Aula3

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INFERÊNCIA ESTATÍSTICA E
SIMULAÇÃO
Aula 3
 
 
 
 
 
 
 
 
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Prof. João Carlos da Silva
CONVERSA INICIAL
PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES
As distribuições de probabilidades ajudam a entender como funciona o comportamento das
variáveis aleatórias. Iniciaremos a presente aula caracterizando o fenômeno e definindo as principais
características de formação de uma distribuição de probabilidades. A seguir, abordaremos os
parâmetros de cada distribuição e como esses valores interferem no experimento. Com essas
definições de formação, definiremos a função das distribuições, que agilizam os cálculos e facilitam
as simulações de experimentos. Além disso, serão analisadas duas distribuições de probabilidades
discretas: Binomial e Poisson; e três distribuições contínuas: Uniforme, Exponencial e Normal.
As distribuições de probabilidade ajudam a entender a relação entre a variável aleatória do
estudo, com seus parâmetros e resultados obtidos por meio dos modelos matemáticos. Cada
distribuição tem suas propriedades e aplicações bem definidas, e com isso, o analista consegue
determinar qual distribuição é mais útil para o seu experimento. A relação correta das propriedades,
forma de coleta de dados e o comportamento da variável aleatória fica bem clara em cada tipificação
de uma distribuição de probabilidade.
Ademais, tenha em mente que o estudo de cada distribuição vai aumentar o seu conhecimento
para aplicar todas as ferramentas para iniciar uma simulação de dados e uma inferência estatística
adequada para cada amostra coletada. A cada etapa, o técnico e o analista aumentarão o
aprendizado para aplicações de novos elementos para o ambiente de trabalho. Bons estudos e
continue sempre persistindo nos seus ideais! Sucesso.
TEMA 1 – DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
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A distribuição de probabilidade binomial pertence aos modelos matemáticos das variáveis
aleatórias discretas. A sua utilização ajuda a comparar várias observações de interesse, trabalhando
com duas hipóteses de conclusão: fracasso ou sucesso, defeito ou não defeito, funciona ou não
funciona, e assim por diante. Com isso, é atribuída uma probabilidade para cada um desses estados.
A binomial recebe esse nome por ter a característica de trabalhar com duas probabilidades e
essas probabilidades serem associadas a um determinado objeto de estudo. Como toda a
distribuição de probabilidade, possui um espaço amostral e uma coleção de respostas possíveis e
enumeráveis. A sua aplicação é muito importante para estudar eventos nos quais se deseja calcular a
probabilidade de ocorrência ou não de um fenômeno aleatório discreto e indicar as decisões a serem
tomadas pelo técnico ou responsável pela atividade que está sendo testada.
A distribuição binomial é um modelo robusto que auxilia na simulação de várias hipóteses de
probabilidades e quantidade de observações.
1.1 DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO
Para definir uma distribuição de probabilidade binomial, é necessário entender as quatros
principais características que identificam essa distribuição. Essas características auxiliam a identificar
essa distribuição no momento de iniciar um experimento e começar a análise de dados. Os
resultados dessa distribuição são valores discretos, e as observações devem ser claras e objetivas
para facilitar o andamento do estudo. Veja, a seguir, as quatro propriedades básicas, com as devidas
anotações:
Amostra com número fixo de observações – o experimento deve começar e terminar com o
mesmo número de observações, caso contrário, os resultados das probabilidades serão
alterados. Imagine que se deseja calcular as probabilidades de funcionamento de portas de um
certo roteador. Após definir o modelo e a quantidade de portas que devem ser observadas, não
deve alterar os dados do problema. Caso o modelo escolhido foi de 5 portas, n=5, esses dados
indicaram todos os cálculos e conclusões do experimento.
Classificação da observação – Cada evento só pode ser indicado com dois estados de interesse
e nunca pode assumir os dois estados. Esses eventos observados são mutuamente exclusivos e
testados exaustivamente. Como exemplo, pense em uma observação de um equipamento. Ele
pode ser classificado como operando ou fora de operação, isso definido o estado da
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observação. O equipamento consegue ser identificado com apenas em um estado, caso
contrário não é uma distribuição de probabilidade binomial.
