Física Geral e experimental - Mecânica - UNOPAR

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Física Geral e 
Experimental: 
Mecânica e 
Energia
Keila Tatiana Boni 
Maurilio Cristiano Batista Bergamo
Física Geral e 
Experimental: Mecânica e 
Energia
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Boni, Keila Tatiana 
 
 
 ISBN 978-85-8482-319-2
 1. Física – Experiências. 2. Movimento. 3. Força 
(Mecânica). I. Bergamo, Maurilio Cristiano Batista. II. Título.
 CDD 530 
Tatiana Boni, Maurilio Cristiano Batista Bergamo. – Londrina:
Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2016.
 192 p.
B715f Física geral e experimental: mecânica e energia / Keila 
© 2016 por Editora e Distribuidora Educacional S.A 
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida 
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2016
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Sumário
Unidade 1 | Aspectos Introdutórios da Física
Seção 1.1 - Medição
Introdução à seção
1.1.1 | Padrões e unidades
1.1.2 | Conversão de unidades
1.1.3 | Notação científica
1.1.4 | Vetores e escalares
Seção 1.2 - Movimento retilíneo
Introdução à seção
2.2.1 | Deslocamento, tempo e velocidade média
2.2.2 | Velocidade instantânea
2.2.3 | Aceleração média
2.2.4 | Aceleração instantânea
2.2.5 | Aceleração constante
2.2.6 | Queda livre de corpos
2.2.7 | Velocidade e posição por integração
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Unidade 2 | Força e Movimento
Seção 2.1 - Movimento em duas e três dimensões
Introdução à seção
2.1.1 | Vetor posição e vetor velocidade
2.1.2 | Vetor aceleração
2.1.3 | Movimento de projéteis
Seção 2.2 - Força e movimento
introdução à seção
2.2.1 | O conceito de força
2.2.2 | Primeira lei de Newton
2.2.3 | Segunda lei de Newton
2.2.3.1 | Força gravitacional e peso
2.2.4 | Terceira lei de Newton
2.2.5 | Aplicacações das leis de Newton
2.2.6 | Forças de atrito
2.2.7 | Dinâmica do movimento circular uniforme
2.2.8 | Forças fundamentais da natureza
2.2.8.1 | A força gravitacional
2.2.8.2 | A força eletromagnétical
2.2.8.3 | Força forte
2.2.8.4 | A força fraca
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Unidade 3 | Trabalho, Energia, Sistemas de Partículas e Colisões
Seção 3.1 - Trabalho e energia cinética
Introdução à seção
3.1.1 | Trabalho
3.1.1.1 | Trabalho: movimento em uma dimensão com força constante
3.1.1.2 | Trabalho executado por uma força variável
3.1.1.3 | Trabalho realizado por uma mola
3.1.1.4 | Energia cinética
3.1.1.5 | Potência
3.1.2 | Convervação da energia
3.1.2.1 | Trabalho e energia potencial
3.1.2.2 | Energia mecânica
3.1.2.3 | Determinação da energia potencial
3.1.2.3.1 | Energia potencial gravitacional
3.1.2.3.2 | Energia potencial elástica
3.1.2.4 | Forças conservativas e não conservativas
3.1.2.5 | A equação de conservação de energia
3.1.2.6 | Trabalho realizado por uma força de atrito
Seção 3.2 - Sistemas de partículas e colisões
Introdução à seção
3.2.1 | Centro de massa
3.2.2 | Segunda lei de Newton para um sistema de partículas
3.2.3 | Momento linear
3.2.4 | Conservação do momento linear
3.2.5 | Colisão e impulso
3.2.5.1 | Colisão em série
3.2.6 | Colisões elásticas e inelásticas
3.2.6.1 | Colisões unidimensionais
3.2.6.2 | Colisões perfeitamente inelásticas
3.2.6.3 | Colisões elásticas
3.2.6.4 | Colisões em duas dimensões
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Unidade 4 | Termometria e Calorimetria
Seção 4.1 - Termometria
Introdução à seção
4.1.1 | Temperatura
4.1.2 | Partículas de um corpo
4.1.3 | Equilíbrio térmico
4.1.4 | Medida de temperatura
4.1.5 | Escalas termométricas
4.1.5.1 | Escalas Celsius
4.1.5.2 | Escalas Fahrenheit
4.1.5.3 | Escalas Kelvin
4.1.5.4 | Zero absoluto
4.1.6 | Relação entre as escalas
4.1.6.1 | Escala Fahrenheit e Celsius
4.1.6.2 | Escala Fahrenheit e Kelvin
4.1.6.3 | Escala Celsius e Kelvin
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Seção 4.2 - Calorimetria
Introdução à seção
4.2.1 | Calor
4.2.2 | Capacidade térmica
4.2.3 | Calor específico
4.2.4 | Caloria dos alimentos
4.2.5 | Calor sensível e calor latente
4.2.6 | Trocas de calor
4.2.7 | Calorímetro
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Apresentação
O presente material, referente à disciplina de Física Geral e Experimental: 
Mecânica e Energia, foi elaborado com o intuito de proporcionar a você, caro 
estudante, um caminho consistente para o aprendizado de conceitos elementares 
da física, os quais apresentam grande aplicabilidade nas engenharias e áreas afins. 
Particularmente, com este material você introduzirá seus estudos sobre a 
mecânica, e, desse estudo, destacamos a cinemática e a dinâmica. Na Cinemática 
você estudará os movimentos que, certamente, já estudou no ensino médio, 
porém, nessa nova etapa, esses estudos serão aprofundados, sobretudo, com o 
auxílio do cálculo diferencial e integral e da álgebra linear. 
Na dinâmica, você estudará energia e as leis de conservação, além de diversos 
outros conceitos relacionados a esses, e, do mesmo modo que na cinemática, tal 
estudo será aprofundado a partir da utilização de conhecimentos matemáticos 
mais avançados. 
Nesse contexto, visamos com este material que você, estudante, tenha a 
oportunidade de pensar sobre fenômenos físicos em termos matemáticos. 
Contudo, para que a aprendizagem de fato ocorra, as abordagens teóricas, os 
exemplos resolvidos, os problemas propostos e os materiais sugeridos devem ser 
estudados e trabalhados até o estágio de completo entendimento, tanto no que 
diz respeito aos procedimentos matemáticos quanto na interpretação física desses. 
Desejamos que este material seja por você utilizado com muito entusiasmo, 
visando desenvolver sua intuição de maneira a torná-la precisa na modelação 
matemática de problemas físicos, na interpretação física de soluções matemáticas, 
mas, sobretudo, na aplicação de conceitos físicos em situações reais relacionadas 
à sua formação acadêmica.
Bons estudos!
Unidade 1
ASPECTOS INTRODUTÓRIOS 
DA FÍSICA
Na primeira seção, você conhecerá os sistemas de unidades convencionais 
para descrever grandezas físicas, bem como aprenderá maneiras de realizar 
conversões entre diferentes sistemas de unidades. Além disso, você verá como 
representar medidas muito grandes ou muito pequenas, bem como realizar 
operações com esses tipos de representações. 
Nesta seção, serão introduzidos conceitos de mecânica, que envolve o estudo 
das relações entre movimento, massa e força. De maneira mais específica, nesta 
segunda seção, você começará o estudo sobre movimento unidimensional, que é 
o tipo de movimento mais simples, em que uma partícula se desloca ao longo de 
uma linha reta. Nesse contexto, você estudará duas grandezas físicas: velocidade e 
aceleração. 
Seção 1.1 | Medição
Seção 1.2 | Movimento retilíneo
Objetivos de aprendizagem: 
Nesta primeira unidade, objetiva-se introduzi-lo no estudo da física clássica, 
a partir de uma apresentação clara e elementar de conceitos e princípios 
básicos da física. Dentre esses conceitos, destacamos as unidades de medidas e 
conversões, bem como as primeiras ideias relacionadas à posição,velocidade e 
aceleração no movimento unidimensional.
Keila Tatiana Boni
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Aspectos Introdutórios da Física
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Introdução à unidade
A física é, certamente, um estudo fundamental e de extrema relevância para 
diversas áreas. Afinal, diversos conceitos físicos precisam ser estudados para que 
seja possível colocar em prática teorias de outras ciências.
Essa importância de possuir conhecimentos sobre conceitos físicos pode ser 
evidenciada, sobretudo, nas engenharias, pois, por exemplo, não é possível projetar 
uma nave espacial, um veículo mais potente e econômico ou um liquidificador mais 
eficiente sem entender os princípios básicos da física.
Considerando a essencialidade de conhecimentos físicos na engenharia, são 
apresentados, nesta primeira unidade, alguns conceitos preliminares fundamentais, 
tais como: a natureza da teoria física e o uso de modelos matemáticos para representar 
sistemas físicos; os sistemas de unidades utilizados para descrever grandezas físicas; 
e as relações entre movimento, massa e força num deslocamento em linha reta.
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Aspectos Introdutórios da Física
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Seção 1.1
Medição
Dando início à unidade, esta primeira seção contempla conhecimentos essenciais 
para compreender os conceitos físicos que serão estudados no decorrer do curso. 
Esses conceitos dizem respeito às medições.
Pode-se entender que o objetivo geral na física é proporcionar um entendimento 
quantitativo de determinados fenômenos que ocorrem no universo e, para isso, 
recorre-se a observações experimentais e análises matemáticas para elaborar 
teorias que expliquem tais fenômenos e relacione-os a outros já conhecidos. Assim, 
a matemática tem um papel fundamental na física: é a linguagem utilizada para 
estabelecer uma ligação entre teorias e experiências.
E, para descrever fenômenos naturais, além da linguagem matemática, faz-se 
necessário realizar medições adequadas e associadas às quantidades físicas presentes 
nos fenômenos naturais em questão. Assim, justifica-se a relevância de iniciarmos os 
estudos sobre conceitos físicos a partir do estudo sobre medições.
Com a introdução desta seção, é possível que você tenha compreendido que a 
física é uma ciência de natureza experimental e que esses experimentos necessitam 
de medidas e de linguagem matemática para serem descritos. Essa linguagem 
matemática é que permite obter modelos matemáticos para representar sistemas 
físicos.
Na física, os números utilizados para descrever de maneira quantitativa um 
fenômeno físico é chamado de grandeza física. Contudo, esses não podem ser 
apresentados isoladamente, mas precisam ser acompanhados de uma unidade para 
especificar o que este número representa. Por exemplo: dizer que algo mede 30 não 
faz o menor sentido. É preciso especificar se essa medida refere-se a 30 metros, 30 
centímetros, 30 quilômetros etc.
Introdução à seção
1.1.1 Padrões e unidades
1 Modelo é um substituto simplificado para o problema real que nos permite solucioná-lo de um modo 
relativamente fácil. Com a linguagem matemática, podemos obter modelos algébricos (equações, 
funções, gráficos, etc). Contudo, na Física podemos também encontrar outros tipos de modelos, como, 
por exemplo, representações pictóricas (desenhos e figuras) de situações. 
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Você acabou de estudar que uma determinada medida 
representada por um número precisa ser acompanhada de 
uma unidade específica. Mas será que as unidades são as 
mesmas em todas as partes do mundo? Existe um padrão?
Para que seja possível obter medidas precisas e confiáveis, fazem-se necessárias 
unidades de medidas que possam ser compreendidas e reproduzidas por diversos 
observadores, de diversificadas localidades. Por esse motivo, convencionalmente 
utiliza-se o sistema de unidades utilizado por cientistas de diversas partes do mundo, o 
Sistema Internacional de Medidas, conhecido como SI.
No decorrer dos estudos, você perceberá que trabalharemos, de maneira 
predominante, com três grandezas fundamentais: comprimento, massa e tempo. 
E, de acordo com o SI, as unidades fundamentais dessas três grandezas são, 
respectivamente, o metro (m), o quilograma (kg) e o segundo (s).
O padrão legal de comprimento, o metro, tem sua origem na França e é definido 
como a distância que a luz percorre no vácuo em uma fração de 1/299.792.458 
segundos.
 A unidade padrão para massa, o quilograma, é definida como a massa de um 
cilindro específico de liga de platina-irídio mantido na Agência Internacional de Pesos 
e Medidas, em Sèvres, na França. É muito importante ressaltar que peso e massa são 
grandezas bastante distintas!
Apesar de que você ainda evidenciará a distinção entre peso e massa 
no decorrer dos seus estudos, acessando o link indicado você poderá 
adiantar um pouco desse conhecimento:
Disponível em:
<http://www.ipem.sp.gov.br/index.php?option=com_content&view=art
icle&id=13&Itemid=267>. Acesso em: 11 ago. 2015.
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O padrão de tempo, o segundo, é fundamentado em um relógio atômico que usa 
com frequência a diferença de energia entre os dois menores estados de energia do 
átomo de césio. Quando esse átomo é bombardeado por micro-ondas de uma certa 
frequência, os átomos de césio sofrem transições de um estado para outro. Assim, um 
segundo é definido como 9.192.631.770 vezes o período de vibração da radiação do 
átomo de césio.
Com relação às unidades fundamentais elencadas (metro, quilograma e segundo), 
com frequência você se deparará em seus estudos com grandezas físicas que podem 
ser expressas em termos dessas unidades fundamentais do SI. Por exemplo, a unidade 
de medida SI para a força é kg·m/s², a qual é mais conhecida como Newton (N). 
Além disso, vale ressaltar que, a partir dessas unidades fundamentais, é possível 
obter unidades maiores ou menores para as mesmas grandezas físicas por meio de 
múltiplos e submúltiplos de dez, como no caso da massa e do comprimento. A título 
de exemplo, observe a figura a seguir:
Acessando o link indicado abaixo, você conhecerá outras unidades do 
Sistema Internacional (SI), relacionados a outras grandezas, também 
muito utilizados nos conceitos de física que você estudará:
Disponível em: <http://www.inmetro.gov.br/noticias/conteudo/sistema-
internacional-unidades.pdf>. Acesso em: 11 ago. 2015.
Fonte: http://feb.ufrgs.br/resources/284/p3.html. Acesso em: 11 ago. 2015.
Figura 1.1 – Múltiplos e submúltiplos da unidade fundamental de massa
X 1000 : 1000
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Tendo como unidade principal o grama, perceba que, por meio de múltiplos e 
submúltiplos de dez, é possível obter unidades maiores ou menores para a massa. De 
acordo com a figura apresentada, temos, por exemplo, que 1kg=10×10×10 g=103 g e 
que 1 cg= = 10-2 g.
A mesma relação apresentada na Figura 1.1 pode ser escrita e utilizada para a 
unidade fundamental de comprimento (metro), obtendo, assim, da esquerda para a 
direita: quilômetro (km), hectômetro (hm), decâmetro (dam), metro (m), decímetro 
(dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).
Para a unidade fundamental de tempo, vocês já conhecem relações tais como:
1 minuto = 60 segundos
1 hora = 60 minutos = 3.600 segundos
1 dia = 24 horas = 1.440 minutos = 86.400 segundos
Etc...
Contudo, também para o tempo teremos casos em que potências de dez podem 
ser utilizadas para descrever unidades maiores ou menores. Por exemplo:
1 nanossegundo = 1ns = 10–9s (tempo para a luz percorrer 0,3 m)
1 microssegundo = 1 µs = 10–6 s (tempo para um satélite percorrer 8mm)
A Figura 1.2 apresenta esses prefixos (nano e micro) exemplificados acima e outros 
prefixos para as potências de dez e que podem ser utilizados para diversas grandezas 
físicas:
Fonte: http://www.inmetro.gov.br/consumidor/pdf/Resumo_SI.pdf. Acesso em: 3 dez. 2015.
Figura 1.2 – Alguns prefixos para potências de dez
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Em muitos casos, serão necessários converter unidades de um sistema em outro 
ou, até mesmo, dentro de um sistema. Como um exemplo do primeiro caso, de 
conversão entre unidades de um sistema em outro, pode-se citar as igualdades entre 
SI e as unidades usuais de comprimento nos EUA:
1 milha (mi) = 1.609 metros (m) = 1,609 quilômetros (km)
1 metro (m) = 39,37 polegadas (pol) = 3,281 pés
1 pé = 0,3048 metros (m) = 30,48 centímetros (cm)
1 polegada (pol) = 0,0254 metros (m) = 2,54 centímetros (cm)
Quanto ao segundo caso, conversões dentro de um próprio sistema, pode-se 
mencionar as conversões dentro do sistema métrico, como, por exemplo:
1 quilômetro (km) = 1.000 metros (m) = 1.000.000 milímetros (mm)
Todas as medidas de grandezas físicas têm um número e uma unidade. Na 
física, todas essas grandezas são representadas por uma simbologia que contenha 
a primeira letra do nome da grandeza, o valor e a unidade. Por exemplo, t pode 
representar um tempo de 20 s, uma velocidade de 6 m/s e δ um distância de 30 m.
Ao realizar operações matemáticas (adição, subtração, multiplicação ou 
divisão) sobre essas grandezas, numa equação algébrica, por exemplo, as unidades 
envolvidas são tratadas como se fossem qualquer grandeza algébrica. Além disso, 
uma equação deve sempre possuir coerência dimensional, ou seja, só podemos 
realizar a operação matemática ou equacionar dois termos se esses possuírem 
unidades em comum.
Veja um exemplo: deseja-se calcular a distância percorrida, em 50 s, por um 
corpo que se desloca à velocidade constante de 5 m/s (metros por segundo). 
1.1.2 Conversão de unidades
Além do Sistema Internacional de Medidas, existem outros sistemas 
como, por exemplo, o Sistema Técnico Inglês. Saiba mais sobre esse e 
outros sistemas no seguinte link: ftp://ftp.cefetes.br/cursos/Mecanica/
T%E9cnico/Mec%E2nica%20T%E9cnica/cap2.prn.pdf. Acesso em: 3 set. 
2015.
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Nessa situação, a distância equivale ao produto da velocidade (ν) pelo tempo (τ):
 
