calculo algebrico

Prévia do material em texto

Limites: abordagem numérica e gráfica; Definição: investigação gráfica; Limites laterais
1. 
O poliuretano é um polímero muito utilizado na produção de espuma. A quantidade desse polímero (em quilogramas) usada para produzir tênis é representado pela função 
Observe seu gráfico:
 Analise a produção dessa função quando x se aproxima de 2.
você acertou!
C. 
4
Observando o gráfico, tem-se que quanto mais x aproxima-se de 2 pela esquerda (ou seja, tomando x iguais a 1,5; 1,6; 1,7...), mais a função P aproxima-se “por baixo” do valor 4. Da mesma forma, quanto mais x aproxima-se de 2 pela direita (assumindo os valores 2,5; 2,4; 2,3...), mais a função P aproxima-se de 4 “por cima”.
Como nas duas aproximações de x (pela esquerda e pela direita) do valor 2, a função P tende a 4, dizemos que 
Observe que a função P(x) dada não é definida para x = 4.
2. 
A linha de produção da indústria de tênis utiliza a água como reagente químico. A liberação da água para os rios, sem nenhum tratamento, tem causado danos. O gráfico abaixo mostra a intensidade de poluição (y) com o passar dos anos (x). Qual a intensidade de poluição em 20 anos?
E. 
Aproximadamente 20.
Note que para valores de x > 1, o fenômeno é descrito por meio de uma função exponencial, cuja assíntota é a reta y = 20. Ou seja, conforme os valores de x aumentam, os valores de y tendem a se aproximar de 20.
3. 
Minutos após o lançamento da água contaminada, a população de uma colônia de bactérias (por mililitro) encontrada em um rio poluído, é dada pela função
Qual a população de bactérias 10 minutos após sua contaminação?
Você acertou!
A. 
63
Observe que o tempo t = 10 minutos é maior que 5 minutos, que limita os intervalos de definição da função f. Como para 
 
têm-se f(t) = 6t + 3, então:
bactérias por mililitro.
4. 
Certa aplicação paga 6% de juros ao ano sobre um depósito inicial de R$ 5.000,00. Os ganhos sobre essa aplicação foram estimados por
onde t é medido em anos. Qual o ganho aproximado após quatro anos dessa aplicação?
D. 
7970
Observe que o tempo t = 4 é menor que 5 anos, que limita os intervalos de definição da função f. Como para
têm-se f(t) = 5000(1 + 0,06)2t, então:
5. 
Modelou-se a população de uma certa cidade, após t anos, por f(t) = 10000+3000t/t2 +1
Determine o comportamento dessa função daqui 300 anos.
C. 
Aproximadamente 10010 habitantes.
Para t = 300, têm-se: f(300)=10000+ 3000*300/3002+1=10000+9,9998888901~-10010
habitantes.
Note que à medida que t aumenta, o segundo termo da expressão diminui. Embora não tenha sentido no contexto populacional, podemos afirmar que o infinito, esse termo tenderia a zero e a função daria como resultado 10010.
Cálculo algébrico de limites com indeterminação matemática
1. Analise o limite:
A. 5
2 Qual o comportamento da função abaixo quando x tende a 0?
D. 4
3. 
Qual o valor do
Resposta correta.
A. 
Infinito.
4. 
Determine o comportamento do
C. 
Infinito.
Observe o cálculo do limite:
5. 
É possível determinar o comportamento do
E. 
Infinito.
Observe o cálculo do limite:
Limites, Taxas de variação e retas tangentes
1. 
Analise as afirmativas a seguir e identifique o que é verdadeiro e o que é falso.
1. Se eu escolher uma variação do espaço e uma variação do tempo e dividi-las, terei uma taxa de variação na velocidade.
2. É possível ter uma taxa de variação de luminosidade do sol em relação à hora do dia.
3. Limite é o valor que uma certa função tende a retornar quando aplicado um certo valor na variável independente.
4. Escolhendo dois pontos A e B de uma função, a taxa de variação da reta tangente em qualquer um dos pontos é igual à taxa de variação média entre os dois pontos.