Probabilidade de interesse no experimento – esta probabilidade deve ser constante no
experimento e deve representar o comportamento da variável aleatória estudada. Essa
probabilidade deve ser igual para cada observação analisada e é denominada com variável de
interesse ou sucesso do estudo, indicada pela letra p minúscula (p). Por consequência, a
probabilidade do evento que não interesse ou fracassou, é denominada com a letra minúscula
q (q), que é o complemento da probabilidade de interesse (1-p). Na distribuição de
probabilidade binominal, essa característica é fundamental para os cálculos de probabilidade.
Como por exemplo, um equipamento tem como informação definida no manual que a
probabilidade de falha do equipamento é de 0,00012%. Com isso, sabemos que o
complementar é a probabilidade de operação do equipamento (1 – 0,0000012 = 0,9999988), ou
seja, 99,99988% de probabilidade de funcionamento do equipamento.
Independência no resultado da observação – o resultado de uma observação deve ser
independente do resultado de outra observação, cada amostra deve ser selecionada de forma
aleatória, em uma população finita com reposição. A resposta de interesse do experimento não
deve sofrer influência de outro elemento do estudo. Por exemplo, um técnico deseja estudar a
falha de funcionamento elétrico de um equipamento da rede. Essa falha de funcionamento não
deve depender de outro equipamento da rede para constatar a falha elétrica. Um resultado
deve ser independente do outro, ou seja, a falha do equipamento 1 precisa ser resultante
exclusivamente do equipamento 1.
Com essas quatros propriedades, é possível indicar os principais elementos de uma distribuição
de probabilidade binomial:
X – Variável aleatória discreta de interesse no estudo;
n – Números de observações da amostra;
p – Probabilidade de interesse ou probabilidade de sucesso;
q (1-p) - Probabilidade complementar ou probabilidade de fracasso;
A notação para distribuição binomial para a variável aleatória X é definida com os parâmetros n
e p. Recebe a seguinte notação matemática: X segue uma distribuição de probabilidade binomial
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com parâmetros n e p, segundo a equação 1.
A distribuição de probabilidade binomial tem grande utilidade para calcular chances de
ocorrências em que existam duas classificações possíveis com um número determinado de elementos
a serem analisados. Com a definição de um modelo, é possível determinar uma função de
probabilidade e um modelo matemático de resolução.
1.2 CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
Para definir um modelo matemático, é necessário entender o comportamento da variável da
distribuição binomial, compreender cada observação e a relação individual e em conjunto da
amostra. Primeiro, é necessário entender o funcionamento das probabilidades e depois as
combinações possíveis do experimento. Imagine um experimento em que se deseja verificar o
funcionamento de 4 equipamentos retirados de forma aleatória de um estoque de uma empresa, e o
resultado da análise será: funcionando ou está danificado.
Os resultados possíveis de uma amostra com 4 equipamentos podem ser: nenhum equipamento
danificado, um, dois, três ou quatro.Estes são todos os possíveis resultados dessa variável aleatória
binomial, com amplitude de zero até o valor máximo da observação. A Tabela 1 identifica uma
amostra para identificar o funcionamento de 4 equipamentos:
Tabela 1 – Exemplo de coleta de dados
Para calcular a probabilidade de 3 equipamentos funcionando e um danificado em uma amostra
com 4 equipamentos na sequência especificada acima, pode ser usada a equação a seguir:
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Esse resultado indica apenas uma hipótese de coleta. Com uma ordem especifica, pode-se ter
outras opções como: o equipamento 1 danificado e os demais não danificados, os três primeiros não
danificados e o último danificado, e assim por diante com todas as ordens possíveis. Para encontrar
todas as combinações possíveis de selecionar k objetos considerando um número máximo da
amostra (n), será necessário utilizar a regra de combinação matemática. A probabilidade de ocorrer
exatamente k sucessos em n repetições é denotada na equação a seguir:
Considerando que n! é denominado fatorial de n, por exemplo 4!, vai ser igual a: 4 x 3 x 2 x 1. Por
definição fatorial de 0 é igual a 1 (0! = 1).
