Análise II: Conjuntos de Funções

Prévia do material em texto

Lista 9 Análise II MA-602 8/06/2009
1. Denote por C [a, b] o conjunto das funções cont́ınuas f : [a, b] → R. Seja h :
R→ R uma função de Lipschitz com constante de Lispchitz L (|h (x)− h (y)| <
L |x− y|). Para cada f ∈ C [a, b] defina a função f̃ (x) = ∫ x
a
h◦f = ∫ x
a
h (f (s)) ds.
Mostre: (i) f̃ é cont́ınua e limitada; (ii) Se f, g ∈ C [a, b] então
∣∣∣
∣∣∣f̃ − g̃
∣∣∣
∣∣∣ <
L (b− a) ||f − g||; (iii) Dada f0 ∈ C [a, b], defina a sequência fn ∈ C [a, b],
n ≥ 1, indutivamente por fn+1 = f̃n. Mostre que se L (b− a) < 1 então
fn é de Cauchy e, portanto, uniformemente convergente. (Use o exerćıcio 11
da lista (6).) (iv) Se fn é a sequência do item anterior seja f é seu lim-
ite, fn
u→ f . Mostre que ∀ε >,
∣∣∣
∣∣∣f̃ − f
∣∣∣
∣∣∣ < ε e conclua que f̃ = f . (Escreva,∣∣∣
∣∣∣f̃ − f
∣∣∣
∣∣∣ =
∣∣∣
∣∣∣f̃ − fn+1 + fn+1 − fn + fn+1 − f
∣∣∣
∣∣∣, com n suficientemente grande
e use o item (ii).) (v) Mostre que função f do item anterior (limite de fn)
satisfaz a equação diferencial y′ = h (y).
2. Dado um conjunto compacto K ⊂ R seja fn : K → R uma sequência de
funções cont́ınuas tal que fn converge pontualmente para a função cont́ınua
f : K → R. Suponha que a sequencia seja crescente, isto é, ∀x ∈ K, fn (x) ≥
fm (x) se n ≥ m. Mostre que fn u→ f .
3. Seja E ⊂ C (D,R) um conjunto equicont́ınuo de funções f : D → R.
(i) Mostre que o conjunto E|·| = {|f | : f ∈ E} também é equicont́ınuo. (ii)
Mostre que se E é (uniformemente) limitado então o conjunto E2 = {f 2 : f ∈
E} também é equicont́ınuo. (iii) Mostre que se E1 ⊂ C (D,R) é equicont́ınuo
então o conjunto E + E1 = {f + g : f ∈ E, g ∈ E1} também é equicont́ınuo.
4. Seja D ⊂ R uma união finita D = D1 ∪ · · · ∪Dk. Para um subconjunto E ⊂
C (D,R) defina Ei = {f|Di : f ∈ E} o conjunto das restrições a Di. Suponha
que cada Ei, i = 1, . . . , k é equicont́ınuo e mostre que E é equicont́ınuo.
Dê exemplo que mostre que a união finita não pode ser substitúıda por uma
união infinita.
5. Mostre que o conjunto de funções R → R dado por {sen (nx) : n ∈ N} não é
equicont́ınuo.
6. Denote por C1 o conjunto das funções f : R → R deriváveis (em todos os
pontos) e para M > 0, defina o conjunto C1M = {f ∈ C1 : |f ′| < M}. Mostre
que C1M é equicont́ınuo.
7. Dada uma função f : R → R defina, para cada t ∈ R, a função ft (x) =
f (x + t). Mostre que o conjunto {ft : t ∈ R} é equicont́ınuo se, e só se, f é
uniformemente cont́ınua.
1
8. Seja f : R → R uma função anaĺıtica tal que ∀n ≥ 0, f (n) (0) = f (n) (1).
Mostre que o conjunto {ft : t ∈ R} é equicont́ınuo, onde ft (x) = f (x + t).
9. Seja
∑
n≥0 anx
n uma série de potências com raio de convergência ρ > 0. Denote
por sn (x) =
∑n
k=0 akx
k a sequência das somas parciais. Mostre que para todo
r < ρ o conjunto {sn : n ≥ 0} é equicont́ınuo em [−r, r].
10. Seja G um conjunto de funções integráveis g : [a, b] → R, que é limitado, isto
é, exite M > 0 tal que ∀g ∈ G, ||g|| = supx∈[a,b] |g (x)| < M . Seja E o conjunto
das funções f : [a, b] → R tal que f (x) = ∫ b
a
g, com g ∈ G. Mostre que E é
equicont́ınuo.
11. Uma função f : [a, b] → R é dita linear por partes se existe uma partição
P = {a = x0, . . . , xn = b} de [a, b] tal que as restrições fk = f|[xk,xk+1] , k =
0, 1, . . . , n− 1, são lineares, isto é, fk (x) = akx + bk. Isto é, f é definida pela
partição P e pelos números ak, bk, k = 0, 1, . . . , n − 1. Use a notação fP,ak,bk
para indicar essa função linear por partes. Observe que fP,ak,bk é cont́ınua se,
e só se, para todo k, akxk+1 + bk = ak+1xk+1 + bk+1.
Dado M > 0, denote por LP (< M) o conjunto de todas as funções cont́ınuas,
linear por partes fP,ak,bk , tais que |ak| < M . Mostre que o conjunto LP (< M)
é uniformemente equicont́ınuo. (Use o exerćıcio anterior, mostrando que uma
função cont́ınua e linear por partes é a integral de uma função constante por
partes.)
12. Seja fn : [a, b] → R uma sequência de funções tal que fn u→ f onde f : [a, b] →
R é uma função cont́ınua.
(i) Mostre que ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∃n0 ∈ N,∀n ≥ n0 ∀x, y ∈ [a, b], |x− y| < δ ⇒
|fn (x)− fn (y)| < ε. (ii) Mostre que se as funções fn são cont́ınuas então a
sequência fn é equicont́ınua. (iii) Mostre com um exemplo que a condição do
item (i) não implica que a sequência fn seja equicont́ınua. Explique a razão.
13. Dê, se posśıvel, exemplos para cada uma das situações a seguir. Justifique os
exemplos e, caso não exista um exemplo, forneça uma demonstração.
(a) Um conjunto de funções que é equicont́ınuo, mas não é (uniformemente)
limitado.
(b) Um conjunto de funções que é (uniformemente) limitado, mas não é
equicont́ınuo.
(c) Um conjunto de funções que é equicont́ınuo, mas não é uniformemente
equicont́ınuo.
(d) Uma sequência de funções fn que é equicont́ınua e uniformemente limi-
tada, mas que não converge uniformemente.
2