Perceba que como a unidade 1/s do membro direito da equação é cancelada 
com a unidade s, que está multiplicando, o produto vt possui unidade de metro. 
O cancelamento realizado da unidade de tempo s ocorreu como se fosse uma 
grandeza algébrica comum e é esse tipo de procedimento de tratamento de 
unidades que facilita a conversão de uma unidade em outra.
Veja outro exemplo: deseja-se converter a resposta de 250 metros em milhas. 
Você já viu que uma milha é igual a 1.609 metros e, assim, é possível escrever:
Esse fator é chamado de fator de conversão e, uma vez que qualquer grandeza 
pode ser multiplicada por 1 sem que haja alteração em seu valor, é possível 
converter de 250 metros para milhas de maneira bem simples pela multiplicação 
por esse fator:
E, se quisesse realizar a conversão de maneira contrária – de 
milhas para metros –, você acha que o fator de conversão 
apresentado acima poderia ser utilizado?
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Para melhor compreensão, veja mais um exemplo: “Se o seu carro estiver a 
90 km/h, qual a sua velocidade em metros por segundo e em milhas por hora?” 
(TIPLER, 2000, p. 5).
Resolução: perceba que, nessa situação, a medida dada (90 km/h) deverá ser 
multiplicada por um conjunto de fatores de conversão, cada qual exatamente igual 
a 1, de modo que o seu valor não se altera. Vamos determinar esses fatores de 
conversão:
Sabemos que 1.000 m = 1 km, que 60 s = 1 min, que 60 min = 1 hora e que 1 
mi = 1,609 km. Assim, obtemos, respectivamente, os fatores de conversão:
• Conversão para metros por segundo: multiplicamos 90 km/h por um conjunto 
de fatores de conversão que transformam quilômetros em metros e horas em 
segundos:
 