Com as duas definições principais da distribuição de probabilidade binomial, é possível calcular a
probabilidade do exemplo dos equipamentos de uma empresa. Para completar o raciocínio da
binomial, a probabilidade de sucesso, no nosso caso, de encontrar um equipamento danificado é de
2,5%. Essa probabilidade pode ser baseada em dados históricos ou parâmetros fornecidos pelo
fornecedor do equipamento. Assim, os dados para resolução dos problemas será: n=4, X=k=1, p =
0,025 e X = encontrar equipamento danificado. Essas definições indicam que o técnico quer verificar
a probabilidade de encontrar equipamento danificado em uma amostra com 4 observações. No
nosso exemplo, 1 equipamento danificado em 4 possíveis. A resolução desse problema é encontrar o
valor dessa probabilidade na distribuição de binomial. A solução é demonstrada na seguinte
equação:
A resolução indica que existem quatro combinações possíveis. Veja, na Figura 1, a demonstração
das sequências possíveis:
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Figura 1 – Sequência de combinações possíveis
D – Danificado e F – Funcionando
Com essas combinações, agora é necessário calcular a probabilidade de encontrar um
equipamento danificado em 4 equipamentos em análise. Na equação 4, para cálculo dessa
probabilidade, será utilizada a equação para demonstração da resolução:
Portanto, a probabilidade de encontrar um equipamento danificado de uma amostra aleatória,
com a retirada de quatro equipamentos de um estoque de uma empresa, é demostrada na Figura 2:
Figura 2 – Possibilidade de um evento da distribuição binomial
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A probabilidade de encontrar um equipamento danificado em uma amostra de quatro
equipamentos é 4 x 0,023 = 0,092, ou 9,2% de chance de ocorrência. Com essa definição, é possível
calcular qualquer probabilidade de ocorrência de equipamentos danificados, com probabilidade de
ocorrência de 2,5%. Esses cálculos são bastante intuitivos, porém demandam muito esforço
matemático. Assim, a distribuição de probabilidade de binomial possui um modelo matemático que
agiliza proporcional velocidade nos resultados. Lembrando que, para ser uma distribuição binomial,
deve atender às quatros propriedades já apresentadas.
1.3 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE E PARÂMETROS
O modelo matemático que encontra qualquer probabilidade de k eventos de interesses em uma
distribuição binomial baseada em valores de n (tamanho da amostra) e p probabilidade de sucesso).
O modelo é consolidado na equação a seguir, agilizando e simulando qualquer ocorrência dentro do
espaço amostral definido no experimento.
Essa equação define a probabilidade de que X seja igual a um valor de k, dados os valores de n e
p. Desta maneira, é possível encontrar todas as probabilidades X=k=0, até X=K=n, no nosso
experimento, o k indica a quantidade de equipamento danificados. Para demonstrar os cálculos,
segue a Tabela 2 como todos os cálculos de k=0 equipamentos danificados até k=4 equipamentos
danificados.
Tabela 2 – Probabilidade da distribuição binomial (n=4 e p = 0,025)
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A tabela traz algumas probabilidades bem importantes, como a probabilidade de encontrar um
equipamento danificado em uma amostra de quatro equipamento é de 90,37%. Imagine que a
amostra tenha 50 equipamentos. A fórmula de função de probabilidade ajuda a encontrar todas as
probabilidades contidas no espaço amostral. Essa função está disponível na maioria dos simuladores
e programas matemáticos, auxiliando na previsão de acontecimentos e programação de atividades
técnicas, pois conhecer a probabilidade de encontrar equipamentos danificados em um lote de 50
equipamentos torna o planejamento técnico mais eficiente.
