Cap 3_Triangulo_Velocidades (1)

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3-1 
 
3. TRIÂNGULO DE VELOCIDADES 
3.1 Composição de uma máquina hidráulica 
Uma máquina de fluxo hidráulica é composta basicamente de duas partes de constituição simétrica, uma fixa 
(n=0) e outra móvel (n≠0). A parte fixa é composta pelo sistema diretor, por aletas ajustáveis, o pré-distribuidor, 
injetores e tubo de sucção. Nestes órgãos fixos poderá ocorrer a transformação de energia de pressão em energia de 
velocidade ou energia de velocidade em energia de pressão, conforme seu formato (injetor ou difusor). Estes 
componentes são esquematizados na Figura 3.1, que mostra o esquema de uma turbina, e Figura 3.2, mostrando o 
desenho de uma bomba centrífuga e um rotor. 
 
 
Figura 3.1 – Arranjo de turbina hidráulica 
 
 
Figura 3.2 – Esquema de uma bomba centrífuga 
 
A parte móvel da máquina é formada apenas pelo rotor, composto das pás, cubo e coroa. Este é o principal 
órgão da máquina, responsável pela transformação de energia hidráulica em energia mecânica ou vice-versa. 
Para melhor entender a composição de uma máquina hidráulica, a Figura 3.3 mostra o esquema de uma 
bomba centrífuga. Nela o fluido entra no centro do rotor (olho do rotor), e é capturado pelas pás. O movimento de 
rotação do rotor faz com que o fluido receba energia das pás. Na saída o fluido é descarregado a altas velocidades na 
voluta cuja área da seção transversal aumenta gradualmente à medida que se direciona para a saída da bomba. Este 
formato da voluta faz com que a energia de velocidade do fluido se transforme gradualmente, reduzindo perdas por 
choques e turbulência, em energia de pressão, pela desaceleração do fluido. Algumas bombas têm um sistema 
diretor na saída (em volta do rotor), chamado anel difusor, que tem por objetivo minimizar as perdas ao guiar e 
desacelerar o fluido. 
3-2 
 
 
 
Figura 3.3 – Esquema de uma bomba centrífuga [Fonte: adaptado de CHAPALLAZ et al. 1992] 
 
3.2 Projeções 
Considera-se, de maneira geral, que o escoamento em máquinas hidráulicas se processa em superfícies de 
revolução superpostas. A velocidade do fluido em cada ponto do escoamento possui uma componente tangencial ao 
eixo, uma componente radial e uma componente axial. 
As pás (simples ou em dupla curvatura) e outras partes do rotor, desenhadas conforme o escoamento 
desejado do fluido no rotor, são definidas a partir da sua projeção em dois planos (Figura 3.4): o plano meridiano e o 
plano normal. 
 
 
Figura 3.4 - Planos de representação e trajetória (fonte: Campos, 1996) 
Plano meridiano 
O plano meridiano (Figura 3.5) é um plano paralelo ao eixo da máquina. A representação nesse plano é feita 
pelo rebatimento dos pontos principais da pá sobre o plano, mantendo-se a mesma distância do ponto ao eixo no 
rebatimento. Assim, cada ponto do rotor fica representado no plano pelo traço da circunferência que ele descreveria 
se dotado de rotação em torno do eixo. 
 
3-3 
 
 
Figura 3.5 - Projeção meridiana e normal de uma aresta (fonte: Campos, 1996) 
 
Plano normal 
É um plano perpendicular ao eixo da máquina, da mesma maneira, a representação é feita através do 
rebatimento dos pontos necessários da pá sobre o plano. 
Tendo visto os dois planos a representação de um rotor radial de uma bomba no plano meridiano e no plano 
normal é mostrado na Figura 3.6a. E na Figura 3.6b é apresentado um rotor axial. 
 