• Conversão para milhas: multiplicamos 90 km/h pelo fator de conversão 
1/1,609:
A notação científica é muito útil na manipulação de números muito grandes ou 
muito pequenos. Nessa notação, qualquer número é escrito como o produto de 
um número entre 1 e 10 e uma potência de 10 apropriada. Por exemplo:
A distância entre a Terra e o Sol é de aproximadamente 150.000.000.000 m e 
pode ser escrita como 1,5×1011 m;
1.1.3 Notação científica
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o diâmetro de um vírus é de aproximadamente 0,00000001 m e pode ser 
escrito como 1×10–8m.
Perceba que, para escrever números muito grandes em notação científica, 
o expoente da base 10 é positivo, e, para escrever números muito pequenos, o 
expoente da base 10 é negativo.
Em muitos casos, será necessário realizar operações envolvendo números em 
notação científica. Nesse caso, vale lembrar algumas regras de potenciação:
– Adição e subtração: para realizar essas operações, primeiro é preciso verificar 
se as potências de 10 possuem o mesmo expoente. Se forem iguais, basta somar 
ou subtrair as mantissas (sinônimos de mantissa: significando ou coeficiente). Caso 
as mantissas não sejam iguais, será necessário mover a vírgula visando a obter os 
mesmos expoentes. Por exemplo:
(3,15×107 )+(5,02×105)=
(315,0×105)+(5,02×105) ou (3,15×107)+(0,0502×107)=
3,2002×107=32.002.000
– Multiplicação e divisão: ao multiplicar números em notação científica, os 
expoentes são somados. Em contrapartida, quando números em notação científica 
são divididos, os expoentes são subtraídos. Por exemplo:
103×104=1.000×10.000=10.000.000=107
Analogamente,
– Potenciação: ao se elevar uma potência a outra, os expoentes se 
multiplicam. Por exemplo:
(103)5=103×103×103×103×103=1015
1.1.4 Vetores e escalares
Cada uma das grandezas que você estudará na disciplina de física pode ser 
categorizada como escalar ou vetor. Escalar corresponde a uma grandeza que é 
especificada completamente por um número positivo ou negativo com unidades 
apropriadas. Já o vetor é uma grandeza física que, para ser completamente 
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especificada, necessita de módulo (ou magnitude), direção e sentido. Módulo (ou 
magnitude) representa o “tamanho” do vetor.
Por exemplo, dizer que a temperatura do momento é de 25ºC já completa 
essa informação, ou seja, não se faz necessária nenhuma especificação sobre 
direção ou sentido. Sendo assim, temperatura, massa e volume são exemplos de 
grandezas escalares. Esses tipos de grandezas, desde que em mesma unidade, 
podem ser manipuladas de acordo com a aritmética comum (adição, subtração, 
multiplicação e divisão).
Um exemplo de grandeza vetorial é a força, pois, para descrevê-la completamente, 
é preciso especificar a direção e o sentido da força aplicada, bem como o módulo 
dessa. Outros exemplos de grandezas vetoriais são o deslocamento, velocidade, 
aceleração e momento.
Os vetores podem ser representados de duas maneiras: letra em negrito com 
uma flecha em cima, como , ou um caractere simples em negrito, como F. O 
módulo do vetor poderá ser escrito como F ou | |.
Quanto às operações entre vetores, esses se combinam de acordo com 
algumas regras especiais, as quais já foram estudadas na disciplina de geometria 
analítica e álgebra linear. Caso você não se lembre dessas operações, é muito 
importante que você volte a consultar o material dessa disciplina.
uma flecha em cima, como , ou um caractere simples em negrito, como 
módulo do vetor poderá ser escrito como F ou | |.
Acessando os links indicados, abaixo você saberá mais sobre grandezas 
escalares e vetoriais:
Disponível em: <http://efisica.if.usp.br/mecanica/universitario/vetores/
intro/>. Acesso em: 13 ago. 2015.
Disponível em: <http://matematicarev.blogspot.com.br/2010/02/
grandezas-escalares-e-vetoriais.html>. Acesso em: 13 ago. 2015. 
1. Muitas vezes, é necessário fazer a conversão entre unidades 
de um sistema de medida em outro. Supondo que uma pessoa 
trafega em uma certa localidade nos EUA à velocidade de 65 
mi/h, é correto afirmar que a velocidade equivalente em m/s é:
 
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a) 27,2 m/s
b) 28,0 m/s
c) 29,1 m/s
d) 30,3 m/s
e) 31,5 m/s
2. (Adaptadade SERWAY; JEWETT JR., 2014) Em uma rodovia 
interestadual na região rural de Wyoming (EUA), um carro viaja 
a 38 m/s. Sabe-se que o motorista está excedendo o limite de 
velocidade que é de 75 mi/h. É correto afirmar que o excedente 
está sendo de:
 
a) 6 mi/h
b) 7 mi/h
c) 8 mi/h
d) 9 mi/h
e) 10mi/h 
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Seção 1.2
Movimento Retilíneo
2.2.1 Deslocamento, tempo e velocidade média
O movimento representa uma mudança contínua na posição de um corpo e, 
para estudar o movimento, ele será descrito utilizando os conceitos de espaço e 
de tempo sem considerar as causas do movimento. Logo, o resultado será uma 
simplificação, o que será chamado de modelo de partícula. Assim, em muitas 
situações um corpo será tratado como uma partícula devido à complexidade de 
análise de detalhes desse corpo.
Para ilustrar essa complexidade, considere que você deseje analisar o movimento 
de uma bola de beisebol atirada ao ar. Os autores Young e Freedman (2008, p. 3) 
descrevem algumas das complicações desse problema. Para simplificar a análise 
Inicia-se, nesta seção, o estudo da Mecânica, que basicamente estuda as relações 
entre movimento, massa e força. De maneira mais específica, nesta seção, você 
estudará a cinemática, a parte da Mecânica que aborda sobre o movimento.
Na cinemática, serão apresentados dois tipos de movimento: unidimensional 
e bidimensional. Nesta primeira unidade, o foco de estudo é o primeiro tipo – o 
unidimensional – que corresponde ao movimento de uma partícula se deslocando ao 
longo de uma linha reta. Nesse sentido, como o objetivo nesse momento é abordar 
apenas o movimento retilíneo, não será necessário (ainda) o tratamento matemático 
completo de vetores. Contudo, conhecimentos advindos das disciplinas de Cálculo I 
e II são fundamentais nesse estudo.
Introdução à seção
A bola não é uma esfera perfeita (ela possui costuras salientes) 
e gira durante seu movimento no ar. O vento e a resistência 
do ar influenciam seu movimento, o peso da bola varia 
ligeiramente com a variação da distância entre a bola e o 
centro da Terra, etc. Se tentarmos incluir todos esses fatores, 
a análise se tornará inutilmente complexa.
Aspectos Introdutórios da Física
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24
desse objeto – a bola de beisebol –, despreza-se o tamanho e a forma da bola, 
representando-a como um objeto puntiforme: uma partícula. O peso considera-se 
como constante e, quanto à resistência do ar, considera-se o movimento ocorrendo 
no vácuo.
Além disso, no estudo do movimento faz-se necessário um sistema de 
coordenadas, do qual vamos utilizar o eixo Ox, em que representaremos a posição 
de um corpo ou objeto representado por uma partícula. 
Assim, no eixo Ox, a posição da partícula é dada pela coordenada x, a qual varia 
com o tempo na medida em que a partícula se move.
Para ilustrar essa situação, observe a figura a seguir:
A figura acima mostra um carro que se encontra na posição x
1
 em determinado 
instante t
1
 e a posição do mesmo carro em x
2
 no instante t
2
. Essa posição alterou 
devido ao carro ter se deslocado de uma posição original para uma outra posição, o 
que demandou um determinado período de tempo.
Consideramos a variação de uma grandeza (no caso, da posição e do tempo) 
como o valor final menos o valor inicial, o que corresponde à variação da grandeza 
que é representado por ∆. Assim, temos que a variação da posição pode ser 
representada por:
∆x=x
2 
– x
1
Analogamente, representamos a variação do tempo por:
∆t=t
2 
– t
1
Veja que nesse deslocamento o carro se movimentará com determinada 
velocidade, grandeza essa que envolve, além do módulo, uma direção e um sentido. 
Portanto, definimos que velocidade média do carro no intervalo de tempo ∆t é uma 
grandeza vetorial cujo componente x é a variação de x (∆x) dividida por esse intervalo 
de tempo ∆t:
Fonte: A autora (2015).
Figura 1.3 – Representação do deslocamento de um carro no eixo Ox
Aspectos Introdutórios da Física
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25
A unidade SI da velocidade pode ser m/s ou km/h, e a conversão de uma unidade 
em outra pode ser feita pelo método já visto nessa unidade ou pela seguinte regra:
Para melhor compreensão, veja o seguinte exemplo:
Suponha que uma pessoa dirija seu carro em um trecho retilíneo. Suponha, ainda, 
que esse carro se encontra no ponto x
1
=277 m em um instante t
1
=16 s e em x
2
=19 
m no instante t
2
=25 s. 
Temos:
Na resolução do exemplo acima, a velocidade média resultou 
em um valor negativo. O que isso significa?
Aspectos Introdutórios da Física
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26
A situação do exemplo pode ser ilustrada no eixo Ox, como mostra a figura a 
seguir:
Observe, na figura acima, que o carro se desloca no sentido negativo do eixo Ox, 
ou seja, em sentido contrário ao que estipulamos como o sentido positivo do eixo 
Ox. Por esse motivo, ao calcularmos a velocidade média, obtemos o resultado com 
sinal negativo. Portanto, o sinal serve como um indicador do sentido do movimento.
Se quiser saber o resultado obtido em km/h, não há necessidade de fazer 
transformações no tempo e na posição; basta usar a relação apresentada: de m/s 
para km/h multiplicamos o resultado por 3,6. Logo, -28,66 m/s×3,6=-32,26 km/h.
Para entender melhor a velocidade média, observe a seguinte figura:
A velocidade média é o coeficiente angular (inclinação) da reta, a qual passa 
por dois pontos: P
1
(t
1
,x
1
) e P
2
 (t
2
,x
2
).
Na Figura 1.5, observa-se um segmento de reta que passa pelos pontos P
1
 e P
2
. 
Esse segmento (P
1
 P
2
 ) é a hipotenusa de um triângulo cujos catetos são ∆x e ∆t. A 
razão ∆x/∆t representa o coeficiente angular (inclinação) da reta, que é o que nos 
permite definir geometricamente a velocidade média:
Fonte: A autora (2015).
Figura 1.4 – Deslocamento do carro no eixo Ox
Fonte: A autora (2015).
Figura 1.5 – Representação gráfica da velocidade média
Aspectos Introdutórios da Física
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27
A velocidade média, em muitos casos, é tudo o que precisamos saber para 
conhecer o movimento de uma partícula. Contudo, tal informação não é o suficiente 
para nos permitir determinar o módulo e o sentido do movimento em cada instante 
do intervalo de tempo considerado.
Para que essas determinações se tornem possíveis, faz-se necessário definir a 
velocidade em um instante (ou em um ponto) específico da trajetória. Essa velocidade 
é que chamamos de velocidade instantânea.
Fonte: A autora (2015).
Figura 1.6 – Representação gráfica da determinação da velocidade instantânea
2.2.2 Velocidade instantânea 
Antes de definir velocidade instantânea, é preciso que fique bem claro o que 
significa um instante no contexto da física: um instante se refere a um único valor 
definido para o tempo e, portanto, não possui duração alguma.
Tendo em vista definir o movimento da partícula em um determinado instante, 
faz-se necessário ter a posição de um corpo em dois ou mais instantes. Observe a 
figura a seguir:
Ao definir o que entendemos por instante na Física, 
percebe-se que, num certo instante, a partícula está num 
certo ponto. Mas, se está exatamente em um determinado 
ponto, como é possível a partícula ter velocidade? E como 
determinar a velocidade em um determinado instante?
Aspectos Introdutórios da Física
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28
Para determinar a velocidade instantânea no ponto P
1
, conforme ilustra a 
Figura 1.6, imaginamos que o ponto P
2
 se aproxima continuamente do ponto P
1
, e 
tais aproximações são evidenciadas por meio das retas secantes traçadas de modo a 
obter pontos entre P
1
 e P
2
, passando por P
1
, de maneira que, conforme a inclinação 
dessas retas secantes vão se aproximando da reta tangente, mais próximos os pontos 
entre P
1
 e P
2
 ficam de P
1
.
Na Figura 1.6, percebe-se que, ao traçar retas secantes com inclinações cada 
vez mais próximas da reta tangente, a qual passa unicamente pelo ponto P
1
, que 
é o ponto de nosso interesse, cada vez mais os intervalos de tempo diminuem. A 
inclinação do segmento de reta (secantes) correspondentea cada intervalo se refere 
à velocidade média em cada um desses intervalos. Quando os intervalos de tempo 
tendem a zerar, essa inclinação tende para a inclinação da reta tangente à curva no 
ponto P
1
. E é essa inclinação (coeficiente angular) que corresponde à velocidade 
instantânea no instante t
1
.
Em outras palavras, conforme o ponto P
2
 se aproxima continuamente do ponto P
1
 
