! à soma dos 
componentes 𝑦𝑦 , podendo cada componente apresentar sinal positivo ou 
negativo. 
Tendo obtido 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅!, é possível determinar o módulo, a direção e o 
sentido da força resultante 𝑅𝑅 = 𝐹𝐹 que atua sobre um corpo: 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!² (Módulo da força resultante) 
 
Quanto ao ângulo 𝜃𝜃, formado pelo eixo 𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑅𝑅, pode ser obtido pela 
relação 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑅𝑅!/𝑅𝑅!. Como os componentes 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅! podem ser positivos, 
negativos ou nulos, o ângulo 𝜃𝜃 pode ser localizado em qualquer um dos 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! 
	
 e 
Na Figura 2.8, você pode observar no item (A) uma força 𝐹𝐹 que atua 
sobre o corpo em um ponto 𝑂𝑂. Os vetores componentes de 𝐹𝐹 nas direções 
𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑂𝑂𝑂𝑂 são, respectivamente, 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹!. Quando aplicamos 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹! 
𝑅𝑅 = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! +⋯ = 𝐹𝐹 (𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟ç𝐚𝐚𝐚𝐚) 
 
𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 
 
Onde 𝐹𝐹! corresponde à soma dos componentes 𝑥𝑥 e 𝐹𝐹! à soma dos 
componentes 𝑦𝑦 , podendo cada componente apresentar sinal positivo ou 
negativo. 
Tendo obtido 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅!, é possível determinar o módulo, a direção e o 
sentido da força resultante 𝑅𝑅 = 𝐹𝐹 que atua sobre um corpo: 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!² (Módulo da força resultante) 
 
Quanto ao ângulo 𝜃𝜃, formado pelo eixo 𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑅𝑅, pode ser obtido pela 
relação 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑅𝑅!/𝑅𝑅!. Como os componentes 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅! podem ser positivos, 
negativos ou nulos, o ângulo 𝜃𝜃 pode ser localizado em qualquer um dos 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! 
	
. Quando aplicamos 
Na Figura 2.8, você pode observar no item (A) uma força 𝐹𝐹 que atua 
sobre o corpo em um ponto 𝑂𝑂. Os vetores componentes de 𝐹𝐹 nas direções 
𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑂𝑂𝑂𝑂 são, respectivamente, 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹!. Quando aplicamos 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹! 
𝑅𝑅 = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! +⋯ = 𝐹𝐹 (𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟ç𝐚𝐚𝐚𝐚) 
 
𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 
 
Onde 𝐹𝐹! corresponde à soma dos componentes 𝑥𝑥 e 𝐹𝐹! à soma dos 
componentes 𝑦𝑦 , podendo cada componente apresentar sinal positivo ou 
negativo. 
Tendoobtido 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅!, é possível determinar o módulo, a direção e o 
sentido da força resultante 𝑅𝑅 = 𝐹𝐹 que atua sobre um corpo: 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!² (Módulo da força resultante) 
 
Quanto ao ângulo 𝜃𝜃, formado pelo eixo 𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑅𝑅, pode ser obtido pela 
relação 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑅𝑅!/𝑅𝑅!. Como os componentes 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅! podem ser positivos, 
negativos ou nulos, o ângulo 𝜃𝜃 pode ser localizado em qualquer um dos 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! 
	
 e 
Na Figura 2.8, você pode observar no item (A) uma força 𝐹𝐹 que atua 
sobre o corpo em um ponto 𝑂𝑂. Os vetores componentes de 𝐹𝐹 nas direções 
𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑂𝑂𝑂𝑂 são, respectivamente, 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹!. Quando aplicamos 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹! 
𝑅𝑅 = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! +⋯ = 𝐹𝐹 (𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟ç𝐚𝐚𝐚𝐚) 
 
𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 
 
Onde 𝐹𝐹! corresponde à soma dos componentes 𝑥𝑥 e 𝐹𝐹! à soma dos 
componentes 𝑦𝑦 , podendo cada componente apresentar sinal positivo ou 
negativo. 
Tendo obtido 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅!, é possível determinar o módulo, a direção e o 
sentido da força resultante 𝑅𝑅 = 𝐹𝐹 que atua sobre um corpo: 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!² (Módulo da força resultante) 
 
Quanto ao ângulo 𝜃𝜃, formado pelo eixo 𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑅𝑅, pode ser obtido pela 
relação 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑅𝑅!/𝑅𝑅!. Como os componentes 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅! podem ser positivos, 
negativos ou nulos, o ângulo 𝜃𝜃 pode ser localizado em qualquer um dos 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! 
	
 simultaneamente, que é o que 
observamos na Figura 2.8, item (B), temos um efeito que é igual ao produzido pela 
força original . Assim, evidenciamos que qualquer força pode ser substituída pelos 
seus vetores componentes, sendo esses atuantes em um mesmo ponto (YOUNG; 
FREEDMAN, 2008).
Generalizando essas abordagens sobre a superposição de forças, note que, 
no decorrer desse estudo sobre forças, será necessário determinar o vetor soma 
(resultante) de todas as forças que atuam sobre um corpo (força resultante). Logo:
Na Figura 2.8, você pode observar no item (A) uma força 𝐹𝐹 que atua 
sobre o corpo em um ponto 𝑂𝑂. Os vetores componentes de 𝐹𝐹 nas direções 
𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑂𝑂𝑂𝑂 são, respectivamente, 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹!. Quando aplicamos 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹! 
𝑅𝑅 = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! +⋯ = 𝐹𝐹 (𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟ç𝐚𝐚𝐚𝐚) 
 
𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 
 
Onde 𝐹𝐹! corresponde à soma dos componentes 𝑥𝑥 e 𝐹𝐹! à soma dos 
componentes 𝑦𝑦 , podendo cada componente apresentar sinal positivo ou 
negativo. 
Tendo obtido 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅!, é possível determinar o módulo, a direção e o 
sentido da força resultante 𝑅𝑅 = 𝐹𝐹 que atua sobre um corpo: 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!² (Módulo da força resultante) 
 
Quanto ao ângulo 𝜃𝜃, formado pelo eixo 𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑅𝑅, pode ser obtido pela 
relação 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑅𝑅!/𝑅𝑅!. Como os componentes 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅! podem ser positivos, 
negativos ou nulos, o ângulo 𝜃𝜃 pode ser localizado em qualquer um dos 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! 
	
 (Vetor soma das forças)
De maneira mais específica para cada componente, podemos escrever a força 
resultante como:
Na Figura 2.8, você pode observar no item (A) uma força 𝐹𝐹 que atua 
sobre o corpo em um ponto 𝑂𝑂. Os vetores componentes de 𝐹𝐹 nas direções 
𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑂𝑂𝑂𝑂 são, respectivamente, 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹!. Quando aplicamos 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹! 
𝑅𝑅 = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! +⋯ = 𝐹𝐹 (𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟ç𝐚𝐚𝐚𝐚) 
 
𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 
 
Onde 𝐹𝐹! corresponde à soma dos componentes 𝑥𝑥 e 𝐹𝐹! à soma dos 
componentes 𝑦𝑦 , podendo cada componente apresentar sinal positivo ou 
negativo. 
Tendo obtido 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅!, é possível determinar o módulo, a direção e o 
sentido da força resultante 𝑅𝑅 = 𝐹𝐹 que atua sobre um corpo: 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!² (Módulo da força resultante) 
 
Quanto ao ângulo 𝜃𝜃, formado pelo eixo 𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑅𝑅, pode ser obtido pela 
relação 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑅𝑅!/𝑅𝑅!. Como os componentes 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅! podem ser positivos, 
negativos ou nulos, o ângulo 𝜃𝜃 pode ser localizado em qualquer um dos 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! 
	
Força e Movimento Força e Movimento
U2
83
Onde 
Na Figura 2.8, você pode observar no item (A) uma força 𝐹𝐹 que atua 
sobre o corpo em um ponto 𝑂𝑂. Os vetores componentes de 𝐹𝐹 nas direções 
𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑂𝑂𝑂𝑂 são, respectivamente, 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹!. Quando aplicamos 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹! 
𝑅𝑅 = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! +⋯ = 𝐹𝐹 (𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟ç𝐚𝐚𝐚𝐚) 
 
𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 
 
Onde 𝐹𝐹! corresponde à soma dos componentes 𝑥𝑥 e 𝐹𝐹! à soma dos 
componentes 𝑦𝑦 , podendo cada componente apresentar sinal positivo ou 
negativo. 
Tendo obtido 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅!, é possível determinar o módulo, a direção e o 
sentido da força resultante 𝑅𝑅 = 𝐹𝐹 que atua sobre um corpo: 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!² (Módulo da força resultante) 
 
Quanto ao ângulo 𝜃𝜃, formado pelo eixo 𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑅𝑅, pode ser obtido pela 
relação 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑅𝑅!/𝑅𝑅!. Como os componentes 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅! podem ser positivos, 
negativos ou nulos, o ângulo 𝜃𝜃 pode ser localizado em qualquer um dos 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! 
	
 corresponde à soma dos componentes x e 
Na Figura 2.8, você pode observar no item (A) uma força 𝐹𝐹 que atua 
sobre o corpo em um ponto 𝑂𝑂. Os vetores componentes de 𝐹𝐹 nas direções 
𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑂𝑂𝑂𝑂 são, respectivamente, 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹!. Quando aplicamos 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹! 
𝑅𝑅 = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! +⋯ = 𝐹𝐹 (𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟ç𝐚𝐚𝐚𝐚) 
 
𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 
 
Onde 𝐹𝐹! corresponde à soma dos componentes 𝑥𝑥 e 𝐹𝐹! à soma dos 
componentes 𝑦𝑦 , podendo cada componente apresentar sinal positivo ou 
negativo. 
Tendo obtido 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅!, é possível determinar o módulo, a direção e o 
sentido da força resultante 𝑅𝑅 = 𝐹𝐹 que atua sobre um corpo: 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!² (Módulo da força resultante) 
 
Quanto ao ângulo 𝜃𝜃, formado pelo eixo 𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑅𝑅, pode ser obtido pela 
relação 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑅𝑅!/𝑅𝑅!. Como os componentes 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅! podem ser positivos, 
negativos ou nulos, o ângulo 𝜃𝜃 pode ser localizado em qualquer um dos 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! 
	
 à soma dos 
componentes y, podendo cada componente apresentar sinal positivo ou negativo.
Tendo obtido R
x
 e R
y
, é possível determinar o módulo, a direção e o sentido da 
força resultante 
Na Figura 2.8, você pode observar no item (A) uma força 𝐹𝐹 que atua 
sobre o corpo em um ponto 𝑂𝑂. Os vetores componentes de 𝐹𝐹 nas direções 
𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑂𝑂𝑂𝑂 são, respectivamente, 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹!. Quando aplicamos 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹! 
𝑅𝑅 = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! +⋯ = 𝐹𝐹 (𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟ç𝐚𝐚𝐚𝐚) 
 
𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 
 
Onde 𝐹𝐹! corresponde à soma dos componentes 𝑥𝑥 e 𝐹𝐹! à soma dos 
componentes 𝑦𝑦 , podendo cada componente apresentar sinal positivo ou 
negativo. 
Tendo obtido 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅!, é possível determinar o módulo, a direção e o 
sentido da força resultante 𝑅𝑅 = 𝐹𝐹 que atua sobre um corpo: 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!² (Módulo da força resultante) 
 
Quanto ao ângulo 𝜃𝜃, formado pelo eixo 𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑅𝑅, pode ser obtido pela 
relação 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑅𝑅!/𝑅𝑅!. Como os componentes 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅! podem ser positivos, 
negativos ou nulos, o ângulo 𝜃𝜃 pode ser localizado em qualquer um dos 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! 
	
 que atua sobre um corpo:
Na Figura 2.8, você pode observar no item (A) uma força 𝐹𝐹 que atua 
sobre o corpo em um ponto 𝑂𝑂. Os vetores componentes de 𝐹𝐹 nas direções 
𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑂𝑂𝑂𝑂são, respectivamente, 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹!. Quando aplicamos 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹! 
𝑅𝑅 = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! +⋯ = 𝐹𝐹 (𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟ç𝐚𝐚𝐚𝐚) 
 
𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 
 
Onde 𝐹𝐹! corresponde à soma dos componentes 𝑥𝑥 e 𝐹𝐹! à soma dos 
componentes 𝑦𝑦 , podendo cada componente apresentar sinal positivo ou 
negativo. 
Tendo obtido 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅!, é possível determinar o módulo, a direção e o 
sentido da força resultante 𝑅𝑅 = 𝐹𝐹 que atua sobre um corpo: 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!² (Módulo da força resultante) 
 
Quanto ao ângulo 𝜃𝜃, formado pelo eixo 𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑅𝑅, pode ser obtido pela 
relação 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑅𝑅!/𝑅𝑅!. Como os componentes 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅! podem ser positivos, 
negativos ou nulos, o ângulo 𝜃𝜃 pode ser localizado em qualquer um dos 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! 
	
 (Módulo da força resultante)
Quanto ao ângulo 
Na Figura 2.8, você pode observar no item (A) uma força 𝐹𝐹 que atua 
sobre o corpo em um ponto 𝑂𝑂. Os vetores componentes de 𝐹𝐹 nas direções 
𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑂𝑂𝑂𝑂 são, respectivamente, 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹!. Quando aplicamos 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹! 
𝑅𝑅 = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! +⋯ = 𝐹𝐹 (𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟ç𝐚𝐚𝐚𝐚) 
 
𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 
 
Onde 𝐹𝐹! corresponde à soma dos componentes 𝑥𝑥 e 𝐹𝐹! à soma dos 
componentes 𝑦𝑦 , podendo cada componente apresentar sinal positivo ou 
negativo. 
Tendo obtido 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅!, é possível determinar o módulo, a direção e o 
sentido da força resultante 𝑅𝑅 = 𝐹𝐹 que atua sobre um corpo: 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!² (Módulo da força resultante) 
 
Quanto ao ângulo 𝜃𝜃, formado pelo eixo 𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑅𝑅, pode ser obtido pela 
relação 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑅𝑅!/𝑅𝑅!. Como os componentes 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅! podem ser positivos, 
negativos ou nulos, o ângulo 𝜃𝜃 pode ser localizado em qualquer um dos 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! 
	
, formado pelo eixo Ox e 
Na Figura 2.8, você pode observar no item (A) uma força 𝐹𝐹 que atua 
sobre o corpo em um ponto 𝑂𝑂. Os vetores componentes de 𝐹𝐹 nas direções 
𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑂𝑂𝑂𝑂 são, respectivamente, 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹!. Quando aplicamos 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹! 
𝑅𝑅 = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! +⋯ = 𝐹𝐹 (𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟ç𝐚𝐚𝐚𝐚) 
 
𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 
 
Onde 𝐹𝐹! corresponde à soma dos componentes 𝑥𝑥 e 𝐹𝐹! à soma dos 
componentes 𝑦𝑦 , podendo cada componente apresentar sinal positivo ou 
negativo. 
Tendo obtido 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅!, é possível determinar o módulo, a direção e o 
sentido da força resultante 𝑅𝑅 = 𝐹𝐹 que atua sobre um corpo: 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!² (Módulo da força resultante) 
 
Quanto ao ângulo 𝜃𝜃, formado pelo eixo 𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑅𝑅, pode ser obtido pela 
relação 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑅𝑅!/𝑅𝑅!. Como os componentes 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅! podem ser positivos, 
negativos ou nulos, o ângulo 𝜃𝜃 pode ser localizado em qualquer um dos 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! 
	
, pode ser obtido pela relação 
Na Figura 2.8, você pode observar no item (A) uma força 𝐹𝐹 que atua 
sobre o corpo em um ponto 𝑂𝑂. Os vetores componentes de 𝐹𝐹 nas direções 
𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑂𝑂𝑂𝑂 são, respectivamente, 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹!. Quando aplicamos 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹! 
𝑅𝑅 = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! +⋯ = 𝐹𝐹 (𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟ç𝐚𝐚𝐚𝐚) 
 
𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 
 
Onde 𝐹𝐹! corresponde à soma dos componentes 𝑥𝑥 e 𝐹𝐹! à soma dos 
componentes 𝑦𝑦 , podendo cada componente apresentar sinal positivo ou 
negativo. 
Tendo obtido 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅!, é possível determinar o módulo, a direção e o 
sentido da força resultante 𝑅𝑅 = 𝐹𝐹 que atua sobre um corpo: 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!² (Módulo da força resultante) 
 
Quanto ao ângulo 𝜃𝜃, formado pelo eixo 𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑅𝑅, pode ser obtido pela 
relação 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑅𝑅!/𝑅𝑅!. Como os componentes 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅! podem ser positivos, 
negativos ou nulos, o ângulo 𝜃𝜃 pode ser localizado em qualquer um dos 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! 
	
. Como os componentes 
Na Figura 2.8, você pode observar no item (A) uma força 𝐹𝐹 que atua 
sobre o corpo em um ponto 𝑂𝑂. Os vetores componentes de 𝐹𝐹 nas direções 
𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑂𝑂𝑂𝑂 são, respectivamente, 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹!. Quando aplicamos 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹! 
𝑅𝑅 = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! +⋯ = 𝐹𝐹 (𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟ç𝐚𝐚𝐚𝐚) 
 
𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 
 
Onde 𝐹𝐹! corresponde à soma dos componentes 𝑥𝑥 e 𝐹𝐹! à soma dos 
componentes 𝑦𝑦 , podendo cada componente apresentar sinal positivo ou 
negativo. 
Tendo obtido 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅!, é possível determinar o módulo, a direção e o 
sentido da força resultante 𝑅𝑅 = 𝐹𝐹 que atua sobre um corpo: 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!² (Módulo da força resultante) 
 
Quanto ao ângulo 𝜃𝜃, formado pelo eixo 𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑅𝑅, pode ser obtido pela 
relação 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑅𝑅!/𝑅𝑅!. Como os componentes 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅! podem ser positivos, 
negativos ou nulos, o ângulo 𝜃𝜃 pode ser localizado em qualquer um dos 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! 
	
 e 
Na Figura 2.8, você pode observar no item (A) uma força 𝐹𝐹 que atua 
sobre o corpo em um ponto 𝑂𝑂. Os vetores componentes de 𝐹𝐹 nas direções 
𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑂𝑂𝑂𝑂 são, respectivamente, 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹!. Quando aplicamos 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹! 
𝑅𝑅 = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! +⋯ = 𝐹𝐹 (𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟ç𝐚𝐚𝐚𝐚) 
 
𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 
 
Onde 𝐹𝐹! corresponde à soma dos componentes 𝑥𝑥 e 𝐹𝐹! à soma dos 
componentes 𝑦𝑦 , podendo cada componente apresentar sinal positivo ou 
negativo. 
Tendo obtido 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅!, é possível determinar o módulo, a direção e o 
sentido da força resultante 𝑅𝑅 = 𝐹𝐹 que atua sobre um corpo: 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!² (Módulo da força resultante) 
 
Quanto ao ângulo 𝜃𝜃, formado pelo eixo 𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑅𝑅, pode ser obtido pela 
relação 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑅𝑅!/𝑅𝑅!. Como os componentes 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅! podem ser positivos, 
negativos ou nulos, o ângulo 𝜃𝜃 pode ser localizado em qualquer um dos 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! 
	
 podem ser positivos, negativos ou 
nulos, o ângulo 
Na Figura 2.8, você pode observar no item (A) uma força 𝐹𝐹 que atua 
sobre o corpo em um ponto 𝑂𝑂. Os vetores componentes de 𝐹𝐹 nas direções 
𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑂𝑂𝑂𝑂 são, respectivamente, 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹!. Quando aplicamos 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹! 
𝑅𝑅 = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! +⋯ = 𝐹𝐹 (𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟ç𝐚𝐚𝐚𝐚) 
 
𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 
 
Onde 𝐹𝐹! corresponde à soma dos componentes 𝑥𝑥 e 𝐹𝐹! à soma dos 
componentes 𝑦𝑦 , podendo cada componente apresentar sinal positivo ou 
negativo. 
Tendo obtido 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅!, é possível determinar o módulo, a direção e o 
sentido da força resultante 𝑅𝑅 = 𝐹𝐹 que atua sobre um corpo: 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!² (Módulo da força resultante) 
 
Quanto ao ângulo 𝜃𝜃, formado pelo eixo 𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑅𝑅, pode ser obtido pela 
relação 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑅𝑅!/𝑅𝑅!. Como os componentes 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅! podem ser positivos, 
negativos ou nulos, o ângulo 𝜃𝜃 pode ser localizado em qualquer um dos 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! 
	
 pode ser localizado em qualquer um dos quatro quadrantes.
Perceba que fórmula para determinar o módulo da força resultante que foi 
fornecida diz respeito a duas dimensões, porém a mesma ideia pode ser estendida 
para três dimensões:
Na Figura 2.8, você pode observar no item (A) uma força 𝐹𝐹 que atua 
sobre o corpo em um ponto 𝑂𝑂. Os vetores componentes de 𝐹𝐹 nas direções 
𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑂𝑂𝑂𝑂 são, respectivamente, 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹!. Quando aplicamos 𝐹𝐹! e 𝐹𝐹! 
𝑅𝑅 = 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! + 𝐹𝐹! +⋯ = 𝐹𝐹 (𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟ç𝐚𝐚𝐚𝐚) 
 
𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 𝑅𝑅! = 𝐹𝐹! 
 
Onde 𝐹𝐹! corresponde à soma dos componentes 𝑥𝑥 e 𝐹𝐹! à soma dos 
componentes 𝑦𝑦 , podendo cada componente apresentar sinal positivo ou 
negativo. 
Tendo obtido 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅!, é possível determinar o módulo, a direção e o 
sentido da força resultante 𝑅𝑅 = 𝐹𝐹 que atua sobre um corpo: 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!² (Módulo da força resultante) 
 
Quanto ao ângulo 𝜃𝜃, formado pelo eixo 𝑂𝑂𝑂𝑂 e 𝑅𝑅, pode ser obtido pela 
relação 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑅𝑅!/𝑅𝑅!. Como os componentes 𝑅𝑅! e 𝑅𝑅! podem ser positivos, 
negativos ou nulos, o ângulo 𝜃𝜃 pode ser localizado em qualquer um dos 
𝑅𝑅 = 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! + 𝑅𝑅!! 
	
