Matemática Aplicada - UVA ADMINISTRAÇÃO A2

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As equações do segundo grau são equações da forma . Nas equações, buscamos encontrar os valores de  que as tornam iguais a zero, ou seja, buscamos encontrar as suas raízes. Nas inequações, por outro lado, não temos uma igualdade, mas sim uma desigualdade que pode ser expressa pelos sinais:  (maior que),  (menor que),  (maior ou igual),  (menor ou igual) e  (diferente).
A resolução de inequações do segundo grau envolve a utilização do teorema de Bhaskara e, em seguida, um estudo de sinais e a análise da desigualdade em questão. Dois tipos de inequações são comumente encontrados na Matemática: as inequações-produto e as inequações-quociente. Uma inequação-produto de 2° grau é uma inequação de 2° grau escrita como o produto de duas equações de 1° grau. Nesse caso, o estudo de sinal deve ser feito para cada equação e, em seguida, analisado o produto dos sinais tendo em vista a desigualdade em questão. De modo análogo, uma inequação-quociente é uma inequação escrita como o quociente de duas equações de 1° grau. O modo de resolução é semelhante ao das inequações-produto, tendo como ressalva as condições de existência do denominador (diferente de zero).
 
Diante do exposto, considerando as inequações  e , julgue os itens a seguir.
I. A inequação A pode ser escrita como a inequação-produto .
II. A inequação A apresenta como solução: .
III. A inequação B apresenta como solução: .
 
É correto o que se afirma em
Alternativas
A)
II, apenas.
B)
I, II e III.
C)
II e III, apenas.
D) Marcada pelo aluno
I e III, apenas.
E)
I, apenas.
Uma forma de classificar uma função é analisar o comportamento de seu valor em função da variação crescente da variável independente (eixo horizontal). Assim, uma função pode ser crescente, decrescente ou constante. 
 
Considere a função descrita no gráfico, a seguir:
 
 
 
 
 
 
A partir da análise gráfica, indique a afirmação correta: 
Alternativas
A)
A função é crescente no intervalo: 4 < x < 6.
B)
A função é decrescente no intervalo: -4 < x < -2.
C)
A função é crescente no intervalo: -2 < x < 0.
D)
A função é crescente no intervalo: 0 < x < 4.
E) Marcada pelo aluno
A função é decrescente no intervalo: 0 < x < 1.
A integral definida pode ser visualizada com o limite de somas de Riemann, no contexto de encontrar áreas. No entanto, as somas de Riemann e as integrais definidas têm aplicações que se estendem muito além dos problemas de área. Elas também podem surgir em problemas de como obter o volume e a superfície de um sólido ou o comprimento de uma curva plana, calcular o trabalho feito por uma força, encontrar o centro de gravidade de uma região plana, encontrar a pressão e a força exercidas por um fluido sobre um objeto submerso e encontrar as propriedades de cabos suspensos. Embora esses problemas sejam diversos, todos os cálculos requeridos podem ser abordados pelo mesmo procedimento utilizado para encontrar áreas entre uma curva y=f(x) e um intervalo no eixo x ou entre duas curvas f(x) e g(x).
 
ANTON, H. et al. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 1 (adaptado).
 
Diante disso, a respeito do uso da integral para o cálculo de áreas entre curvas, considere as funções  e , cujas curvas estão representadas pela figura a seguir.
 
 
Sendo assim, pode-se afirmar que a área delimitada pelas curvas  é igual a
Alternativas
A)
15 unidades de área.
B)
 unidades de área.
C)
 unidades de área.
 
D)
 unidades de área.
E) Marcada pelo aluno
 unidades de área.
A noção de limite é introduzida a partir do cálculo do valor da função f(x) = 2x + 3 para x = 2. Ora, f(2) = 7, o que significa que o ponto (2,7) pertence ao gráfico de f(x). Em seguida propõe-se estudar os valores da função f quando x assume valores próximos de 2, porém, diferentes de 2 (ver Figura 1 e Figura 2). A observação desses quadros permite concluir que, quanto mais o valor de x se aproxima de 2, mais a imagem f(x) se aproxima de 7.
 
Figura 1 – Valores de f(x) aproximando-se de 2 à esquerda.
 
Figura 2 – Valores de f(x) aproximando-se de 2 à direita.
 
Destaca-se que, ainda que não se soubesse que f(2) = 7, seria possível descobrir um provável resultado utilizando um número suficientemente próximo de 2. Além disso, pode-se ressaltar, também, que é fácil ver que f tende a 7 quando x se aproxima de 2.  Isso é o que significa limite.
 
GUIMARÃES, M. E. de C. Introduzindo os conceitos de limite, derivada e integral no ensino médio. 106f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Federal do Ceará. Fortaleza, 2019 (adaptado).
 