 
Figura 3.6 – (a) Rotor radial nos planos (b) - Representação de turbina axial 
 
 
Para as máquinas axiais, além das projeções normal e meridional, pode-se representar o rotor segundo 
vários cortes cilíndricos desenvolvidos, em cada diâmetro em estudo, denominado desenvolvimento de corte 
cilíndrico e mostrado nas Figura 3.7 (a) e (b). 
3-4 
 
 
Figura 3.7 (a) - Rotor axial com corte cilíndrico (b) – Corte cilíndrico do rotor axial 
3.3 Notação 
Com a finalidade de identificação dos pontos principais do rotor é usual adotar-se índices que indiquem as 
posições desses pontos no rotor. Uma convenção possível é a de Betz que apresenta índices que aumentam no 
sentido do escoamento (para todas as máquinas hidráulicas). Ela adota os índices 4 e 5 para as arestas de entrada e 
saída do rotor, respectivamente, e os índices 3 e 6 para os pontos do escoamento imediatamente antes e depois do 
rotor. A Figura 3.8 mostra outros pontos desta convenção. 
 
Figura 3.8- Convenção de Betz (fonte: Campos, 1996) 
 
3.4 Triângulos de velocidade no rotor 
As hipóteses iniciais para análise do triângulo de velocidades consideram que o rotor é composto por um 
número infinito de pás infinitamente finas. Neste caso, consideram-se as linhas de corrente congruentes com as pás 
e o escoamento como sendo unidimensional. Assim, o triângulo de velocidades é válido para todos os pontos 
localizados no mesmo diâmetro. Entre as seções de entrada e saída o escoamento deverá produzir o mínimo de 
perdas com a adoção de perfis ou formatos de pás mais adequados. 
Outras hipóteses consideradas são a de regime permanente (vazão mássica constante); a de que os 
triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor são representativos do escoamento; e a de que as velocidades 
na entrada e saída são uniformes nas seções. 
Para construção do triângulo de velocidades é preciso entender os conceitos de velocidade absoluta e 
velocidade relativa do fluido. 
3-5 
 
Movimento relativo 
É o movimento da partícula percebido por um observador movendo-se com o rotor. Neste caso a trajetória 
(relativa) da partícula acompanha o perfil da pá, como se o rotor estivesse parado (em repouso) e o fluido escoando 
através dos canais formados pelas pás. A velocidade tangente a esta trajetória é conhecida por velocidade relativa e 
será representada por “w” (Figura 3.9). 
 
Figura 3.9 – Movimentos relativo e absoluto [ Fonte: CHAPALLAZ et al., 1992] 
 
Movimento absoluto 
É o movimento da partícula percebido por um observador posicionado fora do rotor. A trajetória da partícula 
resulta da composição de dois movimentos, um dentro dos canais do rotor e outro de rotação do rotor. A velocidade 
tangente a esta trajetória é denominada velocidade absoluta e será representado por “c” (Figura 3.9). 
Velocidade tangencial1 
Como o rotor está em movimento de rotação, o fluido que escoa através de seus canais acompanha esse 
movimento. É possível obter a velocidade tangencial do fluido em cada ponto do rotor, sabendo sua posição 
(diâmetro) e a rotação do rotor. A esta velocidade é dada o nome de velocidade tangencial e representada por “u”. 
Sabendo a velocidade angular ω, assim como as dimensões geométricas do rotor, a componente tangencial 
é expressa por: 
 
 (3.1) 
 
 
 D: diâmetro [m] no ponto considerado 
 n: rotação [rpm] 
 ω: velocidade radial [rd/s] 
 r: raio [m] no ponto considerado 
 u: velocidade tangencial [m/s] 
Triângulos de velocidade 
Finalmente, o triângulo de velocidades é formado pelas três velocidades vistas anteriormente e podem ser 
representadas na forma vetorial por: 
 
 (3.2) 
 
 
1 Também conhecida por velocidade de arrastamento, circunferencial ou periférica. 
60
Dnru  
uWC 


3-6 
 
Sua representação gráfica é dada pela Figura 3.10 e as componentes mostradas na figura são definidas a 
seguir. 
 
Figura 3.10 – Exemplo de triângulo de velocidades 
 
 c: velocidade absoluta [m/s] do escoamento no ponto em estudo; 
 u: velocidade tangencial [m/s] do escoamento no ponto em estudo; 
 w: velocidade relativa [m/s] do escoamento no ponto em estudo; 
 Cm: componente meridiana da velocidade absoluta (projeção da velocidade absoluta C sobre o plano meridiano); 
 Cu: componente tangencial da velocidade absoluta (projeção da velocidadeabsoluta sobre a direção tangencial); 
 : ângulo formado pela velocidade absoluta e a velocidade tangencial, também chamado ângulo do escoamento absoluto; 
 β: ângulo formado pela velocidade relativa e a tangencial, também chamado ângulo do escoamento relativo ou ângulo 
construtivo da pá. 
 
