GRA0357 ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE GR0068-212-9 - 202120 ead-29780415 06

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introdução
Introdução
ANALISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADEANALISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE
ANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIA
Autor: Me. Luciane Aparecida Marostegan
Revisor : E la ine Stur ion
I N I C I A R
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A Análise Combinatória é um ramo da Matemática utilizado para resolver problemas de
contagem. Uma importante maneira de solucionar problemas é a habilidade de contar ou
enumerar objetos. Em alguns casos, contar pode ser bastante difícil, portanto devemos utilizar
as técnicas de Análise Combinatória para que possamos obter de forma rápida e e�ciente o
resultado do problema proposto. O estudo da Análise Combinatória, assim como outras áreas
da matemática, foi sendo construído e aperfeiçoado ao longo do tempo. A necessidade de
calcular o número de possibilidades existentes em resultados dos jogos é que incentivou o
estudo dos métodos de contagem. A Análise Combinatória tem tido notável crescimento nas
últimas décadas, atrelada à Matemática Discreta. A importância dos problemas de enumeração
tem crescido signi�cativamente devido à necessidade em teoria dos grafos, em análise de
algoritmos, etc. O mais importante nesse curso é, você aluno, pensar lógica e matematicamente
para alcançar os objetivos propostos. Nesta unidade, aprenderemos as técnicas da Análise
Combinatória. Para isso, conceituaremos o Princípio Fundamental da Contagem ou,
simplesmente, Regra do Produto. Em seguida, aprenderemos Permutações, Arranjos e
Combinações de maneira a entender quando utilizar cada um dos conceitos.
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O princípio fundamental da contagem é a estrutura básica da Análise Combinatória. Está
diretamente ligado às situações que envolvem as possibilidades de um determinado evento
ocorrer, por exemplo, o número de placas de automóveis que podemos formar com letras e
algarismos, as possíveis combinações da Mega-Sena e outras inúmeras situações do nosso dia a
dia.
Antes de iniciarmos o conteúdo desta unidade, vamos relembrar o que é Fatorial de um número
natural n.
De�inição
Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos de�nir como fatorial desse
número n (n!) o número:
n! = n*(n – 1)*(n – 2)*(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1
Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n. Cada fatorial é calculado com a utilização do fatorial
anterior – de�nição por recorrência.
0! = 1
1! = 1*0! = 1*1 = 1
2! = 2*1! = 2*1 = 2
3! = 3*2! = 3*2*1! = 3*2*1 = 6
4! = 4*3! = 4*3*2! = 4*3*2*1 = 24
Princípio Fundamental da ContagemPrincípio Fundamental da Contagem
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n! = n*(n-1)! = n*(n-1)*(n-2)! = ...
De um modo geral, temos:
n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)*...*3*2*1
Exemplos:
1. O valor de 5! é: 
5! = 5*4*3*2*1 = 120
2. O valor de 7! é: 
7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040
De�inição - Princípio Fundamental da Contagem
Se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes e se para cada uma dessas m maneiras
possíveis de ocorrer A, outro evento B pode ocorrer de n maneiras diferentes, então, o número
de maneiras de ocorrer o evento A seguido do evento B é m*n.
O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) estende-se para uma sucessão de três ou mais
etapas de escolha.
Temos que lembrar aqui do Princípio Aditivo que diz:
Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas e independentes, sendo que a
primeira pode ser feita de m modos e, para cada um destes, a segunda pode ser feita
de n modos, então o número de maneiras de realizar a primeira ou a segunda etapa é
m+n (GOMES; SIMIOLI; PEREIRA, 2015, p.63)
Vamos ver isso por meio de dois exemplos:
Exemplo 1: um estudante, ao se inscrever para o Vestibular, deve escolher o curso e a faculdade
que deseja cursar. Se for apresentado a ele 5 cursos, Engenharia, Medicina, Odontologia,
Administração e Direito, cada curso pode ser feito em três tipos de faculdade: Federal, Estadual e
Particular. Qual o número total de opções que esse estudante pode fazer?