Veja a resolução de exercícios que envolvem a superposição de forças 
assistindo aos vídeos que podem ser acessados por meio dos links:
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=ZFiFmIx_DpE>. 
Acesso em: 28 set. 2015.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=IFy6c_qeBd0>. 
Acesso em: 28 set. 2015.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=zQT0SodMe6U>. 
Acesso em: 28 set. 2015.
2.2.2 Primeira lei de Newton
Até agora, mencionamos sobre as forças e algumas de suas propriedades, porém 
não demos ainda início ao propósito principal dessas abordagens: como as forças 
afetam movimentos. Começaremos tratando sobre o caso em que a força resultante 
sobre um corpo é igual a zero.
Considerando um corpo que se encontra em repouso, não é difícil de imaginar 
que, se a força resultante atuante sobre esse corpo for igual a zero, o corpo 
permanecerá em repouso.
Força e Movimento
U2
84
Considerando um corpo em movimento, o que acontecerá se 
a força resultante atuante sobre esse corpo for igual a zero?
Imagine a seguinte situação: em um jogo de hóquei, enquanto você empurrar 
o disco, ele tem movimento. Agora, se você para de empurrar, é bem provável 
que o disco continue se movimentando, porém vai diminuindo sua velocidade 
gradativamente até parar. Isso acontece porque existe uma força de atrito entre o 
disco e o chão (superfície sobre a qual o disco desliza). Mas, desconsiderando a 
força de atrito, se esse disco de hóquei estivesse sobre uma superfície perfeitamente 
lisa, ou flutuando sobre um trilho de ar, esse mesmo disco percorrerá uma distância 
muito maior.
Se fosse possível extinguir totalmente o atrito, mesmo sem a ação de forças 
(força resultante igual a zero), o disco continuaria a movimentar-se indefinidamente 
com velocidade constante.
A partir dessa ideia, podemos enunciar:
Em síntese, a primeira lei de Newton nos remete a compreender que, diante da 
atuação de força resultante nula, todo corpo em repouso tende a manter-se em 
repouso, da mesma forma que todo corpo em movimento tende a se manter em 
movimento constante.
Essas ideias de um corpo em permanente movimento, uma vez iniciado seu 
deslocamento, ou de um corpo parado que se mantém em repouso, resultam na 
propriedade que denominamos de inércia.
Para melhor compreensão dessa primeira lei de Newton, observe a imagem:
Primeira lei de Newton: quando a força resultante sobre um corpo é nula, ele se 
move com velocidade constante (que pode ser nula) e aceleração nula.
Fonte: <http://osfundamentosdafisica.blogspot.com.br/2013/08/cursos-do-blog-mecanica_19.html>. Acesso em: 16 set. 2015.
Figura 2.9 – Livro apoiado sobre uma mesa
Força e Movimento Força e Movimento
U2
85
Observe que a situação ilustrada na Figura 2.9 está de acordo com a primeira lei 
de Newton: na figura, temos um livro apoiado sobre uma mesa cujas forças atuantes 
são a força normal (
de Newton: na figura, temos um livro apoiado sobre uma mesa cujas forças atuantes 
), de baixo para cima, e a força gravitacional (força peso = ), 
de cima para baixo. Ambas as forças são iguais em módulo, apresentando mesmas 
direções e sentidos diferentes, o que nos leva à obtenção da força resultante igual a 
zero. Assim, de acordo com a primeira lei de Newton, o livro que está em repouso 
permanecerá em repouso.
Podemos concluir que, quando dizemos que a força resultante atuante sobre 
um corpo é igual a zero, é a mesma coisa que dizer que não há nenhuma força 
atuando sobre esse corpo. Assim, quando nenhuma força atua sobre um corpo 
ou quando existem diversas forças com uma soma vetorial resultante igual a zero, 
podemos afirmar que o corpo está em equilíbrio. Logo, dizemos que um corpo está 
em equilíbrio quando ele está em repouso ou quando se encontra em movimento 
constante, e representamos o equilíbrio de um corpo por:
Perceba que, para que isso ocorra, cada um dos componentes da força resultante 
deve ser igual a zero:
Agora, imagine a seguinte situação: você está em pé apoiado em patins dentro de 
um ônibus em movimento. Quando o motorista acelera o veículo, você se desloca 
para trás do ônibus e, quando o motorista freia, você se desloca para frente do 
ônibus. 
Na situação descrita, percebe-se que, aparentemente, nenhuma força resultante 
está atuando sobre você. O que há de errado, tendo em vista que a situação descrita 
parece não obedecer à primeira lei de Newton?
Nessa situação, perceba que o ônibus está sendo acelerado em relação à Terra 
e esse não é um sistema de referência adequado para a aplicação da primeira lei de 
Newton. Portanto, não é para todos os sistemas de referência que a primeira lei de 
Newton é válida. Os sistemas para os quais essa lei é válida chamamos de sistema de 
referência inercial ((por esse motivo, a primeira lei de Newton também é conhecida 
como lei da inércia). 
No exemplo suposto, a Terra pode até ser, aproximadamente, considerada como 
referencial inercial, mas o ônibus não. Experimentalmente, é possível comprovar 
que, por exemplo, ao reduzir a velocidade do ônibus o passageiro tende a continuar 
se movimentando com velocidade constante em relação à Terra, mas move-se para 
frente em relação ao veículo.
Força e Movimento
U2
86
Por que a Terra não é exatamente um sistema de referência 
inercial?
Aprofunde seu conhecimento sobre a primeira lei de Newton acessando 
o link indicado:
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=EF-SLtRmBb8>. 
Acesso em: 29 set. 2015. 
2.2.3 Segunda lei de Newton
Na primeira lei de Newton, você estudou o que acontece com um corpo quando 
esse sofre uma força resultante nula, tanto quando o corpo está em repouso como 
quando o corpo está em movimento. Agora, você vai aprender o que acontece 
quando a força resultante é diferente de zero.
Suponha que você esteja empurrando um bloco de gelo por uma superfície 
horizontal sem atrito. Ao exercer uma força horizontal sobre o bloco, ele se move 
com uma aceleração . Experimentalmente, podemos mostrar que nesse tipo de 
situação a força é diretamente proporcional à aceleração; logo, se dobrarmos a força 
resultante sobre o corpo, a aceleração também duplica, assim como, se reduzirmos 
a força resultante à terça parte, a aceleração também se reduz à terça parte. 
Além disso, na segunda lei de Newton, consideramos a massa de um corpo. 
Massa é a propriedade de um corpo que especifica o quanto ele pode resistir a 
mudanças na sua velocidade. Assim, quanto maior a massa de um corpo, menor é 
a aceleração desse corpo quando submetido à ação de uma força resultante. Logo,
 Pela relação dada, temos que uma massa m
1
 produz uma mudança em seu 
movimento quantificada por a e, do mesmo modo, uma massa m
2
 produz uma 
mudança em seu movimento quantificada por a . Pela relação, evidenciamos a 
razão inversa dos módulos das acelerações produzidas pela força.
Força e Movimento Força e Movimento
U2
87
Assim, por exemplo, se uma força que age sobre um corpo de 5 kg produz uma 
aceleração de 6 m/s, então a mesma força aplicada a um corpo de 10 kg produzirá 
uma aceleração de 3 m/s (se dobro a massa, reduzo a aceleração pela metade – 
inversamente proporcionais).
Atente-se para não confundir massa com peso! A massa de um corpo é a mesma 
em qualquer lugar, porémo peso está relacionado ao módulo da força gravitacional 
exercida sobre o corpo e, portanto, varia com a localização.
Considerando a característica de proporcionalidade entre a força resultante e a 
aceleração, bem como que a aceleração é inversamente proporcional à sua massa, 
podemos enunciar a segunda lei de Newton:
Com relação à força resultante, alguns detalhes precisam ser esclarecidos: 
quando o corpo consiste em um sistema de elementos individuais, a força resultante 
é obtida a partir do somatório vetorial de todas as forças externas ao sistema. Quanto 
às forças internas, não são consideradas porque não afetam de maneira significativa 
no movimento do sistema como um todo.
Segunda lei de Newton: quando vista de um referencial inercial, a aceleração de 
um corpo é diretamente proporcional à resultante das forças que agem sobre 
ele e inversamente proporcional à sua massa. A aceleração, nesse caso, possui a 
mesma direção e o mesmo sentido da força resultante:
Onde:Onde:
 = aceleração (m/s²)
m = massa (kg)
 = força resultante (N) – soma vetorial de todas as forças agindo sobre o corpo 
de massa m. 
Entenda o que são forças externas e forças internas de um sistema:
– Forças externas: correspondem à ação de outros corpos sobre o corpo 
rígido em consideração e são as forças responsáveis pelo comportamento 
externo desse corpo no qual atuam. São essas forças que causam o 
movimento do corpo ou que garantem que ele permaneça em repouso. 
– Forças internas: são responsáveis por manter juntas as partículas que 
formam o corpo rígido. 
Força e Movimento
U2
88
A segunda lei de Newton é uma lei fundamental da natureza, pois, com a relação 
apresentada, a qual traduz simbolicamente o enunciado dessa lei, apresenta a 
relação básica entre força e movimento.
Observe que a equação enunciada para a segunda lei de Newton é uma 
expressão vetorial. Assim sendo, podemos escrever as três equações seguintes de 
componentes:
Em síntese, a equação da segunda lei de Newton nos permite analisar o 
movimento de uma partícula quando esta sofre a ação de uma força resultante não 
nula. Além disso, temos quatro aspectos que necessitam de atenção especial na 
segunda lei de Newton: i) a equação é vetorial; ii) refere-se a forças externas; iii) a 
equação é válida apenas quando a massa do corpo é constante; e iv) a equação é 
válida apenas em sistemas de referência inerciais.
Para melhor compreensão sobre a segunda lei de Newton, analise o exemplo na 
sequência:
Exemplo 3: (YOUNG; FREEDMAN, 2008, p. 117) Uma garçonete empurra uma 
garrafa de ketchup de massa igual a 0,45 kg ao longo de um balcão liso e horizontal. 
Quando a garrafa deixa sua mão, ela possui velocidade de 2,8 m/s, que depois 
diminui por causa do atrito horizontal constante exercido pela superfície superior do 
balcão. A garrafa percorre uma distância de 1,0 m até parar. Determine o módulo, a 
direção e o sentido da força de atrito que atua na garrafa.
Resolução:
Primeiro, vamos determinar o sistema de coordenadas e identificar as forças que 
atuam sobre o corpo. Na figura a seguir, apresentamos o sistema de coordenadas 
escolhido (a) e evidenciamos todas as forças envolvidas na situação (b):
Fonte: A autora (2015). 
Figura 2.10 – Representação do problema
Força e Movimento Força e Movimento
U2
89
Escolhendo o eixo positivo de Ox no mesmo sentido em que desliza, considere 
x
0
=0 como o ponto onde a garrafa deixa a mão da garçonete com a velocidade 
inicial de 2,8 m/s.
Assim, para determinar a força de atrito, usaremos a componente x da segunda lei 
de Newton. Mas, antes disso, precisamos determinar o componente x da aceleração 
do pote. Como sabemos que a força de atrito é constante, podemos afirmar que a 
aceleração também é constante. Logo, podemos utilizar a seguinte fórmula, que já 
foi estudada na unidade 1:
O sinal negativo indica que o sentido da aceleração é para a esquerda. A 
velocidade possui sentido contrário ao da aceleração, pois o pote está diminuindo 
de velocidade. 
A força resultante na direção de x é , que corresponde ao componente x da 
força de atrito. Assim:
Note que o produto das unidades kg·m/s² corresponde a 1N. 
Note, ainda, que o sinal negativo indica, mais uma vez, que o sentido da força é 
para a esquerda.
Logo, o módulo da força de atrito é dado por =1,8 N, a direção é horizontal e o 
sentido é para a esquerda.
2.2.3.1 Força gravitacional e peso
Você já deve ter percebido que todos os corpos são atraídos para a Terra, e essa 
força de atração é chamada de força gravitacional 
Você já deve ter percebido que todos os corpos são atraídos para a Terra, e essa 
, cuja direção é o centro da 
Terra e o módulo é chamado de peso do corpo. 
Força e Movimento
U2
90
Quando um corpo está em queda livre, ele experimenta uma aceleração 
direcionada ao centro da Terra. Nessa situação, a única força que age sobre o corpo 
é a força gravitacional, sendo essa, portanto, a força resultante. Assim, podemos 
considerar:
Nessa relação, a massa m é chamada de massa gravitacional e tem o mesmo 
valor que a massa inercial (a massa que foi estudada no momento em que iniciamos 
as abordagens sobre a segunda lei de Newton).
Perceba que, se o peso depende de g, então ele varia conforme a localização. 
Para os problemas na superfície da Terra, utilizaremos g=9,8 m/s².
2.2.4 Terceira lei de Newton
Para compreender essa terceira lei, você precisa considerar que uma força 
atuando sobre um corpo é sempre o resultado de uma interação com outro corpo, 
e, assim, podemos evidenciar que as forças sempre ocorrem em pares.
Por exemplo, ao chutar uma bola: quando você chuta, a bola se move devido 
à força para a frente que seu pé exerceu sobre ela, porém, ao mesmo tempo, ao 
chutá-la, você sente a força que ela exerce sobre seu pé. Essas forças são contrárias 
no sentido, mas possuem mesma direção e mesmo valor em módulo. E é a partir 
dessa ideia que podemos enunciar a terceira lei de Newton:
Observe a figura a seguir:
Terceira lei de Newton: “Quando um corpo A exerce uma força sobre um corpo 
B (uma ‘ação’), então, o corpo B exerce uma força sobre o corpo A (uma ‘reação’). 
Essas duas forças têm o mesmo módulo e a mesma direção, mas possuem 
sentidos contrários. Essas duas forças atuam em corpos diferentes” (YOUNG; 
FREEDMAN, 2008, p. 121).
Fonte: <http://aprendendofisica.net/rede/blog/lei-de-newton-ao-e-reao/>. Acesso em: 29 set. 2015. 
Figura 2.11 – Força de ação e reação
Força e Movimento Força e Movimento
U2
91
Na Figura 2.11, você pode observar um homem que empurra um bloco, ou 
seja, temos dois corpos, em que um deles (homem) exerce uma força sobre o 
outro (bloco). Nessa figura, 
seja, temos dois corpos, em que um deles (homem) exerce uma força sobre o 
 é a força exercida pelo homem sobre o bloco e outro (bloco). Nessa figura, 
 é a força exercida pelo bloco sobre o homem. Essa situação pode ser 
enunciada matematicamente como:
Veja que, independente de estarmos nos referindo a um corpo inanimado 
(bloco) e outro não (homem), ainda assim podemos evidenciar que ocorrem, 
necessariamente, forças mútuas exercidas entre ambos os corpos.
De acordo com o enunciado matemático dado, perceba que temos uma 
equivalência entre as forças, porém com sinais opostos. Isso porque as forças de 
ação e de reação (par de ação e reação) são opostas.
É importante destacar que o par de ação e reação são forças de contato. Nesse 
sentido, a ação e a reação só ocorrem quando os dois corpos se tocam. Contudo, a 
lei de Newton, em alguns casos, também ocorre para forças de longo alcance, não 
havendo a necessidade de contato físico entre esses corpos. Um exemplo dessa 
situação é a força de atração gravitacional que a Terra exerce sobre corpos.
As forças de ação e reação sempre ocorrem em corpos 
diferentes ou é possível ocorrer o par de ação e reação em 
um único corpo?
Aprofunde seus conhecimentos sobre as três leis de Newton nos links:
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=ZtwPh3yGkO0>. 
Acessoem: 29 set. 2015.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=dU14qCv5AuI>. 
Acesso em: 29 set. 2015.
Força e Movimento
U2
92
2.2.5 Aplicações das leis de Newton
Agora que você já conheceu as três leis de Newton, vamos ampliar esse estudo 
para corpos em movimento na presença de atrito, modelando, assim, situações de 
maneira mais próxima da realidade.
Além disso, você estudará aplicações das leis de Newton também em movimentos 
circulares uniformes, bem como conhecerá as forças fundamentais da natureza.
Mas, antes de apresentarmos essas aplicações e abordagens, faz-se necessário 
esclarecer um conceito que está estritamente relacionado à primeira lei de Newton: 
partículas em equilíbrio.
Ao estudar a primeira lei de Newton, você observou que um corpo está em 
equilíbrio quando está em repouso ou em movimento uniforme em um sistema de 
referencial inercial. Nessa situação, a força resultante que atua sobre um corpo é 
nula:
Do mesmo modo, temos as seguintes relações para os componentes:
Partindo dessa ideia de equilíbrio, é possível resolver diversos tipos de problemas. 
Por mais complexos que pareçam alguns deles, é importante ressaltar que o processo 
de resolução é o mesmo:
1º passo: identificar os conceitos relevantes, utilizando a primeira lei de Newton 
para todos os casos em que estiver analisando um único corpo, estando esse em 
repouso ou em movimento constante. Quando o problema envolve mais de um 
corpo, sendo que esses interagem mutuamente, aplica-se a terceira lei de Newton. 
Essa terceira lei permite relacionar as forças que um corpo exerce sobre outro. 
Dentre os conceitos mais relevantes a serem identificados, destacamos os módulos 
das forças envolvidas, os componentes de uma força e a direção de uma força, que 
em geral está associada a uma medida angular.
2º passo: esboce um esquema (um modelo) da situação física, destacando os 
conceitos relevantes identificados.
3º passo: represente um corpo em equilíbrio por meio de uma partícula livre, não 
incluindo outros corpos que estejam com ele interagindo.
Força e Movimento Força e Movimento
U2
93
4º passo: identifique quais são os corpos que interagem com ele, seja pelo 
contato ou de outra maneira. No desenho do corpo livre, desenhe o vetor força de 
cada interação, especificando seu módulo, incluindo, quando tiver, a medida angular 
da direção de uma força. Em geral, quando a massa não é desprezível, um corpo 
possui a força peso e quando sobre a superfície há a ação de uma força normal e, 
possivelmente, uma força de atrito. Quando o corpo é puxado por uma corda ou 
corrente, podemos encontrar, por exemplo, a força de tensão.
5º passo: no diagrama construído no terceiro passo, você não deve mostrar 
nenhuma força exercida pelo corpo sobre outros corpos.
6º passo: defina um conjunto de eixos de coordenadas que será incluído no seu 
diagrama de corpo livre. Em seguida, assinale a direção positiva para cada eixo.
7º passo: encontre os componentes de força ao longo dos eixos de coordenadas. 
Atente-se para o fato de que o valor em módulo de uma força é sempre positivo, 
mas, ao considerar suas componentes, essas podem ser tanto positivas quanto 
negativas, dependendo do sentido.
8º passo: faça a soma algébrica de todos os componentes x das forças que 
atuam sobre o corpo e iguale esse somatório à zero. Em outra equação, faça esse 
mesmo procedimento para as componentes y. Caso esteja lidando com mais de um 
corpo, repita esse processo para cada um deles.
9º passo: certifique-se de que em suas equações você possui um número dessas 
que seja igual ao número de incógnitas.
 Para ilustrar esses procedimentos apresentados, volte a analisar a Figura 2.10 
desta unidade.
Encontramos aplicações sobre equilíbrio, envolvendo a primeira lei de Newton 
e, alguns casos, a terceira lei de Newton, em situações tais como: tensão em uma 
corda com massa; equilíbrio em duas dimensões; plano inclinado; e tensão em 
torno de uma polia sem atrito.
Veja exemplos de aplicações da primeira lei de Newton (e, alguns casos, 
a terceira lei de Newton) em situações diversas em que você poderá 
evidenciar os passos descritos anteriormente, bem como as ideias sobre 
corpos em equilíbrio:
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=As7zD-cyqvI>. 
Acesso em: 29 set. 2015.
Força e Movimento
U2
94
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=rUxxad4hqSY>. 
Acesso em: 29 set. 2015.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=-y6loNvx6pQ>. 
Acesso em: 29 set. 2015.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=kzurQ6XuMmE>. 
Acesso em: 29 set. 2015.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=2O1Kip2XN7k>. 
Acesso em: 29 set. 2015.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=kv359_SGkrM>. 
Acesso em: 29 set. 2015.
Até o momento, você estudou aplicações para a primeira lei de Newton, mais 
especificamente com alguns casos que podem ser estendidos para a terceira lei de 
Newton. Agora, você estudará algumas aplicações para a segunda lei de Newton, 
trabalhando com problemas de dinâmica.
Nesse caso, vamos considerar as situações em que temos corpos sob a ação de 
força resultante diferente de zero e que, portanto, não se encontram em equilíbrio. 
Assim, temos:
 (Forma vetorial)
 (Forma dos componentes)
Para a resolução de problemas nessa perspectiva, com a segunda lei de Newton, 
seguiremos passos análogos aos apresentados para problemas de equilíbrio.
Encontramos aplicações da segunda lei de Newton em situações tais como: 
movimento retilíneo com força constante; movimento retilíneo com atrito; tensão 
no cabo de um elevador; peso aparente dentro de um elevador em aceleração; 
aceleração descendo um plano inclinado (envolvendo mais de um corpo); dois 
corpos com a mesma aceleração; e dois corpos com aceleração em mesmo 
módulo.
Veja exemplos de aplicações da segunda lei de Newton acessando os 
links indicados:
Força e Movimento Força e Movimento
U2
95
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=-vMOvx5SjGI>. 
Acesso em: 29 set. 2015.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=MGmSGx-KgwQ>. 
Acesso em: 29 set. 2015.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=d1u5PKPro-0>. 
Acesso em: 29 set. 2015.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=3m6kWjfjpGc>. 
Acesso em: 29 set. 2015.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=NcbzFzDcwcA>. 
Acesso em: 29 set. 2015.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=s9IzrEsUoQw>. 
Acesso em: 29 set. 2015.
2.2.6 Forças de atrito
Na subseção anterior, você estudou alguns problemas de aplicação das leis 
de Newton em que um corpo está em equilíbrio ou desliza sobre superfícies que 
exercem forças sobre ele.
Porém, nos últimos vídeos que foram indicados no “Para saber mais”, você deve 
ter percebido que, quando dois corpos interagem por contato (toque) direto entre 
suas superfícies (força de contato), encontramos um tipo especial de força: a força 
de atrito.
Destacaremos esse tipo de força por ela ser importante em muitos aspectos da 
vida real e cotidiana. Por exemplo, ao dirigir um carro, se não existisse atrito entre as 
rodas do carro e o solo, essa ação de dirigir não seria possível.
Com relação à força de atrito, temos algumas propriedades importantes 
que merecem atenção neste estudo. E, para introduzirmos essas propriedades, 
primeiramente vamos entender de maneira mais clara o que é a força de atrito.
Suponha que você queira mover, ao longo de uma superfície, uma caixa pesada, 
cheia de objetos. Você só conseguirá mover essa caixa se a força que aplicar nela 
for superior a um determinado valor mínimo. Porém, se você retirar alguns objetos, 
fazendo com que a caixa fique mais leve, a força que deverá aplicar sobre a caixa a 
fim de movê-la poderá ser menor.
A partir dessa situação, podemos concluir, primeiramente, que, quando um 
corpo está em repouso ou em movimento constante, podemos sempre decompor 
as forças de contato em componentes perpendiculares e paralelos à superfície. Esse 
vetorcomponente perpendicular pode ser a força normal ou a força peso 
as forças de contato em componentes perpendiculares e paralelos à superfície. Esse 
e a paralela é a força de atrito . Caso as forças de contato não possuam atrito, 
Força e Movimento
U2
96
assumimos que .
Observe que o sentido da força de atrito é sempre contrário ao sentido do 
movimento relativo entre as duas superfícies, tal como mostra a figura seguinte
Na Figura 2.12, note que representamos a força normal por , em letra maiúscula. 
Essa maneira de representação não está errada, mas, em nosso estudo, optamos 
pela representação em letra minúscula para evitar possíveis confusões com a 
unidade de medida de força N (Newton).
Podemos considerar que existem dois tipos de atrito. Quando um corpo está 
deslizando sobre uma superfície, o tipo de atrito presente é o que chamamos de 
força de atrito cinético . O módulo desse tipo de atrito, em geral, aumenta 
proporcionalmente com a força normal. Isso explica a necessidade de aplicar uma 
força maior no caso que supomos que empurramos uma caixa pesada, cheia de 
objetos em seu interior. Nesse mesmo princípio, evidenciamos o funcionamento 
dos freios de um carro: quanto mais as pastilhas do freio são pressionadas, maior 
será o efeito da freada.
A partir desse contexto, podemos entender que a força de atrito cinético é 
diretamente proporcional à força normal:
 (em módulo)
onde é o coeficiente de atrito cinético, que não possui uma unidade específica, 
e, quanto mais deslizante for uma superfície, menor é o valor desse coeficiente.
A força de atrito pode, ainda, atuar quando não existe movimento relativo. Um 
exemplo é quando você tenta mover uma caixa pesada e não consegue porque o 
solo exerce uma força igual, em módulo, a que você está aplicando sobre a caixa, 
porém em sentido contrário. Essa força é a que denominamos de força de atrito 
estático 
porém em sentido contrário. Essa força é a que denominamos de 
.
Fonte: <http://polemicascmm.blogspot.com.br/2011/06/conseguiriamos-andar-sem-forca-do.html>. Acesso em: 30 set. 2015. 
Figura 2.12 – Forças envolvidas ao empurrar um bloco
Força e Movimento Força e Movimento
U2
97
Considerando um certo par de superfícies, o valor máximo de depende 
da força normal. Assim, experimentalmente, temos que 
Considerando um certo par de superfícies, o valor máximo de 
 é aproximadamente 
proporcional à força normal. O coeficiente de atrito estático será representado por 
, e, em uma situação particular, a força de atrito estático pode ser qualquer valor 
entre zero e outro valor máximo determinado por:
 (em módulo)
Percebam que ambas as equações apresentadas, para o atrito cinético e para 
o atrito estático, não são equações vetoriais, mas são maneiras de representar a 
relação entre módulos de vetores.
Vale destacar que, em geral, o coeficiente de atrito cinético é menor do que o 
coeficiente de atrito estático para um dado par de superfícies.
Por que o coeficiente de atrito cinético é menor que o 
coeficiente de atrito estático? Reflita sobre a situação de 
empurrar uma caixa pesada para refletir sobre essa questão.
Você já ouviu aquele som horrível feito pelo giz quando ele é colocado 
em uma posição errada ao escrevermos sobre o quadro-negro? Esse 
som ocorre porque, nessa situação, a superfície adere (atrito estático) e 
desliza (atrito cinético) ao mesmo tempo.
Por meio de um aparelho chamado de trilho de ar linear, muito usado 
em laboratórios de Física, é possível simular uma situação ideal, em 
que quase tornamos zero a existência de atrito. Isso ocorre porque o 
objeto (cavaleiro) é sustentado por uma camada de ar, não mantendo 
contato direto com o trilho. A força de atrito nessa situação depende 
da velocidade, sendo possível obter um coeficiente de atrito efetivo na 
ordem de 0,001.
Veja exemplos de exercícios resolvidos envolvendo forças de atrito 
acessando os links:
Força e Movimento
U2
98
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=R4aBM0ZasA4>. 
Acesso em: 29 set. 2015.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=9QvFcJEaMhQ>. 
Acesso em: 29 set. 2015.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=eVfZlH03e34>. 
Acesso em: 29 set. 2015.
2.2.7 Dinâmica do movimento circular uniforme
Os problemas envolvendo atrito que você acabou de estudar representam apenas 
uma das aplicações da segunda lei de Newton. Agora, vamos considerar outro tipo 
de situação em que também podemos evidenciar a aplicação dessa segunda lei: no 
caso de uma partícula em movimento circular uniforme.
Uma partícula se movendo em uma trajetória circular de raio r, com velocidade 
uniforme 
Uma partícula se movendo em uma trajetória circular de raio r, com velocidade 
, experimenta uma aceleração centrípeta de módulo: 
Nessa situação, o vetor de aceleração com esse módulo está direcionado para o 
centro do círculo, sendo sempre perpendicular a 
Nessa situação, o vetor de aceleração com esse módulo está direcionado para o 
.
Conforme vimos na segunda lei de Newton, para que haja aceleração é preciso 
a ação de uma força resultante. Nesse sentido, em um movimento circular, existe 
uma força que age sobre uma partícula nessa trajetória e tal ação ocorre para dentro 
da partícula, o que provoca esse movimento em trajetória circular. Mas que forças, 
exatamente, causam esse tipo de aceleração?
Para responder a esse questionamento, considere um objeto de massa m 
amarrado a um barbante de comprimento r movendo-se a uma velocidade constante 
em uma trajetória circular e horizontal, conforme ilustra a figura a seguir:
Fonte: Adaptado de: <http://slideplayer.com.br/slide/334549/> e de <http://profevertonrangel.blogspot.com.br/2013/04/
aceleracao-centripeta.html>. Acesso em: 30 set. 2015. 
Figura 2.13 – Corpo em movimento circular uniforme
Força e Movimento Força e Movimento
U2
99
Na Figura 2.13, observe que o corpo em movimento circular uniforme é preso 
por um barbante e que esse, na outra extremidade, é preso pela mão de uma 
pessoa no centro da trajetória circular. O corpo se move em círculo nessa situação 
porque, de acordo com a primeira lei de Newton, a tendência natural do corpo é 
mover-se de maneira retilínea, contudo, como o barbante evita que esse tipo de 
movimento ocorra, exercendo uma força radial 
mover-se de maneira retilínea, contudo, como o barbante evita que esse tipo de 
 no corpo, esse seguirá uma 
trajetória circular. O módulo dessa força é a tensão no barbante e ela é direcionada 
ao longo da extensão do barbante para o centro da circunferência, conforme você 
pode visualizar na Figura 2.13. Perceba que tanto é verdade que a primeira lei de 
Newton se aplica nessa situação que, se supormos que o barbante arrebente em um 
certo momento, tal como você pode observar na Figura 2.13, o corpo continuará se 
movimentando, porém em linha reta.
Assim como nessa situação a força de tensão no barbante é o responsável por 
provocar o movimento circular e uniforme, existem outros tipos de forças que, da 
mesma forma, podem ocasionar esse tipo de movimento, por exemplo, a força 
gravitacional que faz um plante orbitar em torno do Sol ou a força de atrito que faz 
com que um automóvel viaje por estradas curvas.
Qualquer que seja a força que age sobre um corpo, colocando esse em uma 
trajetória circular, podemos aplicar a esse corpo a segunda lei de Newton ao longo 
da direção radial:
De acordo com a equação dada, note que tanto uma única força quanto um 
somatório de forças (força resultante) podem provocar um movimento em trajetória 
circular. E, quando essa força é inexistente (igual a zero), temos que o movimento 
em trajetória circular não ocorre, fazendo com que o corpo descreva uma trajetória 
em linha reta, de maneira a tangenciar a circunferência, tal como você pôde observar 
na Figura 2.13, no momento em que o barbante arrebenta.
A aceleração centrípeta (a_c) também pode ser representada em termos 
de período T, que corresponde ao tempo necessário para uma revolução 
(uma volta completano movimento circular):
Força e Movimento
U2
100
Em termos do período, a_c é dada por:
 Veja exemplos de exercícios resolvidos envolvendo aceleração 
centrípeta:
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=ArHh_7kSv4M>. 
Acesso em: 30 set. 2015.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=X3sljfjDKvE>. 
Acesso em: 30 set. 2015.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=eZfjD579OGg>. 
Acesso em: 30 set. 2015.
2.2.8 Forças fundamentais da natureza
2.2.8.1 A força gravitacional
Além das forças que você estudou até o momento, as quais podem ser 
consideradas como macroscópicas, existem forças que atuam no mundo atômico 
e subatômico, as quais, por exemplo, dentro de um átomo, são responsáveis por 
manter os componentes desse unidos, em que temos que as forças nucleares se 
responsabilizam por evitar que esses componentes se apartam.
Temos quatro forças fundamentais que assim são consideradas por estarem 
presentes em diversas situações da natureza. A partir de agora, vamos discutir sobre 
cada uma delas.
Essa força corresponde à força mútua de atração entre quaisquer dois corpos 
no universo e é considerada como a força mais fraca dentre as forças fundamentais 
que você estudará.
De acordo com a lei gravitacional universal de Newton, cada partícula do 
Universo atrai todas as outras com uma força (F
g
), que é diretamente proporcional 
ao produto das suas massas (m
1 
 e m
2
) e inversamente proporcional ao quadrado da 
distância (r) entre elas:
Onde G=6,674×10–11 N·m2/kg² é a constante de gravitação universal
Força e Movimento Força e Movimento
U2
101
2.2.8.2 A força eletromagnética
É a força que une os átomos e as moléculas em compostos para formar a matéria 
comum e é uma força muito mais forte que a gravitacional. O interessante desse tipo 
de força é estar relacionada às demais forças macroscópicas que estudamos: forças 
de atrito, de contato, de tensão etc., são consequências de forças eletromagnéticas 
entre partículas carregadas que estão próximas (SERWAY; JEWETT JR., 2014).
A força eletromagnética envolve partículas positivas e negativas e, diferente da 
força gravitacional, que é sempre uma interação que ocorre de maneira atrativa, a 
eletromagnética pode ocorrer em duas situações diferentes: pode ser considerada 
como de atração ou como de repulsão. Tudo isso depende das cargas das partículas.
A força eletrostática (F
e 
– Lei de Coulomb) nos fornece o módulo da força 
eletromagnética, levando-se em consideração duas partículas carregadas (q
1
 e q
2
, 
medidas em unidades chamadas de Coulomb - C) separadas por uma distância r:
onde k
e 
= 8,99 ×109 N·m2/C² e representa a constante de Coulomb. 
Perceba que a equação da força gravitacional e da força eletromagnética são 
análogas. 
Destacamos que, quando as partículas, q
1
 e q
2
, têm sinais opostos, trata-se de 
uma força de atração e, quando apresentam mesmo sinal, trata-se de força de 
repulsão, tal como ilustra a figura a seguir:
Fonte: <http://osfundamentosdafisica.blogspot.com.br/2011/03/cursos-do-blog-eletricidade_09.html> Acesso em: 30 set. 
2015. 
Figura 2.14 – Duas cargas pontuais separadas por uma distância r exercendo força 
eletrostática entre si
Força e Movimento
U2
102
2.2.8.3 Força forte
2.2.8.4 A força fraca
Um átomo consiste em um núcleo carregado positivamente, bastante denso, 
cercado por uma nuvem de elétrons carregados negativamente. Como suas cargas 
são de sinais contrários, temos que os elétrons são atraídos para o núcleo pela força 
elétrica.
Considerando que no interior do núcleo temos muitos prótons, sendo todos de 
carga positiva, portanto cargas iguais, o que faz com que a força de repulsão entre 
eles não cause a quebra dos núcleos? Isso não ocorre porque existe uma força 
atrativa que equilibra a força repulsiva eletrostática nesse núcleo, a qual é muito forte. 
Essa força que mantém essa estabilidade no núcleo é chamada de força nuclear, 
que é um exemplo de manifestação de força forte.
Perceba que, nesse caso, não estamos considerando a distância entre duas 
partículas porque uma força forte ocorre a uma distância muito curta entre essas 
duas partículas. 
Essa força, assim como a força forte, também é de curto alcance, ou seja, de 
curta distância entre duas partículas que produzem instabilidade em certos núcleos. 
Esse tipo de força tem papel fundamental na maioria das reações de decaimento 
radioativo, e o interessante é que essa força fraca é, aproximadamente, 1034 vezes 
mais forte que a força gravitacional e cerca de 103 vezes mais fraca do que a 
eletromagnética.
Aprofunde seus conhecimentos sobre as forças fundamentais da natureza 
lendo os materiais que vocês encontram acessando os links indicados:
Disponível em: <http://www.if.ufrgs.br/tex/fis01043/20032/Humberto/
index.html>. Acesso em: 30 set. 2015.
Disponível em: <http://www.cesarzen.com/FIS1057Lista9.pdf>. Acesso 
em: 30 set. 2015.
Força e Movimento Força e Movimento
U2
103
1. (Adaptada de TIPLER, 2000, p. 78) Uma certa força provoca 
a aceleração de 5m/s2 no corpo padrão de massa m
1
=1 kg. A 
mesma força aplicada a um outro corpo de massa m
2 
provoca 
uma aceleração de 11 m/s². Assinale a alternativa que apresenta, 
respectivamente, a massa do segundo corpo e o módulo da 
força:
 
