Lista de Análise no RN

Prévia do material em texto

Análise no Rn (2016.1)
Prof. Edson Sampaio
Lista de Exerćıcios 01
1. X ⊂ Rn e f : X → Rp. Se f é cont́ınua, então X é homeomorfo ao gráfico de f .
2. Mostre que toda sequência (xk) ⊂ Rn que é limitada tem subsequência convergente.
3. Mostre que todo conjunto compacto K ⊂ Rn é limitado.
4. Prove que compacidade é um invariante topológico. Mais geralmente, sendo K ⊂ Rn com-
pacto, prove que f(K) é compacto, para toda funa̧ão cont́ınua f : K → R. Além disso, prove
que os pontos de máximo e pontos de mı́nimo de f são atingidos em K.
5. Mostre que conexidade é um invariante topológico.
6. Mostre que conexidade simples é um invariante topológico.
7. Sejam X ⊂ Rn e Y ⊂ Rp. Então, X e Y são compactos se, e somente se, X × Y é compcato.
8. Sejam X ⊂ Rn e Y ⊂ Rp. Então, X e Y são conexos se, e somente se, X × Y é conexo.
9. Sejam X ⊂ Rn e Y ⊂ Rp. Então, X e Y são simplesmente conexos se, e somente se, X × Y
é simplesmente conexo.
Um conjunto X ⊂ Rn é dito convexo, se para quaisquer x, y ∈ X, tem-se
[x, y] := {(1− t)x+ ty; t ∈ [0, 1]} ⊂ X.
10. Seja X ⊂ Rn um conjunto convexo. Mostre que X é conexo.
11. Seja X ⊂ Rn um conjunto convexo. Mostre que X é simplesmente conexo.
12. Seja φ : Rn → R uma função não negativa tal que φ−1(0) = {0} e φ(tx) = |t|φ(x), para todo
t ∈ R e todo x ∈ Rn. Mostre que φ é uma norma se, e somente se, Bφ[0, 1] = {x ∈ Rn;φ(x) ≤
1} é um conjunto convexo.
13. Sejam X ⊂ Rn e Y ⊂ Rp. Se X e Y são superf́ıcies topológicas de dimensões m1 e m2
respectivamente, então X × Y é uma superf́ıcie topológica de dimensão m1 +m2.
14. Mostre que o cone {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2} não é uma superf́ıcie topológica.
15. Mostre que duas normas quaisquer em Rn são equivalentes.
16. Para n > 3, temos que Rn −B[0, r] é simplesmente conexo, para todo r > 0.
1