O triângulo de velocidades pode ser construído em qualquer ponto do rotor, porém, a entrada e a saída são 
os pontos mais importantes e serão os objetos de estudo deste ponto em diante (Figura 3.11). 
 
Figura 3.11 - Trajetórias em uma bomba centrífuga [adaptado de CHAPALLAZ et al., 1992] 
 
A Figura 3.12 mostra triângulos de velocidades, na saída do rotor, para alguns tipos de rotores de bombas e 
ventiladores com base no ângulo construtivo: β5>90º (pás curvadas para frente), β5=90º (pás retas), e β5<90º (pás 
curvadas para trás). 
 
 
Figura 3.12 – Tipos de rotores em bombas e ventiladores e seus triângulos de velocidades 
3-7 
 
Velocidade meridiana (componente meridiana) e Vazão 
A componente meridiana da velocidade absoluta (Cm) tem direção normal à seção transversal em que o 
fluido escoa. Sua importância está em sua relação com a vazão de fluido que escoa através do rotor. Considerando o 
princípio da conservação da massa para regime permanente: 
 SC AdC 0.

 
Aplicando ao volume de controle delimitado pelas paredes do rotor e pelas seções de entrada (4) e saída (5), 
e considerando o escoamento uniforme na seção de escoamento: 
 
 
Considerando que o produto interno é dado por: 
555
444
.
.
cos.
dACAdC
dACAdC
AdCAdC
m
saída
m
entrada
 
 
 


 
Aplicando: 
 
 
(3.3) 
 
A unidade do produto “CmA” é [m3/s], ou seja, a vazão de fluido por determinada seção do rotor. 
Para cálculo das áreas serão feitas algumas considerações em relação às notações previamente definidas. 
Quando forem citados os diâmetros (D) de entrada e de saída do rotor, estarão se referindo a D3 (=D4) e D6 (=D5). O 
mesmo se aplicará às alturas (b) das pás na entrada e saída, referidas por b3 (=b4) e b6 (=b5). 
Desta forma, as áreas das seções de entrada (3) e saída (6), regiões imediatamente antes e imediatamente 
depois do rotor respectivamente, são definidas para as máquinas radiais por: 
666333 bDAebDA   (3.4) 
Para máquinas axiais estas áreas são dadas por: 
 2263 4 ie DDAA 

, (3.5) 
onde o sub índice e indica o diâmetro externo, e i indica o diâmetro interno. 
Se as pás tiverem espessura desprezível, então: 
6534 AAeAA  (3.6) 
Se as espessuras das pás não forem desprezíveis, então haverá um estrangulamento da área se comparadas 
às áreas pouco antes da entrada do rotor (ponto “3”) e na entrada do rotor (ponto “4”). Da mesma forma para a 
região da saída do rotor (ponto “5”) e pouco depois da saída do rotor (ponto “6”). Pode-se definir esta 
redução/estrangulamento da área por um fator de estrangulamento (f), onde 1<f<0, e a relação entre as áreas fica: 
 
655344 AfAeAfA  (3.7) 
 
Aplicando a conservação da massa nas seções de entrada e saída: 
 


Q
m
Q
m
ívelincompress
mm
mm
ACACACAC
dACdACAdCAdC

 
 
44554455
5454
0
0..


0..
54
  AdCAdC


3-8 
 
443344334433 fCCAfCACACACQ mmmmmm  
443 fCC mm  (3.8) 
556666556655 fCCACAfCACACQ mmmmmm  
556 fCC mm  (3.9) 
 
Os fatores de estrangulamento são definidos por 
 
Figura 3.13 – Esquemas de pás com respectivas espessuras (s) 
 
sen
SS t  (3.10) 
t
St
f t

 (3.11) 
Há diferença entre as espessuras s e st. A primeira indica a espessura da pá e a segunda indica a “espessura 
de recobrimento” da pá nos perímetros de entrada e saída (Fig.3.13). Observe que o valor de s é o mesmo para a 
entrada e a saída, mas st pode ter valores distintos nestas regiões, uma vez que é função do ângulo construtivo da pá 
nestas regiões. 
E finalmente, fica fácil perceber que se as espessuras das pás são desprezíveis, então o fator de 
estrangulamento é “1” (pois St≈0) e as velocidades meridianas em “3” e “4” são iguais, o mesmo ocorrendo para os 
pontos “5” e “6”. 
 
