Análise Combinatória

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MATEMÁTICA
Fatorial
2
Análise Combinatória
Slides
Permutação com repetição
Princípio fundamental da contagem
Permutação simples
Arranjos simples
Combinações simples
Números binomiais
http://www.ser.com.br/custom/jsp/PopFlash.jsp?CaminhoFlash=data/files/480F8D7C2A90D050012A913D78C4538F/trigonometria4.swf&AlturaFlash=480&LarguraFlash=790
3
Princípio fundamental da contagem ou 
princípio da multiplicação
Acompanhe o raciocínio da resolução 
do problema a seguir:
Uma pessoa vai a um restaurante e 
na promoção ela deve montar a sua 
refeição escolhendo uma entrada, um 
prato principal e uma sobremesa.
No cardápio constam 3 tipos de 
entradas, 5 tipos de pratos quentes e 
4 tipos de sobremesa. De quantas 
formas diferentes essa pessoa pode 
montar a sua refeição? 
salada
sopa
patês
bife
massa
torta
frango
peixe
bolo
fruta
mousse
pudim
3 possibilidades 5 possibilidades 4 possibilidades
A quantidade de refeições é 
obtida multiplicando-se todas as 
possibilidades. Sendo assim: 
3  5  4 = 60 refeições
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
4
Decisão d
d1
d2
d3
x1 maneiras
x2 maneiras
x3 maneiras
E
E
Princípio multiplicativo
x1 · x2 · x3 
maneiras
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
5
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
6
Resultados possíveis para três lançamentos de uma moeda e 
observamos a face superior (adotando K para cara e C para coroa). 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
7
Decisão d
d1
d2
d3
x1 maneiras
x2 maneiras
x3 maneiras
OU
OU
Princípio aditivo x1 + x2 + x3 
maneiras
PRINCÍPIO ADITIVO
8
9
(ENEM 2020 Digital) Um modelo de telefone celular 
oferece a opção de desbloquear a tela usando um padrão 
de toques como senha.
Os toques podem ser feitos livremente nas 4 
regiões numeradas da tela, sendo que o 
usuário pode escolher entre 3, 4 ou 5 toques 
ao todo.
Qual expressão representa o número total de 
códigos existentes?
a) 45 - 44 – 43 b) 45 + 44 + 43 c) 45 x 44 x 43 d) (4!)5 e) 45
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(ENEM 2020 Digital) Um modelo de telefone celular 
oferece a opção de desbloquear a tela usando um padrão 
de toques como senha.
Os toques podem ser feitos livremente nas 4 
regiões numeradas da tela, sendo que o 
usuário pode escolher entre 3, 4 ou 5 toques 
ao todo.
Qual expressão representa o número total de 
códigos existentes?
a) 45 - 44 – 43 b) 45 + 44 + 43 c) 45 x 44 x 43 d) (4!)5 e) 45
Fatorial
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Chama-se fatorial de n ou n fatorial o número n!, tal que:
- Para n=0: 0!=1
- Para n=1: 1!=1
- Para n=2: 2!=21=2
- Para n=3: 3!=321=6
- Para n=4: 4!=4321=24
- Para n=5: 5!=54321=120
Generalizando:
n! = n  (n-1)  (n-2)  (n-3)  ...  2  1, sendo n pertencente 
ao conjunto dos números naturais {0, 1, 2, 3 ...}. 
12
13
14
15
Permutação simples
Permutação simples
16
Permutar é o mesmo que trocar. Nos problemas de permutação 
simples, a ideia que fica é de trocar ou embaralhar as posições de 
todos os elementos.
Observe os exemplos:
1) Quantos números de 3 algarismos 
distintos podemos formar utilizando os 
algarismos 3, 5 e 7? 
Note o uso da palavra “distintos”, ou 
seja, sem repetir o mesmo algarismo.
As possibilidades são:
357, 375, 537, 573, 735 e 753.
Podemos representar também em um 
“diagrama de árvore”:
 5 7
3 
 7 5
 3 7
5
 7 3
 
 3 5
7
 5 3
Utilizando o princípio fundamental 
da contagem, temos:
3  2  1 = 6 possibilidades
3 possibilidades 2 possibilidades 1 possibilidade
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Permutação 
simples
2) Quantos anagramas existem da 
palavra azul?
Anagramas são todas as palavras 
formadas, com ou sem sentido, 
pelas letras da palavra dada, 
embaralhando a sua ordem.
A maneira mais fácil de construir 
todas as possibilidades é pelo 
“diagrama de árvores”. Observe:
 u l
 z l u
 z l
a u l z
 z u
 l u z
 u l
 a l u
 a l
z u l a
 a u
 l u a
 z l
 a l z
 a l
u z l a
 a z
 l z a
 u z
 a z u
 a u
l z u a
 a z
 u z a
Utilizando o princípio fundamental 
da contagem, temos:
4  3  2  1 = 24 possibilidades
Concluímos que para n termos a 
expressão ficaria:
Pn = n  (n – 1)  (n – 2)  ...  2  1 = n! 
18
Permutação com repetição
É a permutação onde aparecem elementos repetidos. Se 
trocarmos a ordem destes, não aparecerá mudanças na posição.
Exemplo: Os anagramas da palavra “matemática”.
Ao mudar as letras “m” com outra “m” aparentemente não houve 
mudança. O mesmo com as letras “a” ou “t” .
Assim, seguimos o raciocínio:
n
1 2 3
P 10! 10 9 8 7 6 5 4 3!
151200
P P P 2! 3! 2! 2 3! 2
      
