Aula 06_Eq_ Dif_Fator Integrante

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Equações
Diferenciais
Equações
Diferenciais
Aula 06:
Equações Dif. Lineares de 
Primeira Ordem.
(Fator Integrante)
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem.
(Fator Integrante)
Uma equação da forma 𝐲′ + 𝑷 𝒙 . 𝒚 = 𝑸(𝒙) é
denominada de equação diferencial linear de
primeira ordem.
Se 𝑸 𝒙 = 𝟎, a equação linear é homogênea. Se
𝑸 𝒙 ≠ 𝟎, e equação linear é não homogênea.
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem.
(Fator Integrante)
Resolução de uma E.D. linear de Primeira 
Ordem.
➢Escrever a equação 𝐲′ + 𝑷 𝒙 . 𝒚 = 𝑸(𝒙).
➢Encontrar o fator integrante 𝐼 𝑥 = 𝑒׬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥. 
➢Multiplicar a equação pelo fator integrante.
➢Integrar ambos os lados da equação obtida.
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exemplo.
1) Resolva a equação diferencial 𝐲′ + 𝟓. 𝒚 = 𝟎. 
➢Escrever a equação 𝐲′ + 𝑷 𝒙 . 𝒚 = 𝑸(𝒙).
𝐲′ + 𝟓. 𝒚 = 𝟎
 A equação já esta no formato ideal, onde 𝑃 𝑥 = 5 e 𝑄 𝑥 = 0.
➢Encontrar o fator integrante 𝐼 𝑥 = 𝑒׬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥.
𝐼 𝑥 = 𝑒׬ 5 𝑑𝑥
𝐼 𝑥 = 𝑒5𝑥
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exemplo.
➢Multiplicar a equação pelo fator integrante.
𝑒5𝑥 . 𝐲′ + 𝟓. 𝑒5𝑥 . 𝒚 = 𝑒5𝑥 . 𝟎
𝑒5𝑥 . 𝐲′ + 𝟓. 𝑒5𝑥 . 𝒚 = 𝟎
O lado esquerdo da equação sempre poderá ser escrito da seguinte 
forma:
𝒅
𝒅𝒙
𝒆𝟓𝒙. 𝒚 = 𝟎
Encontre a derivada da função 𝒇 𝒙 = 𝒆𝟓𝒙. 𝒚 ,sabendo que y 
é uma função de x.
- Temos que utilizar a regra do produto.
𝒅
𝒅𝒙
𝒆𝟓𝒙. 𝒚 = 𝒆𝟓𝒙. 𝒚′ + 𝟓. 𝒆𝟓𝒙. 𝒚
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante):
JUSTIFICATIVA PARA A DERIVADA ESTAR ESCRITA DO 
LADO ESQUERDO DA EQUAÇÃO.
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exemplo.
➢Integrar ambos os lados da equação obtida.
𝒅
𝒅𝒙
𝒆𝟓𝒙. 𝒚 = 𝟎
න
𝒅
𝒅𝒙
𝒆𝟓𝒙. 𝒚 = න 𝟎 𝒅𝒙
𝒆𝟓𝒙. 𝒚 = 𝑪
𝒚 =
𝑪 
𝒆𝟓𝒙
𝒚 = 𝑪. 𝒆−𝟓𝒙
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exemplo.
2) Resolva a equação diferencial
𝒅𝒚
𝒅𝒙
− 𝟑. 𝒚 = 𝒆𝟐𝒙. 
➢Escrever a equação 𝐲′ + 𝑷 𝒙 . 𝒚 = 𝑸(𝒙).
𝒅𝒚
𝒅𝒙
− 𝟑. 𝒚 = 𝒆𝟐𝒙
A equação já esta no formato ideal, onde 𝑃 𝑥 = −3 e 𝑄 𝑥 = 𝑒2𝑥.
➢Encontrar o fator integrante 𝐼 𝑥 = 𝑒׬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥.
