Aula 4

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Cálculo de áreas sobre e entre 
curvascurvas
• Dando continuidade, vamos nos aprofundar
agora no cálculo de áreas, analisando a área
sobre e entre curvas, que é largamente
utilizado em projetos diversos, como, porutilizado em projetos diversos, como, por
exemplo, no cálculo de tubulações, estruturas
metálicas, reatores químicos, corrente
elétrica, finanças, dentre outros.
• O que ocorre é que a integral nos fornece uma área
orientada, ou seja, ela diferencia por meio de um sinal
uma área que está acima do eixo x de uma área que se
encontra abaixo do eixo x.
• Veja só: a área entre a curva f e o eixo x,
especificamente entre os pontos a e b do eixo x, éespecificamente entre os pontos a e b do eixo x, é
indicado como A na Figura
• A integral da função f(x) indicará o fato de que
a função assume valores negativos, pois
resultará ela mesma em um valor negativo.
• Portanto, se desejamos a área entre o gráfico• Portanto, se desejamos a área entre o gráfico
da função e o eixo x, lembrando que áreas são
valores sempre positivos, teremos:

b
a
dxxfA )(
• Para garantir, podemos utilizar também a regra
com um módulo, que serve para os dois casos
(positivo e negativo), desde que: a função não
troque de sinal no intervalo estudado. Teremos:troque de sinal no intervalo estudado. Teremos:
(área entre uma função e o eixo x, desde que ela 
não troque de sinal no intervalo).

b
a
dxxfA )(
Exemplificando
• Temos ainda uma questão importante para discutir. Veja agora a 
Figura:
• Qual seria a área entre f(x) e o eixo x, limitada pelas retas x = a, x = b?
• No caso, a função assume valores MAIORES e também MENORES que
zero.
• Que tal simplesmente fazer a integral de a até b?
• O problema é que a parte que se encontra abaixo do eixo x contribuirá
com valores negativos, enquanto a parte que está acima do eixo x
contribuirá com valores positivos.
• O primeiro passo para encontrar uma solução
é encontrar o zero (ou, em casos mais gerais,
os zeros) da função.
• No caso, estudar o ponto c, através da função• No caso, estudar o ponto c, através da função
f(x)=0, resolvendo e obtendo o x
correspondente.
• Depois, basta fazer o seguinte:
• onde invertemos o sinal da parte negativa da 
integral. Ou, de maneira ainda mais simples:
bc
 
b
c
c
a
dxxfdxxfA )()(
Exemplificando
• O percurso de um rio pode ser modelado pela curva y =
In x. Uma empresa irá construir uma ponte sobre esse
rio e usará como terreno de obras a área limitada pelo
rio e pela pista (modelada pela reta y = 0), entre as
distâncias x = e–1 e x = e1.distâncias x = e e x = e .
Área entre curvas
• A única questão é que ainda estamos bastante
limitados pelo fato de que sempre
encontramos a área com relação ao eixo x.
• Agora, vamos considerar que temos duas• Agora, vamos considerar que temos duas
funções e que queremos calcular o gráfico
entre elas.
Área entre curvas
• Na Figura, não fica evidente que, para obter a 
área entre as curvas, poderíamos tomar a área 
sob a curva f, e subtrairá área sob a curva g?
• No caso, pode ser utilizada a seguinte regra:• No caso, pode ser utilizada a seguinte regra:
– a integral da função cujo gráfico está por cima, 
menos a integral da
– função cujo o gráfico está por baixo.
Área entre curvas
• Temos somente que tomar um cuidado, pois pode
ocorrer ainda de os gráficos se cruzarem em algum
ponto, de modo que g passe a estar acima de f.
• Então, bastará estudar cada intervalo separadamente,
como fizemos para uma única curva que cruza o eixo x.
estudado) intervalo no )()( que (Dado ))()(( xxgxfdxxgxfA
b
a
 
Exemplificando
• Podemos modelar a superfície de um
bumerangue pela região limitada entre as
curvas y = 2 x² e y = x² + 1.
Exemplificando
• A chapa metálica original possui um formato
correspondente à função matemática f(x)= −x2 +
3x, sendo 0≤x≤3, assim o projetista da empresa
analisou o formato requerido pelo cliente e
constatou que o corte da peça obedecerá oconstatou que o corte da peça obedecerá o
comportamento dado pela reta g(x)= −0,5x +1,5,
sendo 0,5≤x≤3. Dessa forma, para que a chapa
adquira o formato correto, os limites de x para
f(x) devem ser modificados para 0,5≤x≤3. A chapa
terá o formato apresentado pela Figura
Exemplificando
Exercícios
1. A área entre as retas y = 0, x = 0, x = 50 e a
função y(x) = 50 – x é:
a) –2500 u.a.
b) –1250 u.a.b) –1250 u.a.
c) –1000 u.a.
d) 1000 u.a.
e) 1250 u.a.
Exercícios
2. A área entre as retas y=0, x = –5, x = 3 e a
função y(x) = x2 – 36 é:
a) 115,49 u.a.
b) 176,13 u.a.b) 176,13 u.a.
c) 237,33 u.a.
d) 285,72 u.a.
e) 333,33 u.a.
Exercícios
3. A área entre as retas y = 0, x = 1/e , x = 1 e a
curva y(x) = In(x) é:
a) 0,15 u.a.
b) 0,19 u.a.b) 0,19 u.a.
c) 0,22 u.a.
d) 0,26 u.a.
e) 0,35 u.a.