a) 0,35 kg e 5 N
b) 0,40 kg e 8 N
c) 0,45 kg e 5 N
d) 0,40 kg e 8 N
e) 0,53 kg e 5 N
 
2. (Adaptada de SERWAY; JEWETT JR., 2014, p. 133) Um disco 
de hóquei sobre um lago congelado recebe uma velocidade 
inicial de 20,0 m/s. Se o disco permanece sempre no gelo e 
desliza 115 m antes de entrar em repouso, é correto afirmar 
que o coeficiente de atrito cinético entre o disco e o gelo será 
de:
 
a) 0,177
b) 0,188
c) 0,199
d) 0,211
e) 0,222
Nesta unidade, você aprendeu:
• A representação de um corpo em duas e três dimensões.
• Como determinar a velocidade do vetor de um corpo e sua 
aceleração vetorial, a partir do que se sabe sobre sua trajetória.
• Como descrever a trajetória em curva percorrida por um projétil.
Força e Movimento
U2
104
• O significado do conceito de força na Física, bem como a razão 
da força ser vetorial.
• O significado de força resultante sobre um objeto.
• As três leis de Newton.
• Algumas aplicações das leis de Newton: forças de atrito e 
movimento circular uniforme;
• As forças fundamentais da natureza. 
Nesta unidade, você deu continuidade ao estudo da cinemática 
e foi introduzido aos estudos preliminares da dinâmica, em que, 
além de analisar movimentos, buscamos compreender as causas 
que os provocam. 
Espera-se que, ao final deste estudo, você tenha ampliado seus 
conhecimentos a respeito de conceitos da cinemática, sobretudo 
pautando-se nas aprendizagens decorrentes de estudos 
realizados sobre as abordagens da primeira unidade, sobre o 
movimento unidimensional, transpondo as ideias apreendidas 
para os movimentos bidimensionais e tridimensionais.
Além disso, espera-se que, ao final dos estudos desta segunda 
unidade, você possa: evidenciar como utilizar as leis de Newton 
para resolver problemas referentes às forças que atuam sobre 
um corpo ou sobre dois corpos em interação (em que temos 
o par de ação e reação); entender como resolver problemas 
referentes às forças que atuam sobre um corpo em movimento 
circular uniforme; e conhecer as principais propriedades das 
forças fundamentais da natureza.
Lembre-se que a aprendizagem nesta disciplina só será 
significativa se você fizer todas as leituras sugeridas, resolver 
as atividades de aprendizagem propostas e, se possível, fazer 
pesquisas em bibliotecas e estudar os materiais que compõem a 
bibliografia desta unidade.
E, ainda, gostaria de fazer um convite muito importante: acesse o 
fórum da disciplina e compartilhe suas dúvidas e conhecimentos 
construídos. Afinal, compartilhar conhecimentos pode auxiliar 
muito na compreensão dos estudos realizados. 
Bons estudos!
Força e Movimento Força e Movimento
U2
105
1. (Adaptada de SERWAY; JEWETT JR., 2014, p. 75) Uma 
partícula se move no planoxy, começando da origem em t=0 
com velocidade inicial, tendo duas componentes x de 20 m/s 
e y de -15 m/s. A partícula experimenta uma aceleração na 
direção x, dada por a
x
=4,0 m/s². Determine as coordenadas 
x e y da partícula em qualquer instante t e, em seguida, 
determine e assinale a alternativa que apresenta o seu vetor 
posição nesse instante:
 
a) =(20t+2t2 ) -15t 
b) =(20t+2t2 ) +15t 
c) =(15t+t2 ) 
 ) 
-20t 
d) =(15t+t2 ) +20t 
e) =(20t+t2 ) 
+20t 
-10t 
2. (Adaptada de SERWAY; JEWETT JR., 2014, p. 107) Um disco 
de hóquei com uma massa de 0,30 kg desliza sobre a superfície 
horizontal sem atrito de uma pista de gelo. Dois bastões de 
hóquei batem no disco ao mesmo tempo, exercendo forças 
sobre ele, como mostra a figura:
Fonte: Da autora (2015). 
Figura 2.15 – Representação do disco de hóquei se movendo em uma 
superfície sem atrito sob a ação de duas forças F �_1 e F �_2
Força e Movimento
U2
106
A força tem módulo de 5,0 N e a força tem módulo 
de 8,0 N. Determine o módulo e a direção da aceleração do 
disco e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta esses 
resultados, respectivamente:
 
a) 30 m/s² e 30°
b) 32 m/s² e 30°
c) 34 m/s² e 31°
d) 36 m/s² e 31°
e) 38 m/s² e 33°
 
3. (Adaptada de YOUNG; FREEDMAN, 2008, p. 120) Um carro 
de 2,49×104 N em movimento ao longo do eixo + Ox para 
repentinamente; o componente x da força resultante que 
atua sobre o carro é -1,83×104 N. Qual é sua aceleração?
 
a) 6,90 m/s² 
b) -6,90 m/s²
c) 7,20 m/s²
d) -7,20 m/s²
e) -8,10 m/s²
 
4. (Adaptada de YOUNG; FREEDMAN, 2008, p. 143) Um 
elevador e sua carga possuem massa total igual a 800 kg. O 
elevador está inicialmente descendo com velocidade igual a 
10,0 m/s; a seguir, ele atinge o repouso em uma distância de 
25,0 m. Determine a tensão T no cabo de suporte enquanto o 
elevador está diminuindo de velocidade até atingir o repouso 
e, em seguida, assinale a resposta correta:
 
a) 9110 N
b) 9230 N
c) 9310 N
d) 9390 N
e) 9440 N
Força e Movimento Força e Movimento
U2
107
5. (Adaptada de YOUNG; FREEDMAN, 2008, p. 151) Você está 
tentando mover um engradado de 500 N sobre um piso plano. 
Para iniciar o movimento, você precisa aplicar uma força 
horizontal de módulo igual a 230 N. Depois da “quebra do 
vínculo” e de iniciado o movimento, você necessita apenas de 
200 N para manter o movimento com velocidade constante. 
Qual é o coeficiente de atrito estático e o coeficiente de atrito 
cinético, respectivamente?
 
a) 0,46 e 0,40 
b) 0,40 e 0,46
c) 0,52 e 0,38
d) 0,38 e 0,52
e) 0,52 e 0,40
Força e MovimentoForça e Movimento
U2
108
U2
109Força e Movimento Força e MovimentoForça e Movimento
Referências
SERWAY, Raymond A.; JEWETT JR., John W. Princípios de Física. Tradução de Márcio 
Maia Vilela. São Paulo: Cengage Learning, 2014.
TIPLER, Paul A. Física para cientistas e engenheiros. Tradução de Horácio Macedo. 
Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos S. A., 2000.
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física I. Tradução de Sonia Midori Yamamoto. 
12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008.
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
110
Unidade 3
TRABALHO, ENERGIA, 
SISTEMAS DE PARTÍCULAS E 
COLISÕES
Nesta seção, vamos iniciar os nossos estudos com o trabalho, vendo o 
trabalho em uma dimensão, o trabalho executado por uma força variável 
e por uma força elástica. Depois, estudaremos a conservação da energia, 
a relação entre trabalho e energia mecânica e as forças, conservativas e 
não conservativas, e também estudaremos o conceito de potência.
Na segunda seção, vamos estudar as partículas, começando pelo 
centro de massa, momento linear, conservação do momento linear, 
colisão e impulso. Definidos esses conceitos, nosso estudo será voltado 
para as colisões entre partículas, em uma e duas dimensões.
Seção 3.1 | Trabalho e energia cinética
Objetivos de aprendizagem: 
Nesta unidade, vamos continuar nosso estudo dentro da mecânica. Nosso 
objeto de estudo em um primeiro momento será o trabalho e suas relações com 
a energia cinética, que está presente nos corpos em movimento. Depois, vamos 
direcionar nossos estudos às partículas; estudaremos seus comportamentos e 
também as colisões.
Você está pronto? Então, vamos lá!
Maurilio Cristiano Batista Bergamo
Seção 3.2 | Sistema de partículas e colisões
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
112
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
113
Introdução à unidade
A partir de agora, vamos começar nossos estudos sobre trabalho, energia, sistemas 
de partículas e colisões. Esses assuntos fazem também parte da mecânica física e 
têm como objetivos explorar diversos conceitos ligados a essa área de estudo.
Na primeira seção, vamos concentrar nossos estudos no trabalho e energia 
cinética, além de estudar as relações entre trabalho e energia potencial e também 
a conservação de energia. Na segunda seção, vamos estudar diversos conceitos 
ligados às partículas, como momento linear, conservação do momento linear, 
colisões, tipos de colisões, impulso, dentre outros. Assim, no final desta unidade, 
vamos ter estabelecido diversos conceitos e encerrar nossos estudos dentro da 
mecânica física.
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
114
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
115
Seção 3.1
Trabalho e Energia Cinética
Um dos objetivos fundamentais da física é estudar a energia. Todos sabemos que 
nada pode ser iniciado sem algum tipo de energia.
O termo energia tem um amplo significado. Tecnicamente, descrevemos energia 
como uma grandeza escalar associada ao estado de um ou mais objetos, no entanto 
essa definição pode ser vaga demais, principalmente para quem está iniciando seu 
estudo. Para facilitarmos a compreensão em nosso ponto de partida, vamos descrever 
energia como um número que associamos a um sistema de um ou mais objetos. 
Assim, se uma força afeta um dos objetos, esse número varia. Esse número pode ser 
utilizado para prever experimentos, construir máquinas e até voar. Esse princípio está 
ligado ao fato de que a energia é algo presente no universo e que pode mudar de 
forma e ser transferida de um objeto a outro.
Embora existam muitas formas de energia e diversos meios de transferência, nesta 
unidade vamos concentrar nossos estudos em um único tipo de energia, a energia 
cinética, e em uma forma de transferência de energia, o trabalho.
Ao aumentarmos a velocidade de um objeto aplicando uma força, a energia 
cinética do objeto aumenta. Da mesma forma que, quando diminuímos a velocidade 
do objeto por meio de uma força aplicada, a energia cinética do objeto diminui. Essas 
variações da energia cinética são decorrentes da energia transferida pela força aplicada 
ao objeto ou do objeto. Todas as vezes em que energia é transferida através de forças, 
dizemos que um trabalho (W) é realizado pela força sobre o objeto. Assim, podemos 
definir trabalho como:
Introdução à seção
3.1.1 Trabalho
Trabalho (W) é a energia transferida para um objeto ou de um objeto através de 
uma força que age sobre o objeto. Quando a energia é transferida para o objeto, 
o trabalho é positivo; quando a energia é transferida do objeto, o trabalho é 
negativo.
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
116
A unidade do trabalho é definida pela unidade de intensidade de força, multiplicada 
pela unidade de comprimento. Desse modo, no SI, a unidade de trabalho é o newton 
x metro, que recebe o nome de joule (J).
Ao usar a palavra trabalho, não estamos usando no sentido coloquial, segundo o 
qual trabalho remete a um esforço, físico ou mental. Por exemplo, quando empurramos 
uma parede com força, você pode se cansar do esforço que está fazendo, devido às 
diversas contrações musculares que está realizando, mas, como esse esforço não 
transfere energia para a parede, nem da parede para você, o trabalho realizado é nulo.
Considere um bloco que pode deslizar sobre uma superfície x sem atrito. Uma 
força constanteConsidere um bloco que pode deslizar sobre uma superfície x sem atrito. Uma 
 , fazendo ângulo com a superfície, é usada para acelerar o bloco. 
Podemos relacionar a força aplicada com a aceleração através da segunda lei de 
Newton: 
 
onde m é a massa do bloco. Enquanto o bloco sofre um deslocamento d, a força 
muda a velocidade do bloco de um valor inicial ν
0
 para outro valor, ν. Como a força 
é constante, a aceleração também é constante. Assim, podemos usar a seguinte 
equação para escrever as componentes em relação à superfície x:
Explicitando a_x, substituindo na equação da segunda lei de Newton e reagrupando, 
temos:
Ao observarmos essa equação, podemos notar, do lado esquerdo da equação, 
como primeiro termo a energia cinética no fim do deslocamento (K
f
) do bloco e como 
segundo termo a energia cinética do início do deslocamento (K
i
). Isso nos diz que a 
energia cinética foi alterada pela força e que essa mudança é igual a . Assim, 
podemos dizer que o trabalho (W) realizado pela força sobre o bloco é:
Quando conhecemos os valores de Fx e d, podemos utilizar essa equação para 
calcular o trabalho (W) realizado pela força.
3.1.1.1 Trabalho: movimento em uma dimensão com força constante
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
117
Quando calculamos o trabalho que uma força realiza em um objeto, quando 
esse sofre um deslocamento, utilizamos apenas a componente de força paralela ao 
movimento do objeto, pois a força perpendicular ao movimento não realiza trabalho.
Pense em uma criança puxando um carinho. Se ela empurra o carrinho ao longo 
de um deslocamento d com uma força F constante na direção do movimento, a 
quantidade de trabalho que ela realiza sobre o carrinho é dada pela equação W=F.d. 
No entanto, quando ela puxa o carrinho de modo a formar um ângulo θ com seu 
deslocamento (Figura 3.1), a força possui um componente F=F.cosθ na direção do 
deslocamento e um componente F=F.senθ perpendicular ao deslocamento. Nesse 
caso, somente a componente F=F.cosθ atua no movimento do carrinho, portanto 
podemos definir o trabalho como o produto dessa componente de força pelo módulo 
do deslocamento. Assim, temos:
W=F.d.cosθ
Quando θ = 0, a força está atuando na mesma direção e sentido do deslocamento, 
então cos θ = 1. 
Nos exemplos utilizados acima, o trabalho era sempre positivo, mas é importante 
compreender que o trabalho também pode ser negativo ou nulo. Essa observação 
mostra a diferença entre o conceito cotidiano e o conceito físico de trabalho. Quando 
a força aplicada apresenta uma mesma direção e um mesmo sentido ao deslocamento 
(θ ente 0° e 90°), o trabalho é positivo (Figura 3.2A). Quando a força possui uma 
Será que todas as forças que atuam sobre o bloco realizam 
trabalho? 
Fonte: <http://fisicaevestibular.com.br/Dinamica14.htm>. Acesso em: 19 out. 2015.
Figura 3.1 – Uma força constante (F), que faz um ângulo θ com o deslocamento (d) de um 
carrinho, acelera o carrinho, alterando sua velocidade
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
118
componente na mesma direção, mas, no sentido contrário (θ ente 90° e 180°), o 
trabalho é negativo (Figura 3.2B). Quando a força é perpendicular ao deslocamento 
(θ=90°), o trabalho realizado pela força é igual a zero.
Existem diversas situações em que uma força não realiza trabalho. Uma halterofilista, 
ao segurar uma barra parada no ar, não está realizando trabalho algum. Você pode 
imaginar que existe um trabalho duro para manter a barra no ar, porém ele não está 
realizando trabalho nenhum, pois não há deslocamento da barra.
Quando duas ou mais forças atuam sobre um objeto, o trabalho total realizado é 
a soma dos trabalhos realizados separadamente por cada uma das forças. O trabalho 
total pode ser calculado de duas formas:
Fonte: O autor (2015).
Figura 3.2 – Trabalho positivo, negativo e nulo
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
119
1. Determinando o trabalho realizado separadamente por cada uma das forças e 
somando os resultados.
2. Determinando a força resultante de todas as forças e aplicando a equação para 
o trabalho.
Fonte: O autor (2015).
Figura 3.3 – Cálculo do trabalho para uma força variável para uma partícula que se move 
na direção x, de x
1
 para x
2
Se uma determinada força variável atua sobre um corpo, podemos generalizar a 
definição de trabalho da maneira que vimos anteriormente: W=F.d. Consideremos um 
movimento retilíneo sob a ação de uma força F, que varia em módulo e possui uma 
componente F
x
 paralela ao deslocamento. Suponha uma partícula movendo-se ao 
longo de um eixo x, de um ponto x
1
 para x
2
, em resposta a uma variação da força na 
direção de x (figura 3.3A). A Figura 3.3B nos mostra um gráfico do componente F
x
 da 
força em função da coordenada x da partícula.
Se dividíssemos o deslocamento em intervalos pequenos, em que a força pode ser 
considerada constante, podemos aplicar a definição de trabalho. Assim, observando 
a Figura 3.3C, vemos que o deslocamento foi dividido em intervalos pequenos 
de tamanho ∆x. Dessa forma, podemos inferir que o trabalho realizado pela força 
média no deslocamento ∆x seja um valor aproximado ao seu produto escalar pelo 
deslocamento ∆x.
3.1.1.2 Trabalho executado por uma força variável
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
120
Como sabemos, o trabalho é uma grandeza escalar. Assim, basta somarmos o 
resultado desse produto para cada pequeno intervalo. Esse procedimento é equivalente 
à definição de integral. Assim, podemos dizer que o trabalho realizado pela força desse 
deslocamento é dado por:
Para esticar uma mola a uma distância x além de sua posição de não deformada, 
devemos aplicar uma força de módulo F em cada uma de suas extremidades. Quando 
o alongamento não é muito grande, verificamos que o módulo F é diretamente 
proporcional ao módulo do deslocamento x:
Essa equação nos mostra a força necessária para esticar a mola, em que k é uma 
constante denominada constante da força ou constante da mola. As unidades de k 
são a força dividida pela distância: N/m em unidades SI.
Para uma mola fraca, como aquelas encontradas em brinquedos, a constante 
da mola é aproximadamente 1 N/m. Para molas duras como as encontradas na 
suspensão de um carro, k apresenta um valor igual a 105 N/m. A observação de que a 
força é diretamente proporcional ao deslocamento foi observada por Robert Hooke, 
em 1678, e ficou conhecida como lei de Hooke.
Para esticar qualquer mola, devemos realizar trabalho, aplicando forças iguais em 
extremidades opostas da mola e gradualmente aumentando as forças. Se mantivermos 
uma extremidade da mola fixa, em repouso, de modo que a força que atua nessa 
3.1.1.3 Trabalho realizado por uma mola
Lei de Hooke: acesse o link abaixo e veja mais sobre as molas e a lei de 
Hooke. Disponível em: <https://pt.khanacademy.org/science/physics/
work-and-energy/hookes-law>. Acesso em: 9 dez. 2015
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
121
Quando estudamos o trabalho, vimos que o trabalho total realizado pelas forças 
externas sobre um corpo está relacionado com o deslocamento do corpo, ou seja, 
extremidade não realiza trabalho e a outra extremidade livre onde a força que atua 
nessa extremidade realiza trabalho, a mola alonga na direção da força. A Figura 3.4 
mostra um gráfico da força F
x
 em função de x, o alongamento da mola.
O trabalho realizado por F quando o alongamento varia de zero a um valor máximo 
X é dado por:
Também podemos obter esse resultado graficamente. A área do triângulo 
sombreado na Figura 3.4 representa o trabalho total realizado pela força, que é igual 
ao produto da base pela altura dividido por dois. Assim, temos:
Essa equação diz que o trabalho é a força média kX/2 multiplicada pelo 
deslocamento total X. Podemos ver que o trabalho total é proporcional ao 
quadrado do alongamento total X. Com isso, podemos inferir que, para esticar em 
2 cm uma mola ideal, devemos aplicarum trabalho quatro vezes maior do que o 
necessário para esticá-la em 1 cm.
3.1.1.4 Energia cinética
Fonte: O autor (2015).
Figura 3.4 – Trabalho realizado ao esticar a mola
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
122
com sua variação de posição no espaço. O trabalho total também é relacionado com 
a velocidade do corpo.
Tomando como exemplo um bloco que desliza em uma superfície sem atrito 
(Figura 3.5), observando a Figura 3.5A, vemos que, quando empurramos o bloco da 
esquerda para a direita, sua força resultante também será da esquerda para a direita. 
Na Figura 3.5B, a força resultante está direcionada para a esquerda. Na Figura 3.5C, a 
força resultante é igual a zero.
Quando temos a força resultante atuando sobre o bloco na mesma direção e 
sentido do seu deslocamento, esse corpo acelera, sendo que isso significa que o 
trabalho total sobre ele é positivo. Quando a força resultante se opõe ao movimento, 
o trabalho total é negativo, com isso o bloco diminui de velocidade. Quando a força 
resultante é nula, a velocidade permanece constante e o trabalho sobre o bloco é zero. 
Concluímos, então, que uma partícula que sofre deslocamento sofre uma aceleração se o 
W
total
 > 0 diminui de velocidade se W
total
 < 0 e permanece com velocidade constante se 
W
total
 = 0.
O trabalho realizado por uma força resultante sobre uma partícula fornece variação 
de energia cinética da partícula. Tomando como base a equação: 
Essa equação pode ser utilizada em uma situação especifica de um movimento 
unidimensional, mas esse é um resultado geral. Ela nos diz que o trabalho realizado 
pela força resultante sobre uma partícula de massa m é igual à diferença entre os 
valores inicial e final de uma quantidade . Essa quantidade é tão importante que 
recebeu um nome especial, energia cinética (SERWAY; JEWETT, 2014):
Fonte: O autor (2015).
Figura 3.5 – Relação entre trabalho e velocidade de um bloco
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
123
A energia cinética representa a energia associada com o movimento da partícula; 
ela é uma grandeza escalar e tem as mesmas unidades que o trabalho.
Podemos relacionar a variação da energia cinética de uma partícula 
, 
Podemos relacionar a variação da energia cinética de uma partícula 
 ao trabalho realizado sobre ela. Em objetos que se comportam como 
partículas, podemos generalizar essa equação. Seja ∆K a variação da energia cinética 
do objeto e W o trabalho resultante realizado sobre ele, podemos escrever
`
Essa relação nos diz que a energia cinética final de um corpo é igual à sua energia 
cinética mais a alteração na energia por causa do trabalho resultante realizado sobre 
ele. Essa relação também é conhecida como teorema do trabalho-energia cinética. 
Serway e Jewett (2014) afirmam que “Quando um trabalho é realizado sobre um 
sistema e a única mudança nele acontece em sua velocidade escalar, o trabalho 
resultante realizado sobre o sistema é igual à mudança da energia cinética do sistema”.
Se o trabalho total realizado sobre uma partícula é positivo, a energia cinética 
aumenta a um valor igual ao trabalho. Se o trabalho total é negativo, a energia cinética 
diminui de um valor igual ao trabalho realizado.
Acesse o link para saber mais sobre a história de James Prescott Joule e 
suas contribuições para o universo científico.
Disponível em: <http://www.ahistoria.com.br/biografia-james-prescott-
joule/>. Acesso em: 19 out. 2015.
A taxa de variação com o tempo do trabalho realizado por uma força recebe o 
nome de potência. Quando você vai a uma academia e levanta verticalmente um 
haltere pesando 100N do chão até uma altura de 1 metro com velocidade constante, 
você realiza um trabalho de (100N)(1,0m) = 100J. Se você levar um minuto ou um 
segundo para realizado, o valor do trabalho realizado é o mesmo.
Muitas vezes, precisamos saber quanto tempo levamos para realizar um 
determinado trabalho. Quando um trabalho (∆W) é realizado durante um intervalo 
de tempo (∆t), temos o trabalho médio realizado por unidade de tempo ou potência 
média (P
m
), que é definida por:
3.1.1.5 Potência
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
124
A taxa de realização de um trabalho pode não ser constante. Assim, podemos 
definir uma potência instantânea P como o limite da razão indicada na equação 
abaixo, em que ∆t tende a zero.
 
