Lista de Exercícios VI

Prévia do material em texto

Lista de Exercícios VI – Análise Estatística 
Teste de Hipótese 
Prof. Frank Magalhães 
Sugestão de leitura: Capítulos 8 e 9 do livro Noções de Probabilidade e 
Estatística do Marcos Nascimento Magalhães. 
Questão 01: Elabore um quadro esquemático contendo as estatísticas de teste 
Normal, t-Student, Qui-quadrado e F para Testes de Hipótese de média, proporção 
e variância, considerando uma e duas populações. 
Questão 02 (Ex. 10 seção 8.6 – Magalhães): Considere o teste 𝑝 = 0,6 contra 𝑝 ≠
0,6. Sendo 𝑛 = 100, indique a propabilidade de erro tipo I para as seguintes regiões 
críticas: 
a. 𝑅𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 0,56 𝑜𝑢 𝑥 > 0,64}. 
b. 𝑅𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 0,54 𝑜𝑢 𝑥 > 0,66}. 
Questão 03 (Ex. 1 seção 9.2 – Magalhães): Para se avaliar o nível de tensão 
ocasionada por exames escolares, doze alunos foram escolhidos e sua pulsação 
medida antes e depois do exame. (Resposta no livro) 
Instante da medição 
Estudantes 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Antes 87 78 85 93 76 80 82 77 91 74 76 79 
Depois 83 84 79 88 75 81 74 71 78 73 76 71 
Faça um teste, com nível de significância de 1%, para verificar se existe maior 
tensão (isto é, maior pulsação) antes da realização dos exames. Indique as 
suposições necessárias. 
Questão 04 (Ex. 2 seção 9.2 – Magalhães): Sabe-se que o tempo necessário para 
percorrer uma determinada rota no final da tarde pode ser estudado por um modelo 
Normal com desvio padrão de 17 minutos. Foram instalados sensores para controlar 
o tempo de abertura dos semáfaros presentes na rota e deseja-se verificar se o 
tempo gasto para completar o percurso diminuiu. Estudos anteriores indicam que o 
tempo deve continuar se comportando segundo um modelo Normal, com mesmo 
desvio padrão. Com os sensores desativados, 11 veículos de mesmo ano e marca, 
denominado Grupo Controle, tiveram o tempo gasto no percurso anotado. Em 
seguida, os sensores foram ativados e outros 13 veículos (Grupo Teste) 
percorreram a mesma rota. Os tempos observados, em minutos, foram os 
seguintes. 
Grupo Tempos utilizados no percurso 
Controle 38 26 20 70 16 26 38 32 45 49 32 
Teste 17 31 28 21 50 21 20 51 10 22 18 35 29 
Indique se o uso dos sensores contribui para diminuir o tempo médio de percurso 
utilizando o nível descritivo do teste (𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟) 
Questão 05 (Ex. 3 seção 9.2 – Magalhães): Para verificar se duas populações têm 
a mesma média, amostras independentes foram retiradas. Sabendo que a 
população I é 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙(𝜇1, 25) e a população II 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙(𝜇1, 40), que conclusão pode 
ser tirada, ao nível de 2%? Os valores obtidos foram: (Resposta no livro) 
População Dados 
I 12 14 15 14 13 17 14 13 
II 13 17 14 13 16 17 18 16 
Questão 06 (Ex. 4 seção 9.2 – Magalhães): As variáveis 𝑋 e 𝑌 seguem a 
distribuição Normal com mesma variância. Deseja-se testar se, também, têm a 
mesma média. Doze observações de cada variável foram escolhidas e os resultados 
foram os seguintes: 
∑ 𝑥𝑖
12
𝑖=1
= 48, ∑ 𝑦𝑖
12
𝑖=1
= 56, ∑ 𝑥𝑖
2
12
𝑖=1
= 4900, ∑ 𝑦𝑖
2
12
𝑖=1
= 5650. 
Qual é a conclusão ao nível de significância de 5%? 
Questão 07 (Ex. 5 seção 9.2 – Magalhães): Para comparar as médias de duas 
populações Normais, amostras aleatórias foram obtidas. Sabe-se que as variâncias 
populacionais são diferentes, sendo seus valores desconhecidos. (Resposta no livro) 
Amostra I 7 9 3 8 11 5 9 
Amostra II 2 7 5 15 9 16 8 
O que pode ser dito a respeito das médias das populações, com 𝛼 = 0,05? 
Questão 08 (Ex. 1 seção 9.3 – Magalhães): Supondo que 𝐹~(𝑎, 𝑏), encontre 𝑥𝑐 tal 
que: (Respostas no livro) 
a. 𝑃(𝑋 ≥ 𝑥𝑐) = 0,05 com 𝑎 = 18 e 𝑏 = 3. 
b. 𝑃(𝑋 > 𝑥𝑐) = 0,05 com 𝑎 = 3 e 𝑏 = 18. 
c. 𝑃(𝑋 > 𝑥𝑐) = 0,05 com 𝑎 = 180 e 𝑏 = 192. 
d. 𝑃(𝑋 ≥ 𝑥𝑐) = 0,95 com 𝑎 = 5 e 𝑏 = 12. 
e. 𝑃(𝑋 ≥ 𝑥𝑐) = 0,95 com 𝑎 = 30 e 𝑏 = 40. 
Questão 09 (Ex. 2 seção 9.3 – Magalhães): Uma linha de montagem produz peças 
cujos pesos, em gramas, obedecem ao modelo Normal com variância 30 𝑔2. Os 
equipamentos foram modernizados e, para verificar se o processo continua sob 
controle, foi tomada uma amostra de 23 peças, que forneceu 𝑠𝑜𝑏𝑠
2 = 40 𝑔2. Existem 
evidências indicando que a variância mudou, considerando 𝛼 = 10%? 
Questão 10 (Ex. 3 seção 9.3 – Magalhães): Uma panificadora produz determinado 
tipo de pão, cujo peso médio é de 190 gramas, com desvio padrão de 18 gramas. 
Devido a mudanças na política cambial, que ocasionou aumento no preço do trigo, 
alguns ingredientes da receita foram substituídos. Uma equipe do governo resolveu 
verificar se a variabilidade no peso do produto aumentou e escolheu, 
aleatoriamente, 16 unidades, medindo o peso de cada uma. O peso médio obtido da 
amostra foi de 102 gramas e o desvio padrão foi de 24,5 gramas. Qual a conclusão 
para 𝛼 = 10%? (Respostas no livro) 
Questão 11 (Ex. 4 seção 9.3 – Magalhães): Para comprar o grau de diversidade 
de duas populações primitivas, uma medida antropométrica foi obtida em fósseis 
coletados em sítios arqueológicos, fornecendo a tabela a seguir. 
Característica Sítio A (n=17) Sítio B (n=23) 
Média (cm) 15,12 12,21 
Variância (cm2) 0,124 0,184 
O que pode ser concluído a respeito das variâncias? E das médias populacionais? 
 