𝐼 𝑥 = 𝑒׬ −3 𝑑𝑥
𝐼 𝑥 = 𝑒−3𝑥
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exemplo.
➢Multiplicar a equação pelo fator integrante.
𝒆−𝟑𝒙.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
− 𝟑. 𝒆−𝟑𝒙. 𝒚 = 𝒆−𝟑𝒙. 𝒆𝟐𝒙
𝒆−𝟑𝒙.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
− 𝟑. 𝒆−𝟑𝒙. 𝒚 = 𝒆−𝒙
O lado esquerdo da equação sempre poderá ser escrito da seguinte 
forma:
𝒅
𝒅𝒙
𝒆−𝟑𝒙. 𝒚 = 𝒆−𝒙
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exemplo.
➢Integrar ambos os lados da equação obtida.
𝒅
𝒅𝒙
𝒆−𝟑𝒙. 𝒚 = 𝒆−𝒙
න
𝒅
𝒅𝒙
𝒆−𝟑𝒙. 𝒚 = න 𝒆−𝒙 𝒅𝒙
𝒆−𝟑𝒙. 𝒚 = −𝒆−𝒙 + 𝑪
𝒚 =
−𝒆−𝒙
𝒆−𝟑𝒙
+
𝑪
𝒆−𝟑𝒙
𝒚 = −𝒆𝟐𝒙 + 𝑪. 𝒆𝟑𝒙
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exemplo.
3) Resolva a equação diferencial 𝐱. 𝐲′ + 𝟐. 𝒚 = 𝟎. 
➢Escrever a equação no formato 𝐲′ + 𝑷 𝒙 . 𝒚 = 𝑸(𝒙).
Para isso, dividimos a equação toda por x.
𝒙.𝒚′
𝒙
+
𝟐𝒚
𝒙
=
𝟎
𝒙
 → 𝑦′ +
2
𝑥
. 𝑦 = 0
A equação já esta no formato ideal, onde 𝑃 𝑥 =
2
𝑥
 .
➢Encontrar o fator integrante 𝐼 𝑥 = 𝑒׬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥.
𝐼 𝑥 = 𝑒׬
2
𝑥
 𝑑𝑥 → 𝐼 𝑥 = 𝑒2.𝑙𝑛(𝑥) → 𝐼 𝑥 = 𝑒𝑙𝑛(𝑥2)
𝑰 𝒙 = 𝒙𝟐
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exemplo.
➢Multiplicar a equação pelo fator integrante.
𝑥2. 𝑦′ +
2
𝑥
. 𝑥2. 𝑦 = 𝑥2. 0
𝑥2. 𝑦′ +
2
𝑥
. 𝑥2. 𝑦 = 0
O lado esquerdo da equação sempre poderá ser escrito da seguinte 
forma:
𝒅
𝒅𝒙
𝒙𝟐. 𝒚 = 𝟎
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exemplo.
➢Integrar ambos os lados da equação obtida.
𝒅
𝒅𝒙
𝒙𝟐. 𝒚 = 𝟎
න
𝒅
𝒅𝒙
𝒙𝟐. 𝒚 = න 𝟎 𝒅𝒙
𝒙𝟐. 𝒚 = 𝑪
𝒚 =
𝑪
𝒙𝟐 → 𝒚 = 𝑪. 𝒙−𝟐
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exemplo.
4) Resolva a equação diferencial 𝐲′ + 𝟐𝒙. 𝒚 = 𝟒𝒙. 
➢Escrever a equação no formato 𝐲′ + 𝑷 𝒙 . 𝒚 = 𝑸(𝒙). 
𝐲′ + 𝟐𝒙. 𝒚 = 𝟒𝒙
A equação já esta no formato ideal, onde 𝑃 𝑥 = 2. 𝑥 .
➢Encontrar o fator integrante 𝐼 𝑥 = 𝑒׬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥.
𝐼 𝑥 = 𝑒׬ 2𝑥 𝑑𝑥 
𝑰 𝒙 = 𝒆𝒙𝟐
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exemplo.