= = =
     
Onde Pn é a permutação das dez letras da palavra matemática,
P1 é o número de letras “m” que são repetidas, P2 é o número de 
letras “a” repetidas e P3 é o número de letras “t” repetidas.
Generalizando: 
, ,
n
n!
P
! ! !
   =
  
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COMBINAÇÃO E ARRANJO
Ao usar/escolher 
apenas uma parte 
dos elementos do 
conjunto, se faz 
combinação (sem 
ordem) ou arranjo 
(com ordem).
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Números binomiais
Chama-se número binomial o número 
com tal que, 
n
p
 
 
 n p
n n!
p p!(n p)!
 
= 
− 
(n é o numerador e p é a classe do número binomial).
Números binomiais iguais: Se, então:
9 9
5 x
   
=   
   
x 5
ou
x 5 9 x 4
=


 + =  =
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Combinações simples
Ocorre quando de n elementos desejamos pegar p, no 
qual a ordem destes não importa. Assim temos a relação:
n,p
n n!
C
p p!(n p)!
 
= = 
− 
Exemplo: Em uma empresa com nove funcionários, cinco serão 
chamados para uma reunião. De quantas formas diferentes 
poderá ser formado o grupo para a reunião? 
9,5
9 9! 9 8 7 6 5! 9 8 7 6
C 126
5 5!(9 5)! 5!4! 4 3 2 1
        
= = = = = 
−    
n p
22
Escolher 3 funcionários dentre 8 disponíveis 
para formar uma equipe administrativa. 
8!
5! × 3!
= 56 equipes 
distintas
Combinação Simples
8 × 7 × 6 × 5! 
=
5! × 3!
8
3
 =
23
Arranjo simples
Ocorre quando de n elementos desejamos pegar p, no 
qual a ordem destes importa. Assim temos a relação:
n,p
n!
A
(n p)!
=
−
Exemplo: Com as letras da palavra “república”, quantas palavras, 
com ou sem sentido, podemos formar utilizando 5 destas letras? 
1º modo de resolver:
a
9 8 7 6
a 1 casa como foi usado um dois termos foram usado
pode ter termo na primeira foram usados,
nove termos casa, sobraram oito restando sete 
para escolher na para escolher
segunda casa um para esta casa
  
5
15120
s quatro termos 
3 termos dos usados. Restaram 
nove, restando cinco nesta casa
seis para esta para selecionar
casa
 =
2º modo de resolver:
9,5
9! 9 8 7 6 5 4!
A 15120
(9 5)! 4!
    
= = =
−
n p
24
Escolher 3 funcionários dentre 8 disponíveis 
para assumir, respectivamente, os cargos de 
Supervisor, Tesoureiro e Marqueteiro. 
8 7 6
E E
× ×
336 grupos distintos
Arranjo Simples
25
26
(ENEM 2022) Uma montadora de automóveis divulgou 
que oferta a seus clientes mais de 1 000 configurações 
diferentes de carro, variando o modelo, a motorização, 
Os opcionais e a cor do veículo. Atualmente, ela 
oferece 7 modelos de carros com 2 tipos de motores: 
1.0 e 1.6. Já em relação aos opcionais, existem 3 
escolhas possíveis: central multimídia, rodas de liga 
leve e bancos de couro, podendo o cliente optar por 
incluir um, dois, três ou nenhum dos opcionais 
disponíveis. 
Para ser fiel à divulgação feita, a quantidade mínima 
de cores que a montadora deverá disponibilizar a seus 
clientes é
a) 8 b) 9 c) 11 d) 18 e) 24 
27
SOLUÇÃO:
Pelo texto, podemos notar que são 7 modelos de carros, 2 tipos de 
motores e 8 opcionais (pois podemos escolher 1, 2, 3 ou nenhum) e W 
cores.
Obs.: Como são 3 tipos de opcionais e podemos escolher 1, 2, 3 ou 
nenhum, suponha que temos os opcionais A, B e C, as escolhas que 
podem ser feitas são A, B, C, AB, AC, BC, ABC ou nenhuma. Ou seja,8 
possíveis.
Pelo princípio fundamental da contagem, temos
7 × 2 × 8 × 𝑊 = 1000 → 𝑊 =
1000
112
= 8,928 … 
Como queremos a quantidade mínima, deverão ser 9 cores. 
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(ENEM 2022) Uma montadora de automóveis divulgou 
que oferta a seus clientes mais de 1 000 configurações 
diferentes de carro, variando o modelo, a motorização, 
Os opcionais e a cor do veículo. Atualmente, ela 
oferece 7 modelos de carros com 2 tipos de motores: 
1.0 e 1.6. Já em relação aos opcionais, existem 3 
escolhas possíveis: central multimídia, rodas de liga 
leve e bancos de couro, podendo o cliente optar por 
incluir um, dois, três ou nenhum dos opcionais 
disponíveis. 
Para ser fiel à divulgação feita, a quantidade mínima 
de cores que a montadora deverá disponibilizar a seus 
clientes é
a) 8 b) 9 c) 11 d) 18 e) 24 
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(ENEM 2021)Uma pessoa produzirá uma fantasia 
utilizando como materiais: 2 tipos de tecidos 
diferentes e 5 tipos distintos de pedras ornamentais. 
Essa pessoa tem à sua disposição 6 tecidos diferentes 
e 15 pedras ornamentais distintas.
A quantidade de fantasias com materiais diferentes 
que podem ser produzidas é representada pela 
expressão 
a) b) c) d) e) 
 