Resposta correta.
A. 
1-F, 2-V, 3-V, 4-F.
1. É falsa, pois as variações podem não estar relacionadas.
2. É verdadeira, pois, em certos horários, há mais luz e há relação com o horário.
3. É verdadeira, apesar de estar de forma simplificada e não formal, essa é a definição de limite.
4. É falsa. A reta tangente é o gráfico que teríamos se, em um dado ponto, a taxa de variação fosse constante, enquanto a outra é uma variação média, ou seja, que retorna alguns parâmetros de forma simplificada.
2. 
Dada uma equação do tipo: R(t)=R1+z'(t)+q'(t³), marque a alternativa correta sobre a equação e as taxas de variações.
C. 
z' e q' são taxas de variações.
z’ é a taxa de variação de R em relação ao tempo t, e q’ é a taxa de variação de R em relação a uma ordem cúbica do tempo, t3.
3. 
Reta tangente é a reta que toca uma dada curva num único ponto. Tem relação direta com o limite e a taxa de variação. Por isso, dada uma reta tangente a um certo ponto descrito pela equação: Y=3*X+2, marque a afirmativa correta.
B. 
Tomando o limite da variável independente da taxa de variação num dado ponto de uma curva tendendo a zero, obteremos a inclinação da reta tangente naquele ponto. No exemplo, o valor é 3.
Essa é uma resposta completa e que relaciona os três conteúdos.
4. 
Use o conceito de limite e calcule o seu primeiro limite. Se, simplificadamente, o significado de limite é o valor que uma dada função tende a retornar para um certo valor da variável independente, qual o limite quando x tende a zero, da função: f(x)=x/x?
Julgue os argumentos das alternativas e escolha o correto.
D. 
Em x=0 teremos 0/0, mas a função sempre retorna o valor f(x)=1 para qualquer valor de x, então, podemos concluir que para x=0, o limite do x tendendo a zero leva a função a convergir para 1.
Multiplique em cima e embaixo por x, o que simplifica a função para 1. Em x=0 teremos 0/0, então não está definido, mas mesmo assim podemos achar o limite da função.
5. 
Se duas retas se encontram exatamente num único ponto, podemos dizer que, para aquele ponto, uma é a reta tangente da outra? Marque a alternativa que tenha resposta e justificativa coerentes.
Você acertou!
A. 
Não, pois a premissa para ser reta tangente é ter a mesma taxa de variação da outra naquele dado ponto, o que em todos os outros casos leva a tocar num só ponto.
Observe que este problema está exemplificado no conteúdo do livro (página 44).
Derivadas: definição
1. 
Calcule a derivada de f(x) = x3 e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva y = x3 no ponto x = –1. Assinale a alternativa que contém a equação da reta tangente nesse ponto.
C. 
y = 3x + 2.
2. 
Calcule f'(3), sendo f(x) = x2 – 8x, a partir da razão incremental em a = 3. Assinale a alternativa correta.
A. 
f'(3) = –2.
3. 
Encontre uma equação da reta tangente em x = 2 para a função f (x) = 1/x
 e assinale a alternativa correta. 
e. f(2) = -¼
4. 
Determine a derivada da função f, cujo gráfico aparece na figura abaixo, em x = 2, 3 e 4, e assinale a alternativa correta.
D. 
f'(2) = 1; f'(3) não existe; f'(4) = –1.
5. 
Assinale a alternativa que contém a(s) reta(s) tangente(s) à curva da figura a seguir:
B. 
Retas B e D.
Introdução ao conceito de derivada
 1 A derivada da função x² + 1 é: 
Você acertou!
A. 
2x.
2. 
Determine a derivada da função x² + 2x -3.
D. 
2x + 2.
3. 
Um atleta participou de uma maratona na qual correu 42 km em um tempo de 4 horas. Determine a taxa de variação do espaço em relação ao tempo relativo à corrida. 
Você acertou!
A. 
10,5 km/h.