➢Multiplicar a equação pelo fator integrante.
𝐲′ + 𝟐𝒙. 𝒚 = 𝟒𝒙
𝒆𝒙𝟐
. 𝑦′ + 2𝑥. 𝒆𝒙𝟐
. 𝑦 = 𝒆𝒙𝟐
. 4x
O lado esquerdo da equação sempre poderá ser escrito da seguinte 
forma:
𝒅
𝒅𝒙
𝒆𝒙𝟐
. 𝒚 = 𝟒𝒙. 𝒆𝒙𝟐
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exemplo.
➢Integrar ambos os lados da 
equação obtida.
𝒅
𝒅𝒙
𝒆𝒙𝟐
. 𝒚 = 𝟒𝒙. 𝒆𝒙𝟐
න
𝒅
𝒅𝒙
𝒆𝒙𝟐
. 𝒚 = න 𝟒𝒙. 𝒆𝒙𝟐
 𝒅𝒙
Resolvendo a integral:
න 𝟒𝒙. 𝒆𝒙𝟐
 𝒅𝒙
Integral por substituição.
න 𝟒𝒙. 𝒆𝒙𝟐
 𝒅𝒙
න 𝒆𝒖. 𝟐 𝒅𝒖 = 𝟐. 𝒆𝒙𝟐
+ 𝑪
Substituindo, temos:
𝒆𝒙𝟐
. 𝒚 = 𝟐. 𝒆𝒙𝟐
+ 𝑪
𝒚 =
𝟐.𝒆𝒙𝟐
𝒆𝒙𝟐 +
𝑪
𝒆𝒙𝟐 → 𝒚 = 𝟐 + 𝑪. 𝒆−𝒙𝟐
𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥
2 𝑑𝑢 = 4𝑥 𝑑𝑥
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exemplo.
5) Resolva o problema de valor inicial: 𝐲′ + 𝒚 = 𝒆𝟐𝒙 e 𝒚 𝟎 = 𝟐. 
➢Escrever a equação no formato 𝐲′ + 𝑷 𝒙 . 𝒚 = 𝑸(𝒙). 
𝐲′ + 𝒚 = 𝒆𝟐𝒙
A equação já esta no formato ideal, onde 𝑃 𝑥 = 1 .
➢Encontrar o fator integrante 𝐼 𝑥 = 𝑒׬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥.
𝐼 𝑥 = 𝑒׬ 1 𝑑𝑥 
𝑰 𝒙 = 𝒆𝒙
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exemplo.
➢Multiplicar a equação pelo fator integrante.
𝐲′ + 𝒚 = 𝒆𝟐𝒙
𝒆𝒙. 𝑦′ + 𝒆𝒙. 𝑦 = 𝒆𝒙. 𝑒2𝑥
O lado esquerdo da equação sempre poderá ser escrito da seguinte 
forma:
𝒅
𝒅𝒙
𝒆𝒙. 𝒚 = 𝒆𝟑𝒙
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exemplo.
➢Integrar ambos os lados da 
equação obtida.
𝒅
𝒅𝒙
𝒆𝒙. 𝒚 = 𝒆𝟑𝒙
න
𝒅
𝒅𝒙
𝒆𝒙. 𝒚 = න 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙
Resolvendo a integral:
𝒆𝒙. 𝒚 =
𝟏
𝟑
𝒆𝟑𝒙 + 𝑪 → 𝒚 =
𝒆𝟑𝒙
𝟑.𝒆𝒙 +
𝑪
𝒆𝒙
𝒚 =
𝟏
𝟑
𝒆𝟐𝒙 +
𝑪
𝒆𝒙
Substituindo 𝒚 𝟎 = 𝟐, temos:
𝟐 =
𝟏
𝟑
𝒆𝟐(𝟎) +
𝑪
𝒆𝟎
2 =
1
3
+ 𝐶 → 2 −
1
3
= 𝐶
𝐶 =
5
3
 . Substituindo, temos
𝒚 =
𝟏
𝟑
𝒆𝟐𝒙 +
𝟓
𝟑
𝒆−𝒙
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exemplo.