A unidade SI para potência é o watt (W), nome dado em homenagem ao matemático 
e engenheiro escocês James Watt. Um watt é igual a 1 Joule por segundo (1 watt = 1 
W = 1 J/s).
A unidade intitulada watt é comum em nosso dia a dia. Quando vemos nossa 
conta de luz, observamos que ela é medida em quilowatt (103W) ou quando vamos 
ao mercado comprar uma lâmpada, podemos escolher entre uma de 60W ou 100 W. 
Uma lâmpada de 100 W converte 100 J de energia em luz e calor a cada 1 segundo. O 
quilowatt-hora da conta de luz é a unidade comercial e corresponde ao trabalho total 
realizado em 1 hora quando a potência é de 1 quilowatt.
Utilizando nossos conhecimentos 
de física, podemos identificar diversas 
formas de energia agindo no ambiente, 
especialmente em exemplos práticos de 
nosso cotidiano. Um dos tipos comuns de 
energia presente no ambiente é a energia 
potencial (E
p
). De modo geral, podemos 
associar a energia potencial a qualquer 
sistema de objetos que estão associados 
a uma configuração (ou arranjo) em que 
um exerce força sobre o outro. Vamos 
exemplificar, utilizando o exemplo abaixo 
(Figura 3.6).
O sistema de objetos utilizado nesse 
exemplo é formado pela Terra e pela 
pessoa. Uma das forças que age entre 
os objetos é a força gravitacional. A 
configuração do sistema varia de acordo 
com que a distância entre a pessoa e 
3.1.2 Conservação da energia
Fonte:<https://commons.wikimedia.org/wiki/
Category:Bungee_jumping?uselang=pt-br#/media/
File:Cintura_1.jpg>. Acesso em: 24 set. 2015.
Figura 3.6 – Pessoa saltando de um 
Bungee jump
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
125
No início desta seção, vimos a relação entre o trabalho e a variação da energia 
cinética. Agora, vamos relacionar o trabalho com a variação da energia potencial.
Suponha uma pessoa jogando um tomate para o alto (Figura 3.7). Enquanto o 
tomate está subindo, o trabalho que é realizado pela força gravitacional (Wg) sobre 
o tomate é negativo, pois essa força extrai energia da energia cinética do tomate. 
Podemos dizer que essa energia é transferida pela força gravitacional do tomate para 
a energia gravitacional do sistema tomate-Terra.
a Terra diminui. Podemos descrever o movimento da pessoa e o aumento de 
sua energia cinética, definindo uma energia potencial gravitacional (E
pg
). Essa 
energia está associada ao estado de separação entre os dois objetos que se atraem 
mutuamente através da força gravitacional, no caso a pessoa e a Terra.
Quando a corda que prende a pessoa começa a esticar no final do salto, o 
sistema de objetos passa a ser formado pela corda e a pessoa (ainda existe energia 
potencial gravitacional, mas ela passa a ser depressível). A força entre os objetos 
agora é uma força elástica, que está associada ao estado de compressão ou 
distensão de um objeto, e a configuração do sistema varia de acordo com que 
a corda estica. Podemos associar a diminuição da energia cinética da pessoa ao 
aumento do comprimento da corda, definindo uma energia potencial elástica 
(E
pe
).
Durante esta seção, vamos aprender a calcular os diferentes tipos de 
energia potencial. Estudaremos a conservação de energia, bem como as forças 
conservativas e não conservativas que compõem um sistema, mas vamos começar 
analisando a relação do trabalho – visto anteriormente – com a energia potencial.
3.1.2.1 Trabalho e energia potencial
Fonte: Adaptado de Halliday; Resnick; Walker (2014).
Figura 3.5 – Relação entre trabalho e velocidade de um bloco
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
126
O tomate perde velocidade até parar e começar a cairde volta por causa da força 
gravitacional. Durante a queda, a transferência de energia se inverte e o trabalho Wg 
realizado sobre o tomate pela força gravitacional agora é positivo e a força gravitacional 
transfere energia da energia potencial gravitacional do sistema tomate-terra para a 
energia cinética do tomate.
Tanto na subida quanto na decida, a variação da energia potencial gravitacional 
(∆E
pg
) é definida como o negativo do trabalho realizado sobre o tomate pela força 
gravitacional. Usando o símbolo geral W para o trabalho, podemos expressar essa 
definição através da seguinte equação:
O exemplo que discutimos até aqui nos permite tirar algumas conclusões:
1. O sistema é formado por pelo menos dois objetos. 
2. Uma força está atuando entre um objeto do sistema que se comporta como 
uma partícula (tomate) e o resto do sistema.
3. Quando a configuração do sistema varia, a força realiza trabalho (W
1
) sobre o 
objeto, transferindo energia cinética (K) do objeto para alguma outra forma de energia 
do sistema.
4. Quando a mudança da configuração se inverte, a força inverte o sentido da 
transferência energética, também realizando um trabalho (W
2
).
Nas situações em que observamos uma relação W
1
 = – W
2
, e a outra forma de 
energia é uma energia potencial, dizemos que a força é uma força conservativa. A 
força gravitacional e a força elástica são exemplos de forças conservativas.
Quando uma força não obedece à relação W
1
 = – W
2
, é chamada de força não 
conservativa. A força de atrito é um exemplo de força não conservativa.
Vamos ver mais sobre essas forças em uma seção adiante.
A energia mecânica de um sistema pode ser definida pela soma de sua energia 
potencial com a energia cinética dos objetos que compõem o sistema, portanto:
3.1.2.2 Energia mecânica
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
127
Os valores dos dois tipos de energia potencial que discutimos até aqui, a energia 
potência e energia potencial elástica, podem ser calculados com o auxílio de algumas 
equações. Veremos aqui suas relações, como podemos determinar esses tipos de 
energia potencial.
A energia potencial gravitacional (E
pg
) surge da interação gravitacional entre um 
corpo e a Terra. A energia potencial de um corpo é caracterizada pela sua capacidade 
de realizar trabalho.
Todo corpo em queda livre está sujeito à mesma aceleração de direção horizontal 
e sentido para baixo. Essa aceleração é a aceleração gravitacional (g) e possui um valor 
de aproximadamente 9,8 m/s². A força resultante desse movimento é a força peso 
(P=m.g) e o trabalho dessa força é igual à energia potencial gravitacional. Dessa forma, 
se pensarmos na pessoa que está na plataforma de salto, como vimos anteriormente, 
assim que ela sai da plataforma, a força peso realiza trabalho e a energia potencial 
gravitacional se transforma em energia cinética. Para encontrar uma equação para a 
energia potencial, podemos utilizar a equação para calcular o trabalho:
Nas próximas seções, vamos discutir o que acontece com a energia mecânica 
quando as transferências dentro de um sistema são produzidas somente por forças 
conservativas.
Se supormos um sistema isolado, em que nenhuma força externa produz variações 
de energia dentro do sistema, uma força conservativa que realiza um trabalho W 
sobre um objeto dentro do sistema é responsável pela transferência de energia entre 
a energia cinética do objeto e a energia potencial do sistema. Por isso, podemos dizer 
que:
∆K=W e ∆U=-W, assim, temos:
K= – ∆U
Essa relação nos diz que, se uma energia aumenta, a outra diminui exatamente 
na mesma quantidade. Em um sistema isolado, em que apenas forças conservativas 
podem atuar, a energia cinética e a energia potencial podem variar, mas a soma das 
duas energias, chamada energia mecânica, será sempre igual.
Esse princípio é conhecido como conservação da energia mecânica. Podemos 
escrevê-lo da seguinte forma:
∆E
mec
=∆K + ∆U=0
3.1.2.3 Determinação da energia potencial 
3.1.2.3.1 Energia potencial gravitacional
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
128
W = Fd
Como a força nesse caso é a força peso e o deslocamento é equivalente à altura 
que o corpo ocupa, temos:
E
pg 
= m.g.h
Onde:
E
pg
 = energia potencial gravitacional – dada em joule (J)
m = massa – dada em quilograma (kg)
g = aceleração gravitacional – dada em metros por segundo ao quadrado (m/s2)
h = altura – dada em metros (m)
A energia potencial elástica (E
PE
) é a energia associada à deformação de um corpo. 
Esse tipo de energia corresponde ao trabalho que a força elástica realiza. Da mesma 
forma que a energia cinética é associada ao conceito de movimento e a energia 
potencial gravitacional diz respeito ao conceito de altura de uma partícula em relação 
a um plano de referência, a energia potencial elástica se associa a deformação dos 
corpos.
Consideremos agora uma mola com um bloco preso em uma das suas 
extremidades, em um sistema massa-mola. Esse bloco desloca em uma extremidade 
e a mola tem constante elástica igual a k. Enquanto o bloco se desloca de um ponto xi 
para o ponto x
f
, a força elástica F
x
 = – kx realiza trabalho sobre o bloco.
Para determinarmos a variação correspondente da energia potencial elástica do 
sistema bloco-mola, utilizamos a seguinte expressão:
Para associar um valor de energia potencial U ao bloco na posição x, escolhemos 
a configuração de referência como o estado relaxado da mola, então o bloco está 
em x
i
=0. Assim, a energia potencial elástica inicial é zero. Deduzindo, chegamos à 
seguinte expressão:
3.1.2.3.2 Energia potencial elástica
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
129
Nesta seção, vamos retomar uma ideia que já discutimos, lá quando falamos sobre 
força conservativa e não conservativa.
Quando uma força é capaz de converter energia cinética em energia potencial e 
de fazer a conversão inversa denomina-se força conservativa. Vimos até agora duas 
formas de forças conservativas (gravitacional e elástica). Uma característica básica 
dessas forças é que o trabalho realizado pela força é sempre reversível. Podemos 
pensar em um corpo que segue várias vezes trajetórias de um ponto a outro. A força 
conservativa realiza sempre o mesmo trabalho sobre o corpo, seja qual for a trajetória 
(Figura 3.7).
Tomando como exemplo a Figura 3.7, se considerarmos que uma força conservativa 
atua na partícula ao longo desse percurso fechado, indo de A para B pelo caminho 1 e 
voltando de B para A pelo caminho 2, temos que:
 
Como vimos, ir e voltar pelo mesmo caminho será apenas uma questão de sinal, 
como:
Assim, podemos dizer que o trabalho de ir do ponto A para o ponto B independente 
do percurso, e como a força é conservativa, também será o mesmo, caso utilize o 
caminho 1 ou 2. Assim, temos que:
3.1.2.4 Forças conservativas e não conservativas
Fonte: O autor (2015).
Figura 3.7 – Movimento de uma partícula sob a ação de uma força conservativa
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
130
 Quando pensamos também em um corpo que permanece próximo à superfície 
terrestre, a força gravitacional é independente de sua altura e o trabalho realizado por 
essa força depende somente da variação na altura. Quando um corpo se move ao 
longo de uma trajetória, o trabalho realizado pela força gravitacional é igual a zero.
Sempre que analisarmos o trabalho realizado por uma força conservativa, vamos 
encontrar possui quatro características:
1. Pode ser medido pela diferença entre o valor inicial e do valor final.
2. É reversível.
3. Independe da trajetória do corpo e depende apenas do ponto inicial e do ponto 
final.
4. Se o ponto final coincidir com o ponto inicial, o trabalho é zero.
Quando as únicas forças que realizam trabalho são conservativas, a energia 
mecânica total (E
mec
 = K + E
p
) permanece constante.
Contudo, nem todas as forças que atuam sobre um corpo são conservativas. A 
força de atrito, por exemplo, queatua sobre uma caixa que desliza em uma rampa, 
quando esse desliza para cima e a seguir para baixo, retornando ao ponto inicial, faz 
com que o trabalho total seja diferente de zero.
Quando o sentido do movimento se inverte, a força de atrito realiza trabalho 
negativo em ambos os sentidos. A energia cinética perdida não pode ser recuperada 
invertendo-se o sentido do movimento nem por qualquer outro processo, e a energia 
mecânica não é conservada.
Por esse mesmo motivo, a força de resistência de um fluido não é conservativa. 
Quando você joga a bola para o céu, a resistência do ar realiza um trabalho negativo 
na subida e na descida. A bola volta para sua mão como velocidade e energia cinética 
menores do que a velocidade que você lançou a bola. O trabalho realizado por essa 
força não pode ser representado por nenhuma função que forneça energia potencial.
Acesse o link abaixo para saber mais sobre as forças não conservativas.
Disponível em: <http://www.mspc.eng.br/mecn/din_140.shtml>. 
Acesso em: 19 out. 2015. 
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
131
Ao longo de nosso estudo, discutimos diversas situações em que a energia era 
transferida entre objetos e sistemas, porém, em cada uma dessas situações, nós 
supomos que a energia envolvida não variava, ou seja, que uma parte da energia não 
podia aparecer ou desaparecer do sistema. Sempre em nossos exemplos, obedecemos 
à lei da conservação da energia, que se refere à energia total (E) de um sistema.
A energia total é a soma da energia mecânica com a energia térmica e qualquer 
outro tipo de energia interna do sistema (além da energia térmica). A energia interna 
(E
int
) define-se como sendo a soma das energias cinéticas dos átomos e moléculas que 
se encontram no interior de um sistema e das energias potenciais associadas às suas 
mútuas interações, isto é, é a energia total contida num sistema fechado. Podemos 
verificar que a energia interna de um corpo aumenta quando sua temperatura aumenta 
e, consequentemente, diminui quando sua temperatura diminui.
Levando em conta a lei da conservação da energia, vamos observar que a energia 
total E de um sistema pode mudar apenas através da transferência de energia para 
dentro do sistema ou para fora do sistema. Assim, podemos estabelecer que:
∆E
mec
 se refere à variação da energia mecânica do sistema, ∆E
t
 à variação da energia 
térmica do sistema e em ∆E
int
 estão incluídas as variações de qualquer outro tipo de 
energia interna do sistema. Vale ressaltar que em ∆E
mec
 estão incluídas as variações da 
energia cinética (∆K) e as variações da energia cinética elástica, potencial ou qualquer 
outra forma (∆E
p
).
A lei da conservação da energia pode ser comprovada por diversos experimentos 
científicos e até hoje os cientistas não encontraram nenhuma exceção (HALLIDAY; 
RESNICK; WALKER, 2014).
Como já discutimos, podemos definir o trabalho como a energia transferida de 
um objeto para outro ou de um objeto através de uma força que age sobre o sistema. 
Podemos, agora, estender essa definição para uma força externa que age sobre um 
sistema de objetos. Observemos a Figura 3.8:
3.1.2.5 A equação de conservação de energia
3.1.2.6 Trabalho realizado por uma força de atrito
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
132
Fonte: Adaptado de Halliday; Resnick; Walker (2014, p. 186). 
Figura 3.8 – Trabalho positivo e negativo
Fonte: Adaptado de Halliday; Resnick; Walker (2014, p.187).
Figura 3.9 – Relação do trabalho com atrito
Quando mais de uma força age sobre um sistema, o trabalho total dessas forças é 
igual à energia transferida ou retirada do sistema. Se o sistema contém uma partícula 
ou único objeto que se comporta como uma partícula, o trabalho realizado por uma 
força sobre o sistema pode mudar apenas a energia cinética do sistema. Essa mudança 
é governada pelo teorema do trabalho e energia cinética, visto anteriormente. Forças 
externas podem apenas transferir energia para o sistema ou retirar energia do sistema.
Vamos observar o exemplo da Figura 3.9. O bloco é puxado por uma força horizontal 
 ao longo de um eixo x, no entanto uma força de atrito cinético 
Durante o movimento, o piso exerce uma força de atrito cinético 
constante 𝑓𝑓! sobre o bloco. Como as forças são constantes, a aceleração 
𝑎𝑎 também é constante. 
	
 se opõe ao 
movimento, levando o bloco de uma velocidade para no final do deslocamento 
d. O trabalho positivo W é realizado pela força sobre o sistema bloco-piso e isso 
produz uma variação da energia mecânica do bloco e também uma variação ∆E
t
 da 
energia térmica do bloco e do piso.
Durante o movimento, o piso exerce uma força de atrito cinético constante 
Durante o movimento, o piso exerce uma força de atrito cinético 
constante 𝑓𝑓! sobre o bloco. Como as forças são constantes, a aceleração 
𝑎𝑎 também é constante. 
	
sobre o bloco. Como as forças são constantes, a aceleração 
Durante o movimento, o piso exerce uma força de atrito cinético 
constante 𝑓𝑓! sobre o bloco. Como as forças são constantes, a aceleração 
𝑎𝑎 também é constante. 
	
 também é constante.
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
133
Em uma situação mais geral, na qual o bloco se desloca por uma rampa, por 
exemplo, pode haver uma variação da energia potencial. Para levar em conta essa 
possível variação, generalizamos a equação anterior. Assim, temos:
Se observássemos essa situação experimentalmente, veríamos que o bloco 
“esquenta” enquanto se move. Como veremos na próxima unidade, a temperatura de 
um objeto está relacionada à sua energia térmica E
t
. Nesse caso, a energia térmica do 
bloco e do piso aumenta por duas razões: existe atrito e há movimento.
Experimentalmente, observa-se que o aumento ∆E
t
 da energia térmica é igual 
ao produto da força pelo atrito cinético pelo módulo do deslocamento (d). Assim, 
podemos escrever:
Por isso, podemos substituir f
k
d na equação vista anteriormente reescrevendo:
Fd é o trabalho W realizado pela força externa . A energia mecânica do bloco varia 
e as energias térmicas do bloco e do piso também. Assim, o trabalho realizado pela 
força é realizado sobre o sistema bloco-piso. Esse trabalho é dado pela equação:
Essa equação é a definição do trabalho realizado por uma força externa sobre um 
sistema no qual existe atrito.
1. Um caixote é movido pelo vento durante uma tempestade 
e desliza em um piso escorregadio de um estacionamento, 
sofrendo um deslocamento de 3 metros. Sabendo que a força 
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
134
F com que o vento empurra o caixote vale 6N, qual o trabalho 
realizado pelo vento sobre o caixote?
2. Um macaco prego de 2,0 kg está pendurado em uma árvore 
a 5,0 m de altura do solo. Qual a energia potencial gravitacional 
do sistema macaco-Terra? (g=9,8 m/s²)
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
135
Seção 3.2
Sistema de Partículas e Colisões
O que um perito especializado em acidentes de trânsito, uma bailarina e um 
malabarista têm em comum? Ao longo desta seção, vamos ver que nessas e em outras 
atividades presentes no nosso dia a dia conceitos físicos similares estão envolvidos. 
Para se analisar qualquer tipo de movimento, precisamos recorrer a simplificações 
que utilizam os conceitos físicos para o entendimento. Nesta seção, vamos discutir o 
que forma o movimento de um sistema de objetos, como um carro ou uma bailarina.
Quando um malabarista arremessa uma bola sem imprimir muita rotação, o 
movimento é simples. A bola descreve uma trajetória parabólica e pode ser tratada 
como uma partícula. Por outro lado, quando o malabarista arremessa uma maça, 
o movimento é mais complicado. Como cada parte do taco segue uma trajetória 
diferente, não é possível considerar o taco uma partícula. No entanto, o taco tem um 
ponto especial, que descreve uma trajetória parabólica simples e as outras partes da 
maça se deslocam em torno do centrode massa (Figura 3.10).
Introdução à seção
3.2.1 Centro de massa
Fonte: <http://www.celur.com.br/wp-content/uploads/2013/11/malabarista.jpg>. Acesso em: 19 out. 2015.
Figura 3.10 – Relação do trabalho com atrito
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
136
Em um sistema de partículas, definimos o centro de massa (CM) para podermos 
estudar com mais facilidade o movimento. O centro de massa de um sistema é sempre 
o ponto que se move como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse 
ponto e todas as forças externas estivessem aplicadas também nesse ponto. Vamos 
começar estudando a localização do centro de massa em um sistema de partículas e 
depois o movimento do centro de massa.
Como discutimos, mesmo para um corpo em movimento, existe um determinado 
ponto onde ele se desloca como se fosse uma única partícula, com a massa desse 
corpo sujeita ao mesmo sistema de forças que o todo. Para começarmos, observe a 
Figura 3.11.
Para definirmos o centro de massa (CM) de um conjunto de partículas, vamos 
definir inicialmente uma posição que chamaremos de x
cm
, que corresponde ao centro 
de massa para um sistema composto por duas partículas que apresentam massas m
1 
e m
2
 e ocupam as posições x
1
 e x
2
.
Primeiramente, devemos olhar para as partículas e entender a relação que existe 
entre elas. Para o cálculo do centro de massa dessas partículas, vamos utilizar a posição 
de cada partícula de massa m
i
, em que a massa de cada termo é a fração da massa 
total contida na posição x
i
. Dessa forma, temos
Para um determinado sistema onde existem N corpos dispostos ao longo de uma 
linha reta, podemos fazer uma extensão da definição anterior. Assim, temos: 
Fonte: O autor (2015).
Figura 3.11 – Duas partículas de massa m1 e m2 dispostas em um eixo x
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
137
Considerando um conjunto de N partículas de massas m1, m2, m3, ..., mn, que se 
encontram dispostas em posições como no gráfico a seguir (Figura 3.12).
Temos as partículas dispostas em coordenadas (xcm, ycm, zcm) do CM desse 
sistema e, para calcularmos o centro de massa do sistema, vamos utilizar as seguintes 
equações: 
Fonte: http://www.moderna.com.br/fundamentos/temas_especiais/centrodemassa.pdf. Acesso em: 22 out. 2015.
Figura 3.12 – Sistema de pontos materiais de massas m1, m2, ..., mi, ..., mn e de coordenadas 
cartesianas (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), ..., (xi, yi, zi), ..., (xn, yn, zn), que definem as posições 
desses pontos
Vimos como calculamos o CM de um conjunto de partículas 
que estão alinhadas com um único plano, mas e se tivermos 
um conjunto de partículas disposta em mais de uma 
dimensão?
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
138
Sendo M = (m
1
 + m
2
 + m
3
 + ... + m
n
), que é a massa total do sistema.
De forma vetorial, podemos escrever o vetor da posição do CM como: 
r
CM
 = x
CM
 i+ y
CM
 j + z
CM
 k. Assim, temos:
 
Objetos maciços como um bastão de beisebol contêm um número tão grande de 
partículas (átomos) em seu interior que podemos aproximar o centro de massa por 
uma distribuição contínua de massa. As partículas, nesse caso, tornam-se elementos 
infinitesimais de massa dm. Assim, os somatórios das equações anteriores se tornam 
integrais e as coordenadas podem ser estimadas pelas equações abaixo, em que M é 
a massa do objeto.
 