Ângulo α 
É o ângulo entre a velocidade absoluta (C) e a velocidade tangencial (u). 
u
m
C
C
tg 
 (3.12) 
Ângulo β – ângulo construtivo da pá 
É fixado a partir do momento em que se define a curvatura (o desenho, isto é, o projeto mecânico do rotor) 
das pás, na entrada até a saída do rotor. 
u
m
u
m
W
C
Cu
Ctg 


 (3.13) 
3-9 
 
Triângulo de velocidades para rotor de máquina hidráulica geradora radial 
Será considerado que na entrada da pá ocorre escoamento “sem choque”, e a velocidade relativa “w4” 
deverá ser tangente à pá, formando o ângulo “4” com a direção tangencial. Na saída a velocidade relativa “w5” é 
tangente à pá formando o ângulo “5” com a direção tangencial. Isto só ocorre devido à consideração do número 
infinito de pás. 
 
Figura 3.12 - Representação das velocidades em rotor de bomba radial (fonte: Campos, 1996) 
 
A velocidade meridiana (Cm) é normal às seções de entrada e saída do rotor. Para o rotor radial da Figura 
3.12, a vazão é estabelecida em função da área e da componente meridiana. Caso as espessuras das pás sejam 
desprezadas: 
555444 mm CbDCbDQ   (3.14) 
Se as espessuras das pás forem consideradas, devem ser verificadas as relações de velocidades meridianas, 
conforme já visto, ou então pode-se chegar facilmente à seguinte fórmula para vazão 
mt CSbZbDQ














 
pás pelas ocupada
 escoamento
de seção da Áreapás das livre
escoamento do Área
.... (3.15) 
 “Z” é o número de pás do rotor. 
 
O triângulo de velocidade na entrada estabelece a condição de entrada radial (4 = 900) para o ponto de 
projeto, de modo que Cu4 = 0 e Cm4=C4. O ângulo construtivo 4 deve ser tal que, 
4
4
4 u
C
arctg m
 (3.16) 
para não haver choque (ou incongruência do escoamento com a pá) na entrada. 
3-10 
 
 
Figura 3.14 - Triângulos de velocidade – máquina hidráulica geradora radial (fonte: Campos, 1996) 
Triângulo de velocidades para rotor de máquina hidráulica geradora axial 
A particularidade deste tipo de rotor é a igualdade das componentes “Cm” na entrada e na saída devido à 
igualdade das áreas, e também a igualdade da componente tangencial “u” na entrada e na saída para o mesmo 
diâmetro. 
 
Figura 3.15 - Triângulos de velocidade – máquina hidráulica geradora axial (fonte: Campos, 1996) 
 
O corte cilíndrico representado na Figura 3.15 é relativo ao diâmetro médio, sendo o corte da pá 
representado por uma curva. Na realidade, as pás de máquinas axiais possuem uma certa espessura, e nos casos de 
máquinas de bom rendimento o corte é um perfil aerodinâmico. A vazão para esta máquina é dada por: 
 
    522422 44 miemie CDDCDDQ 

 (5.17) 
3-11 
 
Triângulo de velocidades para rotor de máquina hidráulica motora 
A máquina motora axial é representada na Figura 3.16 (a), e a radial na Figura 3.16 (b). Na radial as 
componentes meridionais (Cm) na entrada e na saída não são necessariamente iguais. Estas serão iguais se a 
máquina for de seção constante. Na máquina axial as componentes meridionais (Cm) são necessariamente iguais, e 
as componentes tangenciais (u), serão iguais ao considerarmos o mesmo diâmetro. 
 