De acordo com o PFC, o número total de opções que o estudante pode fazer é 5*3 = 15
Também podemos resolver essa questão utilizando o esquema de diagrama de árvore, onde
elencamos as possibilidades em colunas. Na 1ª coluna há 5 possibilidades e, na 2ª coluna, há 3
possibilidades.
                              1ª coluna (5 possibilidades)      2ª coluna (3 possibilidades)
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Exemplo 2: você vai retirar dinheiro no caixa eletrônico do seu banco, mas, na hora de digitar a
senha, esquece-se do número. Você lembra que o número tem 6 algarismos, começa com o
número 3, não tem algarismos repetidos e tem o algarismo 5 em alguma posição. O número
máximo de tentativas para acertar a senha é:
Vamos tabelar as possibilidades:
Começa com o número 3 (número 3 na primeira posição).
Tem o algarismo 5 em alguma posição.
Quantos algarismos restam para as demais posições, sabendo-se que não há algarismos
repetidos?
Restaram  os algarismos 0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9.
Quadro 1.1 - Tabela de possibilidades 
Fonte: Elaborado pelo autor.
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Então, o número máximo de tentativas para acertar a senha é de 1.680*5 = 8.400 tentativas.
De�inição - Princípio Aditivo ou Regra da Adição
Se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes e se um evento B pode ocorrer de n
maneiras diferentes, então, o número de maneiras de ocorrer o evento A ou o evento B é m+n,
desde que os eventos sejam independentes, isto é, a ocorrência de A não pode coincidir com a
ocorrência de B.
praticar
Vamos Praticar
Vamos imaginar que na faculdade que você estuda teremos a eleição para a composição da nova
Diretoria, a qual é formada por 1 Diretor Geral, 1 Secretário Acadêmico, 1 Coordenador Pedagógico e 1
Supervisor Comercial. Suponhamos agora que haja 3 candidatos ao cargo de Diretor Geral, 4 candidatos
ao cargo de Secretário Acadêmico, 2 candidatos ao cargo de Coordenador Pedagógico e 5 candidatos ao
cargo de Supervisor Comercial. Podemos fazer a seguinte pergunta: quantas são as maneiras diferentes
de se compor a nova Diretoria da faculdade?
Observação: nesta questão, você deve elaborar o diagrama de árvore (elencar as possibilidades em
colunas, como no exemplo 1) para descrever as diversas possibilidades de escolha para se compor a
nova diretoria.
a) 14
b) 24
c) 120
d) 152
e) 34.560
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O domínio do Princípio Fundamental da Contagem é indispensável para um bom desempenho
neste tópico.
Dados n objetos ,  de quantos modos podemos ordená-los?
Vamos iniciar com um exemplo mais simples:
Exemplo 1. Dados os objetos A, B e C, de quantas maneiras podemos ordená-los?
Vejamos:
Iniciando com a letra A – ABC, ACB
Iniciando com a letra B – BAC, BCA
Iniciando com a letra C – CAB, CBA
Temos 6 maneiras diferentes de ordená-los. Cada uma dessas 6 ordenações é chamada
Permutação Simples dos objetos A, B e C.
Exemplo 2. Um casal e seus três �lhos devem sentar-se lado a lado para serem fotografados.
A. De quantos modos diferentes pode o fotógrafo acomodar a família para tirar a
foto? 
 
Solução: o número de modos possíveis é dado pelo número de permutações simples
que podem ser construídas com essas 5 pessoas: 
PermutaçõesPermutações
, , , . . .a1 a2 a3 an
= 5!=  5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120P5
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Exemplo 3. Quantos anagramas tem a palavra PALMITO?
Solução: a palavra em questão possui 7 letras distintas, então:
De�inição
Segundo Morgado (2000), seja um conjunto com n elementos distintos.