Nesta questão, estamos falando de taxa de variação média, onde:
vm = ∆s / ∆t = 42 / 4 = 10,5 km/h
4. 
Determine a taxa de variação instantânea da função x(t) = 2 + t², em t = 2.
B. 
4.
5. 
Uma barra tem comprimento L = x²+2x quando está submetida a x°C. Se essa barra for aquecida em 3°C, qual a taxa de variação instantânea relativa ao comprimento durante o aquecimento?
Você acertou!
A. 
8 unidades de medida.
desafio
Em casos em que há uma incidência acima do esperado de uma doença transmissível, infecciosa e transitória, se diz que há um surto dessa doença. Também chamado de epidemia, afeta ao mesmo tempo um número significativo de pessoas e o controle sobre a transmissão da doença é difícil.
Você trabalha na área da saúde de uma cidade onde ocorreu a epidemia de determinada doença.
Sabe-se que, passado um tempot (em dias) do primeiro dia da epidemia, o número de pessoas infectadas foi de:
A informação de quantas pessoas foram infectadas é importantíssima para o projeto de contenção da epidemia. Sendo assim, determine a taxa com que a epidemia se propaga dada pela razão entre variação de n(t) em relação ao tempo t = 4.
Nessa epidemia, 48 pessoas foram infectadas por dia.
Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações
1. 
Seja uma função f(x). A reta tangente a essa curva no ponto P é y= 5x+3. Determine a derivada dessa função no ponto P.
B. 
A derivada da função é 5.
A derivada é a inclinação da reta tangente em um ponto P.
Dada a equação da reta tangente, na forma y = ax+ b, onde a é o coeficiente angular, ou seja, a inclinação da reta, a derivada dessa função é igual a 5 .
2. 
Determine a derivada da função f(x) = 5x9 .
E. 
F’(x) = 45x8 .
3. 
Determine a derivada da função f(x)= 4x•(2x²-3).
D. 
F’(x) = 24x²-12.
4. 
Determine a derivada da função f(x) (3x²+1)/(2x).
C. 
f' (x)= (3x²-1)/2x².
5. 
Determine a derivada da função f(x) = x³- 4x²+3x+2 .
B. 
f' (x)=3x²-8x+3.
Regra do produto e do quociente
1. 
Encontre a derivada
 
se y = (4x2 − 1)(7x3 + x) e assinale a alternativa correta. 
E) d/dx = 140x4-9x2-1
3. 
Calcule a derivada da função P(x) = (x − 1)(3x − 2) e assinale a alternativa correta.
Você acertou!
A. 
P′(x) = 6x − 5.
4. 
Encontre a derivada de f(x) = (3x − 2x2)(5 + 4x) e assinale a alternativa correta
B. 
f′(x) = 15 + 4x − 24x2.
Regra da cadeia
1. 
As funções nem sempre são simples. Muitas vezes, as variáveis independentes de uma delas, na verdade, são dependentes de outra variável.
Suponha as seguintes funções: y =x2 e x = 2t+1 . Encontre: 
Você acertou!
A. 
8t + 4.
2. 
Nas funções compostas, as variáveis independentes são substituídas por alguma função.
Encontre a derivada da seguinte função: y = tg (x3+20):
C. 
3x2 sec2 (x3 +20).
3. 
Para resolvermos a derivada de funções compostas, é necessária a utilização da regra da cadeia. 
Dada a função y = (1+x cos(x))-5, encontre:
E. 
-5 (1+x cos(x))-6(-x sen(x)+cos(x)).
4. 
Suponha que a aceleração de um objeto seja dada por em m/s2, onde v é a velocidade, a qual é dada por v = 50+2t2 m/s.
Qual a taxa de variação da aceleração pelo tempoem m/s3, conhecida como arranque? 
C. 
200t + 8t3.
Derivadas de funções trigonométricas
1. 
Encontre a derivada em relação a x da seguinte função:
C. 
2. 
Dada a seguinte equação:
y = x tg(x) + 5 sen(x) – 10
Qual das alternativas é verdadeira? 