e calculamos a velocidade média (νméd=∆x/∆t) nos deslocamentos e nos intervalos 
que vão se tornando cada vez menores, apesar de ∆x e ∆t se tornarem muito 
pequenos, a razão entre eles não se torna tão pequena e tende a um determinado 
valor. Matematicamente, dizemos que o limite de ∆x/∆t, quando ∆t tende a zero, 
denomina-se derivada de x em relação a t (dx/dt). 
Nesse contexto, a velocidade instantânea é o limite da velocidade média 
(v
méd
=∆x/∆t) quando ∆t tende a zero, e ela é igual à taxa de variação da posição ∆x 
com o tempo. 
Para melhor compreensão da interpretação gráfica apresentada na 
Figura 1.6, assista ao vídeo indicado. Nesse vídeo, um professor explica, 
por meio de animação flash, o comportamento gráfico da situação que 
descrevemos e que leva à noção de limites e de derivadas para determinar 
a velocidade instantânea:
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=yeFvukYw5Gk>. 
Acesso em: 18 ago. 2015.
Aspectos Introdutórios da Física
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29
Vale ressaltar que, tal como a velocidade média, a velocidade instantânea é uma 
grandeza vetorial. Além disso, a inclinação de uma reta pode ser positiva, negativa ou 
nula. Assim sendo, a velocidade instantânea no movimento unidimensional pode ser 
crescente (positiva), decrescente (negativa) ou sem movimento (nula).
Quando o resultado da velocidade instantânea é considerado em módulo 
(valor absoluto), trata-se de velocidade escalar instantânea. Do mesmo modo, 
quando na velocidade média é considerado apenas o módulo (valor absoluto), 
desconsiderando-se a direção e o sentido, chamamos de velocidade escalar média.
Para melhor compreensão da definição de velocidade instantânea, a qual será 
mais frequentemente utilizada em nossos estudos, salvo algumas especificações, 
veja o seguinte exemplo:
(TIPLER, 2000) A posição de uma pedra que cai de um rochedo pode ser descrita, 
aproximadamente, por x = 5t², em que x, em metros, é medida para baixo, a partir 
da posição inicial da pedra em t=0, e t está em segundos. Achar a velocidade em 
qualquer instante de tempo t.
A partir da definição, a velocidade pode ser calculada em qualquer instante t por 
meio da determinação da derivada dx/dt:
Calcularemos o deslocamento ∆x pela função posição x(t) = 5t²:
Aspectos Introdutórios da Física
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30
A expressão a qual chegamos representa a velocidade média no intervalo de 
tempo.
Note que fazer a simplificação de maneira a cancelar o denominador ∆t foi 
necessário, pois, caso contrário, se tivéssemos aplicado o limite fazendo ∆t=0, o 
deslocamento teria sido ∆x=0 e, nesse caso, a razão ∆x/∆t seria indefinida.
Na expressão obtida, se considerarmos intervalos cada vez mais curtos, temos 
que a velocidade instantânea será:
Como você já estudou em Cálculo Diferencial e Integral, as derivadas podem ser 
calculadas com facilidade mediante regras que têm por base os limites. Nesse caso, 
a situação do exemplo poderia ter sido calculada mediante a seguinte regra:
A Figura 1.7 apresenta o gráfico da função x(t)=5t² do exemplo que acabamos de 
resolver:
Fonte: A autora (2015).
Figura 1.7 – Curva de x(t)=5t²
Aspectos Introdutórios da Física
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Na Figura 1.7, temos as retas tangentes em três pontos, A, B e C, os quais podemos 
entender como nos instantes t
1
,t
2
 e t
3
, respectivamente. Nota-se que os coeficientes 
angulares (inclinações) das retas tangentes aumentam monotonamente e, assim, do 
mesmo modo, a velocidade instantânea aumenta monotonamente com o tempo.
Vamos ver mais um exemplo:
(YOUNG; FREEDMAN, 2008) Um leopardo africano está de tocaia a 20 m a leste 
de um jipe blindado de observação. No instante t=0, o leopardo começa a perseguir 
um antílope situado a 50 m a leste do observador. O leopardo corre ao longo de uma 
linha reta. A análise posterior de um vídeo mostra que, durante os 2,0 s iniciais do 
ataque, a coordenada x do leopardo varia com o tempo de acordo com a equação 
x=20 m+(5,0 m/s²)t². A Figura 1.8 ilustra essa situação:
A partir das informações do enunciado e da análise da Figura 1.8:
Determine o deslocamento do leopardo durante o intervalo entre t
1
=1,0 s e 
t
2
=2,0 s.
RESOLUÇÃO:
No instante t
1
=1,0 s, a posição x
1
 do leopardo é:
 
No instante t
2
=2,0 s, a posição x
2
 do leopardo é: 
 
Logo, o deslocamento durante esse intervalo é dado por:
∆x=x
2 
– x
1
=40 m – 25 m=15 m
Fonte: adaptado de Young e Freedman (2008, p. 40).
Figura 1.8 – Leopardo atacando um antílope a partir de uma tocaia
Aspectos Introdutórios da Física
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32
Determine a velocidade média durante o mesmo intervalo de tempo.
RESOLUÇÃO:
A velocidade média durante esse intervalo de tempo é:
Determine a velocidade instantânea no tempo t
1
=1,0 s, considerando ∆t=0,1 s, 
logo ∆t=0,01 s, e, a seguir, ∆t=0,001 s.
RESOLUÇÃO:
Para ∆t=0,1 s, o intervalo de tempo é de t
1
=1,0 s a t
2
=1,1 s. No instante t
2
, a 
posição é:
A velocidade média durante esse intervalo de tempo é:
Por procedimentos análogos, cuja resolução deixo para você, para os intervalos 
∆t=0,01 s e ∆t=0,001 s serão obtidos, como resultados para as velocidades médias, 
10,05 m/s e 10,005 m/s, respectivamente.
Nota-se que, à medida que ∆t diminui, a velocidade média fica cada vez mais 
próxima de 10,0 m/s.
Assim sendo, podemos concluir que a velocidade instantânea para t
1
=1,0 s é igual 
a 10,0 m/s.
Deduza uma expressão geral para a velocidade instantânea em função do tempo 
e, a partir, dela, calcule a velocidade para t=1,0 s e t=2,0 s. 
RESOLUÇÃO:
A velocidade instantânea em função do tempo pode ser encontrada a partir da 
derivação da expressão de x em relação a t. Como a derivada de t2=2t, temos:
Assim, no instante t=1,0 s, temos que ν
x
=10 m/s, enquanto que, no instante 
t=2,0 s, temos que ν
x
=20 m/s. 
Aspectos Introdutórios da Física
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33
Perceba que os resultados obtidos fazem sentido para a situação dada: o leopardo 
ganhou velocidade a partir do repouso, ou seja, do instante t=0, alcançando as 
velocidades ν
x
=10 m/s no instante t=1,0 s, quando percorreu 5 m, e ν
x
=20 m/s no 
instante t=2,0 s, quando percorreu mais 15 m. 
1. (Adaptada de SERWAY; JEWETT JR., 2014) A posição de uma 
partícula movendo-se ao longo do eixo x varia no tempo de 
acordo com a expressão x=4t², em que x está em metros e t 
em segundos. É correto afirmar que a velocidade em termos 
de t em qualquer momento será:
 
