lista 03 de análise no rn

Prévia do material em texto

Análise no Rn (2016.1)
Prof. Edson Sampaio
Lista de Exerćıcios 03
Dado um subconjunto não vazio e limitado X ⊂ Rn, definimos o diâmetro de X por
diam(X) = sup{‖x− y‖ : x, y ∈ X}.
1. Seja X ∈ Rn um subconjunto compacto e não vazio. Mostre que existem x0, y0 ∈ X tais que
‖x0 − y0‖ = diam(X).
2. Seja X1 ⊇ X2 ⊇ · · · ⊇ Xk ⊇ · · · uma seq. decrescente de conjuntos compactos e não vazios.
Se diam(Xk)→ 0, então a interseção
∞⋂
k=1
Xk contém exatamente um ponto.
3. (Teorema de Baire) Seja {Ak}k∈N uma famı́lia enumerárevel de subconjuntos abertos e densos
de Rn. Mostre que a interseção
∞⋂
k=1
Ak é um subconjunto denso de Rn.
4. (Número de Lebesgue) Sejam X ⊂ Rn um subconjunto compacto e {Aλ}λ∈L uma famı́lia
de subconjuntos abertos de Rn; X ⊂
⋃
λ∈L
Aλ. Mostre que existe δ > 0 tal que para cada
subconjunto Y ⊂ X com diâmetro menor do que δ, existe um λ ∈ L tal que Y ⊂ Aλ.
5. Sejam X ⊂ Rn um subconjunto compacto (não vazio) e f : X → X uma aplicação tal que
‖f(x) − f(y)‖ < ‖x − y‖ sempre que x 6= y. Mostre que f possui um unico ponto fixo. Se
trocarmos a desigualdade ”<”por ”≤”, é verdade que f possui ponto fixo?
6. Sejam X ⊂ Rn um subconjunto compacto e f : X → X uma aplicação cont́ınua e tal que
‖f(x)− f(y)‖ > ‖x− y‖ para quaisquer x, y ∈ X. Mostre que f é sobrejetora.
7. Sejam X ⊂ Rn um subconjunto compacto e f : X → X uma aplicação injetiva tal que
‖f(x)− f(y)‖ ≤ ‖x− y‖ para quaisquer x, y ∈ X. É verdade que f sobrejetiva?
8. Sejam X,Y ⊂ Rn subconjuntos não vazios. A distância entre X e Y é definida por
d(X,Y ) = inf{‖x− y‖ : x ∈ X, y ∈ Y }.
Mostre que: se X é compacto e Y é fechado, então existem x0 ∈ X e y0 ∈ Y tais que
d(X,Y ) = ‖x0 − y0‖.
9. Aplicações uniformente cont́ınuas aplicam seq. Cauchy em seq. de Cauchy.
10. Seja f : X ⊂ Rn → Rm uma aplica cão cont́ınua e injetiva. Se X é compacto, mostre que a
inversa de f definida em Y = f(X), é uma aplicação cont́ınua.
11. Seja K ⊂ Rn. Prove que se toda função cont́ınua em K é limitada, então K é compacto.
12. Sejam f : K → Rn cont́ınua e M = f(K) com K compacto. Então, uma aplicação g : M →
Rp é cont́ınua se, e somente se, g ◦ f : K → Rp é cont́ınua.
1
13. Seja X ⊂ Rn+1 − {0} um subconjunto compacto que contém exatamente um ponto em cada
semi-reta de origem 0 em Rn+1. Prove que X é homeomorfo à esfera Sn.
14. Sejam X ⊂ Rn um subconjunto compacto e f : X → X uma aplicação tal que ‖f(x)−f(y)‖ >
‖x− y‖ para quaisquer x, y ∈ X. Mostre que f é um homeomorfismo.
2