Você acertou!
A. 
3. 
Encontre a derivada da seguinte função inversa:
y = arccossec(x²).
4. 
Encontre a segunda derivada em relação a x da seguinte função:
y = x cos(x) + sec(x).
D. 
y'' = –x cos(x) – 2 sen(x) + sec(x) tg²(x) + sec³(x).
5. 
Suponha que uma escada de 6 metros esteja apoiada em uma parede, formando um ângulo θcom o chão , e uma distância x de sua base superior até o chão, como mostrado na imagem a seguir.
Se a base da escada for empurrada em relação à parede, haverá uma taxa de variação de x em relação a θ. Qual será o valor dessa taxa, em metros por grau, quando θ = 45º? 
D. 
Limites, Taxas de variação e retas tangentes
Desafio
 Analise um problema físico clássico, o movimento circular uniforme, no qual um objeto anda em uma trajetória circular com a velocidade que só muda de direção, mas o que marca no velocímetro é sempre o mesmo valor. O valor da aceleração também só muda de direção. Observe a imagem:
A partir disso, responda:
a) Se você pegar o arco percorrido no movimento e dividir pela variação do tempo, o que você obterá?
b) Se você usar o obtido no item "a" e aplicar o limite de t2-t1 tendendo a zero, o que você obterá?
c) Qual a relação da velocidade com a reta tangente ao ponto em que o objeto se encontra?
Essas perguntas são extremamente conceituais e importantes no desenvolvimento do significado do cálculo. Por isso, responda-as com dedicação!
. 
Padrão de resposta esperado
São esperadas as seguintes respostas:
a) O que se observará é uma taxa de variação da posição em relação ao tempo, que, na verdade, é a velocidade média, pois não é a velocidade de cada instante, mas uma aproximação que nos permite achar certas quantidades, como distância percorrida com o tempo. Observe que essa taxa de variação não nos retornará a posição correta do objeto para todos os instantes de tempo. Todavia, nos permite saber quanto de gasolina gastaremos em uma viagem.
b) Se usarmos o limite do enunciado, obteremos a velocidade instantânea, que é a velocidade em um dado instante de tempo. Caso generalizemos para todos os tempos, teremos a velocidade em cada instante de tempo, ou seja, a função que retorna a velocidade em um dado tempo. Apesar de ter módulo igual em todos os instantes, aponta para direções diferentes em cada instante. Observe que, em geral, a taxa de variação é diferente da velocidade instantânea.
c) A reta tangente em um ponto é a trajetória que o objeto seguiria se tivesse sempre a velocidade que tem naquele instante. Imagine uma boiadeira: giramos, giramos e, quando lançamos, ela sai pela tangente. Já a inclinação da reta tangente está relacionada ao valor da velocidade. Observe também que a partícula não segue a trajetória da reta tangente, pois muda de velocidade a cada instante, ou seja, a reta tangente muda de direção a cada instante.
Derivação implícita
1. 
Mesmo que algumas funções implícitas possam ser escritas de forma explícita facilmente, não é necessário deixá-las explícitas para encontrar suas derivadas. Encontre da seguinte equação implicitamente 
Resposta correta.
A. 
8 cos (x) (5+ sen (x)).
2. 
Escrever funções implícitas é bem comum na área de exatas. Assim, suas derivadas também podem ser encontradas implicitamente. Encontre por derivação implícita de y4+x3=4 xy .
c. 
3. 
As variáveis dependentes e independentes de uma função podem aparecer no denominador de frações. Nesse caso, para encontrar as derivadas dessas funções, podemos aplicar a derivação implícita. Encontre por derivação implícita de 
d.
4. 
Muitas vezes é necessário usar a derivação implícita juntamente com a regra da cadeia. Encontre por derivação implícita de cos(xy)=2y. 
e. 
5. 
As funções trigonométricas também são utilizadas para se escrever funções implíctas. Encontre por derivação implícita de 2y+sen(y)=2 x. 
b. 
Derivadas superiores
1. 