Sabemos agora determinar a posição do centro de massa de um sistema de 
partículas, então vamos discutir a relação entre forças externas e o movimento do 
centro de massa. Para começarmos, vamos tomar como exemplo um jogo de sinuca.
Quando jogamos sinuca, objetivo de toda jogada é acertar a bola escolhida, que 
está em repouso, com a bola branca; e assim as duas bolas continuam o movimento. 
Esperamos sempre que, ao ser atingida, a bola em repouso entre em movimento e 
se mova na direção escolhida. Quando uma bola é atingida, seja pelo taco ou por 
outra bola em seu centro de massa, ela continua a se mover para frente sem que o 
movimento seja alterado pela colisão, mas o que se move para a frente não é a bola e 
sim o seu centro de massa.
Se você observar esse ponto, poderá ver que não importa se o choque é frontal 
ou de raspão; o centro de massa continua sempre a se mover na direção seguida 
originalmente pela bola branca, como se não tivesse havido uma colisão.
Vamos substituir as bolas de sinuca por partículas n de massas diferentes. Não 
estamos interessados no movimento das partículas, mas sim no movimento do centro 
de massa do conjunto. Mesmo que o centro de massa seja só um ponto, ele se move 
como uma partícula cuja massa é igual à massa do sistema. Dessa forma, podemos 
atribuir uma posição, uma velocidade e uma aceleração. Assim, temos:
 
3.2.2 Segunda lei de Newton para um sistema de partículas
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
139
Antes de começarmos, precisamos definir o que representa a palavra momento, 
pois essa possui diferentes significados, mas apenas um do ponto de vista físico. 
O momento linear de uma partícula é uma grandeza vetorial definida através da 
equação:
Nessa equação, m é massa e é a velocidade da partícula. Como m é uma grandeza 
escalar positiva, a equação nos mostra que e apresentam a mesma orientação. 
A unidade no SI para o momento linear é o quilograma-metro por segundo (kg.m/s).
Como a taxa de variação com o tempo do momento de uma partícula é igual à 
força resultante que nela atua e tem a mesma orientação que a força resultante, pode 
se expressar também desta forma:
Caso se lembre da unidade 2, essa é a equação da segunda lei de Newton, nesse 
caso aplicada ao movimento do centro de massa de um sistema de partículas. Observe 
que a forma é a mesma da equação para o movimento e uma partícula. Na equação 
acima, as grandezas obedecem a alguns critérios:
1. é a força resultante de todas as forças externas que atuam sobre o sistema 
de partículas. Forças internas não devem ser incluídas.
2. M é a massa total do sistema.
3. é a aceleração do centro de massa do sistema. 
Voltemos para as bolas de sinuca. Quando a bola branca está em movimento, 
nenhuma força externa age sobre o sistema composto pelas duas bolas. Como a 
aceleração é a taxa de variação da velocidade, concluímos que a velocidade do centro 
de massa do sistema não varia. Quando ocorre o choque entre as bolas, as forças que 
participam do processo são forças internas, de uma bola sobre a outra. Como essas 
forças não contribuem para a força resultante, que continua a ser nula, o centro de 
massa que se movia para frente antes da colisão deve continuar a se mover para frente 
após a colisão, com a mesma velocidade e mesma orientação.
3.2.3 Momento linear 
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
140
Dessa maneira, afirmamos que a força resultante aplicada em uma partícula faz 
variar o momento linear da partícula. Podemos dizer que o momento linear de uma 
partícula só varia se a partícula estiver sujeita a uma força.
Para um sistema de partículas, precisamos estender a definição do momento linear. 
Se considerarmos um sistema de n partículas, cada qual com sua massa, velocidade 
e momento linear, precisamos entender que elas podem interagir e sofrer o efeito de 
forças externas. O sistema como um todo possui um momento linear total , que 
é definido pela soma vetorial dos momentos lineares das partículas. Dessa maneira, 
temos que o momento linear de um sistema de partículas é definido por:
Também é possível escrever o momento linear para um sistema de partículas 
considerando a segunda lei de Newton, onde termos:
 é a força externa resultante que age sobre o sistema. 
Acesse o link abaixo para saber mais sobre o momento linear.
Disponível em: <https://pt.khanacademy.org/science/physics/linear-
momentum>. Acesso em: 9 dez. 2015
Suponha que a força resultante externa que age sobre um sistema de partículas 
é nula, e que nenhuma partícula entra ou sai do sistema (portanto, eleé fechado). 
Assim, temos que 
é nula, e que nenhuma partícula entra ou sai do sistema (portanto, ele é fechado). 
 é igual a zero, portanto podemos dizer que o momento linear 
não varia.
3.2.4 Conservação do momento linear
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
141
O momento 
𝑃𝑃! = 𝑃𝑃! 
ação de uma força 𝐹𝐹(t) que varia durante a colisão e muda o momento linear 
𝑝𝑝 da bola. A 
𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 
	
𝑑𝑑𝑝𝑝 =
!!
!!
𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
!!
!!
 
O lado esquerdo da equação nos mostra a variação do momento: 𝑝𝑝! − 𝑝𝑝! =
∆𝑝𝑝. O lado direito representa a medida da intensidade e da duração da força 
representada pelo símbolo 𝐽𝐽. 
 ∆𝑝𝑝 = 𝐽𝐽 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!"# !"#𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!!
!!
∆𝑃𝑃!"! 
 Por definição, a média de uma força 𝐹𝐹 no intervalo de Δt = tf –ti é dada 
por: 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!é!∆𝑡𝑡 
	
resultante 𝐽𝐽 a que é submetido o alvo no intervalo de tempo Δt está orientado 
𝐽𝐽 = −𝑛𝑛 ∆𝑝𝑝 
𝑚𝑚!𝑣𝑣!! +𝑚𝑚!𝑣𝑣!! = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!" 
 (𝑚𝑚! +𝑚𝑚!)𝑣𝑣!" = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝐾𝐾 = !
!
𝑚𝑚𝑚𝑚! = (!")
!
!!
, como p = mv, 𝐾𝐾 = !
!
!!
 
 de um corpo que se comporta como uma partícula permanece 
constante a menos que uma força externa atue sobre o corpo. Para mudar o 
momento do corpo, podemos, por exemplo, empurrá-lo. Também podemos mudar 
o momento de um corpo fazendo colidir com algo, como, por exemplo, uma bola 
que colide contra um taco de beisebol. Em uma colisão, a força exercida sobre o 
corpo é de curta direção, tem módulo elevado e provoca uma mudança na direção 
de maneira brusca.
Em um primeiro momento, vamos falar de um tipo de colisão que acontece com 
certa frequência no mundo real, a colisão simples, em que um corpo se comporta 
como uma partícula e colide contra outro objeto que se comporta também como 
uma partícula.
Vamos pensar novamente na bola que colide contra um taco de beisebol. A colisão 
entre essas partes dura pouco tempo, no entanto a força que age sobre a bola sofre 
a ação de uma força 
𝑃𝑃! = 𝑃𝑃! 
ação de uma força 𝐹𝐹(t) que varia durante a colisão e muda o momento linear 
𝑝𝑝 da bola. A 
𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 
	
𝑑𝑑𝑝𝑝 =
!!
!!
𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
!!
!!
 
O lado esquerdo da equação nos mostra a variação do momento: 𝑝𝑝! − 𝑝𝑝! =
∆𝑝𝑝. O lado direito representa a medida da intensidade e da duração da força 
representada pelo símbolo 𝐽𝐽. 
 ∆𝑝𝑝 = 𝐽𝐽 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!"# !"#𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!!
!!
∆𝑃𝑃!"! 
 Por definição, a média de uma força 𝐹𝐹 no intervalo de Δt = tf –ti é dada 
por: 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!é!∆𝑡𝑡 
	
resultante 𝐽𝐽 a que é submetido o alvo no intervalo de tempo Δt está orientado 
𝐽𝐽 = −𝑛𝑛 ∆𝑝𝑝 
𝑚𝑚!𝑣𝑣!! +𝑚𝑚!𝑣𝑣!! = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!" 
 (𝑚𝑚! +𝑚𝑚!)𝑣𝑣!" = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝐾𝐾 = !
!
𝑚𝑚𝑚𝑚! = (!")
!
!!
, como p = mv, 𝐾𝐾 = !
!
!!
 
 que varia durante a colisão e muda o momento linear 
𝑃𝑃! = 𝑃𝑃! 
ação de uma força 𝐹𝐹(t) que varia durante a colisão e muda o momento linear 
𝑝𝑝 da bola. A 
𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 
	
𝑑𝑑𝑝𝑝 =
!!
!!
𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
!!
!!
 
O lado esquerdo da equação nos mostra a variação do momento: 𝑝𝑝! − 𝑝𝑝! =
∆𝑝𝑝. O lado direito representa a medida da intensidade e da duração da força 
representada pelo símbolo 𝐽𝐽. 
 ∆𝑝𝑝 = 𝐽𝐽 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!"# !"#𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!!
!!
∆𝑃𝑃!"! 
 Por definição, a média de uma força 𝐹𝐹 no intervalo de Δt = tf –ti é dada 
por: 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!é!∆𝑡𝑡 
	
resultante 𝐽𝐽 a que é submetido o alvo no intervalo de tempo Δt está orientado 
𝐽𝐽 = −𝑛𝑛 ∆𝑝𝑝 
𝑚𝑚!𝑣𝑣!! +𝑚𝑚!𝑣𝑣!! = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!" 
 (𝑚𝑚! +𝑚𝑚!)𝑣𝑣!" = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝐾𝐾 = !
!
𝑚𝑚𝑚𝑚! = (!")
!
!!
, como p = mv, 𝐾𝐾 = !
!
!!
 
 da 
bola. A variação está relacionada à força através da segunda lei de Newton. Assim, no 
intervalo de tempo dt, a variação do momento linear da bola é dada por:
𝑃𝑃! = 𝑃𝑃! 
ação de uma força 𝐹𝐹(t) que varia durante a colisão e muda o momento linear 
𝑝𝑝 da bola. A 
𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 
	
𝑑𝑑𝑝𝑝 =
!!
!!
𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
!!
!!
 
O lado esquerdo da equação nos mostra a variação do momento: 𝑝𝑝! − 𝑝𝑝! =
∆𝑝𝑝. O lado direito representa a medida da intensidade e da duração da força 
representada pelo símbolo 𝐽𝐽. 
 ∆𝑝𝑝 = 𝐽𝐽 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!"# !"#𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!!
!!
∆𝑃𝑃!"! 
 Por definição, a média de uma força 𝐹𝐹 no intervalo de Δt = tf –ti é dada 
por: 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!é!∆𝑡𝑡 
	
resultante 𝐽𝐽 a que é submetido o alvo no intervalo de tempo Δt está orientado 
𝐽𝐽 = −𝑛𝑛 ∆𝑝𝑝 
𝑚𝑚!𝑣𝑣!! +𝑚𝑚!𝑣𝑣!! = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!" 
 (𝑚𝑚! +𝑚𝑚!)𝑣𝑣!" = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝐾𝐾 = !
!
𝑚𝑚𝑚𝑚! = (!")
!
!!
, como p = mv, 𝐾𝐾 = !
!
!!
 
A lei de conservação do momento linear diz que, “se um sistema de partículas 
não está submetido a uma força externa, o momento linear total não pode variar”. 
Podemos escrever essa lei da seguinte forma:
𝑃𝑃! = 𝑃𝑃! 
	
Essa equação significa que, em um sistema fechado e isolado, o momento linear 
total em um instante inicial é igual ao momento linear total em um instante posterior.
3.2.5 Colisão e impulso
Acesse o link abaixo para ver uma explicação e uma aplicação dos 
conceitos de momento linear e conservação do momento linear. 
Disponível em: <http://eaulas.usp.br/portal/video.action?idItem=5570>. 
Acesso em: 19 out. 2015. 
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
142
Para determinarmos a variação total do momento da bola provocada pela colisão 
integrando ambos os membros da equação anterior, em um instante ti imediatamente 
antes da colisão até um instante ti imediatamente após a colisão:
𝑃𝑃! = 𝑃𝑃! 
ação de uma força 𝐹𝐹(t) que varia durante a colisão e muda o momento linear 
𝑝𝑝 da bola. A 
𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 
	
𝑑𝑑𝑝𝑝 =
!!
!!
𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
!!
!!
 
O lado esquerdo da equação nos mostra a variação do momento: 𝑝𝑝! − 𝑝𝑝! =
∆𝑝𝑝. O lado direito representa a medida da intensidade e da duração da força 
representada pelo símbolo 𝐽𝐽. 
 ∆𝑝𝑝 = 𝐽𝐽 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!"# !"#𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!!
!!
∆𝑃𝑃!"! 
 Por definição, a média de uma força 𝐹𝐹 no intervalo de Δt = tf –ti é dada 
por: 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!é!∆𝑡𝑡 
	
resultante 𝐽𝐽 a que é submetido o alvo no intervalo de tempo Δt está orientado 
𝐽𝐽 = −𝑛𝑛 ∆𝑝𝑝 
𝑚𝑚!𝑣𝑣!! +𝑚𝑚!𝑣𝑣!! = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!" 
 (𝑚𝑚! +𝑚𝑚!)𝑣𝑣!" = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝐾𝐾 = !
!
𝑚𝑚𝑚𝑚! = (!")
!
!!
, como p = mv, 𝐾𝐾 = !
!
!!
 
O lado esquerdo da equação nos mostra a variação do momento: 
𝑃𝑃! = 𝑃𝑃! 
ação de uma força 𝐹𝐹(t) que varia durante a colisão e muda o momento linear 
𝑝𝑝 da bola. A 
𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 
	
𝑑𝑑𝑝𝑝 =
!!
!!
𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
!!
!!
 
O lado esquerdo da equação nos mostra a variação do momento: 𝑝𝑝! − 𝑝𝑝! =
∆𝑝𝑝. O lado direito representa a medida da intensidade e da duração da força 
representada pelo símbolo 𝐽𝐽. 
 ∆𝑝𝑝 = 𝐽𝐽 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!"# !"#𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!!
!!
∆𝑃𝑃!"! 
 Por definição, a média de uma força 𝐹𝐹 no intervalo de Δt = tf –ti é dada 
por: 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!é!∆𝑡𝑡 
	
resultante 𝐽𝐽 a que é submetido o alvo no intervalo de tempo Δt está orientado 
𝐽𝐽 = −𝑛𝑛 ∆𝑝𝑝 
𝑚𝑚!𝑣𝑣!! +𝑚𝑚!𝑣𝑣!! = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!" 
 (𝑚𝑚! +𝑚𝑚!)𝑣𝑣!" = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝐾𝐾 = !
!
𝑚𝑚𝑚𝑚! = (!")
!
!!
, como p = mv, 𝐾𝐾 = !
!
!!
 
𝑃𝑃! = 𝑃𝑃! 
ação de uma força 𝐹𝐹(t) que varia durante a colisão e muda o momento linear 
𝑝𝑝 da bola. A 
𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 
	
𝑑𝑑𝑝𝑝 =
!!
!!
𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
!!
!!
 
O lado esquerdo da equação nos mostra a variação do momento: 𝑝𝑝! − 𝑝𝑝! =
∆𝑝𝑝. O lado direito representa a medida da intensidade e da duração da forçarepresentada pelo símbolo 𝐽𝐽. 
 ∆𝑝𝑝 = 𝐽𝐽 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!"# !"#𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!!
!!
∆𝑃𝑃!"! 
 Por definição, a média de uma força 𝐹𝐹 no intervalo de Δt = tf –ti é dada 
por: 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!é!∆𝑡𝑡 
	
resultante 𝐽𝐽 a que é submetido o alvo no intervalo de tempo Δt está orientado 
𝐽𝐽 = −𝑛𝑛 ∆𝑝𝑝 
𝑚𝑚!𝑣𝑣!! +𝑚𝑚!𝑣𝑣!! = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!" 
 (𝑚𝑚! +𝑚𝑚!)𝑣𝑣!" = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝐾𝐾 = !
!
𝑚𝑚𝑚𝑚! = (!")
!
!!
, como p = mv, 𝐾𝐾 = !
!
!!
 
. O 
lado direito representa a medida da intensidade e da duração da força da colisão. Essa 
medida é chamada de impulso da colisão e pode ser representada pelo símbolo 
𝑃𝑃! = 𝑃𝑃! 
ação de uma força 𝐹𝐹(t) que varia durante a colisão e muda o momento linear 
𝑝𝑝 da bola. A 
𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 
	
𝑑𝑑𝑝𝑝 =
!!
!!
𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
!!
!!
 
O lado esquerdo da equação nos mostra a variação do momento: 𝑝𝑝! − 𝑝𝑝! =
∆𝑝𝑝. O lado direito representa a medida da intensidade e da duração da força 
representada pelo símbolo 𝐽𝐽. 
 ∆𝑝𝑝 = 𝐽𝐽 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!"# !"#𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!!
!!
∆𝑃𝑃!"! 
 Por definição, a média de uma força 𝐹𝐹 no intervalo de Δt = tf –ti é dada 
por: 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!é!∆𝑡𝑡 
	
resultante 𝐽𝐽 a que é submetido o alvo no intervalo de tempo Δt está orientado 
𝐽𝐽 = −𝑛𝑛 ∆𝑝𝑝 
𝑚𝑚!𝑣𝑣!! +𝑚𝑚!𝑣𝑣!! = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!" 
 (𝑚𝑚! +𝑚𝑚!)𝑣𝑣!" = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝐾𝐾 = !
!
𝑚𝑚𝑚𝑚! = (!")
!
!!
, como p = mv, 𝐾𝐾 = !
!
!!
 
.
Podemos dizer que a variação do momento de um objeto é igual ao impulso 
exercido sobre ele:
𝑃𝑃! = 𝑃𝑃! 
ação de uma força 𝐹𝐹(t) que varia durante a colisão e muda o momento linear 
𝑝𝑝 da bola. A 
𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 
	
𝑑𝑑𝑝𝑝 =
!!
!!
𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
!!
!!
 
O lado esquerdo da equação nos mostra a variação do momento: 𝑝𝑝! − 𝑝𝑝! =
∆𝑝𝑝. O lado direito representa a medida da intensidade e da duração da força 
representada pelo símbolo 𝐽𝐽. 
 ∆𝑝𝑝 = 𝐽𝐽 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!"# !"#𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!!
!!
∆𝑃𝑃!"! 
 Por definição, a média de uma força 𝐹𝐹 no intervalo de Δt = tf –ti é dada 
por: 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!é!∆𝑡𝑡 
	
resultante 𝐽𝐽 a que é submetido o alvo no intervalo de tempo Δt está orientado 
𝐽𝐽 = −𝑛𝑛 ∆𝑝𝑝 
𝑚𝑚!𝑣𝑣!! +𝑚𝑚!𝑣𝑣!! = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!" 
 (𝑚𝑚! +𝑚𝑚!)𝑣𝑣!" = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝐾𝐾 = !
!
𝑚𝑚𝑚𝑚! = (!")
!
!!
, como p = mv, 𝐾𝐾 = !
!
!!
 
Essa equação representa o chamado teorema do impulso-quantidade de 
movimento para uma partícula. Também o impulso resultante sobre um sistema, 
causado por forças externas que atuam sobre o sistema, é igual à variação da 
quantidade de movimento total do sistema, onde:
𝑃𝑃! = 𝑃𝑃! 
ação de uma força 𝐹𝐹(t) que varia durante a colisão e muda o momento linear 
𝑝𝑝 da bola. A 
𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 
	
𝑑𝑑𝑝𝑝 =
!!
!!
𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
!!
!!
 
O lado esquerdo da equação nos mostra a variação do momento: 𝑝𝑝! − 𝑝𝑝! =
∆𝑝𝑝. O lado direito representa a medida da intensidade e da duração da força 
representada pelo símbolo 𝐽𝐽. 
 ∆𝑝𝑝 = 𝐽𝐽 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!"# !"#𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!!
!!
∆𝑃𝑃!"! 
 Por definição, a média de uma força 𝐹𝐹 no intervalo de Δt = tf –ti é dada 
por: 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!é!∆𝑡𝑡 
	
resultante 𝐽𝐽 a que é submetido o alvo no intervalo de tempo Δt está orientado 
𝐽𝐽 = −𝑛𝑛 ∆𝑝𝑝 
𝑚𝑚!𝑣𝑣!! +𝑚𝑚!𝑣𝑣!! = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!" 
 (𝑚𝑚! +𝑚𝑚!)𝑣𝑣!" = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝐾𝐾 = !
!
𝑚𝑚𝑚𝑚! = (!")
!
!!
, como p = mv, 𝐾𝐾 = !
!
!!
 
Por definição, a média de uma força 
𝑃𝑃! = 𝑃𝑃! 
ação de uma força 𝐹𝐹(t) que varia durante a colisão e muda o momento linear 
𝑝𝑝 da bola. A 
𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 
	
𝑑𝑑𝑝𝑝 =
!!
!!
𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
!!
!!
 
O lado esquerdo da equação nos mostra a variação do momento: 𝑝𝑝! − 𝑝𝑝! =
∆𝑝𝑝. O lado direito representa a medida da intensidade e da duração da força 
representada pelo símbolo 𝐽𝐽. 
 ∆𝑝𝑝 = 𝐽𝐽 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!"# !"#𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!!
!!
∆𝑃𝑃!"! 
 Por definição, a média de uma força 𝐹𝐹 no intervalo de Δt = tf –ti é dada 
por: 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!é!∆𝑡𝑡 
	
resultante 𝐽𝐽 a que é submetido o alvo no intervalo de tempo Δt está orientado 
𝐽𝐽 = −𝑛𝑛 ∆𝑝𝑝 
𝑚𝑚!𝑣𝑣!! +𝑚𝑚!𝑣𝑣!! = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!" 
 (𝑚𝑚! +𝑚𝑚!)𝑣𝑣!" = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝐾𝐾 = !
!
𝑚𝑚𝑚𝑚! = (!")
!
!!
, como p = mv, 𝐾𝐾 = !
!
!!
 
 no intervalo de 
𝑃𝑃! = 𝑃𝑃! 
ação de uma força 𝐹𝐹(t) que varia durante a colisão e muda o momento linear 
𝑝𝑝 da bola. A 
𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 
	
𝑑𝑑𝑝𝑝 =
!!
!!
𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
!!
!!
 
O lado esquerdo da equação nos mostra a variação do momento: 𝑝𝑝! − 𝑝𝑝! =
∆𝑝𝑝. O lado direito representa a medida da intensidade e da duração da força 
representada pelo símbolo 𝐽𝐽. 
 ∆𝑝𝑝 = 𝐽𝐽 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!"# !"#𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!!
!!
∆𝑃𝑃!"! 
 Por definição, a média de uma força 𝐹𝐹 no intervalo de Δt = tf –ti é dada 
por: 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!é!∆𝑡𝑡 
	
resultante 𝐽𝐽 a que é submetido o alvo no intervalo de tempo Δt está orientado 
𝐽𝐽 = −𝑛𝑛 ∆𝑝𝑝 
𝑚𝑚!𝑣𝑣!! +𝑚𝑚!𝑣𝑣!! = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!" 
 (𝑚𝑚! +𝑚𝑚!)𝑣𝑣!" = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝐾𝐾 = !
!
𝑚𝑚𝑚𝑚! = (!")
!
!!
, como p = mv, 𝐾𝐾 = !
!
!!
 
 é dada por: 
𝑃𝑃! = 𝑃𝑃! 
ação de uma força 𝐹𝐹(t) que varia durante a colisão e muda o momento linear 
𝑝𝑝 da bola. A 
𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 
	
𝑑𝑑𝑝𝑝 =
!!
!!
𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
!!
!!
 
O lado esquerdo da equação nos mostra a variação do momento: 𝑝𝑝! − 𝑝𝑝! =
∆𝑝𝑝. O lado direito representa a medida da intensidade e da duração da força 
representada pelo símbolo 𝐽𝐽. 
 ∆𝑝𝑝 = 𝐽𝐽 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!"# !"#𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!!
!!
∆𝑃𝑃!"! 
 Por definição, a média de uma força 𝐹𝐹 no intervalo de Δt = tf –ti é dada 
por: 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!é!∆𝑡𝑡 
	
resultante 𝐽𝐽 a que é submetido o alvo no intervalo de tempo Δt está orientado 
𝐽𝐽 = −𝑛𝑛 ∆𝑝𝑝 
𝑚𝑚!𝑣𝑣!! +𝑚𝑚!𝑣𝑣!! = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!" 
 (𝑚𝑚! +𝑚𝑚!)𝑣𝑣!" = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝐾𝐾 = !
!
𝑚𝑚𝑚𝑚! = (!")
!
!!
, como p = mv, 𝐾𝐾 = !
!
!!
 
A força média é uma constante que imprime o mesmo impulso que a força real, no 
intervalo de tempo ∆t. A força resultante média pode ser calculada a partir da variação 
da quantidade de movimento, se o tempo da colisão é conhecido. Esse tempo pode, 
com frequência, ser estimado usando-se o deslocamento de um dos corpos durante 
a colisão.
Agora, vamos para um exemplo mais complexo. Vamos considerar um corpo que 
sofre uma série de colisões de mesma intensidade. Vamos pensar em um alvo que é 
atingido por uma série de projéteis, como na Figura 3.13. 
3.2.5.1 Colisões em série
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
143
Para a maioria das pessoas, o termo colisão está ligado a um acidente, principalmente 
envolvendo automóveis. Podemos usar esse termo também nesse sentido, mas 
vamos ampliar nosso entendimento, entendendo seu significado de modo que inclua 
Cada colisão produz uma força sobre a parede do alvo, mas não buscamos calcular 
essa força. O que nos interessa é a força média a que a parede é submetida durante o 
bombardeio de projéteis. Os projéteis estão igualmente espaçados e possuem massas 
iguais e momentos lineares iguais, deslocando-se ao longo de um eixo x e colidindo 
contra a parede. Se n é igual ao número de projéteis que colidem em um intervalo de 
tempo ∆t, e o movimento dos projéteis ocorre apenas ao longo do eixo x, podemos 
usar as componentes dos momentos ao longo desse eixo. Assim, cada projétil tem 
momento inicial mv e sofre uma variação ∆p do momento linear por causa da colisão. 
A variação total do momento linear de n projéteis durante o intervalo ∆t é n∆p.O 
impulso resultante 
𝑃𝑃! = 𝑃𝑃! 
ação de uma força 𝐹𝐹(t) que varia durante a colisão e muda o momento linear 
𝑝𝑝 da bola. A 
𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 
	
𝑑𝑑𝑝𝑝 =
!!
!!
𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
!!
!!
 
