Lista 02

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Análise no Rn (2016.1)
Prof. Edson Sampaio
Lista de Exerćıcios 02
Dado X ⊂ Rn, X ′ é constitúıdo pelos pontos a ∈ Rn; para cada � > 0, X ∩ B(a, �)
é infinito. Quando a ∈ X ′, dizemos que a é um ponto de acumulação de X.
1. Sejam X ⊂ Rn e a ∈ Rn. Mostre que a ∈ X ′ se, e somente se, existe uma seq. de pontos (xk)
em X tal que xk → a e xk 6= xj para todo k 6= j.
2. Sejam X,Y ⊂ Rn. Mostre que (X ∪ Y )′ = X ′ ∪ Y ′. Além disso, mostre que (X ′)′ ⊂ X ′.
3. Seja X ⊂ R. Mostre que X é fechado se, e somente se, X ′ ⊂ X. Conclua que para todo
X ⊂ Rn, tem-se X ′ fechado.
4. Dado X ⊂ Rn, mostre que (X)′ = X ′.
5. Todo subconjunto X ⊂ Rn infinito e limitado possui um ponto de acumulção.
Seja X ⊂ Rn. Um conjunto F ⊂ X (A ⊂ X) é dito fechado em X (aberto em X) quando
existe G ⊂ Rn fechado (H ⊂ Rn aberto) tal que F = G ∩X (A = H ∩X).
6. Mostre que F ⊂ X é um subconjunto fechado de X se, e somente se, X−F é um subconjunto
aberto de X.
7. Sejam X ⊂ Rn e Y ⊂ Rm. Uma aplicação f : X → Y é cont́ınua se, e somente se, a imagem
inversa (por f) de cada subconjunto fechado de Y é um subconjunto fechado de X.
8. Sejam X ⊂ Rn e Y ⊂ Rm. Uma aplicação f : X → Y é cont́ınua se, e somente se, a imagem
inversa (por f) de cada subconjunto aberto de Y é um subconjunto aberto de X.
Uma cisão de um conjunto X ⊂ Rn é uma decomposição X = A∪B tal que A∩B = A∩B = ∅.
9. Mostre que um conjunto X ⊂ Rn é conexo se, e somente se, a única cisão posśıvel para X é
X = X ∪ ∅.
10. Seja X ⊂ Rn um conjunto convexo contendo a origem. Mostre que se X possui n elementos
linearmente independentes, então int(X) 6= ∅
11. Dê exemplo de uma função f : R2 → R tal que f restrita a cada seção {x = a} ou {y = b}
seja cont́ınua, mas f não seja cont́ınua.
12. Seja f : R2 → R e assuma que f restrita a cada seção {x = a} é cont́ınua e restrita a cada
seção {y = b} é cont́ınua e monótona. Prove que f é cont́ınua.
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