a) 8t
b) 8t²
c) 4t
d) 4t³
e) 2t³
2.2.3 Aceleração média
Ao estudar sobre velocidade, você viu que ela indica uma taxa de variação da 
posição com o tempo. Agora, ao estudar sobre aceleração, é importante que você 
evidencie que ela também trata sobre taxa de variação, porém, da velocidade com 
o tempo.
Vale destacar que, em nossos cálculos, poderemos obter resultados para 
aceleração positivos ou negativos. Isso porque a aceleração em um movimento 
unidimensional pode referir-se tanto ao aumento quanto à redução da velocidade.
Assim, como fizemos no estudo da velocidade, em que começamos por estudar 
A aceleração é uma grandeza escalar ou vetorial? Por quê?
Aspectos Introdutórios da Física
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34
No gráfico, nota-se um segmento de reta que liga o ponto P
1
 ao ponto P
2
. A 
inclinação da reta que liga esses dois pontos no gráfico da velocidade versus tempo 
fornece a aceleração média entre esses dois pontos.
Em geral, a velocidade será expressa em metros por segundo e o tempo em 
segundos. Sendo assim, a aceleração média será expressa em metros por segundo 
por segundo, ou seja, em m/s².
a velocidade média para, então, compreender a velocidade instantânea, vamos dar 
início à abordagem sobre aceleração média e, na sequência,outras abordagens 
sobre aceleração, além da aceleração instantânea, serão apresentadas.
Para entender a aceleração média, considere o movimento de uma partícula ao 
longo do eixo Ox.
Nesse eixo, em um certo instante t
1
 uma partícula está em um ponto P
1
 e possui 
um componente x da velocidade (instantânea) ν
1x
. Em outro instante t
2
, a partícula 
está em um ponto P
2
 e possui um componente x da velocidade (instantânea) ν
2x
.
Assim, de um ponto para outro temos uma variação do componente x da 
velocidade que é ∆ν
x
=ν
2x
 – ν
1x
 em um intervalo de tempo ∆t=t
2
 – t
1
. Logo, podemos 
definir:
A aceleração média, num certo intervalo de tempo ∆t=t
2
 – t
1
, define-se como a 
razão ∆ν/∆t, em que ∆ν
x
=ν
2x
 – ν
1x
.
Para melhor ilustrar essa definição, observe a figura a seguir:
Fonte: Adaptado de http://www.resumoescolar.com.br/fisica/aceleracao-media-e-aceleracao-instantanea/. Acesso em: 20 
ago. 2015.
Figura 1.9 – Gráfico da velocidade versus tempo e aceleração média
Aspectos Introdutórios da Física
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35
O exemplo a seguir contempla o que foi estudado, até então, sobre aceleração.
(YOUNG; FREEDMAN, 2008) Uma astronauta saiu de um ônibus espacial em 
órbita no espaço para testar uma nova unidade de manobra pessoal. À medida que 
ela se move em linha reta, seu companheiro a bordo do ônibus espacial mede sua 
velocidade a cada intervalo de 2,0 s, começando em t=1,0 s, do seguinte modo:
Calcule a aceleração média e verifique se a velocidade da astronauta aumenta ou 
diminui para cada um dos seguintes intervalos de tempo:
 a) t
1
=1,0 s até t
2
=3,0 s;
 b) t
1
=5,0 s até t
2
=7,0 s;
 c) t
1
=9,0 s até t
2
=11,0 s;
 d) t
1
=13,0 s até t
2
=15,0 s. 
 Antes de darmos início aos cálculos para responder cada item da questão, vamos 
interpretar geometricamente o significado de aceleração média:
Acessando o link indicado abaixo, você assistirá a um vídeo que apresenta 
algumas situações em flash que contribuirá para a sua compreensão 
sobre a aceleração:
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=s-lIqTXK4KI>. 
Acesso em: 20 ago. 2015.
Fonte: YOUNG; FREEDMAN (2008, p. 42).
Tabela 1.1 – Medidas das velocidades médias a cada intervalo de tempo
t νx T νx
1,0s 0,8s 9,0s – 0,4 m/s
3,0s 1,2s 11,0s – 1,0 m/s
5,0s 1,6s 13,0s – 1,6 m/s
7,0s 1,2s 15,0s – 0,8 m/s
Aspectos Introdutórios da Física
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36
Fonte: YOUNG; FREEDMAN (2008, p. 42).
Figura 1.10 – Gráficos de velocidade versus tempo (parte superior) e aceleração versus 
tempo (parte inferior) para a astronauta
A figura acima apresenta, simultaneamente, os gráficos da velocidade em função 
do tempo (parte superior) e da aceleração em função do tempo (parte inferior). Note 
que, no gráfico superior (da velocidade), a inclinação do segmento de reta que liga 
os pontos inicial e final de cada intervalo de tempo nos fornece, no gráfico da parte 
inferior (da aceleração), a aceleração média a
mx
= ∆ν
x
/∆t para cada intervalo.
Utilizando a fórmula que definimos para a aceleração média, determinaremos 
essa para cada intervalo de tempo pedido, bem como analisaremos o que acontece 
com a velocidade da astronauta no intervalo de tempo, considerado:
a) t
1
=1,0 s até t
2
=3,0 s;
De acordo com a Tabela 1.1, no referido intervalo de tempo e com o resultado 
obtido para a aceleração média, o módulo da velocidade instantânea, ou seja, a 
velocidade escalar, aumenta de 0,8 m/s para 1,2 m/s. 
Aspectos Introdutórios da Física
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37
b) t
1
=5,0 s até t
2
=7,0 s;
A velocidade diminui de 1,6 m/s para 1,2 m/s.
c) t
1
=9,0 s até t
2
=11,0 s;
A velocidade aumenta de 0,4 m/s para 1,0 m/s.
d) t
1
=13,0 s até t
2
=15,0 s. 
A velocidade diminui de 1,6 m/s para 0,8 m/s.
Perceba que, a partir dos resultados obtidos, podemos inferir que, quando a 
aceleração média possui o mesmo sentido (mesmo sinal algébrico) da velocidade 
inicial, que é o que acontece nos itens a e c, a astronauta acelera. Em contrapartida, 
quando a aceleração média possui sentido contrário (sinal algébrico contrário), tal 
como evidenciamos nos itens b e d, a astronauta diminui a aceleração.
Assim, podemos entender que:
Aspectos Introdutórios da Física
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38
Sempre que a aceleração é negativa significa necessariamente 
que um corpo está indo mais devagar? Em caso negativo, o 
que mais a aceleração negativa pode significar? 
Acessando o link indicado abaixo, você assistirá a um vídeo que contribuirá 
para a sua compreensão sobre a aceleração média:
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=7JyjvW91rlI>. 
Acesso em: 23 ago. 2015.
2.2.4 Aceleração instantânea 
Para definir aceleração instantânea, vamos considerar a seguinte situação: em uma 
corrida, um piloto entra na reta final do Grand Prix, conforme ilustra a Figura 1.11:
Fonte: Adaptado de Young e Freedman (2008, p. 43). 
Figura 1.11 – Carro de corrida do Grand Prix na reta final
Aspectos Introdutórios da Física
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39
Vamos definir a aceleração instantânea no ponto P
1
. Para isso, imagine o ponto P
2
 
se aproximando de maneira contínua do ponto P
1
. Assim, a aceleração média pode 
ser entendida como calculada em intervalos de tempo cada vez menores (portanto, 
tendendo a zero). Podemos, então, definir que a aceleração instantânea equivale ao 
limite da aceleração média quando consideramos que o intervalo de tempo tende a 
zero, ou seja, a aceleração instantânea é igual à taxa de variação da velocidade em 
função do tempo:
Geometricamente, essa definição de aceleração instantânea pode ser interpretada 
como a inclinação da reta tangente à curva de v contra t.
Note que a aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao 
tempo (dv/dt), e você já estudou, ainda nesta unidade, que a velocidade é a derivada 
da posição x em relação a t. Sendo assim, podemos entender que a aceleração 
instantânea é a derivada de segunda ordem de x em relação a t:
Veja o exemplo a seguir para melhor compreensão da definição de aceleração 
média e instantânea:
(SERWAY; JEWETT JR., 2014) A velocidade de uma partícula movendo-se ao 
longo do eixo x varia de acordo com a expressão ν
x
=40 – 5t², em que ν
x
 está em 
m/s e t em segundos.
 Encontre a aceleração média no intervalo de tempo t=0 a t=2,0 s.
 Determine a aceleração para t=2,0 s.
Antes de começarmos a resolução, vamos entender a situação proposta nesse 
exemplo. Para isso, vamos começar observando a representação gráfica dessa 
situação:
Aspectos Introdutórios da Física
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Fonte: A autora (2015).
Figura 1.12 – Gráfico velocidade-tempo para uma partícula de acordo com a função ν
x
= 40 – 5t2
No gráfico acima, nota-se que a inclinação de toda a curva é negativa. Assim, 
esperamos que a aceleração seja negativa, mas vamos comprovar isso por meio de 
cálculos.
Resolvendo o item a, começaremos encontrando as velocidades no ponto A 
(t
i
=0 s) e no ponto B (t
f
=2,0 s), substituindo tais valores na expressão da velocidade:
 