O lado esquerdo da equação nos mostra a variação do momento: 𝑝𝑝! − 𝑝𝑝! =
∆𝑝𝑝. O lado direito representa a medida da intensidade e da duração da força 
representada pelo símbolo 𝐽𝐽. 
 ∆𝑝𝑝 = 𝐽𝐽 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!"# !"#𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!!
!!
∆𝑃𝑃!"! 
 Por definição, a média de uma força 𝐹𝐹 no intervalo de Δt = tf –ti é dada 
por: 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!é!∆𝑡𝑡 
	
resultante 𝐽𝐽 a que é submetido o alvo no intervalo de tempo Δt está orientado 
𝐽𝐽 = −𝑛𝑛 ∆𝑝𝑝 
𝑚𝑚!𝑣𝑣!! +𝑚𝑚!𝑣𝑣!! = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!" 
 (𝑚𝑚! +𝑚𝑚!)𝑣𝑣!" = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝐾𝐾 = !
!
𝑚𝑚𝑚𝑚! = (!")
!
!!
, como p = mv, 𝐾𝐾 = !
!
!!
 
 a que é submetido o alvo no intervalo de tempo ∆t está orientado 
ao longo do eixo x e tem o mesmo módulo n∆p que a variação do momento linear e 
o sentido contrário. Assim, podemos escrever essa relação da seguinte forma (o sinal 
negativo indica que J e ∆p tem sentidos opostos):
𝑃𝑃! = 𝑃𝑃! 
ação de uma força 𝐹𝐹(t) que varia durante a colisão e muda o momento linear 
𝑝𝑝 da bola. A 
𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 
	
𝑑𝑑𝑝𝑝 =
!!
!!
𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
!!
!!
 
O lado esquerdo da equação nos mostra a variação do momento: 𝑝𝑝! − 𝑝𝑝! =
∆𝑝𝑝. O lado direito representa a medida da intensidade e da duração da força 
representada pelo símbolo 𝐽𝐽. 
 ∆𝑝𝑝 = 𝐽𝐽 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!"# !"#𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!!
!!
∆𝑃𝑃!"! 
 Por definição, a média de uma força 𝐹𝐹 no intervalo de Δt = tf –ti é dada 
por: 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!é!∆𝑡𝑡 
	
resultante 𝐽𝐽 a que é submetido o alvo no intervalo de tempo Δt está orientado 
𝐽𝐽 = −𝑛𝑛 ∆𝑝𝑝 
𝑚𝑚!𝑣𝑣!! +𝑚𝑚!𝑣𝑣!! = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!" 
 (𝑚𝑚! +𝑚𝑚!)𝑣𝑣!" = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝐾𝐾 = !
!
𝑚𝑚𝑚𝑚! = (!")
!
!!
, como p = mv, 𝐾𝐾 = !
!
!!
 
3.2.6 Colisões elásticas e inelásticas
Fonte: Adaptado de Halliday; Resnick; Walker (2014. p. 219).
Figura 3.13 – Uma série de projéteis, todos com o mesmo momento linear, colidem 
contra o alvo
Mas será que todas as partículas se comportam da mesma 
maneira durante as colisões?
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
144
qualquer vigorosa interação entre dois corpos com uma duração de um intervalo de 
tempo. Portanto, não incluiremos apenas acidentes de automóveis, mas também 
bolas que se chocam em uma partida de bilhar, nêutrons que se chocam no núcleo 
de um átomo, uma espaço nave que se choca contra a superfície de um planeta etc.
Quando as forças entre os corpos forem muito maiores do que as forças 
externas, como geralmente ocorre na maior parte das colisões, podemos desprezar 
completamente as forças externas e considerar os corpos como um sistema isolado. 
Então, existe conservação do momento linear na colisão, e o momento linear total do 
sistema é o mesmo antes e depois da colisão.
Quando as forças entre os corpos também forem conservativas, de modo que 
nenhuma energia mecânica é adquirida ou perdida durante a colisão, a energia 
cinética total do sistema é a mesma antes e depois da colisão. Esse tipo de colisão é 
chamado de colisão elástica. Uma colisão entre duas bolas de bilhar é um exemplo 
concreto de colisão elástica.
Uma colisão em que a energia cinética total do sistema depois da colisão é menor 
que do que antes da colisão é chamada de colisão inelástica. Um projétil de arma 
de fogo que se encrava em um bloco de madeira é um bom exemplo de colisão 
inelástica. Quando dois corpos permanecem unidos completamente após a colisão e 
se movem juntos como um único corpo depois da colisão, damos o nome de colisão 
completamente inelástica.
A Figura 3.14 traz uma representação dos tipos de colisões e suas relações com a 
energia cinética.
Fonte: Young e Freedman (2008).
Figura 3.14 – Colisões classificadas em relações Figura 3.14 – Colisões classificadas em relações 
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
145
Colisões em que corpos que se chocam estão se movimentando sobre a mesma 
linha reta, ou seja, por um eixo x, tanto antes quanto durante e depois do choque, são 
chamadas colisões unidimensionais.
Para o momento ao longo do eixo x, v representa a rapidez e v
x
 representa a 
velocidade. Vamos, agora, substituir essa convenção por uma notação menos 
específica, porém mais concisa. O símbolo v pode representar tanto uma rapidez ou 
uma velocidade em uma dimensão.
Se um corpo de massa m
1
 com velocidade inicial v
1i 
que se aproxima de um segundo 
corpo, de massa m
2
, que se move no mesmo sentido com velocidade inicial v
2i
. Se 
v
2i 
< v
1i
, os corpos colidirão. Sejam v
1f
 e v
2f
 as velocidades após a colisão. Os dois corpos 
podem ser considerados como um sistema isolado. A conservação da quantidade de 
movimento fornece uma equação entre as duas grandezas desconhecidas, v
1f
 e v
2f
: 
𝑃𝑃! = 𝑃𝑃! 
ação de uma força 𝐹𝐹(t) que varia durante a colisão e muda o momento linear 
𝑝𝑝 da bola. A 
𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 
	
𝑑𝑑𝑝𝑝 =
!!
!!
𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
!!
!!
 
O lado esquerdo da equação nos mostra a variação do momento: 𝑝𝑝! − 𝑝𝑝! =
∆𝑝𝑝. O lado direito representa a medida da intensidade e da duração da força 
representada pelo símbolo 𝐽𝐽. 
 ∆𝑝𝑝 = 𝐽𝐽 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!"# !"#𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!!
!!
∆𝑃𝑃!"! 
 Por definição, a média de uma força 𝐹𝐹 no intervalo de Δt = tf –ti é dada 
por: 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!é!∆𝑡𝑡 
	
resultante 𝐽𝐽 a que é submetido o alvo no intervalo de tempo Δt está orientado 
𝐽𝐽 = −𝑛𝑛 ∆𝑝𝑝 
𝑚𝑚!𝑣𝑣!! +𝑚𝑚!𝑣𝑣!! = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!" 
 (𝑚𝑚! +𝑚𝑚!)𝑣𝑣!" = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝐾𝐾 = !
!
𝑚𝑚𝑚𝑚! = (!")
!
!!
, como p = mv, 𝐾𝐾 = !
!
!!
 
Para determinarmos v
1f
 e v
2f
, uma segunda equação é necessária. Essa segunda 
equação depende do tipo de colisão.
Nas colisões perfeitamente inelásticas, os corpos possuem a mesma velocidade 
depois da colisão, frequentemente porque eles grudam um no outro. Vamos pensar 
em um vagão de trem em movimento e um outro vagão em repouso. Quando se 
chocam acontece um engate dos vagões. Essa colisão pode ser classificada como 
perfeitamente inelástica. Para colisões perfeitamente inelásticas, as velocidades finais 
são iguais entre si e a velocidade do centro de massa fica:
𝑃𝑃! = 𝑃𝑃! 
ação de uma força 𝐹𝐹(t) que varia durante a colisão e muda o momento linear 
𝑝𝑝 da bola. A 
𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 
	
𝑑𝑑𝑝𝑝 =
!!
!!
𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
!!
!!
 
O lado esquerdo da equação nos mostra a variação do momento: 𝑝𝑝! − 𝑝𝑝! =
∆𝑝𝑝. O lado direito representa a medida da intensidade e da duração da força 
representada pelo símbolo 𝐽𝐽. 
 ∆𝑝𝑝 = 𝐽𝐽 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!"# !"#𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!!
!!
∆𝑃𝑃!"! 
 Por definição, a média de uma força 𝐹𝐹 no intervalo de Δt = tf –ti é dada 
por: 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!é!∆𝑡𝑡 
	
resultante 𝐽𝐽 a que é submetido o alvo no intervalo de tempo Δt está orientado 
𝐽𝐽 = −𝑛𝑛 ∆𝑝𝑝 
𝑚𝑚!𝑣𝑣!! +𝑚𝑚!𝑣𝑣!! = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!" 
 (𝑚𝑚! +𝑚𝑚!)𝑣𝑣!" = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝐾𝐾 = !
!
𝑚𝑚𝑚𝑚! = (!")
!
!!
, como p = mv, 𝐾𝐾 = !
!
!!
 
A lei da conservação do momento linear fornece a essa relação:
𝑃𝑃! = 𝑃𝑃! 
ação de uma força 𝐹𝐹(t) que varia durante a colisão e muda o momento linear 
𝑝𝑝 da bola. A 
𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 
	
𝑑𝑑𝑝𝑝 =
!!
!!
𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
!!
!!
 
O lado esquerdo da equação nos mostra a variação do momento: 𝑝𝑝! − 𝑝𝑝! =
∆𝑝𝑝. O lado direito representa a medida da intensidade e da duração da força 
representada pelo símbolo 𝐽𝐽. 
 ∆𝑝𝑝 = 𝐽𝐽 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!"# !"#𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!!
!!
∆𝑃𝑃!"! 
 Por definição, a média de uma força 𝐹𝐹 no intervalo de Δt = tf –ti é dada 
por:𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!é!∆𝑡𝑡 
	
resultante 𝐽𝐽 a que é submetido o alvo no intervalo de tempo Δt está orientado 
𝐽𝐽 = −𝑛𝑛 ∆𝑝𝑝 
𝑚𝑚!𝑣𝑣!! +𝑚𝑚!𝑣𝑣!! = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!" 
 (𝑚𝑚! +𝑚𝑚!)𝑣𝑣!" = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝐾𝐾 = !
!
𝑚𝑚𝑚𝑚! = (!")
!
!!
, como p = mv, 𝐾𝐾 = !
!
!!
 
Em alguns casos, é interessante expressar a energia cinética K de uma partícula em 
termos de sua quantidade de movimento, p. Para uma massa m que se move ao longo 
do eixo x com velocidade v, temos:
𝑃𝑃! = 𝑃𝑃! 
ação de uma força 𝐹𝐹(t) que varia durante a colisão e muda o momento linear 
𝑝𝑝 da bola. A 
𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 
	
𝑑𝑑𝑝𝑝 =
!!
!!
𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
!!
!!
 
O lado esquerdo da equação nos mostra a variação do momento: 𝑝𝑝! − 𝑝𝑝! =
∆𝑝𝑝. O lado direito representa a medida da intensidade e da duração da força 
representada pelo símbolo 𝐽𝐽. 
 ∆𝑝𝑝 = 𝐽𝐽 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!"# !"#𝑑𝑑𝑑𝑑 =
!!
!!
∆𝑃𝑃!"! 
 Por definição, a média de uma força 𝐹𝐹 no intervalo de Δt = tf –ti é dada 
por: 
𝐽𝐽!"# = 𝐹𝐹!é!∆𝑡𝑡 
	
resultante 𝐽𝐽 a que é submetido o alvo no intervalo de tempo Δt está orientado 
𝐽𝐽 = −𝑛𝑛 ∆𝑝𝑝 
𝑚𝑚!𝑣𝑣!! +𝑚𝑚!𝑣𝑣!! = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!! = 𝑣𝑣!" 
 (𝑚𝑚! +𝑚𝑚!)𝑣𝑣!" = 𝑚𝑚!𝑣𝑣!!+ 𝑚𝑚!𝑣𝑣!! 
𝐾𝐾 = !
!
𝑚𝑚𝑚𝑚! = (!")
!
!!
, como p = mv, 𝐾𝐾 = !
!
!!
 
3.2.6.1 Colisões unidimensionais
3.2.6.2 Colisões perfeitamente inelásticas
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
146
Isso pode ser aplicado a uma colisão perfeitamente inelástica, em que um corpo 
está inicialmente em repouso. A quantidade de movimento do sistema é a do corpo 
projétil:
A energia cinética inicial é:
Após a colisão, os corpos se movem juntos, como uma massa única 
m
1
 + m
2
, com velocidade vm. A quantidade de movimento é conservada, de modo 
que a quantidade de movimento final é igual a P
sis
. A energia cinética final é, então:
Em colisões elásticas, a energia cinética do sistema é a mesma antes e depois da 
colisão. Colisões elásticas são ideais, às vezes acontecendo de forma aproximada, mas 
nunca de forma exata, pelo menos no mundo macroscópico. Pensemos, se uma bola 
for largada do alto de um prédio para colidir em uma calçada de concreto, ela retorna 
à sua altura original? Se sim sua colisão terá sido elástica, no entanto essá situação 
nunca é observada. Já em nível microscópico, as colisões elásticas são comuns; por 
exemplo, as colisões entre moléculas presentes no ar atmosférico quase sempre são 
elásticas.
A Figura 3.15 mostra dois corpos, antes e depois de sofrerem uma colisão frontal 
unidimensional. A quantidade de movimento é conservada durante a colisão, e, 
portanto, temos:
Por essa colisão ser elástica, a energia cinética é a mesma, antes e depois da 
colisão. Logo:
Essas duas equações são suficientes para determinar as velocidades finais dos dois 
corpos, se conhecemos as velocidades iniciais e as massas.
3.2.6.3 Colisões elásticas
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
147
Com um pouco de álgebra, podemos mostrar que numa colisão elástica os 
corpos se afastam depois da colisão com a mesma velocidade relativa com que 
se aproximavam antes da colisão. É claro que estamos considerando v1 > v2; caso 
contrário, não haveria colisão.
Para calcular as velocidades finais das partículas, relativamente ao referencial fixo 
adotado, usamos:
Fonte: O autor (2015).
Figura 3.15 – Aproximação e separação em uma colisão elástica
Quando uma colisão não é frontal, a direção do movimento dos corpos é diferente 
antes e depois da colisão, entretanto, se o sistema é fechado e isolado, o momento 
linear total continua a ser conservado nessas colisões bidimensionais:
3.2.6.4 Colisões em duas dimensões
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
148
Se a colisão também é elástica (um caso espacial), a energia cinética total também 
é conservada:
Na maioria dos casos, o uso da equação para analisarmos 
uma colisão bidimensional é facilitado se escrevermos a equação em termos das 
componentes em relação a um sistema de coordenadas xy. A Figura 3.15 mostra uma 
colisão de “raspão” entre um projétil e um alvo em repouso. As trajetórias dos corpos 
após a colisão fazem ângulo θ1 e θ2 com o eixo x, que coincide com a direção de 
movimento do projétil antes da colisão.
Nessa situação, a componente da equação em relação ao eixo x é:
E a componente do eixo y é:
Podemos escrever também a equação para energia cinética total em termos de 
velocidade:
Fonte: Halliday; Resnick; Walker (2014).
Figura 3.15 – Uma colisão elástica de raspão entre dois corpos
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
149
1. Três pontos materiais, A, B e D, de massas iguais a m estão 
situados nas posições indicadas na figura abaixo. Determine 
as coordenadas do centro de massa do sistema de pontos 
materiais.
 
2. Uma bola de 0,70 kg está se movendo horizontalmente 
com uma velocidade de 50 m/s quando se choca uma parede 
vertical e ricocheteia com uma velocidade de 2,0 m/s. Qual o 
módulo linear da bola?
A energia cinética está relacionada ao movimento dos corpos 
e, quanto mais rápido um corpo se movimenta, maior é a sua 
energia cinética.
Trabalho (W) é a energia transferida para um objeto ou de um 
objeto através de uma força que age sobre o objeto.
Todas as vezes em que energia é transferida através de forças, 
dizemos que um trabalho é realizado pela força sobre o objeto.
A variação de energia cinética de uma partícula é igual ao trabalho 
executado sobre ela.
Para esticar uma mola a uma distância x além de sua posição 
de não deformada, devemos aplicar uma força de módulo F em 
cada uma de suas extremidades.
Quando um trabalho (∆W) é realizado durante um intervalo de 
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
150
tempo (∆t), temos o trabalho médio realizado por unidade de 
tempo ou potência média (P
m
).
Uma força é chamada de conservativa quando executa um 
trabalho nulo em um percurso fechado.
O centro de massa de um sistema é sempre o ponto que se move 
como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse 
ponto e todas as forças externas estivessem aplicadas também 
nesse ponto.
A lei de conservação do momento linear diz que, “se um 
sistema de partículas não está submetido a uma força externa, o 
momento linear total 
sistema de partículas não está submetido a uma força externa, o 
 não pode variar”.
Caros alunos, durante esta unidade nós pudemos ver vários 
conceitos ligados ao trabalho e ao movimento dos corpos. 
Espero que vocês possam ter esclarecido algumas dúvidas, bem 
como aplicar esses conceitos importantes como pré-requisitos 
para diversas matérias ao longo do curso. Agora, podemos 
entender melhor as relações do trabalho dos corpos e também 
da energia cinética, bem como o comportamento das partículas 
e sua relação com os diferentes tipos de colisões.
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
U3
151
1. Um foguete e uma espaçonave acoplada tinham massa 
total igual a 2,0x107 kg. Qual a energia cinética quando o 
sistema atingir 11,2 km/s?
2. (PUC-BA) A força F de módulo 30N atua sobre um objeto 
formando um ângulo constante de 60º com a direção do 
deslocamento do objeto. Dados: sen 60o= √3/2, cos 60o=1/2. 
Se d=10m, o trabalho realizado pela força F, em joules, é igual 
a:
a) 300
b) 150√3
c) 150
d) 125
e) 100
3. (Olimpíada Brasileira de Física) No experimento da figura 
abaixo, são desprezados os atritos entre as superfícies e a 
resistência do ar. O bloco, inicial em repouso, com massa 
igual a 4,0 kg, comprime em 20 cm uma mola ideal, cuja 
constante elástica vale 3,6.103 N.m–1. O bloco permanece 
apenas encostado na mola. Liberando-se a mola, essa é 
distendida, impulsionando o bloco que atinge a altura h.
 
 
Qual o módulo da velocidade do bloco imediatamente após 
a sua liberação da mola?
 
Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e ColisõesU3
152
4. Qual a potência média que um corpo desenvolve quando 
aplicada a ele uma força horizontal com intensidade igual a 
12N, por um percurso de 30m, sendo que o tempo gasto para 
percorrê-lo foi 10s?
5. Um bloco de massa m
1
 = M movendo-se para a direita 
sobre uma superfície horizontal sem atrito, com velocidade 
de módulo v0, colide frontalmente com outro bloco de 
massa desconhecida (m
2
), inicialmente em repouso. Após 
a colisão, o bloco de massa, m
1
 recua com a velocidade 
reduzida para v
o
/2 e o bloco de massa desconhecida adquire 
uma velocidade v
o
/2. Determine a massa m
2
 em função de M.
 