30
SOLUÇÃO:
Sabendo que a ordem das escolhas das pedras, ou dos tecidos, não 
interfere, temos uma questão de análise combinatória. Desta forma, 
para as pedras: 5 pedras escolhidas dentre 15, logo trata-se de uma 
combinação de 15 agrupadas 5 a 5. Para os tecidos: 2 escolhidos 
dentre 6 opções, logo uma combinação de 6 agrupados 2 a 2.
Sendo assim, temos que as possibilidades totais serão:
Tecidos ∗ pedras 
6
2
×
15
5
=
6!
4! × 2!
 ×
15!
10! × 5!
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(ENEM 2021)Uma pessoa produzirá uma fantasia 
utilizando como materiais: 2 tipos de tecidos 
diferentes e 5 tipos distintos de pedras ornamentais. 
Essa pessoa tem à sua disposição 6 tecidos diferentes 
e 15 pedras ornamentais distintas.
A quantidade de fantasias com materiais diferentes 
que podem ser produzidas é representada pela 
expressão 
a) b) c) d) e) 
 
32
(Enem 2011) O setor de recursos humanos de uma 
empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos 
a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem 
atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de 
números em ordem numérica crescente e usá-la para 
convocar os interessados.
Acontece que, por um defeito do computador, foram 
gerados números com 5 algarismos distintos e, em 
nenhum deles, apareceram dígitos pares.
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que 
tiver recebido o número 75.913 é
a) 24 b) 31 c) 32 d) 88 e) 89
33
SOLUÇÃO:
Inicialmente podemos observar que o número de 
candidatos, é justamente o total de permutações dos 
algarismos 1, 3, 5, 7 e 9.
 
𝑃5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
34
SOLUÇÃO:
Escrevendo estes números em ordem crescente até o
número 75 913, temos:
1) 4! = 24 (números iniciados em 1)
2) 4! = 24 (números iniciados em 3)
3) 4! = 24 (números iniciados em 5)
4) 3! = 6 (números iniciados em 71)
5) 3! = 6 (números iniciados em 73)
6) 2! = 2 (números iniciados em 751)
7) 2! = 2 (números iniciados em 753)
8) O número 75 913
A ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é
24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 89
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(Enem 2011) O setor de recursos humanos de uma 
empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos 
a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem 
atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de 
números em ordem numérica crescente e usá-la para 
convocar os interessados.
Acontece que, por um defeito do computador, foram 
gerados números com 5 algarismos distintos e, em 
nenhum deles, apareceram dígitos pares.
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que 
tiver recebido o número 75.913 é
a) 24 b) 31 c) 32 d) 88 e) 89
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https://www.rtp.pt/play/estudoemcasa/p7906/e5
04208/matematica-a-12-ano
https://www.rtp.pt/play/estudoemcasa/p7906/e504208/matematica-a-12-ano
https://www.rtp.pt/play/estudoemcasa/p7906/e504208/matematica-a-12-ano
PRÉ-VESTIBULAR DR.LUIZ GAMA
DÚVIDAS?
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	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3
	Slide 4: PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
	Slide 5: PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
	Slide 6: PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
	Slide 7: PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
	Slide 8: PRINCÍPIO ADITIVO
	Slide 9
	Slide 10
	Slide 11
	Slide 12
	Slide 13
	Slide 14
	Slide 15: Permutação simples
	Slide 16
	Slide 17
	Slide 18
	Slide 19: COMBINAÇÃO E ARRANJO
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22: 
	Slide 23
	Slide 24
	Slide 25
	Slide 26
	Slide 27
	Slide 28
	Slide 29
	Slide 30
	Slide 31
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