 
Agora, podemos determinar a aceleração média no intervalo de tempo 
especificado ∆t=t
B
 – t
A
=t
f
 – t
i
=2,0 – 0=2,0 s:
Aspectos Introdutórios da Física
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41
Assim como esperávamos, o sinal da aceleração média é negativo. No gráfico 
mostrado na Figura 1.12, a aceleração média é representada pela inclinação do 
segmento de reta que liga os pontos A e B.
Agora, resolvendo o item b, a aceleração pedida em determinado instante (t=2,0 s) 
corresponde à aceleração instantânea. Para realizar esse cálculo, consideramos que 
a velocidade inicial em qualquer momento é dada por ν
x
=40 – 5t² e que se queremos 
saber a velocidade em qualquer outro momento consideramos uma variação no 
tempo representada por t + ∆t.
Assim, obteremos o resultado da aceleração instantânea por:
Substituindo t=2,0 s, temos:
Perceba que as respostas para os itens a e b, ou seja, para a aceleração média 
e para a aceleração instantânea, apesar de terem o mesmo sinal (negativo), são 
diferentes em módulo. Isso porque, considerando a representação gráfica na
AspectosIntrodutórios da Física
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42
Figura 1.12, a aceleração média corresponde à inclinação do segmento de reta que 
liga o ponto B ao ponto A, enquanto que a aceleração instantânea é representada 
pela inclinação da reta pontilhada, tangente à curva no ponto B.
Além disso, é importante perceber que, nessa situação, a aceleração não é 
constante, assunto que você estudará na sequência.
Na Figura 1.13, as flechas representadas na parte superior dos carros representam 
os vetores velocidade, enquanto que as flechas na parte inferior representam os 
vetores aceleração.
No diagrama, na representação (a) temos o movimento retilíneo de um carro que 
ocorre com velocidade constante, ou seja, as imagens do carro têm espaçamento 
igual, movimentando-se pelo mesmo deslocamento em cada intervalo de tempo. 
Assim, o carro tem velocidade positiva constante e aceleração igual a zero.
Na representação (b), percebe-se que as imagens do carro se distanciam à 
medida que o intervalo de tempo avança. Assim, temos que o vetor velocidade 
aumenta no tempo e, portanto, temos um movimento com velocidade positiva 
e aceleração positiva. A aceleração é positiva porque está no mesmo sentido da 
velocidade. Logo, o carro, nessa situação, fica mais rápido.
2.2.5 Aceleração constante
O movimento retilíneo com aceleração constante é, certamente, o movimento 
acelerado mais simples. Nesse acaso, a velocidade varia com taxa constante durante 
todo o movimento.
Para melhor compreensão dos possíveis movimentos acelerados, observe a 
figura a seguir:
 Fonte: http://slideplayer.com.br/slide/337413/. Acesso em: 23 ago. 2015. 
Figura 1.13 – Diagrama de movimento retilíneo de um carro no mesmo sentido
Aspectos Introdutórios da Física
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43
Na representação (c), devemos entender que o carro está diminuindo sua velocidade 
à medida que se move para a direita. Nesse sentido, o carro movimenta-se com 
velocidade positiva e aceleração negativa, pois os vetores aceleração e velocidade 
não estão no mesmo sentido. Nessa situação, o carro fica mais lento no decorrer 
do tempo, podendo, inclusive, chegar à velocidade zero, como num processo de 
frenagem, por exemplo.
Quando a aceleração instantânea a
x
 é constante, a aceleração média a_mx para 
qualquer intervalo de tempo é a mesma que a
x
.
Assim, para determinarmos uma expressão para ν
x
, substituímos a
mx
 por a
x
 na 
expressão da aceleração média, obtendo:
Agora, façamos t
1
=0 e suponhamos que t
2
 seja um instante posterior qualquer t. No 
instante t=0, vamos denotar a velocidade por ν
0x
 e a velocidade no instante t por ν
x
. 
Assim, obteremos:
Essa equação serve apenas para aceleração constante e pode ser interpretada da 
seguinte maneira: a aceleração média a
x
 é a taxa constante da variação da velocidade 
por unidade de tempo.
Agora, vamos deduzir uma expressão para a posição x da partícula que se move 
com uma aceleração constante. Para isso, primeiro vamos considerar a definição 
de velocidade média ν
mx
. Denominaremos a posição no instante t=0 de posição 
inicial, representando-a por x
0
. Em um instante posterior t, chamaremos a posição 
simplesmente de x. 
Fazendo a multiplicação cruzada, obtemos:
Aspectos Introdutórios da Física
U1
44
Assim, a partir da definição de ν
mx
, teremos:
Vamos deduzir, ainda, uma segunda expressão para ν
mx
 válida somente no caso de 
aceleração constante. Assim, como teremos um gráfico ν
x
×t representado por uma reta, 
em que a velocidade estará variando com uma taxa constante, teremos, simplesmente, 
que a velocidade média, em função de qualquer intervalo de tempo será a média 
aritmética desde o instante inicial até o final. Logo, para o intervalo de 0 a t, temos:
Já deduzimos que, no caso da aceleração constante, a velocidade ν
x
 em qualquer 
instante t é dada pela equação: ν
x
=ν
0x 
+ a
x
t. Substituindo essa expressão na que obtemos 
acima, teremos:
Essa equação mostra que, se para um instante inicial t=0 a partícula está em uma 
posição x
0
 e possui velocidade v
0x
, sua posição em qualquer instante t é dada pela soma 
de três termos – a posição inicial x
0
, a distância v
ox
t que ela percorreria no caso de a 
Para finalizar, igualamos a equação ν
mx 
= x – x
0
/t com a obtida acima, obtendo:
Aspectos Introdutórios da Física
U1
45
velocidade permanecer constante, e uma distância (a
x
t2 )/2 produzida pela variação da 
velocidade.
Observe que a última expressão obtida é quadrática (do segundo grau). Logo, o 
gráfico dessa expressão será uma parábola.
Além disso, perceba, que se derivarmos essa última expressão obtida, teremos como 
resultado a primeira que obtemos, o que nos mostra que ambas as expressões são 
coerentes com a hipótese de aceleração constante:
E, se derivarmos mais uma vez, obtemos:
Que concorda com a definição de aceleração instantânea. 
Em alguns casos, faz-se necessário utilizarmos uma equação que envolva a posição, 
a velocidade e a (constante) aceleração, mas que desconsidere o tempo. Para obter essa 
expressão, vamos explicitar t na equação:
Agora, substituímos esse resultado na expressão a seguir e simplificamos o resultado:
Aspectos Introdutórios da Física
U1
46
Transferindo o termo x
0
 para o membro esquerdo e multiplicando por 2a
x
, obtemos:
Igualando as duas expressões de v_mx, podemos obter outra expressão também 
bastante útil:
Essa última expressão poderá ser utilizada quando a
x
 for constante, porém um valor 
desconhecido.
As quatro equações que foram destacadas em quadros são as equações do 
movimento com aceleração constante e poderão ser utilizadas para resolver qualquer 
problema que envolva o movimento retilíneo com aceleração constante.
Veja um exemplo:
(YOUNG; FREEDMAN, 2008) Um motociclista se dirige para o leste ao longo de uma 
cidade e acelera a moto depois de passar pela placa que indica os limites da cidade. Sua 
aceleração é constante e igual a 4,0 m/s². No instante t = 0, ele está a 5,0 m a leste do 
sinal, movendo-se para leste a 15 m/s.
Determine sua posição e velocidade para t = 2,0 s.
Onde está o motociclista quando sua velocidade é de 25 m/s? 
A figura abaixo ilustra a situação:
Simplificando, obtemos:
Aspectos Introdutórios da Física
U1
47
Resolvendo o item a, podemos determinar a posição x em t=2,0 s usando a equação 
do movimento a seguir:
Podemos encontrar a velocidade v
x
 no mesmo instante, usando a equação:
Resolvendo o item b, queremos encontrar o valor de x para v
x
=25 m/s, mas não 
sabemos em que instante a motocicleta possui essa velocidade. Portanto, vamos usar a 
expressão que não envolve t:
Outra maneira de resolver o item b seria utilizar a fórmula v
x
=v
0x
+a
x
t para determinar 
o valor de t e, em seguida, encontrar x pela expressão:
Tente resolver dessa maneira e observe se você realmente conseguirá obter o 
mesmo resultado. 
 Fonte: Adaptado de Young e Freedman (2008, p. 49).
Figura 1.14 – Motociclista deslocando-se com aceleração constante
Aspectos Introdutórios da Física
U1
48
1. (Adaptada de TIPLER, 2000) Numa estrada, de noite, você 
percebe um automóvel parado e freia o seu carro para parar, 
imprimindo-lhe uma desaceleração de 5m/s². É correto 
afirmar que a distância de frenagem do carro, considerando a 
velocidade inicial de 15 m/s (cerca de 53 km/h), é de (considere 
∆x=x
f 
– x
i
):
 
a) 20,5 m
b) 21,5 m
c) 22,5 m
d) 23,5 m
e) 24,5 m
2.2.6 Queda livre de corpos
Você certamente já deve ter percebido que todos os corpos, quando lançados, 
caem em direção à Terra com uma aceleração quase constante. Isso ocorre 
porque durante o lançamento o corpo está em queda livre, sendo atraído pela força 
gravitacional da Terra.
Aristóteles (IV a.C) defendia a ideia de que corpos mais pesados caíam mais 
rapidamente do que corpos mais leves, com velocidades proporcionais a seus 
respectivos pesos. Porém, Galileu Galilei (1564-1642) demonstrou que um corpo cai 
com aceleração constante independentemente do seu peso, desde que os efeitos 
do ar possamser menosprezados.
Atribui-se a Galileu Galilei a formulação de leis que governam o 
movimento dos corpos em queda livre, dentre tantas outras descobertas 
no campo da física e da astronomia. Saiba mais sobre esse assunto lendo 
o artigo disponível no link: http://posgrad.fae.ufmg.br/posgrad/viienpec/
pdfs/1408.pdf. Acesso em: 23 ago. 2015.
Aspectos Introdutórios da Física
U1
49
Por exemplo, se uma pena e uma maçã forem abandonadas simultaneamente 
da mesma altura, haverá uma pequena diferença de tempo entre suas chegadas ao 
chão, devido, principalmente, à resistência do ar. Porém, se a mesma experiência 
for realizada no vácuo, em que o atrito do ar seria insignificante, ambos os corpos 
cairiam com mesma aceleração.
Nesse caso idealizado, em que a resistência do ar 
é ignorada, o movimento é conhecido como queda 
livre.
O valor da aceleração em queda livre com o 
símbolo g e o vetor de aceleração por , na superfície 
da Terra, consideraremos e que o vetor
 esteja direcionado para baixo, em direção ao centro 
da Terra.
É importante destacar que nem sempre que 
mencionamos um corpo em queda livre ele estará 
partindo de seu repouso, pois um corpo em queda 
livre é aquele que se move livremente, sob a 
influência da gravidade somente, independente de 
seu movimento inicial. Sendo assim, não apenas 
corpos abandonados do seu repouso, mas também 
corpos lançados para baixo ou para cima também 
serão considerados como corpos em queda livre.
Na subseção anterior (2.5.), você conheceu quatro expressões para o movimento 
com aceleração constante. Pois bem, como nos corpos em queda livre também 
consideramos aceleração constante, as quatro expressões que já foram apresentadas 
poderão, do mesmo modo, serem aqui aplicadas. O que muda basicamente é 
que, agora, o movimento será considerado na vertical e, assim, 
usaremos y ao invés de x.
Veja o exemplo:
(SERWAY; JEWETT JR., 2014) Uma pedra lançada do topo de 
um edifício tem velocidade inicial de 20,0 m/s para cima em linha 
reta. A pedra é lançada 50,0 m acima do solo e passa perto da 
ponta do telhado quando desce. 
a) Usando t
A
=0 como o instante em que a pedra sai da mão 
do lançador na posição A, determine o instante em que a pedra 
atinge sua altura máxima.
b) Encontre a altura máxima da pedra.
c) Determine a velocidade da pedra quando ela retorna à altura 
de onde foi lançada.
Fonte: http://www.colegioweb.com.br/
movimento-vertical-do-projetil-sob-
acao-da-gravidade/queda-livre.html 
Acesso em: 23 ago. 2015. 
Aspectos Introdutórios da Física
U1
50
Na situação desse exemplo, temos uma pedra que está em queda livre e, 
portanto, ela será modelada como uma partícula sob aceleração constante por 
conta da gravidade.
Para responder ao item a, perceba que a velocidade inicial pode ser considerada 
como positiva porque a pedra é lançada para cima. Depois, quando a pedra atinge 
seu ponto mais alto, a velocidade muda de sinal, mas sua aceleração será sempre 
para baixo.
Note, ainda, que no ponto mais alto a pedra chegará à velocidade igual a zero, 
para depois mudar de sinal e começar a aumentar de maneira progressiva sua 
velocidade durante a queda.
Assim, consideramos, nesse primeiro item, que a velocidade inicial é igual a 20,0 
m/s por ter sido arremessada e a final é de 0 m/s (ponto mais alto – B). Logo, o 
instante em que a pedra atingirá sua altura máxima será:
No item c, queremos saber a velocidade da pedra quando ela passa pela mesma 
posição em que se encontra o ponto A, durante a descida. Vamos denominar esse 
local, lado a lado à posição A, de D. Assim, temos:
Observe que a aceleração da gravidade foi considerada com sinal negativo 
porque se trata do momento de subida da pedra e, portanto, o movimento está 
sendo contrário ao da gravidade.
Respondendo ao item b, vamos considerar a posição inicial (no ponto A) igual a 
0. Assim, podemos encontrar a altura máxima por:
Aspectos Introdutórios da Física
U1
51
Quando resolvemos a raiz quadrada, podemos obter um resultado positivo e um 
negativo. Escolhemos a negativa porque sabemos que a pedra se move para baixo 
no ponto D. A velocidade da pedra, quando retorna à sua altura original, é igual à 
sua velocidade inicial em módulo, mas tem direção oposta.
2.2.7 Velocidade e posição por integração
Você estudou, até o momento, o movimento retilíneo com aceleração constante. 
Porém, as equações deduzidas para esses casos não são aplicáveis em situações em 
que a aceleração não é constante.
Para iniciar o estudo desse caso, observe o gráfico abaixo:
No gráfico, temos a aceleração versus tempo para um corpo cuja aceleração 
não é constante. Nesse caso, podemos dividir o intervalo de tempo entre t
1
 e t
2
 em 
intervalos muito menores (∆t). Assim, teremos que ∆ν
x
=a
mx
 ∆t, onde ∆ν
x
 é a área 
do retângulo que possui altura a
mx
 e largura ∆t. A variação total da velocidade em 
qualquer intervalo de tempo é a soma das variações de ∆ν
x
 de todos os pequenos 
intervalos.
No limite em que todos os intervalos ∆t tornam-se muito pequenos e numerosos, 
o valor de a_mx para o intervalo de tempo entre t e t+∆t se aproxima da aceleração 
a
x
 no tempo t. Nesse limite, a área sob a curva a
x
t será dada pela integral de a
x
 de 
t
1
 e t
2
:
Fonte: Adaptado de: http://slideplayer.com.br/slide/1601536/. Acesso em: 23 ago. 2015.
Figura 1.15 – Exemplo de gráfico a
xt
 para um corpo cuja aceleração t não é constante
Aspectos Introdutórios da Física
U1
52
Onde ν
1x
 e ν
2x
 são as velocidades dos corpos nos tempos t
1
 e t
2
, respectivamente.
Com a curva da velocidade versus tempo, podemos fazer um procedimento 
análogo, considerando x
1
 e x
2
 como as posições nos tempos t
1
 e t
2
, respectivamente. 
O deslocamento ∆x durante um pequeno intervalo de tempo ∆t será igual a ν
mx
 ∆t. 
Assim, temos:
Veja o exemplo:
(TIPLER, 2000) Uma barca navega com a velocidade constante de ν
0
=8 m/s 
durante 60 s. Depois, desliga os motores e fica navegando ao léu com velocidade 
expressa por v=(ν
0
 t
1
 )/t², em que t
1
=60 s. Qual o deslocamento da barca de t=0 até 
t→ ∞?
Resolução:
A velocidade da barca é constante durante os primeiros 60 s. Logo:
Considerando t
1
=0 t
2
=t (instante posterior) e x
0
 e ν
0x
 como sendo a posição e a 
velocidade inicial, respectivamente, para t=0, então, teremos:
²
Aspectos Introdutórios da Física
U1
53
O deslocamento restante é dado pela integral da velocidade de t=60 s até t→ ∞:
O deslocamento total é igual à soma dos dois deslocamentos calculados:
∆x=∆x
1 
+ ∆x
2
=480 + 480=960 m
Nesta unidade, você aprendeu:
• As unidades do sistema SI e algumas conversões entre sistemas 
de unidades.
• A notação científica como forma de representar medidas muito 
grandes ou muito pequenas, bem como as maneiras de realizar 
operações com esse tipo de notação.
• Os conceitos e expressões matemáticas relacionados à velocidade.
• Os conceitos e expressões matemáticas relacionados à aceleração.
•.Os conceitos e aplicações de expressões do movimento para 
aceleração constante em situações de queda livre.
• A determinar a velocidade e a aceleração por integração. 
Os conceitos trabalhados nesta unidade são elementares para o 
estudo geral da física, sobretudo no que diz respeito à mecânica 
clássica.
Espera-se que, ao final deste estudo, além de compreender 
os conceitos abordados, você tenha apreendido maneiras de 
pensar sobre fenômenos físicos em termos matemáticos, sendo 
capaz de modelar um fenômeno físico por meio de linguagem 
Aspectos Introdutórios da Física
U1
54
matemática, bem como de interpretar fisicamente soluções 
matemáticas.
Contudo, vale destacar que, para que a aprendizagem nesta 
disciplina de fato ocorra, é muito importante que você faça 
as leituras sugeridas, resolva as atividades de aprendizagem e 
também, se possível, faça pesquisa em bibliotecas e estude os 
materiais que compõem a bibliografia dessa unidade.
Além disso tudo, não se esqueça de acessar o fórum. É por meio 
dele quevocê poderá sanar suas dúvidas.
Bons estudos!
1. (Adaptada de TIPLER, 2000) No dia da formatura, um 
estudante de física, muito satisfeito, joga seu boné para 
cima com velocidade inicial de 14,7 m/s. Sendo de 9,81 m/
s² a aceleração da gravidade para baixo (desprezando-se a 
resistência do ar), é correto afirmar que o tempo que o boné 
leva para chegar ao ponto mais elevado da trajetória é: 
a) 1,15 s
b) 1,20 s
c) 1,30 s
d) 1,45 s
e) 1,50 s 
2. (Adaptada de TIPLER, 2000) Num ensaio de colisão, um 
carro, a 100 km/h, colide com uma barreira de concreto. Em 
quanto tempo o carro para?
a) 0,051 s
b) 0,053 s
c) 0,054 s
d) 0,057 s
e) 0,059 s 
 