U3
153Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
Referências
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física. 9. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2014. v. 1.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica: mecânica. 5. ed. São Paulo: Edgar 
Blücher, 2013. v. 1.
SERWAY, R. A.; JEWETT JR., J. W. Princípios de física. São Paulo: Cengage Learning, 
2014. v. 1.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. v. 1.
YOUNG, H.; FREEDMAN, R. A. Física I. 12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008. v. 1.
TERMOMETRIA E 
CALORIMETRIA
Nesta seção, nosso objeto de estudo será a temperatura. Vamos 
começar explorando o conceito de temperatura, estabelecendo 
conexões entre a temperatura e a agitação das partículas que compõem 
um corpo. Depois, vamos explorar o conceito de equilíbrio térmico e 
como os corpos se comportam em um sistema em que só existem 
trocas de calor entre eles. Também vamos explorar todo o histórico em 
relação às medidas de temperatura, à evolução dos termômetros e às 
experiências de diversos cientistas que dedicaram suas vidas ao estudo 
da temperatura. No final, vamos estudar as escalas termométricas Kelvin, 
Celsius e Fahrenheit, como elas foram estabelecidas e suas relações.
Na segunda seção, vamos estudar os conceitos ligados ao calor. 
Começaremos definindo o que significa calor do ponto de vista físico 
e como ele influencia em nosso cotidiano. Vamos também explorar os 
Seção 4.1 |Termometria
Seção 4.2 | Calorimetria 
Objetivos de aprendizagem: 
Nesta unidade, vamos ter como objeto central de nosso estudo a energia 
térmica. Ao longo das seções, nosso objetivo será explorar diversos assuntos 
que estão diretamente ligados à energia, suas formas de transmissão e 
características. Vamos explorar os conceitos de temperatura e calor, que, 
embora muitas vezes sejam utilizados como sinônimos em nosso cotidiano, 
do ponto de vista físico constituem grandezas diferentes.
Você está pronto? Então, vamos lá!
Maurilio Cristiano Batista Bergamo
Unidade 4
Termometria e Calorimetria
U4
156
conceitos de capacidade térmica de um corpo, grandeza essa que está 
ligada à quantidade de calor fornecida a um corpo e sua capacidade 
de variar a temperatura. Também vamos estudar o calor específico de 
um corpo e como ele é estabelecido com base no material em que 
ele é constituído. Além disso, exploraremos o conceito de caloria dos 
alimentos, assunto bastante presente em nosso dia a dia, mas que, muitas 
vezes, é utilizado de forma errada. Vamos também estudar as diferenças 
relativas ao calor sensível e ao calor latente, além das trocas de calor e 
sua relação com a conservação de energia, já que o calor é uma forma 
de energia. No final, vamos discutir sobre o calorímetro e sua importância 
para os estudos sobre trocas de calor.
Termometria e Calorimetria
U4
157
Introdução à unidade
A partir de agora, vamos começar nossos estudos sobre termometria e 
calorimetria. Esses assuntos fazem parte de um ramo da física denominado física 
térmica, que direciona seus estudos à temperatura e ao calor, tendo como objetivo 
explorar diversos conceitos ligados a essa área de estudo.
Em nossa primeira unidade, concentraremos nossos estudos na termometria. 
Vamos começar definindo o que é temperatura e como a temperatura está ligada 
à energia cinética. Depois vamos estudar os conceitos de equilíbrio térmico, bem 
como a evolução da ciência, para que nós pudéssemos ter hoje um preciso sistema 
para a medição da temperatura.
Em nossa segunda seção, vamos estudar diversos conceitos relacionados ao 
calor. Vamos ver que calor e temperatura não são sinônimos, mas estão intimamente 
relacionados. Vamos estudar grandezas como capacidade térmica, calor específico, 
calor latente e calor sensível, dentre outros, que são extremamente importantes para 
nosso entendimento dos conceitos ligados ao calor. Assim, no final desta unidade, 
vamos ter estabelecidos diversos conceitos e vamos poder compreender melhor as 
relações entre calor e temperatura.
Bons estudos!
Termometria e Calorimetria
U4
158
Termometria e Calorimetria
U4
159
Seção 4.1
Termometria
Tanto em um dia típico de verão quanto em um dia frio de inverno, o corpo 
precisa manter sua temperatura aproximadamente constante. Nosso corpo possui 
mecanismos de controle de temperatura eficientes, no entanto algumas vezes precisa 
de ajuda. Em dias quentes, procuramos usar roupas leves para melhorar a troca de 
calor entre nosso corpo e o ar que nos circunda. Nesses dias, é comum bebermos 
alguma coisa gelada e talvez ligar o ar condicionado ou o ventilador da sala. Já em 
dias frios, nós usamos mais roupas e procuramos lugares quentes. Quando saímos 
de casa, procuramos nos manter aquecidos, bebendo um líquido quente e utilizando, 
muitas vezes, um aquecedor.
Os conceitos que serão discutidos nesta unidade auxiliarão você a compreender 
processos físicos básicos para preservar o calor ou o frio.
Os termos temperatura e calor costumam ser usados em nosso cotidiano como 
sinônimos, no entanto, para a física, os dois termos possuem significados bastantes 
diferentes. Nesta primeira seção, vamos direcionar nossos estudos à temperatura, 
estudando os conceitos gerais e sua medição.
O conceito de temperatura se originou nas ideias qualitativas de “quente” e “frio”, 
que estão baseadas nas sensações identificadas por um de nossos sentidos, o tato. 
Um corpo que aparenta estar quente normalmente se encontra em uma temperatura 
mais elevada do que um corpo análogo que aparenta estar frio. No entanto, esse 
conceito é extremamente vago, pois a sensibilidade à temperatura pode variar entre as 
pessoas, portanto essa não é uma boa referência. Muitas propriedades da matéria que 
podemos medir estão ligadas à temperatura. O comprimento de uma barra metálica, 
a pressão do interior de um cilindro, a intensidade da corrente elétrica transportada 
por um fio, a cor de um objeto incandescente, todas essas grandezas dependem da 
temperatura.
A temperatura também está relacionada à energia cinética das moléculas que 
compõem um corpo. As moléculas que constituem a matéria estão em constante 
movimento, denominado agitação térmica. Toda a energia cinética associada ao 
movimento das moléculas recebe o nome de energia térmica.
Introdução à seção
4.1.1 Temperatura
Termometria e Calorimetria
U4
160
Quanto maior a agitação das partículas que constituem um corpo, maior é a sua 
energia térmica, portanto “mais quente” ele está e maior é a sua temperatura. Quanto 
menor for a agitação de suas partículas, “menos quente” ele está e menor é a sua 
temperatura.
Por exemplo, se dissemos que um corpo A está a 70°C, temos uma única 
informação que permite uma avaliação detalha de seu estado térmico. Se dizermos 
que um corpo A está a 70°C e um outro corpo B está a 30°C, temos que o corpo 
A está mais quente que o corpo B, portanto o nível de agitação das partículas que 
constituem A é maior que o das partículas de B.
A temperatura é uma das sete grandezas fundamentais do SI. Os físicos medem a 
temperatura com base na escala Kelvin, que será discutida mais adiante.
Vimos que a temperatura está ligada às partículas que 
compõem um corpo. Será que o comportamento dessas 
partículas varia de acordo com seu estado físico?
Como vimos anteriormente, as partículas que constituem a matéria – os átomose 
moléculas – estão em constante movimento, que pode se dar de 3 formas: translação, 
rotação ou vibração.
No estado sólido, o movimento das partículas é apenas vibratório, em torno de 
uma posição de equilíbrio. Esse equilíbrio é mantido graças às forças de natureza 
eletromagnética trocadas entre as partículas. Essas forças atuam no sentido de atração 
quando as partículas estão ligeiramente afastadas e repulsão quando as partículas 
estão muito próximas umas das outras.
Para compreendermos melhor essa ideia, vamos observar a Figura 4.1. Vamos 
imaginar que as partículas estão unidas hipoteticamente por molas.
4.1.2 Partículas de um corpo
Termometria e Calorimetria
U4
161
Todo corpo em estado sólido caracteriza-se por ter seus átomos ou moléculas em 
constante movimento de vibração em torno de uma posição de equilíbrio, mantida 
por essas forças de atuam entre as partículas. Quando a matéria se encontra no estado 
líquido ou gasoso, esse modelo se modifica.
Todas as forças que atuam sobre a interação dos átomos e moléculas são 
manifestações complexas das interações eletromagnéticas, cujos detalhes são 
estudados por uma área da física chamada de mecânica quântica. Em nosso estudo, 
vamos apenas considerar apenas as forças moleculares de forma qualitativa e 
simplificada.
Como dito anteriormente, as forças de atração e repulsão dependem da 
distância entre os átomos. Se observarmos o gráfico (Figura 4.2), vamos notar que 
o comportamento dessas forças entre dois átomos está ligado à distância (r) que os 
separa.
Fonte: O autor (2015).
Figura 4.1 – Esquema representando como os átomos se unem e vibram como se 
estivessem ligados a molas
Fonte: O autor (2015).
Figura 4.2 – Comportamento da força entre dois átomos em função da distância que os 
separa 
Termometria e Calorimetria
U4
162
Para distâncias abaixo de um certo valor r
0
, a força existente é de repulsão e, para 
distâncias acima de r
0
, a força é de atração. Quando o valor de r é muito grande, a 
intensidade da força entre os átomos tende a zero.
Quando a distância entre os átomos é r
0
, a força entre eles tem intensidade nula. 
Essa distância recebe o nome de distância de equilíbrio dos átomos e varia de acordo 
com o composto. Por exemplo, para o cloreto de sódio (NaCl) é da ordem de 10–10 m.
Quando um corpo se encontra sólido a uma temperatura constante, suas partículas 
vibram com rapidez, mantendo uma amplitude de vibração também constante. Ao 
sofrer aquecimento, há um aumento da amplitude de vibração.
Se esse processo de aquecimento continuar, a vibração atômica (ou molecular) 
pode aumentar de tal forma que a estrutura é rompida, fazendo com que cada 
partícula possa se movimentar através do material. Quando isso ocorre, o corpo muda 
seu estado físico, passando ao estado líquido. 
Mantendo ainda esse aquecimento, a distância entre as partículas tende a aumentar 
e, como podemos ver na Figura 4.2, a força que mantém a coesão entre os átomos 
tende a zero. Assim, as partículas estão praticamente livres de ações mútuas – exceto 
quando se chocam. Dessa forma, o corpo assume um estado gasoso.
Acesse o link abaixo, onde você pode, por meio de uma simulação, 
analisar as diferenças entre os estados físicos da matéria. 
Disponível em: <http://www2.biglobe.ne.jp/~norimari/science/JavaApp/
Mole/e-Mole.html>. Acesso em: 4 out. 2015.
A energia térmica de um corpo pode variar. Por exemplo, se pensarmos em um 
ambiente termicamente isolado e nesse lugar colocarmos um copo com água fria, 
uma barra de gelo, uma chaleira com água fervendo, uma barra de ferro incandescente 
e tantas outras coisas com temperaturas diferentes, mesmo que não haja contato 
entre elas, os corpos quentes irão esfriar e os frios vão aquecer até que, passado algum 
tempo, todos atinjam o mesmo estado térmico. Nessas condições, podemos dizer 
que todos estão em equilíbrio térmico e atingiram a mesma temperatura.
4.1.3 Equilíbrio térmico
Termometria e Calorimetria
U4
163
Como discutimos anteriormente, o uso das sensações não é um bom indicador 
para a determinação da temperatura de um corpo. O critério sensorial pode variar de 
pessoa para pessoa. Para tornar a medida de temperatura mais precisa, recorremos 
a alguns materiais que apresentam variações em certas propriedades que se alteram 
quando submetidas a variações de temperatura. Por exemplo, o comprimento de 
uma barra de metal pode dilatar quando ela se torna mais quente. Desse modo, a 
temperatura θ da barra pode ser medida indiretamente pelo valor que ela assume por 
seu comprimento L (Figura 4.3).
A transferência de energia térmica entre dois corpos está ligada à diferença de 
temperatura entre eles. Quando dois ou mais corpos são colocados na presença 
um do outro, as moléculas do corpo mais quente (maior agitação) transferem 
energia cinética para as moléculas do corpo mais frio (menor agitação). Com isso, as 
moléculas do corpo frio aumentam sua agitação, até que se atinja um equilíbrio. Em 
outras palavras, acontece uma transferência de energia térmica do corpo quente para 
o mais frio.
A situação final de equilíbrio térmico é caracterizada pela igualdade nas temperaturas 
dos corpos. Desse modo, dois corpos em equilíbrio térmico devem obrigatoriamente 
possuir temperaturas iguais. Uma vez alcançada essa situação, cessa a transferência 
de energia térmica entre eles.
Com essa ideia, podemos concluir que, “se dois corpos estão em equilíbrio térmico 
com um terceiro, eles estão em equilíbrio entre si”. Esse enunciado constitui a chamada 
lei zero da termodinâmica. A importância dessa lei só foi reconhecida depois que a 
primeira, segunda e terceira leis foram enunciadas, e, como essa é uma lei básica para 
as outras, o nome “lei zero” é apropriado.
4.1.4 Medida de temperatura
Fonte: O autor (2015).
Figura 4.3 – O valor L do comprimento da barra corresponde a um valor θ de temperatura
Termometria e Calorimetria
U4
164
Sendo assim, uma grandeza x conveniente que define uma propriedade do corpo 
(como comprimento, por exemplo), a cada valor de x, corresponde a um valor θ de 
temperatura. A grandeza x é chamada de grandeza termométrica. A correspondência 
entre os valores da grandeza e da temperatura dá origem a uma função termométrica. 
Ao corpo em observação dá-se o nome de termômetro. Observando a Figura 4.3, 
cada valor de L equivale a um valor de temperatura θ, portanto, após graduada, a barra 
pode ser usada como termômetro.
Antes da invenção dos termômetros digitais utilizados em nosso cotidiano 
para a medida de temperatura, os termômetros mais utilizados eram os de 
mercúrio. O termômetro de mercúrio é baseado na dilatação desse metal que é 
líquido à temperatura ambiente (25°C). Esse termômetro possui uma quantidade 
desse metal em um recipiente de vidro (bulbo), ligado a um capilar de vidro. A 
escolha do mercúrio como substância termométrica se deve pelo fato de esse 
metal apresentar uma dilatação regular em uma faixa de temperatura, além 
de ser facilmente visualizado no capilar por ser opaco e brilhante. No entanto, 
muitas outras substâncias foram utilizadas ao longo da história até a utilização 
predominante do mercúrio.
As primeiras referências à medida de temperatura datam do ano de 250 a.C., quando 
Filon, mecânico de Bizâncio, teria construído o primeiro termoscópio. Assim como 
Filon, Heron de Alexandria, também mecânico e matemático, construiu no século I 
d.C. um termoscópio a ar. O livro Pneumáticos escrito por Heron, depois traduzido e 
publicado na Europa no final do século XVI, descreve e discute inúmeros dispositivos a 
ar inventados por ele. Esse livro despertou o interesse de diversos físicos e médico pela 
construção de termoscópio, para mediar aquilo que na época chamavam de grau de 
calor ou temperamento do corpo dos pacientes da época.
Por volta de 1595, Galileu Galilei construiu seu primeiro termoscópio, muito 
parecido com o de Heron, no qual a medida da temperaturaera obtida pela variação 
de uma coluna de água num tubo de vidro, resultante da variação do volume de ar 
contido num bulbo, também de vidro, que ficava na parte superior da coluna de água. 
Veja a Figura 4.4.
Santorio Santorio, médico italiano contemporâneo a Galileu, construiu um 
termoscópio semelhante, com dez graduações de 0 a 10. A primeira graduação 
correspondia ao nível da coluna de água quando o bulbo de vidro era resfriado 
com neve e a última ao aquecimento do bulbo com a chama de uma vela. 
Fernando II de Medicis (1621-1670), grão-duque da Toscana, ordenou a construção 
de termômetros à água, álcool e, mais tarde, de mercúrio no lugar do ar, como 
ocorria nos termoscópios.
Termometria e Calorimetria
U4
165
O emprego do termômetro para avaliação da temperatura de um sistema 
fundamenta-se no fato de que, após algum tempo em contato, o sistema e o 
termômetro adquirem a mesma temperatura, isto é, alcançam o equilíbrio térmico.
Ao longo do aperfeiçoamento do termômetro e até nos dias atuais, inúmeras 
grandezas físicas são utilizadas na construção dos termômetros, possibilitando a 
medida da temperatura. Dentre elas, podemos destacar:
• dimensões dos corpos, como o comprimento de uma barra ou volume de um líquido;
• volume de um gás mantido à pressão constante;
• pressão de um gás mantido à temperatura constante;
• resistência elétrica de condutores metálicos;
• brilho e cor de um filamento aquecido.
As variações dessas grandezas permitem a construção de diferentes tipos de 
termômetros. Além disso, existem termômetros específicos para finalidades especiais, 
como os termômetros clínicos.
Fonte: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1806-11172006000100013>. Acesso em: 4 out. 2015.
Figura 4.4 – Cópia do termoscópio de Galileu
Existe uma infinidade de tipos de termômetros construídos até hoje. 
Acesse o link abaixo para saber mais sobre os diferentes tipos de 
termômetros. 
Disponível em: <http://www.if.ufrgs.br/~leila/termo.htm>. Acesso em: 4 
out. 2015.
Termometria e Calorimetria
U4
166
A medida de temperatura é um processo indireto e, como toda medida, exige o 
estabelecimento de um padrão. Muitos padrões ou escalas foram estabelecidos ao 
longo dos séculos.
A maioria dos termômetros construídos durante o século XVII tinha escalas de oito a 
dez divisões, estabelecidas arbitrariamente. O valor mais baixo podia ser a temperatura 
do dia mais frio do inverno de determinado lugar e o mais quente costumava ser a 
temperatura do corpo humano. No século XVIII, começou a prevalecer a ideia de que 
se deveriam adotar dois pontos fixos nas escalas, baseados nas mudanças de estado 
físico da água pura ou misturada a algum sal. Havia também a preocupação de alguns 
fabricantes em evitar escalas negativas, devido a superstições da época. Assim, o físico 
dinamarquês Ole Römer, em 1708, propôs uma escala para um termômetro a álcool, 
estabelecendo 60 graus para a água em ebulição e zero para uma mistura de água 
com sal, provavelmente cloreto de amônia, resultando em 8 graus a temperatura de 
fusão do gelo. Além da possível utilização científica, essa escala teria a vantagem de 
nunca marcar temperaturas negativas em Copenhague.
Com base no trabalho feito por Römer, o físico Daniel Gabriel Fahrenheit (1686-
1736), especialista em trabalhos com vidro e na construção de equipamentos 
meteorológicos, aperfeiçoou os termômetros a álcool da época e, em 1714, construiu 
o primeiro termômetro de mercúrio que funcionou com precisão. Há muitas 
explicações para os valores escolhidos em sua escala, utilizada até hoje por países de 
colonização inglesa como os Estados Unidos e Belize. Discutiremos mais sobre sua 
escala nos próximos tópicos.
O físico e naturalista francês René de Réaumur (16983-1754) foi o primeiro 
pesquisador a propor pontos fixos facilmente reproduzíveis para suas escalas. 
Ele propôs a água em ebulição e o gelo fundente. Depois de pesquisar inúmeras 
substâncias termométricas, como água, mercúrio e álcool, em 1730 ele optou por 
usar o vinho para construir seu termômetro de referência, escolhendo, para esse 
termômetro, os valores 0°R para o gelo fundente e 80°R para a água em ebulição. 
Em 1741, o astrônomo sueco Anders Celsius (1701-1744) adotou e interviu os pontos 
fixos de Réaumur, fixando o zero a temperatura de ebulição da água e em 100 a 
temperatura de fusão do gelo. Essa estranha escolha foi corrigida por seu conterrâneo 
Carl Lineu (1707-1778), que colocou os pontos fixos que conhecemos hoje. Essa 
escala consagrou-se quando foi adotada pela Comissão de Pesos e Medidas criada na 
revolução Francesa em 1794.
O padrão atual adotado pelo SI, desde 1954, é o ponto tríplice da água, ao qual se 
atribui a temperatura de 273,16 kelvin.
4.1.5 Escalas termométricas
Termometria e Calorimetria
U4
167
A escala Celsius recebe esse nome em homenagem ao pesquisador sueco Anders 
Celsius. Essa escala é frequentemente utilizada em nosso cotidiano para expressar a 
temperatura do corpo ou do ambiente.
Para graduar um termômetro de mercúrio na escala Celsius, é preciso primeiramente 
mergulhar o bulbo do termômetro em gelo fundente até que a altura da coluna de 
mercúrio estabilize em determinada altura, assim que atingir o equilíbrio térmico com 
o gelo derretido. Nesse ponto, temos o primeiro ponto fixo, o zero grau Celsius. O 
segundo ponto fixo é obtido quando colocamos o termômetro em contato com o 
vapor que se desprende da água em ebulição. Após o equilíbrio térmico, temos o 
segundo ponto fixo, os 100 graus Celsius. Vale lembrar que esse procedimento deve 
ser realizado a uma pressão ambiente, que é de aproximadamente 1 atm.
O intervalo entre os dois pontos obtidos pode ser dividido em 100 partes inteiras 
iguais. Cada divisão representa 1 grau Celsius.
Como vimos anteriormente, a escala Fahrenheit foi proposta pelo polonês Gabriel 
Fahrenheit. Hoje, é essa escala utilizada oficialmente nos Estados Unidos da América.
Esse padrão termométrico é a base para as duas escalas mais utilizadas no mundo e 
adotadas pelo SI: a escala Kelvin, denominada escala termodinâmica de temperaturas, 
em que a temperatura é mediada em kelvin, cujo símbolo é K, e a escala Celsius, 
derivada da escala Kelvin, em que a temperatura é medida em graus Celsius, cujo 
símbolo é °C. Por definição, o intervalo de temperatura correspondente à unidade de 
temperatura é o mesmo para ambas as escalas.
1K=1°C
Além das escalas Kelvin e Celsius, muitos países do mundo utilizam a escala 
Fahrenheit para as medidas de temperatura. Na sequência, vamos estudar cada uma 
delas e depois suas relações.
4.1.5.1 Escala Celsius
4.1.5.2 Escala Fahrenheit
Acesse o link e veja mais sobre o ponto tríplice de uma substância, 
disponível em: <http://www.infoescola.com/fisica/ponto-triplo-de-
uma-substancia/>. Acesso em: 4 out. 2015.
Termometria e Calorimetria
U4
168
Para graduar um termômetro na escala Fahrenheit, é possível utilizar um 
experimento semelhante ao visto para a escala Celsius, também a uma pressão de 
aproximadamente 1 atm. Nesse caso, o ponto fixo para o gelo fundente equivale a 32 
graus Fahrenheit. O segundo ponto fixo para a água em ebulição apresenta o valor de 
212 graus Fahrenheit nessa escala.
Para a graduação do termômetro, divide-se o intervalo entre os dois pontos em 
180 partes inteiras iguais e cada divisão é chamada de grau Fahrenheit, representada 
por ºF.
Acesse o link abaixo para saber mais sobre origem e o sistema de divisões 
da escala Fahrenheit.
Disponível em: <http://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/5165467.
pdf>. Acesso em: 4 out. 2015.
William Thomson (1824-1907), mais conhecido como Lord Kelvin, desenvolveu 
uma escala termométrica com base na temperatura mínima que um sistema pode 
atingir. Kelvin propôs uma teoria na qual a temperatura zero (zero absoluto 0 K) seria a 
temperatura na qual todas as partículas que compõem o corpo estariam em repouso, 
ou seja, a agitação delas seria nula.Por isso, criou uma escala com zero absoluto igual 
a 0 K = –273 °C, adotando o mesmo número de divisões da escala Celsius.
Em condições atmosféricas normais (1 atm), o valor 273 K corresponde ao ponto 
de fusão da água e 373 K ao ponto de ebulição. A escala Kelvin, também conhecida 
como escala absoluta, não possui valores negativos para a temperatura. Zero é o limite 
inferior dessa escala.
As moléculas de um gás apresentam um movimento desordenado, denominado 
agitação ou movimento térmico. Como vimos anteriormente, quanto mais intensa 
a agitação térmica das moléculas, maior é a energia cinética de cada uma e em 
consequência também da temperatura. Podemos imaginar que a temperatura mais 
baixa que pode existir é um estado térmico em que não exista agitação térmica, isto 
é, as moléculas estão em repouso. A esse limite inferior de temperatura dá-se o nome 
de zero absoluto.
4.1.5.3 Escala Kelvin
4.1.5.4 Zero absoluto
Termometria e Calorimetria
U4
169
Vamos supor que você esteja se preparando para viajar para Londres e soube que a 
temperatura nos últimos dias estava 50°F. Você precisa adequar as roupas que vai levar 
ao clima do lugar. Para saber qual é a temperatura correspondente na escala Celsius, 
você precisa fazer uma conversão entre as duas escalas. Observe na Figura 4.5 como 
podemos converter duas escalas distintas utilizando o teorema de Tales.
Observe o comparativo entre as escalas Fahrenheit e Celsius (Figura 4.6):
Lord Kelvin verificou que a pressão de um gás diminuía de 1/273 do valor inicial 
quando resfriado a volume constante de 0 ºC a –1 ºC. Assim, pode-se concluir que a 
pressão seria nula quando o gás estivesse a –273 ºC. Como a pressão do gás é devida 
ao bombardeio das moléculas sobre as paredes do recipiente, no estado térmico de 
pressão nula, as moléculas do gás deveriam estar em repouso. Se a temperatura é 
uma medida do grau de agitação das moléculas, ela deve ser nula quando a agitação 
for nula. Comparando as indicações da escala Celsius e da escala absoluta Kelvin, 
para um mesmo estado térmico, vemos que a temperatura absoluta é sempre 273,15 
unidades mais alta que a temperatura Celsius correspondente.
4.1.6 Relação entre as escalas
4.1.6.1 Escala Fahrenheit e Celsius
Fonte: O autor (2015).
Figura 4.5 – O teorema de Tales se baseia na igualdade entre as retas paralelas
Fonte: O autor (2015).
Figura 4.6 – Esquema comparativo entre as escalas de °F e de °C
Termometria e Calorimetria
U4
170
Note que, na Figura 4.6, as duas escalas possuem um número diferente de divisões 
entre os pontos fixos. A escala Fahrenheit possui 180 divisões entre o ponto de fusão 
(32°F e 0°C) e o de ebulição (212°F e 100°C), e a escala Celsius possui 100 divisões 
entre esses dois pontos. Comparando os dois pontos fixos das escalas, podemos 
traçar retas paralelas e aplicar o teorema de Tales.
Vamos a um exemplo, onde gostaríamos de saber qual temperatura em graus 
Celsius equivale a 50°F:
As escalas de Fahrenheit e Kelvin (Figura 4.7) possuem divisões de 180 e 100, como 
acontecia no caso anterior. Por isso, procedemos da mesma maneira que antes. 
Utilizando novamente o teorema, encontramos que: 
4.1.6.2 Escala Fahrenheit e Kelvin
Termometria e Calorimetria
U4
171
Note que, na Figura 4.6, as duas escalas possuem um número diferente de divisões 
entre os pontos fixos. A escala Fahrenheit possui 180 divisões entre o ponto de fusão 
(32°F e 0°C) e o de ebulição (212°F e 100°C), e a escala Celsius possui 100 divisões 
entre esses dois pontos. Comparando os dois pontos fixos das escalas, podemos 
traçar retas paralelas e aplicar o Teorema de Tales.
Fonte: O autor (2015).
Figura 4.7 – Esquema comparativo entre as escalas de °F e K
Fonte: O autor (2015).
Figura 4.8 – Esquema comparativo entre as escalas de °C e de K
As escalas Celsius e Kelvin, representadas na Figura 4.8, possuem o mesmo 
número de divisões; assim, a diferença entre as duas é um valor constante de 273, e a 
conversão entre elas se torna:
4.1.6.3 Escala Celsius e Kelvin
Podemos calcular também as variações de temperatura utilizando a seguinte fórmula:
Termometria e Calorimetria
U4
172
1. Em um livro de física bastante antigo, existe a referência a 
uma escala termométrica J, cujos pontos físicos atotados eram 
–20°J para a fusão do gelo e 130°J para a ebulição da água.
a) Com base nessas características, determine a relação entre a 
escala J e a escala Celsius. 
b) Calcule a temperatura correspondente a 70°J, em graus 
Celsius.
2. Quando dois corpos de tamanhos diferentes estão em 
contato e em equilíbrio térmico, em um sistema isolado do 
meio externo, podemos dizer que:
a) o corpo de menor tamanho é mais quente;
b) o corpo de maior tamanho é mais quente;
c) não existe troca de calor entre os corpos;
d) o corpo maior cede calor para o corpo menor;
e) o corpo menor cede calor para o corpo maior.
Termometria e Calorimetria
U4
173
Seção 4.2
Calorimetria
Quando nós pegamos uma lata de refrigerante que acabou de sair da geladeira e 
deixamos sobre a mesa da cozinha, a temperatura do refrigerante começa a aumentar 
gradativamente. No princípio, a temperatura aumenta rapidamente, após algum 
tempo, mais devagar, até que se torne a mesma do ambiente – ou seja, até que se 
atinja o equilíbrio térmico. Dessa mesma forma, a temperatura de uma xícara de chá 
quente deixada sobre a mesa diminui até se tornar igual à do ambiente. As variações nas 
temperaturas do refrigerante e do chá estão relacionadas às transferências de energia, 
na forma de calor, entre os dois e o ambiente. As trocas de calor são estudadas por 
um ramo da física chamado de calorimetria, que estuda os efeitos da transferência 
de calor entre os corpos. Ao longo desta seção, vamos explorar diversos conceitos 
relacionados à transferência de energia térmica, começando pela definição de calor.
Se considerarmos o refrigerante e o chá como um sistema de temperatura TS e 
o ambiente, com uma temperatura TA¬, o local onde se encontra o sistema, vamos 