Quando se deriva uma função f, encontra-se a derivada primeira f'. Se f' for derivável, então sua derivada é denotada por f'′, denominada derivada segunda de f. Nesse contexto, encontre a derivada de segunda ordem da função f(x) = 3x2 + 8x + 1 e assinale a alternativa correta:
E. 
f''(x) = 6.
2. 
Enquanto houver diferenciabilidade em uma função, é possível continuar o processo de derivação para obter as derivadas terceira, quarta, quinta e até derivadas superiores de f. Essas derivadas também são chamadas de derivadas sucessivas. Assim, encontre a derivada de sexta ordem da função f(x) = 3x5 + 8x2 e assinale a alternativa correta: 
Você acertou!
A. 
f 6(x) = 0.
3. 
As derivadas sucessivas são chamadas de derivada primeira, derivada segunda, e assim por diante, conforme segue-se com o processo de derivação. O número de vezes que f for diferenciável é chamado de ordem da derivada. Nesse contexto, encontre a derivada de segunda ordem da função a seguir e assinale a alternativa correta:
d. f X)=
4. 
A derivada de segunda ordem de uma função representa a derivada da derivada dessa função e pode ser representada por y'' ou . Assim, calcule a derivada de segunda ordem da função y = x2(3x + 1) e assinale a alternativa correta: 
C. 
y'' = 18x + 2.
5. 
A derivada de ordem superior pode ser entendida como “a derivada da função derivada”, ou seja, para encontrar, por exemplo, a derivada segunda, basta derivar a função da primeira derivada novamente, e assim por diante. Nesse contexto, calcule a derivada de terceira ordem da função f(x) = (2x + 1) (3x − 2) e assinale a alternativa correta: 
B. 
f′′′(x) = 0.
Problemas de maximização e minimização
1. 
As funções são muitas vezes utilizadaspara modelar fenômenos. Assim, saber seus comportamentos, como máximos e mínimos absolutos, é essencial para entender o fenômeno que está por trás. Considere a seguinte função: ,
Encontre os valores de x onde ocorrem os máximos e mínimos absolutos da função. 
 E. 
Máximo absoluto em x= 4 e mínimo absoluto em x= 0.
2. 
Dado um certo intervalo do domínio de uma função, esta pode ou não apresentar pontos de máximo e mínimo absolutos. Dada a função 
determine se ela tem extremos absolutos e, se tiver, onde ocorrem.
Resposta correta.
A. 
Não tem extremos absolutos.
3. 
Para encontrar pontos críticos e pontos de máximo e mínimo absolutos de funções, as derivadas são essenciais. Suponha a seguinte função: ,
Determine se f(x) tem extremos absolutos e, caso tenha, onde ocorrem.
B. 
Tem máximo absoluto em x= 1/2.
4. 
Na hora de investigar os pontos extremos absolutos de uma função, o intervalo de interesse é importante.
Suponha a função f ( x ) contínua no intervalo aberto ( a , b ). Se e 
O que podemos afirmar sobre seus pontos extremos absolutos?
Você acertou!
A. 
A função f(x)tem um mínimo absoluto em (a, b).
5. 
Você está construindo uma caixa com base quadrada e sem tampa superior para guardar objetos. Você precisa que ela tenha volume de 32.000 cm3. Qual deve ser a altura da caixa para que o material usado em sua construção seja minimizado?
B. 
20 cm.
Conceito e propriedades da integral indefinida
Desafio
As integrais indefinidas no cálculo matemático envolvem situações com funções em uma formulação mais complexa, tal que f'(x) = g(x). Esse processo poderá ser realizado em atividades da área da Agronomia, possibilitando resultados precisos aos agrônomos.
Suponha que você, agrônomo, está verificando todas as propriedades da região Sul que estão na sua demanda. Em umas das propriedades, verificou a danificação da plantação de milho por lagartas. Para verificar os dados precisamente, você utilizou a expressão y’ = 4 + 5t4 para observar a plantação danificada diariamente. Após a verificação, constatou-se que 50.000 m 2 (5 hectares) já estão danificados.
a) Quantos metros quadrados da lavoura estarão danificados em 7 dias?
b) Caso a proliferação esteja muito grande, que atitudes deverão ser tomadas?
