Prova 2019.2

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Universidade Federal do Maranhão
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Candidato(a):
Data: 09/08/2019
Questão 1 (1 pt). Prove que o conjunto R dos números reais não é enumerável.
Questão 2 (1 pt). Prove que o conjunto N× N é enumerável.
Questão 3 (1 pt). Sejam X,Y ⊂ R conjuntos limitados. Suponha que x ≤ y para todos x ∈ X e
y ∈ Y . Prove que supX ≤ inf Y e que supX = inf Y se, e somente se, para todo � > 0 existem x ∈ X
e y ∈ Y tais que y − x < �.
Questão 4 (1 pt). Seja X ⊂ R um conjunto limitado. Prove que seu fecho X também é um conjunto
limitado e que inf X = inf X e supX = supX.
Questão 5 (1 pt). Sejam F,K ⊂ R. Suponha que F é fechado e K é compacto. Prove que existem
x0 ∈ F e y0 ∈ K tais que |x0 − y0| ≤ |x− y| para todos x ∈ F e y ∈ K.
Questão 6 (1 pt). Dê a definição de sequência de Cauchy e prove que toda sequência de Cauchy que
possui uma subsequência convergente é convergente para o mesmo limite da subsequência.
Questão 7 (1 pt). Seja (xn) um sequência de números reais e suponha que xn converge para a ∈ R.
Defina yn =
x1 + x2 + · · ·+ xn
n
, para todo n ∈ N. Prove que lim yn = a.
Questão 8 (1 pt). Mostre que a sequência (xn) definida recursivamente por x1 =
3
2
e xn =
√
3xn−1 − 2
para n ≥ 2 converge e determine o seu limite.
Questão 9 (1 pt). Sejam
∑∞
n=1 an e
∑∞
n=1 bn séries de termos positivos. Suponha que lim
an
bn
= +∞.
Se
∑∞
n=1 an é convergente, pode-se dizer algo sobre a série
∑∞
n=1 bn? Justifique sua resposta.
Questão 10 (1 pt). Prove que se
∑∞
n=1 an é convergente, então
∑∞
n=1 a
2
n é convergente.
Questão 11 (1 pt). Prove que toda função cont́ınua f : K → R definida em um compacto K ⊂ R é
uniformemente cont́ınua.
Questão 12 (1 pt). Seja f : X ⊂ R → R monótona e limitada. Prove que para todo a ∈ X ′+ ∩X ′+
existem limx→a− f(x) e limx→a+ f(x). Dê um exemplo onde ocorre limx→a− f(x) 6= limx→a+ f(x).
Questão 13 (1 pt). Sejam f, g, h : X → R tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x ∈ X. Mostre que
se f e h são deriváveis num ponto a ∈ X ′ ∩X com f(a) = h(a) e f ′(a) = h′(a) então g é derivável em
a e g′(a) = f ′(a).
Questão 14 (1 pt). Seja f : [a, b] → R uma função cont́ınua. Prove que se f(x) ≥ 0 para todo
x ∈ [a, b] e f(x0) > 0 para algum x0 ∈ [a, b], então
´ b
a f(x) dx > 0. Dê um exemplo para mostrar que
a hipótese f : [a, b]→ R cont́ınua não pode ser retirada.
Questão 15 (1 pt). Seja fn : X ⊂ R→ R, n ∈ N, uma sequência de funções cont́ınuas. Prove que se
a sequência fn converge uniformemente em X para uma função f : X ⊂ R→ R, então f é cont́ınua.
Dê um exemplo para mostrar que f pode ser descont́ınua caso fn → f simplesmente (ponto a ponto)
em X mas não uniformemente.