A partir do estudo de limite, é possível o cálculo de área para o desenvolvimento matemático, como base para seu resultado. Considerando o que foi apresentado, no que diz respeito ao cálculo de área, avalie as afirmações a seguir de acordo com a resolução de limite e integral.
 
I. O limite da função de   é igual a 1.
 
II. O limite é nulo para o .
 
III. A função  possui ponto de máximo e a função   possui seu único ponto de mínimo.
 
É correto o que se afirma em
Alternativas
A)
I, apenas.
B) Gabarito da questão
I e II, apenas.
C)
III, apenas.
D)
I, II e III.
Quando uma função racional não tem um limite em um valor específico, os valores da função e o gráfico têm de ir para algum lugar. Uma função específica pode não ter o número 3 em seu domínio, e seu gráfico pode ter uma assíntota vertical no infinito quando x=3. Embora a função não tenha limite, ainda podemos afirmar algo sobre o que está acontecendo à função conforme ela se aproxima de 3 da esquerda e da direita. O gráfico não tem um limite numérico nesse ponto, mas é possível identificar algo no comportamento da função. O comportamento é atribuído aos limites laterais. Um limite unilateral diz o que uma função faz em um valor de x conforme ela se aproxima de um lado ou de outro. 
 
STERLING, M. J. Álgebra II para leigos. Rio de Janeiro: Alta Books, 2019 (adaptado).
 
Diante do exposto, considere a função  representada pelo gráfico a seguir.
 
 
O limite da função f(x) quando x tende ao infinito é igual a 
Alternativas
A)
1.
B)
-1.
C)
.
D) Marcada pelo aluno
3.
E)
0.
O gerente de uma confecção está analisando os resultados de seu negócio e descobre que, ao vender cada unidade das suas peças de roupa por um preço “p”, obteve um volume de vendas de (p+15) peças, o que lhe gerou um lucro de R$ 320,00. 
Ele sabe que o custo unitário de produção é de $ 17,00. Então, pode-se afirmar que o custo total (em R$), com a quantidade de produtos vendidos, foi de:
Alternativas
A)
710.
B)
560.
C)
310.
D) Marcada pelo aluno
680.
E)
480.
Uma função exponencial apresenta a forma geral , em que “b” é a base ( e ), “x” é a variável independente e “y” a variável dependente. Uma equação exponencial é aquela que apresenta a incógnita “x” no expoente, como, por exemplo, a equação . O método para resolver uma equação exponencial, ou seja, determinar o valor da incógnita, consiste em igualar as bases da equação e comparar os expoentes. Por exemplo, a equação anterior pode ser reescrita como , pois 2³ = 8. Dessa forma, percebemos que o resultado da equação será x = 3.
 
Algumas equações exponenciais precisam de alguns artifícios para serem resolvidas, como, por exemplo, a equação . O truque para resolver consiste em fazer uma substituição apropriada, como, por exemplo, definir y = 2x e reorganizar os termos, ou seja,  . A equação obtida é uma equação do segundo grau, cuja resposta, de acordo com a Teoria de Bhaskara, será y = 2 e y = 3. Retornando à variável “x”, encontra-se a solução do problema
 
 
Considerando o que foi exposto, assinale a alternativa que apresenta corretamente qual será a solução de menor valor da equação exponencial .
Alternativas
A) Marcada pelo aluno
0.
B)
-3.
C)
-2.
D)
1.
E)
-1.
Como aplicação imediata da definição de integral, quando f é uma função contínua, positiva, definida em [a, b], a , fornece o valor da área da região limitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e pelo eixo x. Se a função f for uma função contínua que assume valores positivos e negativos no intervalo[a, b], então o valor da integral será a diferença entre o valor da área da região que está acima do eixo x e o valor da área da região que está abaixo do eixo x. Esse fato torna-se claro ao se observar a figura a seguir e lembrar que, por definição, a integral é o limite de somas de Riemann.
As parcelas , que correspondem aos retângulos que estão abaixo do eixo x, são negativas, e seus valores absolutos fornecem o valor das áreas de cada um desses retângulos.
 
INTRODUÇÃO à Integral: cálculo de áreas e integrais definidas. Rio de Janeiro: UFRJ, [20--]. Disponível em: http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo1/calculo1pdf/capitulo_21.pdf. Acesso em: 3 ago. 2021.
 
Considere a função f(x) = xcos(x), cujo gráfico está explicitado a seguir.
 
Considerando as informações apresentadas, pode-se afirmar que  será
Alternativas
A)
1.
B)
0.
C) Marcada pelo aluno
-2.
D)
-1.
E)
2.