Aspectos Introdutórios da Física
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55
3. (Adaptada de YOUNG; FREEDMAN, 2008) Uma moeda de 
1 euro é largada da Torre de Pisa. Ela parte do repouso e se 
move em queda livre. É correto afirmar que sua posição e sua 
velocidade no instante 2,0 s será:
 
a) –19,6 m e –19,6 m/s
b) 19,6 m e –19,6 m/s
c) –19,6 m e 19,6 m/s
d) 19,6 m e 19,6 m/s
e) –19,8 m e 19,6 m/s 
 
4. (Adaptada de TIPLER, 2000) Um carro passa a 25 m/s 
(cerca de 90 km/h) diante de uma escola. Um carro de polícia 
sai atrás do infrator, acelerando a 5 m/s². Quando o carro da 
polícia alcança o do infrator?
 
a) Em 5 s
b) Em 10 s
c) Em 15 s
d) Em 20 s
e) Em 25 s 
 
5. (Adaptada de YOUNG; FREEDMAN, 2008) Sueli está 
dirigindo um carro em um trecho retilíneo de uma estrada. 
No tempo t=0, quando está se movendo a 10 m/s no sentido 
positivo do eixo 0x, ela passa por um poste de sinalização a 
uma distância x = 50 m. Sua aceleração em função do tempo 
é dada por:
a
x
=2,0 m/s²-(0,10 m/s³)t
É correto afirmar que a velocidade máxima atingida, sabendo 
que essa ocorre no instante t=20, é de:
 