Sua resposta
a) y=(4+5t4dt y=4t+t5+c 50000=4*0+05+c c=50000 y=t5 + 4t + 50000 y=7e5+4*7+5000 y=66835m² em 7 dias 66835m² serão danificado b) uso de inseticida, se necessario, ate por ano 
Enviado em: 17/11/2022 17:02
Padrão de resposta esperado
a) O problema nos fornece a derivada y’ e o valor de y(0)=50000. Assim, calcula-se a integral para encontrar y e depois substituir t por 0 e y por 50.000 para encontrar a constante C.
y= ∫( 4+5t4)dt
y = 4t + t5 + C
y = t5 + 4t + 50.000
Agora, substitui-se t por 7 para encontrar a quantidade de lavoura danificada em 7 dias.
y = 75 + 4.7 + 50.000
y = 16807 + 28 + 50.000
y = 66835 m2
Logo, a plantação em 7 dias estará com 66.835 m2 danificados pelas lagartas.
b) Atitudes como o uso de inseticidas deverão ser utilizadas rapidamente, e caso o milho esteja numa altura que impossibilita a entrada do pulverizador agrícola gafanhoto, recomenda-se o uso do avião agrícola para aplicar o inseticida.
1. 
Pedro é um agrônomo que percorre semanalmente as plantações sob sua responsabilidade. Em uma dessa visitas, percebeu uma lavoura de trigo queimando e ele definiu a velocidade do fogo com v(t) = 3t2 + 30t + 36, com t medido em segundos. Qual o espaço percorrido s(t) pelo fogo, sabendo que t = 5s?
B. 
680 m.
V(t) =∫(3t2 + 30t +36)
S(t) = t3 + 15t2 + 36t + C
Em t = 0, temos s(0) = 0
S(t) = t3 + 15t2 + 36t + C
0 = 03 +15. (0)2 + 36.0 + C
C = 0
S(t) = t3 + 15t2 + 36t
S(5) = 53 + 15.52 + 36.5
S(5) = 125 + 375 + 180
S(t) = 680 m
.
2. 
Durante suas produções, um agricultor elaborou um gráfico entre curvas para observar o movimento da produção. Sabendo que o ponto (1,5) pertence à curva da equação f(x) e a sua declividade é dada por f’(x) = 3x – 4, qual a função que o agricultor utiliza em seus cálculos?
C. 
y = 3x2/2 – 4x + 7,5.
3
B. 
A função não é a única antiderivada de 3x5, pois podemos somar uma constante C e obter outra antiderivada.
4. 
No instante t = 0, há um caminhão carregado de grãos com velocidade de 81 m/s e o motorista visualiza uma árvore caída em seu caminho para chegar até o armazém. Dessa forma, o motorista desacelerou rapidamente o veículo, com uma desaceleração constante a = -9 m/s. Em que instante a velocidade do caminhão chegou a zero?
C. 
A velocidade do caminhão chegou a zero em t = 9 s.
V(t) = ꭍ(- 9)dt
y = - 9t + C
Para t = 0, tem-se v(0) = 81m/s, assim, C = 81
V(t) = - 9t + 81
V(t) = 0
-9t + 81 =0
t = 9 s
5. Uma agroquímica de fungicidas para plantação de trigo tem um custo marginal definido pela função c’(x) = x3 + 2x2 + 4x. Nessas condições, qual função define o custo total, sendo que o custo fixo é R$ 2.000,00? 
Você acertou!
A. 
Teorema fundamental do cálculo
1. 
O teorema fundamental do cálculo permite uma fácil interpretação dos cálculos para resolver integrais, sem a necessidade da implementação das somas de Riemann. Permite, inclusive, avaliar alguns aspectos de função, como intervalos na qual cresce e decresce, e, ainda, apresenta valores de máximos e mínimos locais e concavidade. 