 
 
Questões da ANPEC 
Nas questões NÃO NUMÉRICAS verifique, de acordo com a instrução de cada uma 
delas, se os itens são VERDADEIROS ou FALSOS. 
 
Questão 01 (2011 – Q.01): Considere as seguintes afirmativas acerca de um teste 
de hipótese: 
Ⓞ O erro tipo I é definido como a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula 
quando a hipótese nula é falsa. 
① O poder do teste é definido como a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula 
quando a hipótese nula é verdadeira. 
② O erro tipo II é definido como a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula 
quando a hipótese alternativa é verdadeira. 
③ O p-valor de um teste é a probabilidade, sob a hipótese nula, de obter um valor 
da estatística pelo menos tão extremo quanto o valor observado. 
④ Se um intervalo de confiança de 95% para a média amostral, calculado a partir 
de uma amostra aleatória, excluir o valor 0, pode-se rejeitar a hipótese de que a 
média populacional seja igual a 0 ao nível de significância de 5%. 
Questão 02 (2006 – Q.04): Com relação a testes de hipóteses, julgue as 
afirmativas: 
Ⓞ Em um teste de hipóteses, comete-se um erro do tipo I quando se rejeita uma 
hipótese nula verdadeira. 
① O poder de um teste de hipóteses é medido pela probabilidade de se cometer 
o erro tipo II. 
② A soma das probabilidades dos erros tipo I e tipo II é igual a 1. 
③ Quanto maior for o nível de significância de um teste de hipóteses maior será 
o valor-p a ele associado. 
④ Se o valor-p de um teste de hipóteses for igual 0,015, a hipótese nula será 
rejeitada a 5%, mas não a 1%. 
Questão 03 (2005 – Q.06): Seja nXXXX ........,,,, 321 uma amostra aleatória de 
tamanho n de uma população normal com média  e variância 2 . Julgue as 
afirmativas: 
Ⓞ A probabilidade de a média populacional, , estar contida no intervalo de 
confiança ]96,1,96,1[
n
X
n
X