a) 10 m/s
b) 20 m/s
c) 30 m/s
d) 40 m/s
e) 50 m/s
Aspectos Introdutórios da Física
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56
U1
57Aspectos Introdutórios da Física
Referências
SERWAY, Raymond A.; JEWETT JR., John W. Princípios de Física. Tradução de Márcio 
Maia Vilela. São Paulo: Cengage Learning, 2014.
TIPLER, Paul A. Física para cientistas e engenheiros. Tradução de Horácio Macedo. 
Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos S. A., 2000.
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física I. Tradução de Sonia Midori Yamamoto. 
12. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008.
Unidade 2
FORÇA E MOVIMENTO
Nesta seção, você estudará a cinemática de um objeto que pode ser 
modelado como uma partícula que se move em um plano ou em um 
espaço (movimento bidimensional e tridimensional, respectivamente). 
Ainda, nesta mesma seção, você estudará alguns aspectos relacionados ao 
deslocamento de partículas em trajetórias curvas (movimento de projéteis).
Nesta seção, você dará início ao estudo da dinâmica, em que se iniciam 
discussões sobre as causas da mudança no movimento das partículas 
usando os conceitos de força e massa e, ainda, as três leis fundamentais 
de movimento formuladas por Newton. Em seguida, tendo estudado as 
leis de movimento, enfatizamos aplicações dessas às situações diversas, 
inclusive quando envolvemos a força de atrito, permitindo-nos, assim, 
modelar situações de maneira mais próxima à realidade. Dentre essas 
aplicações, damos destaque ao movimento circular.
Seção 2.1 | Movimento em duas e três dimensões
Seção 2.2 | Força e movimento
Objetivos de aprendizagem: 
Com esta unidade, objetiva-se que você apreenda como representar a 
posição de um corpo em duas ou três dimensões, bem como seja capaz 
de determinar a velocidade e a aceleração vetoriais de um corpo nessas 
condições. Além disso, objetiva-se que você compreenda como descrever a 
trajetória em curva percorrida por um projétil e os conceitos relativos à força 
e suas aplicações, inclusive alguns casos de forças fundamentais da natureza.
Keila Tatiana Boni
Força e Movimento
U2
60
Força e Movimento Força e Movimento
U2
61
Introdução à unidade
Nesta seção, você dará início ao estudo da dinâmica, em que se iniciam 
discussões sobre as causas da mudança no movimento das partículas usando 
os conceitos de força e massa e, ainda, as três leis fundamentais de movimento 
formuladas por Newton. Em seguida, tendo estudado as leis de movimento, 
enfatizamos aplicações dessas às situações diversas, inclusive quando envolvemos 
a força de atrito, permitindo-nos, assim, modelar situações de maneira mais próxima 
à realidade. Dentre essas aplicações, damos destaque ao movimento circular.
Introdução à unidade
A partir das abordagens realizadas na unidade anterior, você já deve ter percebido 
que vivemos cercados de grandezas físicas, as quais podem ser consideradas 
como vetoriais ou escalares.
Contudo, na primeira unidade, você aprendeu a equação e a modelação de 
situações envolvendo posição, velocidade e aceleração, todos em um determinado 
instante de tempo, apenas em movimentos em unidimensionais. Agora, você 
aprofundará seus conhecimentos sobre esses mesmos conceitos da cinemática, 
porém em movimentos em duas e três dimensões.
Mas, até o momento, você estudou conceitos relativos a movimento, sempre 
desconsiderando as causas desses. Sobre essas causas, você estudará, ainda nesta 
segunda unidade, uma introdução à dinâmica, que é a parte da mecânica que 
estuda os movimentos, considerando os fatores que os produzem e modificam. 
Assim, nessa parte de seus estudos, você conhecerá as leis que regem movimentos, 
envolvendo os conceitos de massa, força e energia, entre outros.
Destacamos, desde já, que essas abordagens relativas às causas de movimentos 
serão realizadas na perspectiva da mecânica clássica, que é embasada nos 
pensamentos de Galileu e Newton.
Força e Movimento
U2
62
Força e Movimento Força e Movimento
U2
63
Seção 2.1
Movimento em duas e em três dimensões
2.1.1 Vetor posição e vetor velocidade
Na unidade anterior, você já estudou o movimento de uma partícula ao longo 
de uma linha reta (como o eixo x), em que você deve ter percebido que ela é 
completamente especificada se sua posição é conhecida como uma função do 
tempo. Essa ideia será agora estendida para o movimento no plano xy e no espaço 
xyz e, portanto, obteremos as mesmas funções já estudadas na unidade anterior, 
porém de natureza vetorial.
Primeiramente, para que possamos descrever um movimento, precisamos 
descrever a posição da partícula. Considere, em um dado instante, uma partícula em 
um ponto P. Nesse caso, o vetor posição da partícula, no especificado instante, é 
um vetor que vai desde a origem do sistema de coordenadas até o ponto P:
Considerar partículas se movendo simplesmente ao longo de uma linha reta nos 
impossibilita de responder questionamentos, tais como: ao chutar uma bola, o que 
determina onde a bola irá parar? Ou, ao longo de uma curva, como seria possível 
descrever o movimento do carrinho de uma montanha-russa?
Para responder a questionamentos como esses, precisamos estender a descrição 
do movimento para duas e três dimensões. Você perceberá que continuaremos, 
nesses casos, utilizando as grandezas vetoriais de deslocamento, velocidade e 
aceleração. A única diferença é que agora tais grandezas não serão limitadas apenas 
aos movimentos retilíneos.
Versando descrever o movimento, não importando analisar suas causas, você 
perceberá que nessa seção recorreremos, ao mesmo tempo, a conceitos estudados 
na unidade anterior, sobretudo à linguagem cinemática que foi estudada, bem como 
a conhecimentos advindos da disciplina de geometria analítica e álgebra vetorial, 
principalmente no que diz respeito à linguagem e operações vetoriais.
Introdução à seção
Força e Movimento
U2
64
Fonte: A autora (2015).
Figura 2.1 – Vetor posição no espaço e no plano (respectivamente)
As coordenadas cartesianas x,y,z (espaço) e x,y (plano) do ponto P são os 
componentes do vetor . Usando vetores unitários, podemos escrever como vetor 
posição:
A partir dessa ideia, podemos definir a velocidade média da mesma maneira que 
definimos na unidade anterior para o movimento retilíneo, dividindo o deslocamento 
pelo intervalo de tempo:
Comovocê pode perceber, as equações que utilizamos para o espaço e para 
o plano serão os mesmos, diferenciando-se apenas pela última componente . 
Nesse sentido, a partir de agora, nos referiremos apenas às equações no espaço, 
destacando que deverá ficar subentendido que elas serão análogas para as 
equações no plano, sendo necessário, nesse caso, simplesmente, desconsiderar a 
componente .
Durante um intervalo de tempo ∆t, a partícula movimenta-se de um ponto P
1
, 
em que o vetor posição é , até um ponto P
2
, em que o vetor posição é . Logo, a 
variação da posição é 
o plano serão os mesmos, diferenciando-se apenas pela última componente . 
componente .
em que o vetor posição é , até um ponto P , em que o vetor posição é . Logo, a 
 da mesma maneira que 
Agora, vamos definir a velocidade instantânea, tal como já fizemos no movimento 
unidimensional: como o cálculo do limite da velocidade média quando o intervalo de 
tempo tende a zero, sendo o resultado desse limite igual à taxa de variação do vetor 
posição com o tempo. A principal diferença que temos agora é que tanto a posição 
 quanto a velocidade instantânea são vetores: quanto a velocidade instantânea são vetores:
Força e Movimento Força e Movimento
U2
65
Fonte: <http://interna.coceducacao.com.br/ebook/pages/1896.htm>. Acesso em: 26 set. 2015.
Figura 2.2 – Deslocamento entre os pontos P
1
 e P
2
Perceba, na Figura 2.2, que, quando ∆t → 0, o ponto P
1
 aproxima-se cada vez 
mais de P
2
. Dessa forma, nota-se que, nesse limite, o vetor torna-se tangente à 
curva, sendo esse vetor de mesma direção e sentido que a velocidade instantânea . 
Assim, podemos concluir que o vetor velocidade instantânea é tangente à trajetória 
em cada um dos seus pontos.
Considerando as variações ∆x,∆y e ∆z, durante qualquer deslocamento de , 
temos que tais variações correspondem às componentes de . Do mesmo modo, 
podemos considerar que as componentes de e são as derivadas das 
coordenadas x,y e z em relação ao tempo:
Perceba que os mesmos resultados podem ser obtidos se derivarmos a equação 
do vetor posição:
Quanto ao módulo do vetor velocidade instantânea ( ), ou seja, a velocidade 
escalar, pode ser obtida pelo teorema de Pitágoras, a partir dos componentes 
e :
Vale destacar que o módulo do vetor em qualquer instante é a velocidade 
escalar v da partícula no referido instante. A direção e o sentido de em qualquer 
instante é a mesma direção e sentido em que ela se move no referido instante. 
Observe a figura a seguir:
. Dessa forma, nota-se que, nesse limite, o vetor torna-se tangente à 
curva, sendo esse vetor de mesma direção e sentido que a velocidade instantânea . 
temos que tais variações correspondem às componentes de . Do mesmo modo, 
, durante qualquer deslocamento de , 
podemos considerar que as componentes de e são as derivadas das podemos considerar que as componentes de e são as derivadas das 
Força e Movimento
U2
66
Quanto à direção da velocidade instantânea , essa pode ser obtida pelo cálculo 
da tangente do ângulo a formado por duas das componentes.
Tendo em vista que o vetor velocidade instantânea, em geral, é mais útil que 
o vetor velocidade média, a partir de agora, sempre que mencionarmos a palavra 
“velocidade” estaremos nos referindo ao vetor velocidade instantânea ( ).
Para fixar melhor os estudos realizados até agora, veja um exemplo:
Exemplo 1: (YOUNG; FREEDMAN, 2008, p. 71) Um veículo robótico está 
explorando a superfície de Marte. O módulo de aterrissagem é a origem do sistema de 
coordenadas e a superfície do planeta é o plano xy. O veículo, que será representado 
por um ponto, possui componentes x e y, que variam com o tempo de acordo com:
x=2,0m-(0,25m/s²)t²
y=(1,0 m/s)t + (0,025 m/s³)t³ 
a) Calcule as coordenadas do veículo e sua distância do módulo de aterrissagem 
no instante t=2,0 s.
b) Calcule o vetor deslocamento e o vetor velocidade média no intervalo de 
tempo entre t=0 s e t=2,0 s.
c) Deduza uma expressão geral para o vetor velocidade instantânea do veículo. 
Expresse a velocidade instantânea em t=2,0 s, usando componentes e também em 
termos do módulo, direção e sentido.
Resolução:
Esse problema se refere ao movimento em duas dimensões.
Por que, em geral, o vetor velocidade instantânea é mais 
útil que o vetor velocidade média? E em que situações 
encontramos utilidade para esses tipos de vetores?
Força e Movimento Força e Movimento
U2
67
No instante t=2,0 s, as coordenadas do carro são:
x=2,0 m-(0,25 m/s²) (2,0 s)²=1,0 m
y=(1,0 m/s)(2,0 s)+(0,025 m/s³)(2,0 s)³=2,2 m
A distância entre o veículo e a origem nesse instante é:
Para determinar o deslocamento e a velocidade média, escrevemos o vetor 
posição em função do tempo t:
Para t=0 s, o vetor posição é:
No item a), encontramos para t=2,0 s a expressão:
Portanto, o deslocamento entre t=0 s e t=2,0 s é:
Durante esse intervalo de tempo, o veículo se desloca 1,0 m no sentido negativo 
do eixo Ox e 2,2 m no sentido positivo do eixo Oy. A velocidade média no intervalo 
de tempo entre t=0 s e t=2,0 s é o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo:
Os componentes dessa velocidade média são: 
Força e Movimento
U2
68
Os componentes da velocidade instantânea são as derivadas das coordenadas 
em relação ao tempo:
Podemos escrever o vetor velocidade instantânea como:
Para t=2,0 s os componentes da velocidade instantânea são:
O módulo da velocidade instantânea (a velocidade escalar) para t=2,0 s é:
Sua direção em relação ao eixo positivo Ox é dada pelo ângulo a, onde:
Logo, a =128°.
Se você utilizar a calculadora, notará que a função inversa da tangente de –1,3 
é –52°. Contudo, é preciso analisar qual é a direção e o sentido do vetor. Logo, a 
resposta correta para a é –52°+180°=128°. 
Força e Movimento Força e Movimento
U2
69
2.1.2 Vetor aceleração
Assim como você já estudou no caso de movimento unidimensional, a aceleração 
indica como a velocidade de uma partícula está variando. Assim, considerando que a 
velocidade é um vetor, a aceleração descreverá variações do módulo da velocidade 
escalar, bem como variações da direção e do sentido do movimento no espaço.
Observe a figura a seguir:
De acordo com a Figura 2.3, o carro acelera enquanto reduz ao fazer uma curva 
(sua velocidade instantânea varia tanto em módulo quanto direção).
Perceba, pela Figura 2.3, que os vetores e v representam, respectivamente, 
o vetor velocidade instantânea da partícula no instante t
1 
, quando ela está no ponto 
P
1
 , e o vetor velocidade instantânea da partícula no instante t
2
 , quando ela está no 
ponto P
2
.
No intervalo de tempo entre t
a
 e t
b
, a variação vetorial da velocidade é 
Assim, definimos o vetor aceleração média da partícula nesse intervalo de 
tempo como sendo a variação vetorial da velocidade dividida pelo intervalo de 
tempo:
Fonte: <http://osfundamentosdafisica.blogspot.com.br/2014/05/cursos-do-blog-mecanica_12.html>. Acesso em: 22 out. 2015.
Figura 2.3 – Carro se movendo ao longo de uma trajetória curva 
As duas velocidades, e , podem possuir módulos e 
direções diferentes?
Força e Movimento
U2
70
Vale destacar que a aceleração média é uma grandeza vetorial que possui a 
mesma direção e sentido do vetor 
Vale destacar que a aceleração média é uma grandeza vetorial que possui a 
 Além disso, perceba que o componente 
x da última equação apresentada (da ) é a
mx
= (ν
bx 
– ν
ax
)/(t
b
 – t
a
) = que 
é exatamente a mesma equação que você estudou na unidade anterior para a 
aceleração média no movimento unidimensional.
Definindo a aceleração instantânea , consideramos a mesma no ponto P
1
 
como o limite da aceleração média quando o ponto P
2
 se aproxima de P
1
 e e ∆t 
tendem a zero simultaneamente. Além disso, a aceleração instantânea é igual à taxa 
de variação da velocidade instantânea com o tempo, sendo, agora, a aceleração