Existem dois parâmetros muito importantes em uma função de probabilidade binomial, que
indicam pontos importantes no comportamento da variável aleatória discreta. Veja, a seguir, os dois
parâmetros fundamentais nesta distribuição:
a)  Média aritmética ou valor esperado – é o valor esperado naquele conjunto de dados de
um experimento com distribuição binomial, indica a relação entre o tamanho da amostra e a
probabilidade de sucesso da variável que está sendo estudada. A equação 7, ilustra esta relação
matemática:
Imagine que no problema de 50 equipamentos em um estoque, com a equação do valor
esperado, é possível calcular a quantidade média de equipamento danificados neste lote. Com base
no tamanho da amostra (n=50) e da probabilidade de equipamento danificado (2,5%), demostrado
na resolução da equação a seguir:
Este valor é esperado, com repetidas amostras de n=50, com a mesma probabilidade de sucesso.
b)  Desvio-padrão ou erro-padrão – indica a variação que pode ocorrer na amostra que
está sendo analisada, tanto para cima como para baixo. Esse intervalo é uma noção básica que
pode ocorrer com a amostra estudada. Continuando com o exemplo do estoque com 50
equipamentos, o desvio-padrão pode indicar a variação possível de equipamento com
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problema. A equação a seguir indica a fórmula do desvio-padrão e a resolução da variação
deste lote de equipamentos:
Com esses dados, será construído um intervalo de equipamentos danificados com n=50 e p =
0,025, conforme mostra a Figura 3.
Figura 3 – Intervalo da distribuição binomial (n=50 e p = 0,025)
Com esse intervalo, a quantidade de equipamentos danificados pode variar de zero a 3
equipamentos.
Essas informações são bem úteis para o planejamento de operações, manutenção de redes,
previsão de paradas e garantia de equipamentos. As definições estratégicas têm uma ferramenta de
apoio importante na tomada de decisão dos envolvidos em um projeto.
TEMA 2 – DISTRIBUIÇÃO POISSON
A distribuição de probabilidade Poisson é baseada em contagem de eventos específicos dentro
de uma área, região ou local estabelecido. Essa distribuição analisa eventos discretos em uma
amostra com coleta aleatória. Pode ser especificado como: área, volume, intervalo de tempo ou
qualquer outra unidade física, tendo contagens de um experimento em análise.
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Essa distribuição verifica e especifica valores dentro de um espaço de estudo, contando eventos
que ocorrem nenhum espaço amostral, com número de amostra definida ou não definida. É muito
utilizada para detectar chegadas, erros e contagens, dentro de áreas de interesse.
A sua aplicação é muito importante para estudar eventos nos quais se deseja calcular a
probabilidade de ocorrência de uma variável aleatória discreta em situações de ocorrência de um
fenômenoem um intervalo de interesse.
A distribuição Poisson é um modelo que é robusto para estudos de filas e auxilia na simulação
de chegadas e contagem por área.
2.1 CONCEITO DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
A distribuição de Poisson utiliza contagem experimento pré-definido em condições em que é
possível definir espaço de análise. Condições favoráveis na área de Tecnologia, como exemplo:
número de falhas em uma rede de computadores em um determinado dia, números de pacotes
entregues em um banco de dados em um minuto, entre outros experimentos.
A distribuição de Poisson, além disso, auxilia no cálculo de probabilidades casos, como citados
anteriormente, de maneira assertiva e eficaz. Em muitos estudos, os responsáveis técnicos necessitam
de tal informação para perfis de rede, estimativas de eventos e previsões de operações. Essa
distribuição possui quatro propriedades básicas:
Contagem em uma área pré-definida do número de vezes que um evento ocorre em uma
determinada área, tempo, extensão ou limites semelhantes. Por exemplo: quantidade de
atendimento de cliente em um determinado dia, quantidade de pacotes entregues por minuto
em um banco de dados e outros com a especificação de uma área de interesse.
Existe um número esperado de eventos por área de ocorrência, como por exemplo: quantidade
média de erros de pacotes por minuto, indisponibilidade média de uma rede em uma hora,
entre outros.
O número de eventos em uma determinada área deve ser independente aos que ocorrem em
outras áreas. Um fenômeno aleatório não pode interferir em outro fenômeno aleatório.
Não é necessário um número exato na amostra estuda, o tamanho da amostra não precisa ser
especificado, e sim o evento de contagem.
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Para ilustrar essas propriedades, imagine a entrega de pacotes de informações em um banco de
dados em um intervalo de um minuto. Na Figura 4, é demostrada a chegada desses pacotes no
período de um minuto. O evento de interesse é a chegada dos pacotes de dados e a área de
interesse é o intervalo de minuto, no caso, chegadas por minuto.