 é igual a 95%. 
① Se a variância 2 é desconhecida, o intervalo de confiança de 95% para a média 
 será ],[
n
s
tX
n
s
tX cc  , em que s é o desvio padrão da amostra, ct é 
calculado de forma que 95,0)|(|  cttP , e t segue uma distribuição de Student 
com n -1 graus de liberdade. 
② Se construirmos vários intervalos de confiança para a média  com amostras 
de idêntico tamanho, mesma variância 2 e mesma margem de confiança, 
estes terão extremos aleatórios, mas todos terão a mesma amplitude. 
③ Num teste de hipótese: 00 : H contra 0: aH , se o intervalo de 
confiança estimado para a média  não contiver o valor de 0 , então deve-se 
aceitar a hipótese de que 0 . 
④ Se a amostra aleatória nXXXX ........,,,, 321 não provém de uma distribuição 
normal, não se pode construir um intervalo de confiança para a média , ainda 
que a amostraseja muito grande. 
Questão 04 (2004 – Q.06): Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída 
com média  e variância conhecida 2 =1, da qual se obtém a amostra aleatória 
X1, X2, ..., Xn (com n observações). É correto afirmar que: 
Ⓞ A média amostral é uma variável aleatória normalmente distribuída com média 
e variância 1/n. 
① A probabilidade de o intervalo de confiança ]/96,1,/96,1[ nXnX  conter a 
média da população, , é de 95%. 
② A probabilidade de o intervalo de confiança ]/96,1,/96,1[ nXnX  conter a 
média amostral é de 95%. 
③ O intervalo de 95% para a média populacional independe do tamanho da 
amostra. 
④ Em um intervalo de confiança de 95% para a média populacional, μ, espera-se 
que, extraindo-se todas as amostras de mesmo tamanho dessa população, esse 
intervalo conterá μ 95% das vezes. 
Questão 05 (2002 – Q.05): Indique se as seguintes considerações sobre a teoria 
dos testes de hipótese são verdadeiras (V) ou falsas (F). 
Ⓞ O erro do tipo II é definido como a probabilidade de não se rejeitar uma hipótese 
nula quando esta for falsa e o erro do tipo I é definido como a probabilidade de 
se rejeitar a hipótese nula quando esta for verdadeira. 
① No teste de hipótese para proporções, se a variância da proporção populacional 
for desconhecida, a estatística t de Student com n-1 graus de liberdade (n é o 
tamanho da amostra) é a indicada para o teste. 
② Num teste de hipótese bi-caudal, o valor-p (ou valor de probabilidade) é igual a 
duas vezes a probabilidade da região extrema delimitada pelo valor calculado da 
estatística do teste. 
③ Não se pode realizar um teste de hipótese para a variância populacional pois a 
estatística do teste, que segue uma distribuição Qui-quadrado com n -1 graus de 
liberdade (n é tamanho da amostra), não é simétrica. 
 ④ No teste de hipótese para a média (H0:  = 0 contra Ha:   0), ao nível de 
significância , se o intervalo de confiança com 1- de probabilidade não 
contiver = 0, não se poderá rejeitar H0. 
Questão 06 (1998 – Q.09): Uma máquina está sendo examinada com o objetivo de 
substituir a máquina antiga de certa indústria. Segundo o fabricante da nova 
máquina, a proporção (P) de peças defeituosas produzida é de 3% ou menos. 
Uma amostra de 2.000 peças foi examinada e foram encontradas 74 peças 
defeituosas. 
 