6) Resolva a equação diferencial 𝐱. 𝐲′ + 𝒚 = 𝒙. 𝒆𝒙 . 
➢Escrever a equação no formato 𝐲′ + 𝑷 𝒙 . 𝒚 = 𝑸(𝒙) . Para isso, 
dividimos a equação toda por x.
𝒙.𝒚′
𝒙
+
𝒚
𝒙
=
𝒙.𝒆𝒙
𝒙
 → 𝑦′ +
1
𝑥
. 𝑦 = 𝑒𝑥
A equação já esta no formato ideal, onde 𝑃 𝑥 =
1
𝑥
 .
➢Encontrar o fator integrante 𝐼 𝑥 = 𝑒׬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥.
𝐼 𝑥 = 𝑒׬
1
𝑥
 𝑑𝑥 → 𝐼 𝑥 = 𝑒𝑙𝑛(𝑥) → 𝑰 𝒙 = 𝒙
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exemplo.
➢Multiplicar a equação pelo fator integrante.
𝑥. 𝑦′ +
1
𝑥
. 𝑥. 𝑦 = 𝑥. 𝑒𝑥
O lado esquerdo da equação sempre poderá ser escrito da seguinte 
forma:
𝒅
𝒅𝒙
𝒙. 𝒚 = 𝒙. 𝒆𝒙
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exemplo.
➢Integrar ambos os lados da 
equação obtida.
𝒅
𝒅𝒙
𝒙. 𝒚 = 𝒙. 𝒆𝒙
𝒙. 𝒚 = න 𝒙. 𝒆𝒙 𝒅𝒙
Resolvendo a integral:
න 𝒙. 𝒆𝒙 𝒅𝒙
Integral por partes.
න 𝒙. 𝒆𝒙 𝒅𝒙
න 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖. 𝒗 − න 𝒗 𝒅𝒖
න 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒙. 𝒆𝒙 − න 𝒆𝒙 𝒅𝒙
න 𝒙. 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙. 𝒆𝒙 − 𝒆𝒙 + 𝑪
𝑢 = 𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑣 = න 𝑒𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = 𝑒𝑥
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exemplo.
Substituindo, temos:
𝒙. 𝒚 = න 𝒙. 𝒆𝒙 𝒅𝒙
𝒙. 𝒚 = 𝒙. 𝒆𝒙 − 𝒆𝒙 + 𝑪
𝒚 =
𝒙
𝒙
𝒆𝒙 −
𝒆𝒙
𝒙
+
𝑪
𝒙
𝒚 = 𝒆𝒙 − 𝒙−𝟏𝒆𝒙 + 𝑪. 𝒙−𝟏
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem.
Aplicações: Velocidade em queda livre.
Considere um corpo de massa m 
em queda livre, em local onde a 
aceleração da gravidade é g e o 
coeficiente de atrito com o meio 
externo é k.
Conforme indicado no diagrama 
de corpo livre ilustrado ao lado, 
o referido corpo fica sujeito às 
ações da força peso P e da força 
de resistência viscosa 𝑭𝒗exercida pelo meio externo.
A intensidade da força resultante 
R que atua sobre o corpo é: 
𝑹 = 𝑷 − 𝑭𝒗
𝑭𝒗
P
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem.
Aplicações: Velocidade em queda livre.
A aceleração adquirida pelo 
corpo é a, conforme indicado na 
figura a seguir.
De acordo com a 2ª lei de 
Newton, a resultante das forças 
que atuam sobre um corpo é o 
produto da sua massa pela sua 
aceleração: 𝑹 = 𝒎. 𝒂 
Mas a aceleração do corpo é a 
variação da sua velocidade v em 
relação ao tempo t. Logo:
𝑹 = 𝒎.
𝒅𝒗
𝒅𝒕
a
R
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem.
