1EE Eletromag 2 2022-1 poli

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Universidade de Pernambuco 
Escola Politécnica de Pernambuco 
Disciplina: Eletromagnetismo 2 
Turma: E2 
Semestre: 2022.1 
Primeiro Escolar Final 
 
 
1. (3,0) Em uma região livre de cargas, no qual 𝜎 = 0, 𝜀 = 𝜀!, 𝜇 = 𝜇!, o campo 
magnético é dado por 𝐻''⃗ = 5 cos(10""𝑡 − 4𝑦) �⃗�#	𝐴/𝑚. Calcule: 
a. A densidade de corrente de deslocamento; 
b. A densidade de fluxo elétrico; 
c. A constante dielétrica. 
 
Solução: 
 
Letra a: 
∇''⃗ × 𝐻''⃗ = 𝐽 + 𝐽$ = 0 + 𝐽$ 
 
𝐽$ = ∇''⃗ × 𝐻''⃗ = ==
�⃗�% �⃗�& �⃗�#
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
0 0 5 𝑐𝑜𝑠(10""𝑡 − 4𝑦)
== = 20 𝑠𝑒𝑛(10""𝑡 − 4𝑦) �⃗�%	𝐴/𝑚' 
 
Letra b: 
𝐽$ =
𝜕𝐷''⃗
𝜕𝑡 
 
𝐷''⃗ = H 𝐽$𝑑𝜏
(
= H 20 𝑠𝑒𝑛(10""𝜏 − 4𝑦) �⃗�%𝑑𝜏
(
= −20 × 10)"" 𝑐𝑜𝑠(10""𝜏 − 4𝑦) �⃗�% 
 
𝐷''⃗ = −0,2 𝑐𝑜𝑠(10""𝜏 − 4𝑦) �⃗�%	𝑛𝐶/𝑚* 
 
Letra c: 
 
Como 𝜀 = 𝜀!, 𝜀+ = 1. 
 
2. (2,0) Sobre densidades de correntes: 
a. Mostre que a razão entre os módulos das amplitudes da densidade de 
corrente de deslocamento e da densidade de corrente de condução é 
(𝜎/𝜔𝜀); 
b. Calcule a razão entre os módulos das amplitudes da densidade de 
corrente de deslocamento e da densidade de corrente de condução se o 
campo elétrico aplicado for 𝐸 = 𝐸!𝑒)(/-, sendo 𝜏 um número real. 
 
 
 
Solução: 
 
Letra a: 
 
Assumindo uma dependência harmônica temporal do campo elétrico, 𝐸'⃗ . = 𝐸!𝑒/0( 
 
𝐽 = 𝜎𝐸. 
 
𝐽$ = 𝑗𝜔𝜀𝐸. 
 
|𝐽|
|𝐽$|
=
𝜎|𝐸.|
𝑗𝜔𝜀|𝐸.|
=
𝜎
𝜔𝜀 
 
Letra b: 
𝐽 = 𝜎𝐸 = 𝜎𝐸!𝑒)( -⁄ 
 
𝐽$ =
𝜕𝐷
𝜕𝑡 =
𝜕𝜀𝐸
𝜕𝑡 = 𝜀
𝜕Q𝐸!𝑒)( -⁄ R
𝜕𝑡 = −
𝜀
𝜏 𝐸!𝑒
)( -⁄ 
 
|𝐽|
|𝐽$|
=
𝜎𝐸!𝑒)( -⁄
𝜀
𝜏 𝐸!𝑒
)( -⁄
=
𝜎𝜏
𝜀 
 
 
 
3. (5,0) Seja 𝐸'⃗ = 100 cos(𝜋 × 102𝑡 − 𝛽"𝑧) �⃗�%	𝑉/𝑚 o campo elétrico de uma onda 
plana uniforme que incide a partir do ar (𝑧 < 0) sobre um meio não magnético 
(𝑧 > 0, 𝜎 = 0,05	𝑆/𝑚, 𝜀+ = 9). Calcule: 
a. A expressão instantânea do campo elétrico transmitido; 
b. A expressão instantânea do campo elétrico refletido; 
c. A razão de onda estacionária; 
d. A densidade de potência média para a onda incidente; 
e. A densidade de potência média para a onda refletida. 
Solução: 
 
Letra a: 
 
Meio 1: 
𝜂" = 120𝜋	Ω	
	
𝛽" =
𝜔
𝑐 =
𝜋 × 102
3 × 103 = 0,10	𝑟𝑎𝑑/𝑚	
Meio 2: 
𝜔𝜀 = 𝜋102 × 9 ×
10)4
36𝜋 = 0,0025	
	
𝜎
𝜔𝜀 =
0,05
0,0025 = 20	
	
Como 𝜎 não é muito maior do que 𝜔𝜀, então: 
	
𝜂' = _
𝑗𝜔𝜇'
𝜎 + 𝑗𝜔𝜀'
= `
𝑗𝜋102 × 4𝜋10)2
0,05 + 𝑗𝜋102 × 9 × 10
)4
36𝜋
= 20,35 + 𝑗19,35	Ω
= 28,08∠43,56°	Ω	
	
𝛼' = 𝜔`
𝜇𝜀
2 e
_1 + f
𝜎
𝜔𝜀g
'
− 1h = 𝜋102_
4𝜋10)2 × 9 × 10
)4
36𝜋
2 i
j1 + 20' − 1k	
	
𝛼' = 0,97	𝑁𝑝/𝑚	
	
𝛽' = 𝜔`
𝜇𝜀
2 e
_1 + f
𝜎
𝜔𝜀g
'
+ 1h = 𝜋102_
4𝜋10)2 × 9 × 10
)4
36𝜋
2 i
j1 + 20' + 1k	
	
𝛽' = 1,02	𝑟𝑎𝑑/𝑚	
Coeficientes: 
 
 
Γ =
𝜂' − 𝜂"
𝜂' + 𝜂"
=
20,35 + 𝑗19,35 − 120𝜋
20,35 + 𝑗19,35 + 120𝜋 =
−356,64 + 𝑗19,35
397,34 + 𝑗19,35 = 0,90∠ − 5,89° 
 
𝜏 = 1 + Γ = 1 + (−0,90 + 𝑗0,09) = 0,10 + 𝑗0,09 = 0,13∠41,99° 
 
𝐸'⃗ ( = 100 × 0,13e)!,426 cos(𝜋 × 102𝑡 − 1,02𝑧 + 41,99°) �⃗�%	
	
𝐸'⃗ ( = 13e)!,426 cos(𝜋 × 102𝑡 − 1,02𝑧 + 41,99°) �⃗�%	𝑉/𝑚	
Letra b: 
𝐸'⃗ + = 100 × 0,90 cos(𝜋 × 102𝑡 + 0,1𝑧 − 5,89°) �⃗�% 
	
𝐸'⃗ + = 90 cos(𝜋 × 102𝑡 + 0,1𝑧 − 5,89°) �⃗�%	𝑉/𝑚 
	
Letra c: 
𝑠 =
1 + |Γ|
1 − |Γ| =
1 + 0,9
1 − 0,9 = 19	
	
Letra d: 
𝒫'⃗78$(𝑧) =
𝐸!'
2|𝜂| 𝑒
)'9# cos 𝜃: �⃗�# =
100'
2 × 120𝜋 �⃗�# = 13,26�⃗�#	𝑊/𝑚
'	
	
Letra e: 
𝒫'⃗78$(𝑧) =
90'
2 × 120𝜋
(−�⃗�#) = 10,74(−�⃗�#)	𝑊/𝑚'