Ⓞ As hipóteses para um teste estatístico de hipóteses devem ser 
H0: P = 0,03 e HA: P < 0,03. 
① Ao realizarmos o teste de hipóteses para o problema, ao nível de significância 
de 5%, a hipótese nula deve ser rejeitada. 
② Utilizando a proporção de peças defeituosas encontradas na amostra, a 
estimativa por intervalo para a verdadeira proporção de peças defeituosas 
produzida pela nova máquina, utilizando uma confiança de 95%, é ( 
2,87%; 4,53%). 
③ Admitindo que a verdadeira proporção de peças defeituosas seja 3%, seria 
necessário uma amostra de 3.000 peças para que o erro máximo admissível 
entre a proporção estimada e a verdadeira não excedesse a 1%, com 
probabilidade de 95%. 
④ Se as probabilidade de que um intervalo de confiança contenha o verdadeiro 
parâmetro populacional  é igual a (1 - ), isto significa que se retirássemos um 
número infinito de amostras da população em estudo e se para cada uma das 
amostras calculássemos o intervalo de confiança do parâmetro , então em (1 - 
)% destes intervalos conteriam o verdadeiro parâmetro . 
Questão 07 (1997 – Q.11): A vida útil de um tubo de televisão tem distribuição 
Normal com desvio padrão (conhecido) de 500 horas. O fabricante afirma que a vida 
útil média dos tubos é de, no mínimo, 9.000 horas. Sabendo-se que a vida útil média 
encontrada para uma amostra aleatória de 16 tubos foi de 8.800 horas, podemos 
afirmar que: 
Ⓞ Para verificar a veracidade da informação do fabricante através de um teste 
estatístico de hipóteses, as hipóteses são: 
Hipótese nula: H0:  = 9.000 horas 
Hipótese alternativa : H1:  > 9.000 horas 
① Ao nível de significância de 5%, não podemos contestar a afirmação do 
fabricante. 
② Se a informação amostral fosse obtida de uma amostra de 36 tubos, ao nível de 
significância de 2,5% também não podemos contestar a afirmação do 
fabricante. 
③ O tamanho mínimo da amostra para uma estimativa por intervalo da vida média 
dos tubos deveria ser de 50 tubos, de modo que o erro da estimativa não 
excedesse a 100 horas, com uma probabilidade de 95%. 
④ Caso desconheçamos o desvio padrão populacional é impossível testar a 
validade da afirmação do fabricante. 
Questão 08 (1995 – Q.14): O representante de um grupo comunitário informa a 
uma pessoa interessada em estabelecer um centro comercial que a renda média 
familiar na área é de R$ 15.000. Suponha que, para a área em questão, seja 
possível admitir que a renda média familiar tem distribuição aproximadamente 
normal, e que se possa aceitar o desvio-padrão como sendo R$ 2.000 (com base 
em um estudo anterior). Para uma amostra aleatória de 16 famílias, a renda média 
familiar foi de R$ 15.500. O centro comercial só será construído se o nível médio de 
renda familiar () for maior que o informado. 
Ⓞ A hipótese nula deve ser H R0 000: $15. . 
① A hipótese alternativa deve ser H R1 000: $15. . 
② Não pode ser realizado qualquer teste pois o número de elementos da amostra é 
pequeno. 
③ A estatística que deve ser utilizada para a elaboração do teste é a Z, que tem 
distribuição N(0,1). 
④ Um teste feito ao nível de significância de 5% permite concluir que a condição 
para a construção do centro será satisfeita. 
Questão 09 (1991 – Q.07): Com respeito aos testes de hipóteses pode-se afirmar 
que: 
Ⓞ O nível de significância de um teste é a probabilidade de cometer erro do tipo I, 
isto é, a probabilidade de aceitar a hipótese nula, quando ela é falsa. 
① O valor 1 -  é o poder do teste, onde  é a probabilidade do erro do tipo II, isto é, 
a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. 
② Se x xn1,..., é uma amostra aleatória de uma população normal com média  e 
variância conhecida 2, para testar 
H0 :   0 contra H1 :   0 
 usa-se a distribuição t de Student. 
③ Dada uma população de indivíduos de tamanho n, deseja-se verificar se a 
população de empregados é de 0,5. Esta verificação pode ser feita através do 
teste de hipóteses: 
H0 : p1 2/ contra H1 : p1 2/ 
 usando-se, para tanto, a distribuição normal como aproximação da binomial. 
④ Uma empresa afirma que 60% dos seus empregados são ligados à produção. 
Para verificar esta afirmativa, o sindicato decide usar uma amostra de 200 
trabalhadores e observa que 105 deles estão ligados à produção. Ao nível de 
significância de 5% pode-se afirmar que o número de empregados ligados à 
produção é inferior a 60%. 
Questão 10 (1991 – Q.09): Em relação às distribuições de probabilidade pode-se 
afirmar que: 
Ⓞ As medidas de localização, média, moda e mediana coincidem na distribuição 
normal. 
① A soma de qui-quadrados independentes tem distribuição qui-quadrado. 
② Uma variável aleatória com distribuição F de Snedecor é proporcional ao 
quociente de qui-quadrados independentes. 
③ A distribuição t de Student é caracterizada por um único parâmetro que 
representa os seus graus de liberdade. 
④ A distribuição qui-quadrado é simétrica.