 Figura 3.16 – (a) Máquina hidráulica motora axial (b) Máquina hidráulica motora radial (fonte: Campos, 1996) 
Sistema diretor de máquina hidráulica radial 
Aplicando a equação da conservação da massa na formulação integral,considerando regime permanente e 
velocidade uniforme nas seções, para a superfície de controle composta das superfícies de controle I e II , e uma vez 
que não há fluxo pelas laterais (Figura 3.17 (a)), pode-se simplificar a equação da continuidade, desenvolvida 
inicialmente para máquinas geradoras. 
 
Figura 3.17 – (a) Sistema diretor radial (b) Sistema diretor axial (fonte: Campos, 1996) 
 
 SC AdC 0

 
 ACACdACdAC mmSCI mSCII m 778887788 0   
ou: 
 77778888 bDCbDC mm   (3.18) 
3-12 
 
Ao considerar b7=b8 , e b1=b2 tem-se para máquinas hidráulicas geradoras: 
7878
8
7
7
8 ppeCC
D
D
Cm
Cm
mm  
Verifica-se que há uma desaceleração do escoamento na direção da saída para caixa espiral. 
Para máquinas hidráulicas motoras: 
2121
1
2
2
1 ppeCC
D
D
Cm
Cm
mm  
Há, portanto, uma aceleração do escoamento na direção da entrada do rotor. 
 Sistema diretor de máquinas hidráulicas axiais 
Da mesma maneira, pode-se considerar: 
 221121 ACACQQ mm  
Sendo: 
 
 
A
De Di
1
1
2
1
2
4


 e 
 
A
De Di
2
2
2
2
2
4


 (3.19) 
Para máquinas axiais (Figura 3.17 (b)) a área na entrada é igual a área na saída do sistema distribuidor, pois 
De1=De2 e Di1=Di2 , sendo De e Di , respectivamente, os diâmetros externos e internos, da coroa circular por onde 
passa a água, tanto para turbinas quanto para bombas axiais. Então: 
 Para MHM: Cm Cm1 2 
 Para MHG: Cm Cm7 8 
EXERCÍCIOS SUGERIDOS 
1. Desenhar e determinar os triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor de uma bomba centrífuga. Sabe-se que o mesmo 
gira a 1470 rpm, o canal é de secção constante e a espessura das pás desprezível. São conhecidos ainda: 
a. Diâmetro de saída igual ao dobro do diâmetro de entrada; 
b. Ângulo construtivo da pá na entrada: 30º 
c. Ângulo construtivo da pá na saída: 38º 
d. Diâmetro na entrada: 0,2 m 
R. u4=15,44m/s; u5=30,8m/s; c4= cm4=8,9m/s; c5= 21,3m/s; cm5= cm4=8,9 m/s; w4=17,8m/s; w5=14,5m/s; α4=90º; α5=24,7º 
 
2. Pede-se desenhar e determinar os elementos dos triângulos de velocidades para os diâmetros de entrada e saída de um ventilador 
radial, do qual são conhecidos: 
a. Rotação do rotor: 750 rpm 
b. Vazão: 240 m3/min 
c. Diâmetro na entrada do rotor: 600 mm 
d. Diâmetro na saída do rotor: 855 mm 
e. Ângulo construtivo da pá na saída do rotor: 90º 
f. Por motivos de facilidade de construção, as alturas das pás na entrada e saída do rotor são iguais e valem 210 mm; e 
g. A espessura das pás é desprezível. 
R. u4=23,55m/s; u5=33,6m/s; c5=34,34m/s; c4=cm4=10,11m/s; cm5=7,1 m/s; w4=25,6m/s; w5=7,1m/s; α4=90º; α5=11,9º 
 