Figura 4 – Chegada de pacotes de dados por minuto
Na ilustração acima, existe uma contagem por área definida, com isso, podem ocorrer a chegada
de zero, um, dois ou infinitos pacotes de dados por minuto. Com isso, é plausível supor que o evento
tem a mesma probabilidade de ocorrência em qualquer dos intervalos de tempo estabelecido,
existente em um dia de observação do experimento.
Neste caso, um evento que ocorreu no intervalo deve ser independente a qualquer outro
intervalo com exceção de problemas de equipamento, instabilidade de rede ou queda de energia,
que interfiram no funcionamento normal dos eventos estudados.
A notação para distribuição Poisson para a variável aleatória X é definida com o parâmetro λ.
Recebe a seguinte notação matemática: X segue uma distribuição de probabilidade Poisson com
parâmetro λ, segundo a equação a seguir.
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Com a definição de um modelo, é possível determinar uma função de probabilidade e um
modelo matemático de resolução. A distribuição de Poisson é uma excelente simulação para a
probabilidade de eventos baseados em ocorrências por área de possibilidades.
2.2 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE E PARÂMETROS
O modelo matemático para descrever a distribuição de probabilidades de Poisson utiliza um
parâmetro único para cálculo de probabilidades. Esse parâmetro é conhecido como número esperado
ou médio de ocorrências, denominado pela letra grega minúscula lambda . Esse valor pode ser
calculado com base em eventos históricos; pode ser conhecido por meio de informações técnicas de
fornecedores ou padronização analíticas de redes lógicas de dados.
A função de probabilidade de Poisson analisa um valor da variável aleatória X que seja igual a
um valor de k de interesse, dado o valor médio esperado .  Desta maneira, é possível encontrar
todas as probabilidades, X=k=0, até X=k=infinito, no nosso experimento com k ocorrências. A
equação 11 indica como é realizado esse cálculo de probabilidades:
λ – número de eventos esperados;
e – constante matemática de Neper, aproximada por 2,71828;
k – números de eventos (k=0,1,2, ..., ∞).
Essa equação desenvolvida por Siméon Denis Poisson não é de fácil entendimento, mas a sua
aplicação é inconfundível e aplicada em várias de simulação de teoria de filas. Para entender a
aplicação dessa equação matemática, imagine um experimento em que o especialista quer analisar a
quantidade de abertura de chamadas para atendimento ao cliente. A primeira informação necessária
para o cálculo das probabilidades é o valor médio esperado ( ). Neste exemplo, vamos considerar
dados anteriores de três chamados por hora.
Utilizando a equação 12, vamos calcular a probabilidade de abertura de um chamado em uma
determinada hora do dia, com λ = 3.
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A probabilidade de abertura de um chamado em uma determinada hora do dia é de 14,94%.
Para demonstrar os cálculos, segue a Tabela 3 com todos os cálculos de probabilidades, de k=0
aberturas de chamados por hora, até k=13 aberturas de chamados por hora.
Tabela 3 – Probabilidade da distribuição Poisson (λ = 3)
A tabela indica que probabilidade de não ter nenhuma abertura de chamado em uma hora é de
4,98%, e a probabilidade de ter acima de 13 chamados é praticamente zero. Essas informações
podem auxiliar e facilitar o planejamento de quantidade de operadores que devem ficar de plantão
nas empresas e quantos podem sair para atendimento em campo.
Essa distribuição também possui média e desvio-padrão, porém é bem mais simples de
encontrar. Na Poisson, a média é o valor de lambda (λ), normalmente identificado no experimento
que se queira realizar. Veja a equação a seguir para entender melhor.
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O outro parâmetro é o desvio-padrão que é calculado com a raiz quadrada de lambda   ,
indicando a variação da distribuição.
No nosso exemplo, a média é igual a três aberturas de chamadas por hora, que indica o valor
esperado para o evento analisado. O desvio-padrão deste experimento é a raiz quadrada de 5 (
), indicando a variação de abertura de chamados por hora, com intervalo +2,24 e -2,24. Na
figura 5, é indicado o intervalo da distribuição Poisson, com várias repetições.