Qualquer sequência formada a partir de todos os elementos do conjunto A é chamada
permutação simples.
Teorema:
O número de permutações simples de n objetos distintos, denotado com é
Permutações de Elementos Repetidos
Vamos construir os anagramas da palavra AMAR:
Iniciando com a letra A – AAMR, AARM, AMAR, AMRA, ARAM, ARMA
Iniciando com a letra M – MAAR, MARA, MRAA
Iniciando com a letra R – RAAM, RAMA, RMAA
Note que a palavra AMAR tem 4 letras, duas delas iguais. Essa repetição fez com que o número
de anagramas resultasse igual a 12 e não igual a 4! = 24, que obteríamos se permutarmos 4
letras distintas. Um anagrama desse tipo é exemplo de permutação com repetição.
O número de permutações obtidas com as letras da palavra AMAR é indicado por , em
que o índice inferior, 4, dá o número total de letras e o superior, 2, indica o número de vezes que
determinada letra se repete. No caso, A repete-se 2 vezes.
De�inição
Consideremos n objetos dos quais:
 são iguais a A
 são iguais a B
 são iguais a C
…
= 7!  =  7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5040P7
A = , , , . . .a1 a2 a3 an
 Pn
= n!.Pn
=P 24
4!
2!
n1
n2
n3
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 são iguais a L
AA...A  BB...B  CC...C  …  LL...L
                            
Cada ordenação desses n objetos chama-se permutação com repetição.
Teorema
O número de permutações com n objetos dos quais:
 são iguais a A
 são iguais a B
 são iguais a C
…
 são iguais a , é
A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos, onde ao
menos um deles ocorre mais de uma vez, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se
dê pela mudança de posição entre seus elementos, damos o nome de permutação com
elementos repetidos.
Exemplo 1. Considere o conjunto de todos os anagramas da palavra ABARBAR:
Quantos são?
Quantos começam e terminam com A?
Em quantos as letras B aparecem juntas?
Em quantos as letras B não aparecem juntas?
Solução:
A.     Há 7 letras disponíveis: 3 iguais a A; 2 iguais a B; e 2 iguais a R. O número de anagramas é:
B.    5 letras: 2 iguais a B; 2 iguais a R; 1 igual a A. Então, o número de anagramas que começa e
termina com A é:
np
n1 n2 n3 np
n1
n2
n3
np L  + + +. . . + = nn1 n2 n3 np
=P
( ,  ,..., n1 n2 np)
n
n!
!. . . !n1!n2 np
= =P
(3,2,2,)
7
7!
3!2!2!
210
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C.         Note que se as letras B �cam juntas, elas devem ser consideradas uma única letra para
efeito de cálculo.
6 letras: 3 iguais a A;  2 iguais a R; 1 igual a BB. Então, o número de anagramas nos quais as
letras B aparecem juntas é:
D. O número de anagramas nos quais as letras B não aparecem juntas é o total de anagramas da
palavra ABARBAR menos o número de anagramas nos quais elas aparecem juntas. Então, 210-60
= 150. 
praticar
Vamos Praticar
Vamos analisar, no tabuleiro ilustrado a seguir, a seguinte situação: vamos sair do quadrado esquerdo
superior (ES) e percorrer o tabuleiro até chegar ao quadrado direito inferior (DI), obedecendo a regra de
que somente são permitidos os movimentos horizontal e vertical.
Somente são permitidos os movimentos horizontal (H) e vertical (V):
= = 30P
(2,2,1,)
5
5!
2!2!1!
= = 60P
(3,2,1)
6
6!
3!2!1!
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Calcule o número de percursos possíveis e faça um relato, passo a passo, da técnica utilizada para
encontrar a solução desse problema (qual foi o raciocínio utilizado):
a) 40.320.
b) 20.160.
c) 120.
d) 70.
e) 25.