3. Em uma turbina de reação são conhecidos: 
a. Altura da pá na entrada: 8 cm 
3-13 
 
b. Altura da pá na saída: 13 cm 
c. Diâmetro de entrada: 60 cm 
d. Ângulo construtivo da pá na entrada: 120º 
e. Ângulo construtivo da pá na saída: 30º 
f. Número de pás: 15 
g. Espessura das pás: 6 mm 
Sabendo-se que o canal tem secção transversal constante, pede-se determinar para uma rotação de 600 rpm: a vazão e o ângulo 
formado entre a velocidade absoluta e a velocidade tangencial na entrada do rotor. (R. Q= 1,047m3/s; α4=17,7º ) 
4. Tem-se uma bomba centrífuga cujo rotor gira a 1150 rpm e tem as seguintes dimensões: 
a. Altura da pá na entrada: 40,7 mm 
b. Diâmetro do rotor na entrada: 178 mm 
c. Diâmetro do rotor na saída: 381 mm 
d. Ângulo construtivo da pá na entrada: 18º 
e. Ângulo construtivo da pá na saída: 20º 
Desprezando-se a espessura das pás pede-se: 
f. Os elementos dos triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor 
g. A vazão recalcada pela bomba 
h. Canais de seção transversal constante 
R. u4=10,71m/s; u5=22,93m/s; c4=3,5m/s; c5=13,8m/s; cm4=cm5=3,5 m/s; w4=11,27m/s; w5=10,23m/s; α4=90º; α5=14,7º; Q= 7,96.10-2m3/s 
5. Uma turbina Francis operando com 79 m3/h e sob uma queda de 6,8 mca e rotação de 1025 rpm desenvolve uma potência hidráulica 
de 1,99 CV. São conhecidos os seguintes elementos do seu rotor: 
a. Diâmetro de saída: 0,0725 m 
b. Altura da pá na saída: 31,6 mm 
c. Altura da pá na entrada: 17 mm 
d. Ângulo construtivo da pá na entrada: 90º 
Considerando canais de seção transversal constante e espessura das pás desprezível, pede-se determinar os elementos dos 
triângulos de velocidades para a entrada e saída do rotor. 
R. u4=7,13m/s; u5=3,9m/s; c4=7,8m/s, c5=3,1m/s; cm4=cm5=3,1 m/s; cu4=7,13m/s; cu5=0, wu4=0m/s; wu5=3,9m/s, w4=3,1m/s; w5=5m/s; α4=21,7º; 
α5=90º; β5= 38,5º 
6. Uma instalação de bombeamento opera na captação de água da estação de tratamento que serve a uma indústria de abate de gado. 
Para bombear 453 m3/h a bomba tem um rotor com diâmetros de entrada e de saída de 200 mm e 400 mm respectivamente. A 
altura do rotor na entrada é de 40 mm e na saída de 20 mm, os ângulos construtivos das pás na entrada e saída são de 18º25’ e 20º 
respectivamente. O coeficiente de estrangulamento do rotor na entrada é de 0,815. Considerando a seção transversal constante 
determine: a) o valor da componente absoluta na direção tangencial na saída do rotor (R. 20 m/s); e b) o valor do ângulo formado 
entre a velocidade absoluta e a velocidade tangencial na saída do rotor (R. 17º). 
 
7. Determine os componentes do triângulo e velocidades do rotor de uma bomba centrífuga que opera a 970 rpm, com vazão de 0,055 
m3/s, cujo desenho é dado a seguir. Considere α4≠90º, espessura das pás é desprezível. ( R. u4=10,16m/s; u5=20,32m/s; c4=2,68m/s, 
c5=16,49m/s; cm4=1,99m/s; cm5=2,3 m/s; cu4=1,8m/s; cu5=16,33m/s, wu4=8,37m/s; wu5=3,98m/s, w4=8,6m/s; w5=4,6m/s; α4=47,93º; α5=13,7º) 
 
 
 
 
 
 
 
 
3-14 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
CAMPOS, M.C. Apostila de Máquinas Hidráulicas-UFPR. Curitiba: 1996. 
CHAPALLAZ, J.M.; EICHENBERGER, P.; FISCHER, G. Manual of pumps used as turbines. Deutsches Zentrum fur 
Entwicklungstechnologien GATE: Eschborn, 1992. Disponível em: http://www.nzdl.org/gsdlmod?e=d-00000-00---off-0hdl--00-0----0-10-0---0---
0direct-10---4-------0-1l--11-en-50---20-about---00-0-1-00-0-0-11-1-0utfZz-8-00&cl=CL1.11&d=HASH011f05bf8734d88d1a080257.1&gc=1. Visitado: 10/10/2014. 
GUIMARÃES, L.B. Máquinas hidráulicas. Curitiba: UFPR, 1991. 
TURTON, R.K. Principles of turbomachinery. 2th ed. London: Chapman & Hall, 1995.