Figura 5 – Intervalo da distribuição Poisson (λ = 3)
Com esse intervalo, a quantidade esperada de abertura de chamados em uma determinada hora
do dia pode variar de 0 até 6 aberturas de chamados. Esse intervalo considerando várias observações.
A distribuição Poisson pode ter seu parâmetro lambda atualizado, conforme sofra alteração ao
longo do tempo, deixando, com isso, as simulações de probabilidades sempre atualizadas. Essa
distribuição pode auxiliar no planejamento e análises de atividades que necessitem de paradas,
manutenções preventivas e previsão de filas de atendimento, uma distribuição muito robusta e útil
no trabalho do técnico e do especialista. Com isso, identificamos as duas principais distribuições de
probabilidades discretas: Binomial e Poisson.
TEMA 3 – DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
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A distribuição uniforme é a primeira que será analisada com uma variável aleatória contínua
considerando um espaço amostral contínuo de respostas. Nesta distribuição, o valor da
probabilidade apresenta a mesma chance de ocorrência dentro de um intervalo finito pré-
estabelecido. Como a variável aleatória é continua, as respostas serão também contínuas e resultado
de medições dentro do espaço amostral.
A distribuição de probabilidade uniforme tem como principal característica que sua distribuição
é retangular, definida entre dois pontos a e b. Essa distribuição tem uma grande aplicação para
geração de números aleatóriose criação de chaves criptográficas.
A distribuição trabalha com eventos equiprováveis e contidos em uma área de solução, pode
identificar limites de tolerância e identificar períodos de operação e tempos de manutenção.
3.1 CONCEITOS DA DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
A distribuição uniforme assume que a variável aleatória continua a assumir valores
equiprováveis, dentro de um intervalo definido no experimento. Existem algumas propriedades que
auxiliam a compreensão dos conceitos da distribuição de probabilidade uniforme:
Probabilidade constante no intervalo de estudo – a probabilidade de ocorrência de eventos no
espaço amostral deve ser a mesma no intervalo todo. Imagine que você deseja definir uma
escala de manutenção para o final de semana e possui 20 funcionários para escalar. Neste caso,
a chance de sorteio de qualquer técnico é exatamente a mesma, que é 1/20 (uma chance em
vinte). Por esse motivo, a ocorrência desse evento é equiprovável, e todo o elemento tem a
mesma chance de ocorrência.
Formato da distribuição é retangular – A função densidade de probabilidade é um retângulo,
com a base no intervalo fechado definido no experimento e o valor da probabilidade. Neste
caso, como a probabilidade é sempre a mesma no intervalo fechado, a figura de uma base e
uma altura constate para os cálculos das probabilidades intervalares. A Figura 6 ilustra a função
de probabilidade do exemplo da definição da escala para a manutenção do final de semana.
Figura 6 – Distribuição Uniforme
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A variável aleatória X é a quantidade de funcionários para sorteio da escala e a f (X) indica a
probabilidade igual para todos os elementos do experimento. Esta é uma característica marcante na
distribuição de probabilidade uniforme.
Intervalo fechado para o experimento – é necessário definir um intervalo para determinar as
probabilidades da distribuição uniforme. O intervalo pode ser definido como [a, b], que indica
que o valor de a e b estão contidos no intervalo de análise. Indica que o valor de a e menor que
o valor de b, valores que serão importantes para definir a probabilidade de ocorrência. No
nosso exemplo, o valor de a é igual a 1 e o valor de b igual a 20, assim, o intervalo de
probabilidades equiprováveis é [1,20].
Com essas três propriedades, o analista consegue calcular qualquer probabilidade de ocorrência
dentro do intervalo do experimento.
A notação para distribuição uniforme para a variável aleatória X é definida com os parâmetros
do intervalo de análise, a e b. Recebe a seguinte notação matemática: X segue uma distribuição de
probabilidade uniforme com parâmetros a e b, segundo a equação 15.