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Seja o conjunto A = {1, 2, 3}. Vamos escrever todos os números de dois algarismos que podem
ser formados com os elementos do conjunto A:
Iniciando com o nº 1 - 12, 13;
Iniciando com o nº 2 - 21, 23;
Iniciando com o nº 3 - 31, 32.
Nota-se que foram formados 6 números distintos a partir de um conjunto com três algarismos
tomados dois a dois.
De�inição
Seja A um conjunto com n elementos distintos e p um número natural menor ou igual a n.
Chama-se Arranjo Simples de n elementos, tomados p a p, qualquer sequência ordenada de p
elementos distintos escolhidos entre os n elementos deste conjunto.
Cada maneira de ordenar os elementos se diferencia pela ordem ou pela natureza dos
elementos.
Teorema:
“O número de arranjos simples de n objetos distintos, tomados p a p, é denotado por:
” (MELLO; SANTOS; MURARI, 2008, p. 45).
Exemplo:
ArranjoArranjo
=An,p
n!
(n−p)!
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Ao se cadastrar num site de compras, Mário teve de criar uma senha formada por três letras
distintas seguidas por três algarismos distintos. Quantas senhas podem ser geradas nessas
condições?
Solução:
Temos de escolher 3 letras dentre as 26 do alfabeto e 3 algarismos dentre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
A senha ABC 190 é diferente da senha CBA 109, isto é, importa a ordem em que as letras e os
algarismos são escolhidos. Trata-se, portanto, de um arranjo.
Para a escolha das letras há 
Para a escolha dos algarismos há 
Logo, pelo PFC, há ao todo senhas
Poderíamos, alternativamente, fazer:
Arranjo com Repetição
Vamos entender esse conceito por meio de um exemplo:
Seja P um conjunto com elementos, P = {A,B,C,D}, quantos agrupamentos de dois elementos
podemos obter em relação ao conjunto P.
Observe que, nesse caso, não foram solicitados elementos distintos.
Vamos contar os agrupamentos:
Iniciando com a letra A - AA, AB, AC, AD.
Iniciando com a letra B - BA, BB, BC, BD.
Iniciando com a letra C - CA, CB, CC, CD.
Iniciando com a letra D - DA, DB, DC, DD.
Temos 16 agrupamentos de 2 elementos a partir do conjunto P de 4 elementos.
 
= = = = 15600 possibilidadesA26,3
26!
(26−3)!
26!
23!
26⋅25⋅24⋅23!
23!
= = = 720 possibilidadesA(10,3)
10!
(10−3)!
10⋅9⋅8⋅7!
7!
15600 ⋅ 720  =  11.232.000
26 ⋅ 25 ⋅ 24 letras e 10 ⋅ 9 ⋅ 8 algarismos  =  11.232.000 senhas poss veis.í
= =A4,2 4
2 16
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De�inição
Seja A um conjunto de n elementos distintos e p um número natural menor ou igual a n. Chama-
se Arranjos com Repetição de n elementos diferentes, tomados   p a p, qualquer sequência
ordenada de p elementos iguais ou diferentes escolhidos entre os n elementos do conjunto.
Teorema:
O número de Arranjos com Repetição de n objetos distintos, tomados p a p, é denotado por:
O arranjo com repetição é usado quando a ordem dos elementos importa e cada elemento pode
ser contado mais de uma vez.
Exemplo:
Ao se cadastrar num site de compras, Rita teve que criar uma senha formada por três letras
seguidas por três algarismos. Quantas senhas podem ser geradas nessas condições?
Observe que nesse exemplo não se pediu que fossem distintas nem as letras e nem os
algarismos.
