Mecânica dos Sólidos2 23-26

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Para que a ação de F não seja alterada, podemos aplicar duas forças no ponto O, uma igual a F e outra igual a –
F, vide �igura anterior (b). O sistema resultante desta operação apresenta uma força F aplicada em O e um
binário de momento , vide �igura anterior (c).
Desta forma, qualquer força F que atue sobre um corpo rı́gido pode ser movida para um ponto qualquer O,
desde que seja adicionado um binário com momento igual ao momento de F em relação a O. Assim, o binário
tenderá aplicar ao corpo rı́gido a mesma rotação em O que a força F tendia a produzir antes de ser transferida
para o ponto O. O binário é representado por um vetor MO, perpendicular ao plano que contém r e F. Por ser
um vetor livre, como já visto anteriormente, MO pode ser aplicado em qualquer ponto mas por conveniência,
o vetor binário é geralmente aplicado em O, juntamente com F. Essa combinação é conhecida como sistema
força-binário (�igura anterior (c)).
De forma similar, um sistema força-binário que consista de uma força F e um vetor binário MO, que sejam
perpendiculares pode ser substituı́do por uma única força equivalente. Isso pode ser feito movendo-se a força
F no plano perpendicular a MO até que seu momento em relação a O �ique igual ao momento do binário a ser
elimindado.
2.7 Redução de um carregamento distribuído
Até aqui vimos somente a ação de forças concentradas, isto é, que atuam apenas em um certo ponto de um
corpo. Neste tópico, iremos estudar a ação de forças distribuı́das, isto é, aquelas forças que não atuam
somente em um ponto mas sim ao longo da superfı́cie de um corpo.
Esses tipos de força são, por exemplo, aquelas devido a distribuição do peso sobre uma viga, ou da pressão
que o vento exerce sobre uma placa de propaganda, entre outras.
Uma força distribuı́da pode ser de�inida por uma função que representa a força ω por unidade de
comprimento, vide �igura a seguir, e é expressa em N/m.
A magnitude da força sobre um pequeno comprimento da viga, dx, é dW = ω.dx, e a força total sobre a viga é
dado por:
Figura 22 - Sistema de forças distribuı́das.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
Na �igura anterior, notamos que o produto ω.dx tem a mesma magnitude que o elemento de área dA. Dessa
forma, podemos a�irmar que a força resultante total W tem a mesma magnitude que a área total abaixo da
curva da função que representa a força. Assim, temos:
Uma vez determinada a força resultante concentrada W, com magnitude W e que representa a força
distribuı́da, precisamos de�inir qual o seu ponto de aplicação P, vide �igura anterior (b).
Podemos obter o ponto de aplicação P da força resultante W através da igualdade dos momentos de W em
relação ao ponto O com a soma dos momentos das forças elementares dW também em relação ao ponto O:
Onde:
 e W	=	A,
Assim, a posição P da força resultante, dada por OP é:
A distância OP também é a distância do eixo ω até o centróide C da superfı́cie A formada pela curva da função
da força distribuı́da.
Assim, podemos concluir que uma força distribuı́da sobre uma viga pode ser substituı́da por uma força
concentrada resultante, com magnitude igual à área formada pela função de distribuição. Também podemos
a�irmar que a linha de ação da força concentrada resultante passa pelo centróide dessa área.
2.8 Condições e equações de equilíbrio
Vimos anteriormente que as forças externas que atuam em um corpo rı́gido podem ser reduzidas a um
sistema força-binário e um ponto qualquer O. Quando essa força e o binário são iguais a zero, podemos dizer
que as forças externas formam um sistema equivalente a zero, e que o corpo rı́gido está em equilı́brio.
Desta forma, as condições necessárias e su�icientes para o equilı́brio de um corpo rı́gido podem ser descritas
como:
Se �izermos a decomposição de cada força e momento em seus componentes x, y e z, as condições necessárias
e su�icientes para o equilı́brio de um corpo rı́gido podem ser descritas como:
Com as equações acima, podemos determinar as forças desconhecidas aplicada em um corpo rı́gido bem
como as reações exercidas sobre ele por seus apoios.
De acordos com as expressões, as forças externas e seus momentos nas direções x, y e z estão em equilı́brio e
desta forma, não produzem nenhum movimento de translação ou rotação no corpo.
Para obtermos as equações de equilı́brio de um corpo rı́gido primeiro precisamos identi�icar todas as forças
que atuam sobre ele e depois desenhar o seu diagrama	de	 corpo	 livre. Além das forças que atuam sobre o
corpo rı́gido, também precisamos identi�icar as reações exercidas sobre o corpo pelos seus apoios.
Cada apoio exerce uma reação especı́�ica sobre o corpo. Mais adiante iremos estudar como saber se o corpo
está adequadamente apoiado e se as equações de equilı́brio podem ser resolvidas para forças e reações
desconhecidas.
2.9 Membros de duas ou três forças
Existem alguns casos particulares de equilı́brio de um corpo rı́gido, cujo interesse é a simpli�icação de sua
solução. Neste tópico, iremos exempli�icar dois casos de muito interesse: o de um corpo rı́gido sujeito à ação
de duas forças e o de um corpo rı́gido sujeito à ação de três forças aplicadas em três pontos diferentes.
2.9.1 Membros de duas forças
Um corpo rı́gido sujeito à ação de duas forças pode ser considerado um caso particular de equilı́brio. Dois
exemplos são apresentados na �igura a seguir.
De acordo com a �igura, para um corpo rı́gido estar em equilı́brio as forças aplicadas a ele devem ser iguais,
opostas e colineares. A forma do corpo rı́gido não altera essa condição.
2.9.2 Membros de três forças
Um corpo rı́gido sujeito à ação de três forças também pode ser considerado um caso particular de equilı́brio,
vide �igura.
Figura 23 - Membros de duas forças.
Fonte: MERIAM; KRAIGE, 2015, p. 90.
Para que o equilı́brio ocorra é necessário que as linhas de ação das três forças sejam concorrentes. Caso elas
não sejam concorrentes, uma das forças poderia exercer um momento resultante em torno do ponto de
intersecção das outras duas forças. Isso violaria a condição do momento ser zero em relação a todos os
pontos e consequentemente a condição de equilı́brio.
A única exceção ocorre para o caso das três forças serem paralelas entre si. Nesse caso, o ponto de
concorrência das linhas de ação das três forças é considerado estar no in�inito.
Figura 24 - Membros de três forças.
Fonte: MERIAM; KRAIGE, 2015, p. 90.
2.10 Diagrama de corpo livre
Para a solução de um problema relacionado ao equilı́brio de um corpo rı́gido é necessário que todas as forças
que atuam sobre o corpo sejam consideradas. Também é importante excluir qualquer força que não esteja
diretamente aplicada ao corpo.
Desta forma, o primeiro passo é desenhar o diagrama	de	 corpo	 livre do corpo rı́gido que será analisado. A
seguir, são propostos cincos passos necessários para a criação de um diagrama de corpo livre, de acordo com
Beer, et al., (2013). Clique nos itens e veja.
O primeiro passo é em relação ao corpo livre que será utilizado. Assim, o corpo é separado do solo
e de todos os outros corpos. Feito isso, é feito um esboço do contorno do corpo a ser analisado.
No segundo passo todas as forças externas devem ser incluı́das no diagrama de corpo livre, tanto as
forças exercidas pelo solo como as forças exercidas pelos corpos que foram destacados. Elas
devem ser aplicadas nos pontos em que o corpo rı́gido estava apoiado sobre o solo e/ou conectado
a outros corpos.
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Primeiro	passo
Segundo	passo