A distribuição de probabilidade uniforme tem grande utilidade para calcular chances de
ocorrências nas quais existam probabilidades iguais dentre de um intervalo determinado. Com a
definição desse modelo, é possível determinar uma função densidade de probabilidade e um modelo
matemático de resolução da distribuição uniforme.
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3.2 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE
A função de densidade de probabilidade da distribuição uniforme segue as características
fundamentais apresentadas, os valores do intervalo [a, b] e a probabilidade de ocorrência no
intervalo. A equação a seguir indica como se comporta a função de X - (f (X)), dentro de um intervalo
de amostragem:
a = é o valor mínimo de X.
b = é o valor máximo de X.
A Figura 7 vai ajudar a compreender o cálculo da função densidade de probabilidade. Na
distribuição uniforme, o cálculo da área sob a curva é igual ao produto do comprimento pela altura
do retângulo e o valor total da área será igual a 1.
Figura 7 – Função de densidade da distribuição Uniforme
Observe que, no gráfico acima, como a área do retângulo é igual a 1. A base do retângulo é (b -
a) e a altura é f (X), então o cálculo da função de probabilidade será demostrado na equação 17: 
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Nas distribuições contínuas, a probabilidade é calculada encontrando a área de uma f(X), dentro
de um intervalo determinado. Para encontrar a probabilidade de um intervalo de ocorrência, será f (X)
vezes o intervalo definido para o evento. Assim, para o cálculo da probabilidade de eventos sob a
área dessa função, veja a seguinte equação:
Nesse caso, o valor da base do retângulo vai depender do intervalo que será analisado, o valor
de (a’) para o cálculo da base do retângulo vai ser alterado conforme o problema que está sendo
observado.
Para facilitar a compreensão desse cálculo, imagine que o tempo para realizar uma operação de
manutenção e montagem de um equipamento é de 60 a 90 minutos, e a probabilidade de término
da atividade é igual no intervalo citado. O analista precisa saber qual é a probabilidade de a operação
durar mais do que 80 minutos, para que possa enviar outro técnico para auxiliar na atividade.
Neste caso, a probabilidade desse evento é calculada com a área da figura de interesse, base x
altura. A probabilidade que será calculada é P (80 < X < 90), na figura 8, é demostrado o desenho da
área da probabilidade.
Figura 8 – Função de densidade da distribuição Uniforme (a=60 e b=90)
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Para o cálculo da probabilidade de duração da operação de montagem, é realizado o cálculo da
área, base vezes a altura. Na equação a seguir, veja o cálculo da probabilidade de a operação durar
mais do que 80 minutos:
No nosso problema, a base do retângulo foi calculada com a’=80 e b=90. A probabilidade de
operação de manutenção e montagem durar mais do que 80 minutos é de 33,33%.
Essas informações podem auxiliar e facilitar o planejamento do tempo de operação de uma
atividade específica, evitando multas e atrasos no trabalho a ser realizado.
A distribuição uniforme possui dois parâmetros importantes na definição e conclusão das
atividades técnicas, a média e desvio-padrão. A equação a seguir demostra o cálculo da média
aritmética ou esperança matemática.
No nosso exemplo, o tempo médio para a manutenção e montagem estudado, considerando
um intervalo de 60 a 90 minutos, é demostrado na resolução da equação a seguir:
O valor esperado para a operação é de 75 minutos no intervalo de 60 a 90 minutos.
O outro parâmetro é o desvio-padrão, que indica a variação do tempo para a operação
mencionada no exemplo, que é calculado como indicado na equação 22.
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Para encontrar a variação do tempo de operação de manutenção, a equação a seguir indica a
fórmula do desvio-padrão e a resolução da variação para o intervalo de 60 a 90 minutos:
No nosso exemplo, a média é igual a 75 minutos para finalizar a operação e o desvio-padrão
desse experimento é de 8,67 minutos. Na Figura 9, é ilustrada a variação esperada nesta operação,
indicando o intervalo da distribuição uniforme, com várias repetições.