Para a escolha das letras há 
Para a escolha dos algarismos há $
Logo, pelo PFC, há ao todo senhas 
A =Rn,p n
p
A = = 17576R26,3 26
3
A = = 1000R10,3 10
3
17576 ⋅ 1000  =  17.576.000
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praticar
Vamos Praticar
Vamos analisar o seguinte caso: um grupo educacional aderiu à utilização do sistema de Biblioteca
Virtual para a comunidade acadêmica. Para isso, precisa-se criar uma senha para cada usuário ter
acesso a esse sistema. O departamento de Tecnologia da Informação informou que essa senha deverá
ser composta por 4 letras escolhidas entre (A, K, B, Y, C, W), seguidas de quatro algarismos ímpares.
Entre as letras, poderá haver repetição, mas os algarismos serão distintos.
Utilizando o conceito que vimos neste tópico, qual será o número total de senhas que poderão ser
disponibilizadas a essa comunidade?
a) 810.000.
b) 155.520.
c) 225.000.
d) 43.200.
e) 1.921.
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Seja o conjunto A = {a, b, c, d}. As combinações simples de 3 elementos do conjunto são:
{a, b, c} {a, b, d} {a, c, b} {b, c, d}
As combinações diferem-se uma da outra pela natureza de seus elementos, isto é, importa
somente quem participa do grupo, não importa o lugar (posição) que a letra ocupa.
De�inição
Combinação Simples de n elementos, tomados p a p (ou de classe p), em que p é um número
natural menor ou igual a n, é toda escolha não ordenada de p desses n elementos.
Teorema:
“O número de Combinações Simples de n elementos, tomados p a p é representado por:
” (NETO, 2012, p. 31).
Exemplo 1. Uma importante aplicação de Combinação Simples é na Mega-Sena. A Mega-Sena
consiste em uma cartela de 60 números dentre os quais devemos acertar 6 (prêmio principal),
portanto temos uma combinação onde n = 60 e p = 6, sessenta números tomados seis a seis.
Solução:
 combinações de 6 números diferentes entre os 60 números.
Se apostarmos 1 jogo de seis dezenas, a probabilidade de ganharmos é de 1 em 50.063.860, que
corresponde a 0,000002% de chance de ganhar.
CombinaçãoCombinação
=Cn,p
n!
p!(n−p)!
= = 50.063.860C60,6
60!
6!(60−6)!
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Exemplo 2. De quantas maneiras pode ser formada uma comissão de 3 membros escolhidos em
um grupo de 6 pessoas?
Solução:
Note que não havendo cargos distintos na comissão, a ordem dos componentes não faz
aparecer uma nova comissão. Então, o número de escolhas de 3 membros entre 6 possíveis é
dado por:
Combinação com Repetição
Para introduzirmos o conceito de combinação com repetição, é importante lembrarmos a
de�nição formal de combinação simples que foi vista acima. A diferença está na sequência de p
elementos iguais ou diferentes escolhidos entre os n elementos.
= = = 20C6,3
6!
3!(6−3)!
6!
3!3!
reflitaRe�ita
oje em dia utilizamos os serviços bancários via Internet, pela facilidade e comodidade. Nossa única
reocupação é a segurança. Os bancos investem muito em segurança, mas, ainda assim, os hackers
onseguem invadir. As senhas bancárias são combinações de letras, algarismos e caracteres especiais.
magine que você será o estatístico que desenvolverá um estilo de senha para o banco ALFA. Você pensaria
m quais combinações? Por qual(is) motivo(s)?
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De�inição
Seja A um conjunto de n elementos distintos e p um número natural menor ou igual a n, chama-
se Combinação com Repetição de n elementos distintos, tomados p a p, qualquer sequência de
p elementos iguais ou diferentes escolhidos entre os n elementos de modo que a ordem dos
elementos não modi�que a combinação.
Teorema:
O número de Combinações com Repetição de n objetos distintos, tomados p a p, é denotado
por:
Todos os elementos, numa combinação com repetição, podem aparecer repetidos em cada
grupo até p vezes.
Exemplo1.