Seja g(x) = , onde w é apresentada pelo gráfico abaixo:
O intervalo em que g é crescente e tem valor de máximo é, respectivamente: 
C. 
(0, 3) e x = 3.
2. 
A diferenciação e a integração são processos inversos do Cálculo. O resultado do teorema fundamental do cálculo apresenta detalhadamente esses aspectos. Dessa forma, usando a primeira parte do TFC, qual é a derivada da função: 
Você acertou!
A. 
W ' x = -cos( x 2 )
3. 
A diferenciação e a integração são processos inversos do Cálculo. O resultado do teorema fundamental do cálculo apresenta detalhadamente esses aspectos. Dessa forma, utilizando a segunda parte do TFC, qual é a integral da função: 
D. 
20/3.
4. 
A densidade linear de uma barra de comprimento de 4 metros é dada por 
medida em quilogramas por metro, onde x é medida em metros a partir de um extremo da barra. Dessa forma, a massa total da barra é de aproximadamente, considerando dois dígitos significativos: 
D. 
m = 41,33kg.
5. 
A área da região que está à direita do eixo y e à esquerda da parábola x = 2y -y² (a região sombreada descrita na figura abaixo) é descrita pela integral Qual a área dessa região?
D. 
4/3.
Técnicas de integração: substituição e partes
1. 
Reconhecendo que (x³/3) - x² +5x é uma primitiva de x² - 2x +5, se pode calcular a integral. Caso não seja possível reconhecer a primitiva de imediato, como ela pode ser gerada?
Você acertou!
A. 
Termo a termo, utilizando a regra da soma e da diferença.
Reconhecendo que (x³/3) - x² +5x é uma primitiva de x² - 2x +5, se pode calcular a integral. Caso não seja possível reconhecer a primitiva de imediato, ela pode ser gerada termo a termo, utilizando a regra da soma e da diferença.
2. 
Calcule a seguinte integral a partir dos conhecimentos do método de integração por partes:
B. 
3. 
A integração por substituição se apresenta como um importante instrumento que busca descomplicar a complexidade de algumas integrais. Realize o cálculo da seguinte integral aplicando o método de substituição. 
Você acertou!
A. u=3x-3 então du=3dx ou seja dx=
4. 
Considere a integral: 
Calcule utilizando o método de substituição: 
c
5. 
Considerando a praticidade e objetividade na aplicação de métodos que pretendem otimizar a resolução de algumas questões, calcule a integral utilizando a integração por partes:
Você acertou!
A. 
A maneira correta de calcular a integral pelo método de integração por partes é da seguinte maneira:u=x
du=dx
dv=cos(5x)dx
v=1/5 sen(5x)
Integrais trigonométricas
1. 
Para resolver integrais envolvendo potências das funções seno e cosseno, é possível utilizar algumas estratégias próprias, de acordo com a potência de cada função. Resolva a integral aplicando a estratégia adequada. 
 . 
Você acertou!
A. 
2. 
Para determinar o volume de um sólido obtido pela rotaçãoda função f(x) em torno do eixo x, para , resolve-se a integral v=
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da função em torno do eixo x, para . 
D. 
3. 
Uma pessoa percorre um caminho em formato parabólico, segundo a curva y=x2, ilustrada abaixo.
Determine a distância percorrida pela pessoa do ponto (0,0) ao ponto (1,1), sabendo que o comprimento do arco dessa parábola nesses pontos é dada por: 
b. 
4. 
Deseja-se construir um reservatório obtido pela rotação da função y=e, , em torno do eixo x.
Para determinar a quantidade de material necessário para a construção do reservatório, é preciso encontrar a área de sua superfície, que é dada por 
Calcule a área da superfície do reservatório e assinale a resposta correta. 
e. 
5. 
Um campo elétricoE no ponto P (a, b) em uma barra carregada de comprimento L é dado por 
E=
Onde é uma constante. Determine o campo elétrico no ponto (3, 2) de uma barra de comprimento 5. 
b.