observar que, se TS não é igual a eTA, TS, varia até que as duas temperaturas se igualem 
e o equilíbrio seja estabelecido. Vale lembrar que TA também pode variar um pouco, 
mas vamos considerar neste momento a variação de TA desprezível.
Essa mudança na temperatura se deve a uma alteração da energia térmica do 
sistema por causa da troca de energia térmica entre o sistema e o ambiente. A energia 
térmica é denominada de calor e simbolizada pela letra Q. O calor tem sinal positivo se 
a energia é transferida do ambiente para a energia térmica do sistema e negativo se a 
energia térmica é transferida da energia térmica do sistema para o ambiente. Podemos 
dizer também que o calor é cedido ou perdido pelo sistema. 
Vamos pensar em um sistema que não absorve nem perde energia em relação ao 
meio exterior, ou seja, isolado, formado por dois blocos A e B. O bloco A apresenta 
uma temperatura de 200ºC, enquanto o bloco B tem temperatura de 20ºC, como 
representados pela Figura 4.9.
A lei zero da termodinâmica vai garantir que, com o passar do tempo, A e B entrem 
Introdução à seção
4.2.1 Calor
Termometria e Calorimetria
U4
174
em equilíbrio térmico. Como esse sistema é isolado, podemos explicar que a energia 
térmica é transferida apenas para o bloco B, mas, se observarmos os exemplos 
anteriores, vamos notar que o chá pode transferir energia térmica para a mesa e para 
o ar, variando suas temperaturas em valores diferentes.
O entendimento de calor variou muito ao longo do tempo e a distinção de 
temperatura e calor foi um processo historicamente demorado e até hoje não é muito 
bem compreendida por algumas pessoas.
Para Roger Bacon, Kepler, Francis Bacon e Boyle, influenciados pelas ideias de 
Platão e Aristóteles, o calor era proveniente do movimento. Isaac Newton sugeria que 
o calor estivesse relacionado a possíveis vibrações do éter. Para Galileu, o calor era um 
fluido. Gassendi admitia duas espécies de matéria térmica, uma produzindo calor, outra 
frio. Algunsassociavam o calor ao flogístico, uma substância térmica hipotética que 
estaria contida nos corpos que pegam fogo. Lavoisier, em 1789, propôs a existência 
de uma forma de matéria específica que origina o calor, “um fluido eminentemente 
elástico que o produz”, ao qual ele deu o nome de calórico. O prestígio científico de 
Lavoisier fez com que essa ideia tivesse grande aceitação, embora ela nunca obtivesse 
unanimidade.
Em 1798, Benjamim Thompson (1753-1814), físico americano que trabalhava em 
Munique, ficou impressionado com o intenso aquecimento dos cilindros de latão 
perfurados para serem utilizados em canos de canhões. Rumford realizou diversas 
experiências para entender melhor esse aquecimento, e, em todas elas, ficou claro 
que o calor não poderia ser um fluido, afirmando que a hipótese de ser originário do 
movimento era bem mais aceitável. Apesar de ter apoio de importantes cientistas, 
como Davy e Young, sua tese obteve pouco sucesso.
No início do século XIX, a teoria de que o calor era um fluido ainda era amplamente 
conhecida, provavelmente devido à predominância dos físicos franceses nessa época. 
Só em 1890, com as experiências de Joule, a ideia do fluido calórico deixou de ser 
aceita. 
Fonte: O autor (2015).
Figura 4.9 – Blocos A e B em um sistema isolado, em que trocam energia somente entre si
Termometria e Calorimetria
U4
175
O calor não é uma nova grandeza, pois se trata de energia. A unidade no SI para o 
calor ou quantidade de calor (Q) é a mesma unidade utilizada para a energia, o joule (J). 
Outra unidade que costumamos observar é a caloria, que discutiremos mais adiante.
Capacidade térmica ou capacidade calorífica (C) é a grandeza física que determina 
a relação existente entre a quantidade de calor fornecida a um corpo e sua variação 
de temperatura. Essa capacidade caracteriza o corpo, mas não a substância que o 
constitui, sendo proporcional à quantidade de material presente no corpo. Assim, dois 
corpos compostos pela mesma substância, mas com massas diferentes, possuem 
diferentes capacidades caloríficas.
Quando dois ou mais corpos absorvem ou cedem quantidades de calor iguais, 
a variação de temperatura dos corpos pode não ser a mesma. Essa diferença está 
relacionada com a capacidade térmica do corpo. Como um corpo está cedendo e o 
outro recebendo uma determinada quantidade de calor (Q), levando a uma variação 
em sua temperatura (∆T), a capacidade térmica desse corpo é a razão:
No Sistema Internacional, as unidades da capacidade térmica são definidas pelo 
joule por kelvin (J/K) ou joule por grau Celsius (J/°C). A mudança da temperatura em 
1°C é igual à mudança de temperatura de 1K, portanto as duas unidades equivalentes. 
A capacidade térmica é constante para determinados corpos. Existem recipientes 
utilizados especialmente para a realização de experimentos que envolvem trocas de 
calor; esses recipientes são chamados de calorímetros. Vamos discutir mais sobre os 
calorímetros em um tópico adiante.
Imaginemos dois blocos B
1
 e B
2
 representados na Figura 4.10. Esses blocos são 
4.2.2 Capacidade térmica
Mas o que promove essa variação entre suas capacidades 
caloríficas?
Termometria e Calorimetria
U4
176
formados pela mesma substância, possuindo respectivamente massa m
1
 e m
2
. 
Verificamos experimentalmente que, quando aquecido por mesmo intervalo de 
tempo e também igual fonte de calor, o bloco que possui maior massa sofre uma 
menor variação de temperatura e vice-versa.
Fonte: O autor (2015).
Figura 4.10 – Os blocos B
1
 e B
2
 são constituídos da mesma substância e são aquecidos em 
fontes idênticas de calor durante o mesmo intervalo de tempo
Como a massa m1 do bloco B
1
 é n vezes maior que a massa m
2
 do bloco B
2
, a 
capacidade térmica C1 do bloco B
1
 é n vezes maior do que a capacidade térmica 
C
2
 do bloco B
2
. Também podemos dizer que a capacidade térmica (C) de corpos 
constituídos por substâncias iguais é diretamente proporcional à massa (m) de cada 
corpo. Assim, podemos escrever
A grandeza c, que está presente na equação acima, é uma constante de 
proporcionalidade e é dependente da substância da qual o corpo é constituído 
e de sua temperatura, como veremos a seguir. Essa constate é chamada de calor 
específico da substância.
Termometria e Calorimetria
U4
177
Como vimos, usamos a letra Q para representar a quantidade de calor. Quando 
essa quantidade está relacionada com uma quantidade infinitesimal de temperatura 
dT, chamamos essa quantidade de dQ. Podemos verificar que a quantidade de calor 
Q necessária para elevar a temperatura de uma massa m de um material de T
1
 até T
2 
é 
aproximadamente proporcional à variação de temperatura ∆T = T
2
 – T
1
; ela também é 
proporcional à massa m do material.
Quando você aquece a água para fazer um chá, você precisará do dobro da 
quantidade de calor para fazer duas xícaras ao invés de uma, desde que a temperatura 
seja a mesma. A quantidade de calor também depende do material. Por exemplo, para 
elevar em 1°C a temperatura de um quilograma de água, é necessário transferir uma 
quantidade de calor igual a 4190J, enquanto para elevar a mesma temperatura em um 
quilograma de alumínio só é necessária a transferência de 910J.
Se pensarmos nessa relação, podemos escrever que a quantidade de calor 
necessário para promover a variação de temperatura ∆T em uma massa m de um 
material é:
Essa equação é conhecida como equação fundamental da calorimetria. A grandeza 
c presente na equação acima, como vimos anteriormente, é o calor específico (ou 
capacidade calorífica específica) do material. O valor dessa grandeza varia de acordo 
com o material. Para provocar uma variação de temperatura infinitesimal dT e uma 
correspondente quantidade de calor dQ, temos:
Podemos encontrar valores positivos ou negativos para Q (dQ) e ∆T (dT). Quando 
esses valores são positivos, o calor é transferido para o corpo e a temperatura 
aumenta. Quando os valores expressos são negativos, o calor é liberado e a 
temperatura diminui.
4.2.3 Calor específico
Termometria e Calorimetria
U4
178
Fonte: O autor (2015).
Figura 4.11– Calor específico para algumas substâncias 
No estudo termodinâmico, o calor específico é uma característica fundamental 
de qualquer substância. Ele indica o comportamento dessa substância em relação ao 
calor recebido. Se várias substâncias diferentes recebem a mesma quantidade de calor 
e não alteram seu estado físico, aquelas que apresentarem o maior calor específico 
sofrerão menor variação de temperatura e vice-versa. Veja a Figura 4.12:
Fonte: O autor (2015).
Figura 4.12 – Líquidos com a mesma massa, porém substâncias diferentes, recebendo a mesma 
quantidade de calor, sofrem variação de temperatura diferente
Sabemos que, dentre as substâncias que existem em nosso planeta, a água é das 
que apresentam o maior calor específico. Essa relação traz relações importantes para 
nossa vida. A água foi utilizada como padrão para definir a unidade de calor mais 
utilizada no dia a dia, a caloria.
4.2.4 Caloria dos alimentos
Termometria e Calorimetria
U4
179
Assim como outras formas de energia, podemos medir o calor através do trabalho 
que ele pode realizar. Dos trabalhos que o calor pode realizar, o mais fácil de ser 
medido é a variação de temperatura provocada em determinado corpo ou substância. 
Assim, utiliza-se a água como substância padrão para definir o conceito de caloria, 
então 1 caloria (cal) é a quantidade de calor necessário para elevar a temperatura de 1g 
de água em 1°C no intervalo de 14,5°C a 15,5°C.
A consequência dessa definição é o valor do calor específico da água. Se 
substituirmos os valores na fórmula, Q=1 cal, m = 1g e ∆T=1°C, a expressão do calor 
específico é igual a:
Outra consequência vem da expressão da capacidade calorífica, C=c.m. Como o 
calor específico da água é 1cal/g.°C, a capacidade calorífica (C) de um corpo equivale 
à determinada massa (m) de água em gramas, assim:
Amassa de água que apresenta a mesma capacidade térmica que um corpo é 
denominada equivalência em água de um corpo. Recomenda-se o abandono da 
expressão caloria e a utilização do joule (J), pois existem “três calorias”:
• Caloria a 15°C, cujo valor é 1cal
15
 = 4,1855J.
• Caloria IT (International table), cujo valor é 1calIT = 4,1868J.
• Caloria termoquímica, cujo valor é 1cal
th
 = 4,184J.
Essa multiplicidade de valores é o suficiente para nós entendermos por que usar 
o joule no lugar de caloria. O joule é a unidade de energia no SI; a caloria é usada 
diariamente, sobretudo em relação à alimentação, aliás de forma incorreta. Quando 
usamos caloria para nos referirmos ao valor energético dos alimentos, na verdade 
queremos dizer a quantidade de energia necessária para elevar a temperatura de 
1 quilograma de água de 14,5 °C para 15,5 °C. O correto, nesse caso, seria utilizar 
kcal (quilocaloria), porém o uso constante em nutrição fez com que se modificasse 
a medida. Assim, quando se diz que uma pessoa precisa de 2.500 calorias por dia, 
na verdade são 2.500.000 calorias (2.500 quilocalorias) por dia. Tendo em vista que 
Termometria e Calorimetria
U4
180
apenas unidades de medidas que derivam de um nome próprio são grafadas com 
a inicial maiúscula, a notação “Cal”, apesar de amplamente utilizada, está incorreta. 
A Figura 4.13 mostra a energia fornecida por alguns alimentos presentes em nosso 
cotidiano.
A relação entre caloria e o joule foi determinada em 1840 pelo físico inglês James 
Prescott Joule e pode ser considerada uma das experiências mais importantes da 
Física. As experiências de Joule provaram que o calor não era um fluido, mas uma 
forma de energia, contrariando as ideias de Lavoisier. Essa conclusão só poderia ser 
feita por um inglês, já que nenhum pesquisador francês seria capaz de contrariar uma 
afirmação feita por Lavoisier, devido ao seu prestígio na comunidade científica.
O objetivo de Joule era mostrar que, à medida que a energia mecânica de um 
sistema diminuía, seria gerada uma certa quantidade de calor e que essa era sempre a 
mesma para a mesma quantidade de energia mecânica perdida.
Fonte: O autor (2015).
Figura 4.13 – Energia fornecida por alguns alimentos
Termometria e Calorimetria
U4
181
Em uma de suas primeiras experiências, Joule construiu um gerador elétrico 
que se movia com a queda de um peso. A corrente elétrica gerada percorria uma 
resistência elétrica que aquecia certa quantidade de água, em que a resistência se 
encontrava imersa. Outra experiência de Joule utilizou um gás comprimido em uma 
espécie de garrafa imersa em água, medindo o trabalho realizado e a quantidade de 
calor transmitido à água.
A experiência mais famosa de Joule foi realizada com um dispositivo em que 
pesos, descendo lentamente, faziam girar uma roda de pás num recipiente com água. 
O atrito das pás com a água realizava trabalho sobre ela, aquecendo-a. Joule repetiu 
essa experiência muitas vezes, aperfeiçoando continuamente seu dispositivo, como 
podemos ver na Figura 4.14.
Joule publicou os relatos de seus experimentos em 1849, afirmando que:
1. A quantidade de calor produzida pelo atrito entre corpos, líquidos ou sólidos é 
sempre proporcional à quantidade de energia desprendida.
2. A quantidade de calor capaz de elevar 1°F a temperatura de uma libra de água 
requer o consumo de energia mecânica equivalente à queda de um corpo de 722 
libras de uma altura de 1 pé.
Na primeira afirmação, Joule mostrou que o calor é uma energia e não um fluido, 
como afirmava a teoria do calórico de Lavoisier. Se o calor fosse um fluido, deveria 
ser inesgotável, o que era impossível segundo os experimentos de Joule. A segunda 
afirmação mostrou o valor que ficou conhecido como “equivalente mecânico do 
calor”. Se convertermos os valores encontrados por Joule para as unidades do SI, o 
resultado obtido por Joule foi 1cal = 4,15J, um desvio de apenas 1% em relação ao 
valor atual.
Fonte: <http://www.mundoeducacao.com/upload/conteudo_legenda/8c1a1739b649d58485b05fc8ff40c0b3.jpg>. Acesso em: 
4 out. 2015.
Figura 4.14 – Esquema do equipamento da experiência de Joule
Termometria e Calorimetria
U4
182
As experiências de Joule tornaram evidente que o calor se trata de energia e, assim, 
foi possível estabelecer o equivalente mecânico do calor, nome dado à relação entre 
caloria e joule:
Essa relação permite ainda estabelecer as relações entre a unidade do calor 
específico no SI (J/kg.°C) e a unidade de calor específico originaria a definição de 
caloria (cal/g°C).
Calor latente e calor sensível são grandezas físicas que descrevem a quantidade de 
calor necessária que se precisa adicionar ou remover de uma substância para que ela 
sofra alguma variação térmica.
Sabemos que calor é energia térmica em trânsito que flui entre os corpos em razão 
da diferença de temperatura entre eles. Dessa forma, imagine uma barra de ferro que 
receba ou perca certa quantidade de calor Q. Esse calor que a barra ganhou ou perdeu 
é denominado de calor sensível, pois ele provoca apenas variação na temperatura do 
corpo, sem que aconteça mudança no seu estado de agregação, ou seja, se o corpo 
é sólido continua sólido e o mesmo acontece com os estados líquidos e gasosos.
O calor sensível é regido pela equação fundamental da calorimetria, que diz que 
a quantidade de calor sensível (Q) é igual ao produto de sua massa, da variação da 
temperatura e de uma constante de proporcionalidade dependente da natureza de 
cada corpo denominada calor específico. Já vimos essa equação anteriormente 
quando falamos de calor específico, mas vamos relembrar:
4.2.5 Calor sensível e calor latente
Termometria e Calorimetria
U4
183
Nem sempre a temperatura de uma substância varia quando recebe ou perde 
calor. Em determinadas situações, a temperatura não se altera. Como a temperatura 
está associada à energia cinética das partículas de um corpo, podemos supor que, 
nessas situações, o calor ganho ou perdido pela substância não se transforma em 
energia cinética, ou seja, não provoca alterações da média das velocidades de suas 
partículas, por isso não há alteração de temperatura. Se o calor não se transforma 
em energia cinética das partículas, deve se transformar em energia potencial. Como 
a energia potencial está relacionada à posição, podemos supor que a forma ou a 
configuração das partículas constituintes da substância irá sofrer uma reorganização e, 
assim, a substância muda de fase. Podemos dizer que o calor não altera a temperatura 
da substância, pois a energia transferida é utilizada para a mudança estrutural da 
substância.
Existem duas formas possíveis de mudança de fase:
• Mudança de estado: quando a substância transita entre os estados sólido, líquido 
e gasoso (Figura 4.15).
• Mudança de fase cristalina: que acontece nos sólidos.
A temperatura de uma substância sempre irá variar quando 
recebe calor?
Fonte: O autor (2015).
Figura 4.15 – Esquema das mudanças de estado de uma substância.
Termometria e Calorimetria
U4
184
Toda mudança de fase ocorre à determinada temperatura, para determinada 
pressão independente do sentido da transformação. A água se solidifica a 0°C e se 
vaporiza a 100°C a pressão atmosférica normal.
Quando a substância altera sua fase, verificamos que a razão entre a quantidade 
transferida de calor (Q) e a massa (m) que alterou de fase dessa substância é sempre 
constante. Essa constante é denominada de quantidade de calor latente (L), definida 
por:
No SI, a unidade para calor latente é o J/kg, mas, como a caloria é muito usada 
ainda, as unidades derivadas também acabam sendo usadas; assim, a unidade cal/g é 
aplicada ao calor latente. O valor para a constante L é dependente da substância e da 
sua mudança de fase, e esse valor é tabelado e a nomenclatura varia de acordo com 
a mudança de fase. Quando a mudança de fase é da fase líquida para a fase gasosa, 
o calor latente é chamado de calor latente devaporização e seu valor é igual em 
módulo, porém de sinal oposto ao calor latente de condensação. Quando a mudança 
se dá da fase sólida para a líquida, o calor latente é chamado de calor latente de fusão e 
seu valor é igual em módulo e de sinal oposto ao do calor latente de solidificação. Por 
exemplo, o calor latente de solidificação ou fusão da água é 3,33x105 J/kg, enquanto 
o calor latente de condensação ou vaporização é 2,26x106 J/kg (HALLIDAY, 2014).
A Figura 4.16 nos mostra a relação entre a temperatura x quantidade de calor 
recebida (ou cedida) e representa as mudanças de fase da substância. Como durante 
as mudanças de estado a temperatura não varia, aparecem patamares horizontais 
característicos dessas mudanças.
Fonte: Adaptado de <http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2009/10/solidificacao1.jpg>. Acesso em: 4 out. 2015.
Figura 4.15 – Esquema das mudanças de estado de uma substância
Termometria e Calorimetria
U4
185
Fonte: O autor (2015).
Figura 4.17 – Esquema de trocas de valor entre dois corpos. A quantidade de calor 
(Qc) cedida é sempre negativa, enquanto a recebida é (Qr) é sempre positiva
Como vimos, quando corpos com temperaturas diferentes formam um sistema 
isolado, existe uma tendência para que eles atinjam a mesma temperatura. Quando 
isso acontece, costumamos dizer que os corpos trocam calor. Como sabemos, calor 
é energia; assim, pelo princípio da conservação de energia, podemos garantir que a 
energia total envolvida nesse processo é sempre constante.
Se um determinado corpo qualquer ceder calor, não mudar de fase, sua temperatura 
final (t) irá se tornar menor que a inicial (t
0
). Podemos dizer que a sua variação de 
temperatura (∆t = t – t
0
) e a quantidade de calor que foi cedida (Q
c
) são negativas. Pelo 
mesmo raciocínio, quando um dado corpo recebe calor, a variação de temperatura 
e a quantidade de calor recebida (Q
r
) são positivas. Vamos analisar o esquema abaixo 
(Figura 4.17).
Se o sistema é isolado promovendo apenas trocas de calor entre suas partes, a 
soma das quantidades de calor cedidas (∑Q
c
) e recebidas (∑Q
r
) é nula:
Se as quantidades de calor forem calculadas em módulo, essa expressão pode ser 
reescrita da seguinte forma:
Essa é uma relação que obedece ao princípio da conservação da energia. Se o 
resultado fosse diferente de zero, indicaria perda ou ganho de energia, o que vai contra 
esse princípio.
4.2.6 Trocas de calor
Termometria e Calorimetria
U4
186
O calorímetro é um dispositivo isolado termicamente do ambiente, utilizado para 
fazer estudos sobre a quantidade de calor trocado entre dois ou mais corpos que 
possuem temperaturas diferentes.
Em nosso estudo sobre trocas de calor e equilíbrio térmico de duas ou mais 
substâncias, observamos que, quando corpos de temperaturas diferentes são 
colocados em contato, após algum tempo tendem a atingir a mesma temperatura. 
A explicação para esse fenômeno foi proposta há muito tempo, com base em um 
modelo chamado de calórico. Esse modelo propunha que todos os corpos possuíam 
interiormente o calórico, que era uma substância fluida e invisível de peso desprezível. 
Dizia-se que, quanto maior fosse a temperatura de um corpo, mais calórico ele possuía 
em seu interior.
Quando dois ou mais corpos com temperaturas diferentes eram colocados em 
contato, ocorria a passagem de calórico do corpo mais quente para o mais frio. 
Com isso, ocorria uma diminuição da temperatura do primeiro e uma elevação na 
temperatura do segundo corpo. Assim, o fluxo do calórico só parava quando os corpos 
estivessem em equilíbrio térmico. A ideia de calórico foi derrubada pelos experimentos 
de James Joule, o que fez com que o calor fosse considerado uma forma de energia.
Sabemos que o calor é a energia transferida espontaneamente de um corpo para 
outro, devido à diferença de temperatura entre eles. Sabemos que, quando colocamos 
dois corpos com temperaturas diferentes em contato, em um sistema isolado, após 
algum tempo eles estarão em equilíbrio térmico. Assim, podemos entender que 
houve transferência de calor do corpo mais “quente” para o mais “frio”, até que ambos 
apresentassem a mesma temperatura.
Os estudos de troca de calor entre dois ou mais corpos, principalmente quando 
um deles está no estado líquido, exigem a utilização de recipiente que permita obter o 
valor das quantidades de calor trocadas entre os corpos e dificulte a troca de energia 
térmica com o meio externo. Esse recipiente é chamado de calorímetro.
Podemos dizer, de maneira genérica, que todo recipiente isolado termicamente do 
ambiente externo é um calorímetro. O calorímetro é utilizado em experimentos que 
envolvem a determinação do calor específico das substâncias. Para a sua utilização, 
coloca-se água em seu interior e, após o sistema atingir seu equilíbrio térmico, aí 
medimos o valor da temperatura da água. Depois, coloca-se o corpo que se deseja 
estudar em seu interior imerso na água. Como sabemos a temperatura inicial do 
sistema água-calorímetro, podemos verificar a variação da temperatura do sistema 
após entrar em equilíbrio térmico. A Figura 4.18 mostra um exemplo básico de um 
calorímetro.
4.2.7 Calorímetro
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Fonte: http://www.brasilescola.com/fisica/calorimetro.htm. Acesso em: 4 out. 2015.
Figura 4.18 – Exemplo de um calorímetro básico usual
Existem maneiras simples de construir um calorímetro com materiais 
populares. Acesse o link abaixo para saber mais como construir um 
calorímetro.
Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/eq/v36n2/a04v36n2.pdf>. 
Acesso em: 4 out. 2015.
1. Ao colocarmos 80 g de gelo a 0°C em 100 g de água a 
20°C, em um sistema isolado, qual a temperatura final da 
mistura, sabendo-se que o calor latente de fusão do gelo é 80 
cal/g e o calor específico da água é 1 cal/g · °C?
2. Um bloco de gelo com massa de 300 g está a uma 
temperatura de 0°C. Para derreter todo o gelo, obtendo água 
no estado líquido a 0°C, são necessárias 24.000 cal. Determine 
o calor latente de fusão do gelo.
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• Os termos temperatura e calor costumam ser utilizados como 
sinônimos em nosso cotidiano, mas para a física possuem 
significados diferentes.
• A temperatura também está relacionada à energia cinética das 
moléculas que compõem um corpo. As moléculas que constituem 
a matéria estão em constante movimento, denominado agitação 
térmica. Toda a energia cinética associada ao movimento das 
moléculas recebe o nome de energia térmica.
• A energia térmica de um corpo pode variar através da 
transferência de calor entre dois ou mais corpos. Quando todos 
os corpos de um sistema atingem a mesma temperatura, dizemos 
que eles estão em equilíbrio térmico. 
• A transferência de energia térmica entre dois corpos está ligada 
à diferença de temperatura entre eles.
• A medida de temperatura é um processo indireto e como toda 
medida exige o estabelecimento de um padrão. O padrão atual 
adotado pelo SI, desde 1954, é o ponto tríplice da água, ao qual 
se atribui a temperatura de 273,16 kelvin. 
• A variação de temperatura de um sistema se deve a uma 
mudança da energia térmica por causa da troca de energia 
térmica entre o sistema e o ambiente. A energia térmica é 
chamada de calor e simbolizada pela letra Q. 
• Quando dois ou mais corpos cedem ou absorvem quantidades 
iguais de calor, a variação de temperatura por eles sofrida 
geralmente é diferente uma da outra. Essa relação é o que 
caracteriza a capacidade calorífica ou capacidade térmica.
• O calor específico de um corpo está ligado ao tipo de material 
de que ele é constituído.
• Calor sensível e calor latente são grandezas físicas que 
descrevem a quantidade de calor que se precisa adicionar ou 
remover de uma substância para que ela sofra alguma variação 
térmica. 
Caríssimos, ao longo de nosso estudo pudemos entender 
diversas relações entre o calor e a temperatura. Vimos que, 
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embora não sejam sinônimos, estãodiretamente relacionados. 
Esse estudo é importante para entendermos diversas situações 
de nosso cotidiano em que calor e temperatura são grandezas 
presentes.
Vimos, em nossa primeira seção, que a temperatura está 
relacionada com a energia cinéticas das partículas que 
compõem um corpo, por isso a medida de temperatura é uma 
medida indireta. Ao longo de vários séculos, o homem buscou 
alternativas para realizar a medição dessa energia cinética, 
utilizando diversos materiais, para que hoje isso fosse simples 
para nós. Sabemos que existem diversas escalas utilizadas para 
a medição entre elas e, muitas vezes, estamos nos deparando 
com elas, por isso entender suas relações nos ajudam a calcular 
a temperatura entre as escalas diferentes.
Em nossa segunda seção, nós pudemos estudar o calor de forma 
mais profunda, vendo as diversas características que os corpos 
possuem e interferem nas trocas de calor. Foi possível ver que 
nem sempre que o corpo ganha calor ele altera sua temperatura 
e que o material em que o corpo é constituído influencia 
diretamente sua capacidade térmica.
Assim concluímos nosso estudo sobre a física térmica, e através 
dele foi possível verificar com diversos fundamentos que calor e 
temperaturas são grandezas importantes, mas não querem dizer 
a mesma coisa.
1. São fornecidos 900J de calor a 1kg de gás hélio para que 
ele sofra um aquecimento de 3K. Sabendo-se que o volume 
do gás permaneceu constante, determine o correspondente 
calor específico.
2. Ao fornecermos 450 calorias de calor para um corpo, 
verifica-se como consequência uma variação de temperatura 
igual a 60 ºC. Determine a capacidade térmica desse corpo.
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3. Para derretermos uma barra de um determinado material 
XYZ com massa de 1kg, é necessário aquecê-lo até a 
temperatura de 1000°C. Sendo a temperatura do ambiente 
no momento analisado 20°C e o calor específico de 
XYZ= 5 J/kg.°C, determine a quantidade de calor necessária 
para derreter a barra.
4. Dois corpos A e B de capacidade térmica C
A
 = 100 J/°C 
e C
B
 = 500 J/°C recebem a mesma quantidade de calor: 
Q=2000J. Qual a variação de temperatura que cada corpo 
irá sofrer?
5. (PUC-SP) Um médico inglês mede a temperatura de 
um paciente com suspeita de infecção e obtém em seu 
termômetro clínico o valor de 102,2°F.
a) Ele tem motivo de preocupação com o paciente? 
b) Por que um doente com febre sente frio? Responda e 
defina o conceito de calor.
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Referências
GASPAR, A. Física volume único. São Paulo: Ática, 2001.
NUSSENZVEIG, Hersh Moyses. Curso de física básica: 2 Fluidos, Oscilações e Ondas 
de calor. 5. ed. São Paulo: Edgar Blücher, 2013.
SERWAY, Raymond. A.; JEWETT Junior, John. W. Princípios de Física. Vol. 2. São 
Paulo: Cengage Learning, 2014. 
SILVA, Domiciano Correa Marques Da. "Calorímetro"; Brasil Escola. Disponível em 
<http://brasilescola.uol.com.br/fisica/calorimetro.htm>. Acesso em 9 dez. 2015. 
WALKER, Jearl; HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Fundamentos de física: volume 2: 
gravitação, ondas e termodinâmica. LTC, 2014.
YOUNG, Hugh; FREEDMAN, Roger. A. Física II. 12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 
2008.
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FÍSIC
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Física Geral e 
Experimental: 
Mecânica e 
Energia