Numa cesta de frutas existem maçãs, bananas, peras e goiabas. Existem, pelo menos, 3 frutas de
cada tipo e as frutas de mesmo tipo são todas iguais.
De quantas maneiras diferentes é possível escolher:
A. Três frutas de tipos diferentes?
B. Três frutas?
Solução:
saiba mais
Saiba mais
Hoje, as metodologias ativas, colocam o aluno como protagonista do processo de aprendizagem e isso
é um fator de motivação para desencadear o interesse para o desenvolvimento das atividades, de
novas possibilidades para a condução do processo de ensino-aprendizagem. Filmes associam a teoria
e prática de forma a dar signi�cado ao conteúdo. Para saber mais, leia o artigo na íntegra e crie novas
possibilidades a partir disso. Deixe a criatividade a�orar!
Fonte: Coelho (2015).
C = =Rn,p Cn+p−1,p
(n + p − 1)!
p! (n − 1)!
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Observe quais são as 20 maneiras possíveis:
Maçã = M, Banana = B, Pera = P e Goiaba = G.
praticar
Vamos Praticar
O Congresso Nacional Brasileiro é bicameral, composto do Senado Federal e da Câmara dos Deputados.
Em números temos 513 Deputados Federais e 81 Senadores. Uma comissão será formada para fazer a
revisão preliminar da Constituição Federal no que tange à prisão em segunda instância. Essa comissão
será composta de 5 membros e será formada a partir de 8 senadores e 6 deputados, sendo que pelo
menos um deputado deverá pertencer à comissão.
Quantas comissões poderão ser formadas?
a) 120.
b) 420.
c) 1.946.
d) 41.040.
e) 29.030.400.
= = = 4C4,3
4!
3!4 − 3)!
4 ⋅ 3!
3!1!
C = = = = = = 20R4,3 C4+3−1,3
6!
3! (6 − 3)!
6!
3!3!
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3!
3!3!
6 ⋅ 5 ⋅ 4
3 ⋅ 2 ⋅ 1
PPP PGG MMM MGB
PPM PBB MMG GGG
PPG PGB MMB GGB
PPB PGM MGG GBB
PMM PMB MBB BBB
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indicações
Material Complementar
LIVRO
Introdução à Combinatória e Probabilidade
Editora: Ciência Moderna
Autores: Carlos A. Gomes, Viviane Simioli e André Gustavo C. Pereira
ISBN: 9788539906215
Comentário: esse livro trata de todo conteúdo abordado de forma
detalhada e traz uma gama enorme de exercícios resolvidos para um
melhor entendimento e aprofundamento da unidade.
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FILME
Quebrando a Banca
Ano: 2008
Comentário: o �lme aborda o jogo do Blackjack, que é uma
interessante aplicação da técnica de contagem de cartas. Essa técnica
empregada no �lme é uma técnica so�sticada e difícil, trata-se de
uma aplicação do conceito de Análise Combinatória.
T R A I L E R
14/08/2021 Ead.br
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conclusão
Conclusão
Vimos, nesta unidade, as diversas técnicas de contagem que facilitam a resolução de problemas
dessa natureza de forma mais rápida. O Princípio Fundamental da Contagem é o pré-requisito
para as demais técnicas: permutação, arranjo e combinação. Abordamos o conteúdo de forma a
apresentarmos exemplos para que o aluno tivesse a oportunidade de desenvolver o raciocínio
lógico para, então, formalizarmos as de�nições e fórmulas. Esse modo de abordagem do
conteúdo facilita o entendimento do aluno. A atividade no �nal de cada tópico ajudará o aluno a
�xar todo conteúdo abordado, bem com a leitura do artigo e a análise do �lme sugerido. O
conjunto �nal desta unidade dará, ao aluno, uma excelente base para as próximas etapas.
referências
Referências Bibliográ�cas
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de Matemática do Ensino Médio, jul. 2007. 1 vídeo. (1 min 15 seg). Disponível em:
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