Aplicações: Velocidade em queda livre.
Visto que 𝑹 = 𝑷 − 𝑭𝒗, temos:
𝑹 = 𝒎.
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= 𝑷 − 𝑭𝒗
A força peso é dada pelo produto 
da massa do corpo pela aceleração 
da gravidade (𝑷 = 𝒎. 𝒈). A força 
de resistência viscosa é dada pelo 
produto da velocidade do corpo 
pelo coeficiente de atrito
 (𝑭𝒗 = 𝒌. 𝒗).
𝒎.
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= 𝒎. 𝒈 − 𝒌. 𝒗
Dividindo todos os termos pela massa 
m, temos:
𝒎. 𝒅𝒗
𝒎. 𝒅𝒕
=
𝒎. 𝒈
𝒎
−
𝒌
𝒎
. 𝒗
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= 𝒈 −
𝒌
𝒎
. 𝒗
Ou seja, temos a seguinte equação 
diferencial linear de 1ª ordem.
𝒅𝒗
𝒅𝒕
+
𝒌
𝒎
. 𝒗 = 𝒈
Aplicações: Velocidade em queda livre.
Exemplo.
1) Imagine que uma caixa contendo mantimentos, com massa total 
de 80Kg, seja solta de um avião de ajuda humanitária. Considere 
que o coeficiente de atrito seja 8 Kg/s. A aceleração da gravidade 
local vale aproximadamente 10 m/s². Determine a equação da 
velocidade v da caixa em função do tempo t.
Dados do exercício:
𝒎 = 𝟖𝟎 𝑲𝒈 , 𝒌 = 𝟖 𝑲𝒈/𝒔 e 𝒈 = 𝟏𝟎 𝒎/𝒔𝟐
Substituir os dados na equação geral dada anteriormente.
𝒅𝒗
𝒅𝒕
+
𝒌
𝒎
. 𝒗 = 𝒈 →
𝒅𝒗
𝒅𝒕
+
𝟖
𝟖𝟎
. 𝒗 = 𝟏𝟎 →
𝒅𝒗
𝒅𝒕
+
𝟏
𝟏𝟎
. 𝒗 = 𝟏𝟎 
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exemplo.
Resolver a equação diferencial
𝒅𝒗
𝒅𝒕
+
𝟏
𝟏𝟎
. 𝒗 = 𝟏𝟎 
➢Escrever a equação 𝒗′ + 𝑷 𝒕 . 𝒗 = 𝑸(𝒕).
𝒅𝒗
𝒅𝒕
+
𝟏
𝟏𝟎
. 𝒗 = 𝟏𝟎
A equação já esta no formato ideal, onde 𝑃 𝑡 =
1
10
.
➢Encontrar o fator integrante 𝐼 𝑡 = 𝑒׬ 𝑃 𝑡 𝑑𝑡.
𝐼 𝑡 = 𝑒׬
1
10 𝑑𝑡
𝐼 𝑡 = 𝑒
1
10 𝑡
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exemplo.
➢Multiplicar a equação pelo fator integrante.
𝒆
𝟏
𝟏𝟎
 𝒕.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
1
10
. 𝒆
𝟏
𝟏𝟎
 𝒕. 𝑣 = 10. 𝒆
𝟏
𝟏𝟎
 𝒕
O lado esquerdo da equação sempre poderá ser escrito da seguinte 
forma:
𝒅
𝒅𝒕
𝒆
𝟏
𝟏𝟎 𝒕. 𝒗 = 𝟏𝟎. 𝒆
𝟏
𝟏𝟎 𝒕
Exemplo.
➢Integrar ambos os lados da equação 
obtida.
𝒅
𝒅𝒕
𝒆
𝟏
𝟏𝟎 𝒕. 𝒗 = 𝟏𝟎. 𝒆
𝟏
𝟏𝟎 𝒕
න
𝒅
𝒅𝒕
𝒆
𝟏
𝟏𝟎 𝒕. 𝒗 = න 𝟏𝟎. 𝒆
𝟏
𝟏𝟎 𝒕 𝒅𝒕
𝒆
𝟏
𝟏𝟎 𝒕. 𝒗 = 𝟏𝟎.
