Seja f: Z2 → Z≥ definida por f(x,y)) = (x-y,0), podemos afirmar que f: nao é um homomorfismo e a imagem de f é

Para determinar se a função \( f: \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z}_{\geq} \) definida por \( f(x, y) = (x - y, 0) \) é um homomorfismo, precisamos verificar se ela preserva a operação de adição. 1. Verificação da adição: - Se \( (x_1, y_1) \) e \( (x_2, y_2) \) são elementos de \( \mathbb{Z}^2 \), então: \[ f((x_1, y_1) + (x_2, y_2)) = f(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = ( (x_1 + x_2) - (y_1 + y_2), 0) = (x_1 - y_1 + x_2 - y_2, 0) \] - Agora, calculamos \( f(x_1, y_1) + f(x_2, y_2) \): \[ f(x_1, y_1) + f(x_2, y_2) = (x_1 - y_1, 0) + (x_2 - y_2, 0) = ( (x_1 - y_1) + (x_2 - y_2), 0) \] 2. Comparação: - Temos que \( f((x_1, y_1) + (x_2, y_2)) = (x_1 - y_1 + x_2 - y_2, 0) \) e \( f(x_1, y_1) + f(x_2, y_2) = (x_1 - y_1 + x_2 - y_2, 0) \). - Portanto, a função \( f \) preserva a operação de adição. 3. Imagem de \( f \): - A imagem de \( f \) é o conjunto de todos os valores que \( f \) pode assumir. Como \( f(x, y) = (x - y, 0) \), a primeira coordenada pode assumir qualquer valor inteiro, enquanto a segunda coordenada é sempre 0. - Assim, a imagem de \( f \) é \( \{(z, 0) | z \in \mathbb{Z}\} \). Conclusão: A função \( f \) é um homomorfismo, e a imagem de \( f \) é \( \{(z, 0) | z \in \mathbb{Z}\} \).