aplicações 16

Prévia do material em texto

Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo 1
Lista de Exerćıcios – Semana 16
Temas abordados : Lista extra: Integração por partes; Volumes
Seções do livro: 8.1; 6.1; 6.2
1) Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.
(a)
∫
1
x
√
x2 − 2
dx, x = (1/u)
(b)
∫
1
ex + 1
dx, x = − ln u
(c)
∫
x
√
x+ 1
dx, u =
√
x+ 1
(d)
∫
cosx
√
1 + sen2(x)
dx, u = sen(x)
2) Use a substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
(a)
∫
x(2 x+ 5)10 dx; (b)
∫
1+x
1+
√
x
dx; (c)
∫
dx
x
√
2x+1
;
(d)
∫
dx√
ex−1
; (e)
∫ ln(2x) dx
x ln(4x)
; (f)
∫ (arcsinx)2 dx√
1−x2
;
(g)
∫ sen(x)3 dx√
cos x
; (h)
∫
dx
x
√
x2+1
.
3) Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
(a)
∫
x2 dx√
1−x2
; (b)
∫
x3 dx√
2−x2
; (c)
∫
√
x2−a2 dx
x
;
(d)
∫
dx
x
√
x2−1
; (e)
∫
√
x2+1 dx
x
; (f)
∫
dx
x2
√
4−x2
;
(g)
∫ √
1− x2 dx.
4) Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo:
∫ 3
0
√
x+ 1 dx x = 2 t− 1;
∫ 1
1/2
dx√
1−x4
x = sent;
∫ 4/3
3/4
dx√
x2+1
x = sht;
∫ π/2
0
f(x) dx x = arctan t.
Lista de Exerćıcios – Semana 16 - Página 1 de 4
5) Calcular as integrais usando as substituições indicadas:
∫ 4
0
dx
1+
√
x
x = t2;
∫ 29
3
(x−2)2/3 dx
(x−2)2/3+3
x− 2 = z3;
∫ ln 2
0
√
ex − 1 dx ex − 1 = z2;
∫ π
0
dt
3+2 cos t
tan( t
2
) = z;
∫ π/2
0
dx
1+a2 sen2x
tanx = t.
6) Demonstre que se f(x) é uma função par,
∫ a
−a
f(x) dx = 2
∫ a
0
f(x) dx. Mostre que se
f(x) é uma função ı́mpar,
∫ a
−a
f(x) dx = 0.
7) Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
(a)
∫
ln x dx; (b)
∫
arctanx dx; (c)
∫
arcsin x dx;
(d)
∫
x senx dx; (e)
∫
x cos(3x) dx; (f)
∫
x dx
ex
;
(g)
∫
x 2−x dx; (h)
∫
x2 e3x dx; (i)
∫
(x2 − 5 x+ 5) e−x dx;
(j)
∫
x3 e−x/3 dx; (k)
∫
x sen(x) cos(x) dx; (l)
∫
(x2 + 5 x+ 6) cos(2x) dx;
(m)
∫
x2 ln(x) dx; (n)
∫
ln(x)2 dx; (o)
∫ ln(x) dx
x3
;
(p)
∫ ln(x) dx√
x
; (q)
∫
x arctanx dx; (r)
∫
x arcsin x dx;
(s)
∫
ln(x+
√
1 + x2) dx; (t)
∫
xdx
sen(x)2
; (u)
∫
x cos x dx
sen(x)2
;
(v)
∫
ex senx dx; 23)
∫
3x cosx dx; (x)
∫
eax sen(bx) dx;
(y)
∫
sen(lnx) dx.
8) Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
(a)
∫
x3 e−x
2
dx; (b)
∫
e
√
x dx; (c)
∫
(x2 − 2 x+ 3) ln x dx;
(d)
∫
x ln(1−x
1+x
) dx; (e)
∫ ln(x)2
x2
dx; (f)
∫ ln(lnx) dx
x
;
(g)
∫
x2 arctan(3 x) dx; (h)
∫
x (arctan x)2 dx; (i)
∫
(arcsin x)2 dx;
(j)
∫
arcsinx
x2
dx; (k)
∫ arcsin(
√
x)√
1−x
dx; 12)
∫
x tan(2 x)2 dx;
(l)
∫
sen2 x
ex
dx; (m)
∫
cos2(lnx) dx; 15)
∫
x2 dx
(x2+1)2
;
(n)
∫
dx
(x2+a2)2
; (o)
∫ √
a2 − x2 dx; (p)
∫ √
A+ x2 dx;
(q)
∫
x2√
9−x2
dx.
Lista de Exerćıcios – Semana 16 - Página 2 de 4
9) Calcule as integrais abaixo:
(a)
∫
dx√
x2−1
(b)
∫ (2 x+4) dx
(x−1)(x2+1)2 (c)
∫ (3 x2−5x+8) dx
x2−4
usando os seguintes métodos:
(a) decompondo as frações nos itens b e c numa soma de frações;
(b) usando a substituição x = chθ ou x = shθ (usar o fato de que ch2θ − sh2θ = 1) no
item a;
10) Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
(a) parábola y = 4 x− x2 e o eixo ox;
(b) curva y = ln x, eixo ox e a reta x = e;
(c) curva y = x(x− 1)(x− 2) e o eixo ox;
(d) curva y3 = x, retas y = 1 e x = 8.
(e) curva y = tanx, eixo ox e x = π
3
;
(f) curva de Agnesi y =
a3
x2 + a2
e eixo ox, para −a ≤ x ≤ a;
(g) curvas y2 = 2 p x e x2 = 2 p y;
(h) parábola y = x2 e reta y = 3− 2 x;
(i) parábolas y = x2, y = x
2
2
e reta y = 2 x;
(j) hipérbole
x2
a2
−
y2
b2
= 1 e reta x = 2 a;
11) Considere os resultados abaixo:
• O volume V do sólido gerado pela rotação de uma região R em torno do eixo ox é
V =
∫ b
a
π[f(x)]2dx.
• O volume V do sólido gerado pela rotação de uma região R em torno do eixo oy é
V =
∫ b
a
2π x f(x)dx.
• A área da superf́ıcie S gerada pela revolução da curva dada por y = f(x) entre
x = a e x = b em torno do eixo oy é
S =
∫ b
a
2πx
√
1 + [f ′(x)]2dx.
• A área da superf́ıcie S gerada pela revolução da curva dada por y = f(x) entre
x = a e x = b em torno do eixo ox é
S =
∫ b
a
2πf(x)
√
1 + [f ′(x)]2dx.
Levando-sae em conta estes resultados determine a área da superf’ıcie de revolução e o
volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de
cada um dos eixos coordenados:
Lista de Exerćıcios – Semana 16 - Página 3 de 4
(a) parábola y = 4 x− x2 e o eixo ox;
(b) curva y = ln x, eixo ox e a reta x = e;
(c) curva y3 = x, retas y = 1 e x = 8.
(d) curva y = tanx, eixo ox e x = π
3
;
(e) curva de Agnesi y =
a3
x2 + a2
e eixo ox, para 0 ≤ x ≤ a;
(f) curvas y2 = 2 p x e x2 = 2 p y;
(g) parábola y = x2 e reta y = 3− 2 x;
Lista de Exerćıcios – Semana 16 - Página 4 de 4