𝟏
𝟏
𝟏𝟎
. 𝒆
𝟏
𝟏𝟎 𝒕 + 𝑪
𝒆
𝟏
𝟏𝟎
 𝒕. 𝒗 = 𝟏𝟎. 𝟏𝟎. 𝒆
𝟏
𝟏𝟎
 𝒕 + 𝑪
𝒆
𝟏
𝟏𝟎 𝒕. 𝒗 = 𝟏𝟎𝟎. 𝒆
𝟏
𝟏𝟎 𝒕 + 𝑪
𝒗 =
𝟏𝟎𝟎. 𝒆
𝟏
𝟏𝟎 𝒕
𝒆
𝟏
𝟏𝟎 𝒕
+
𝑪
𝒆
𝟏
𝟏𝟎 𝒕
𝒗 = 𝟏𝟎𝟎 +
𝑪
𝒆
𝟏
𝟏𝟎 𝒕
No instante inicial (t=0), a velocidade é nula 
(v=0), ou seja:
𝟎 = 𝟏𝟎𝟎 +
𝑪
𝒆
𝟏
𝟏𝟎 .(𝟎)
𝟎 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝑪
𝑪 = −𝟏𝟎𝟎
Assim, 𝒗 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎. 𝒆−
𝟏
𝟏𝟎
 𝒕
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exercícios.
1. Resolva as equações lineares de 1ª ordem.
a) 𝒚′ − 𝟔𝒚 = 𝟎
b)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒚 = 𝒆𝟒𝒙
c) 𝒙. 𝒚′ + 𝟒𝒚 = 𝟕𝒙𝟐
d)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝟑𝒙𝟐. 𝒚 = 𝒙𝟐
e) 𝒚′ +
𝟏
𝒙
. 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙)
Equações Dif. Lineares de Primeira ordem
(Fator Integrante): Exercícios.
2. Imagine que uma caixa contendo mantimentos, com massa total 
de 70Kg, seja solta de um avião de ajuda humanitária. Considere 
que o coeficiente de atrito seja 5 Kg/s. A aceleração da gravidade 
local vale aproximadamente 10 m/s². Determine a equação da 
velocidade v da caixa em função do tempo t.
Fim!!
Obrigado pela atenção 
de todos e tenham uma 
ótima noite.
	Slide 1: Equações Diferenciais
	Slide 2: Equações Diferenciais
	Slide 3: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem. (Fator Integrante)
	Slide 4: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem. (Fator Integrante)
	Slide 5: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exemplo.
	Slide 6: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exemplo.
	Slide 7
	Slide 8: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exemplo.
	Slide 9: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exemplo.
	Slide 10: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exemplo.
	Slide 11: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exemplo.
	Slide 12: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exemplo.
	Slide 13: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exemplo.
	Slide 14: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exemplo.
	Slide 15: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exemplo.
	Slide 16: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exemplo.
	Slide 17: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exemplo.
	Slide 18: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exemplo.
	Slide 19: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exemplo.
	Slide 20: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exemplo.
	Slide 21: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exemplo.
	Slide 22: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exemplo.
	Slide 23: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exemplo.
	Slide 24: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exemplo.
	Slide 25: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem. Aplicações: Velocidade em queda livre.
	Slide 26: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem. Aplicações: Velocidade em queda livre.
	Slide 27: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem. Aplicações: Velocidade em queda livre.
	Slide 28: Aplicações: Velocidade em queda livre. Exemplo.
	Slide 29: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exemplo.
	Slide 30: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exemplo.
	Slide 31: Exemplo.
	Slide 32: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exercícios.
	Slide 33: Equações Dif. Lineares de Primeira ordem (Fator Integrante): Exercícios.
	Slide 34: Fim!!