Figura 9 – Função de densidade da distribuição Uniforme (a=60 e b=90)
Com esse intervalo, a quantidade esperada para o tempo de manutenção pode variar de 66,33
até 83,67 minutos. Esse intervalo considera várias observações, sempre com o mesmo intervalo e com
a mesma probabilidade de ocorrência do evento dentro da área especificada.
A distribuição uniforme tem grande utilidade para determinar intervalos de aceitação e duração
de atividades. A sua grande utilidade é em tempos de operação e manutenção, auxiliando na criação
de procedimentos e padronização nos tempos de atividades. Essa distribuição é bem simples de ser
aplicada, pode direcionar como a equipe deve trabalhar, apoiar no planejamento de treinamento e
ajudar a entender o andamento das atividades. Lembrando que as probabilidades devem ser
equiprováveis, qualquer alteração no andamento do experimento vai alterar o resultado final. O
responsável peloexperimento deve estar atento a todos os detalhes no andamento da operação que
está sendo analisada.
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TEMA 4 – DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
A distribuição de probabilidades exponencial é uma distribuição de uma variável contínua
assimétrica à direita. Começa no valor com resultado igual a zero e se estende até o valor do infinito
positivo. É semelhante ao funcionamento de sua distribuição discreta, a distribuição de Poisson.
Amplamente utilizada para simular a amplitude do tempo decorrido entre chegadas entre dois
eventos ou dados.
A distribuição exponencial trata do tempo de ocorrência entre duas variáveis consecutivas e
estima o tempo de espera ou atendimento. Esse tempo de análise descreve uma variável aleatória
exponencial, que descreve o comportamento de uma fila de serviço.
O conhecimento dessa distribuição é muito útil para prever atendimentos consecutivos, filas de
espera e tempo para atendimento. A distribuição exponencial, por sua vez, considera o tempo como
uma variável continua para a sua análise e tomada de decisão. O tempo é uma variável importante
para definir estratégias, trabalhar com instalações e manutenções preditivas.
4.1 CONCEITOS DA DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
A distribuição exponencial trata de analisar o tempo decorrido entre duas variáveis aleatórias
discretas. Neste caso, o tempo é a variável aleatória contínua do estudo. Verifica as probabilidades
envolvidas no tempo decorrido após o acontecimento de um evento, funcionando como um
monitoramento de chegada. A distribuição trabalha com o tempo, como uma variável decisória e as
chegadas são verificadas constantemente. Quando um evento acontece, existe um espaço para o
acontecimento de outro evento, e esse espaço pode ocorrer a qualquer momento. A Figura 10 ilustra
como funciona o andamento da chegada de dados e os intervalos entre essas chegadas.
Figura 10 – Chegada de dados
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A distribuição utilizada, o tempo de chegadas entre os eventos, identificado com as letras (a, b e
c) e o acontecimento dos eventos com os números (1,2, 3 e 4), como elementos fundamentais para o
estudo das probabilidades dos intervalos de chegadas por unidade de tempo.
A distribuição exponencial tem duas propriedades para descrever o fenômeno do tempo entre
chegada entre duas variáveis:
a)  Parâmetro de chegada: a distribuição exponencial utiliza como parâmetro de taxa média
de chegada por unidade de tempo o lambda minúsculo (λ). Desta maneira, é obtido o número
de chegada média por unidade de tempo, por exemplo: clientes dando entrada em um pedido
de manutenção, tempo entre falhas de equipamentos e monitoramento de acidentes de
trabalho.
b)  Especificação da variável aleatória continua (X): na distribuição exponencial, cada evento
ocorre em um intervalo de chegada, e o valor de X é o tempo ou distância entre os
acontecimentos é a distribuição do tempo de chegada. A variável X só é mensurável se existe a
probabilidade de ocorrência de uma chegada de outra variável X. Por exemplo, após ocorrer
uma falha em uma rede, acredita-se que haverá um tempo ou intervalo para a ocorrência de
outra falha.
Na distribuição exponencial, o tempo é elemento decisório no cálculo das probabilidades,
auxiliando no planejamento.
A notação para distribuição exponencial para a variável aleatória contínua X é definida com o
parâmetro λ. Recebe a seguinte notação matemática: X segue uma distribuição de probabilidade
exponencial com parâmetro λ, segundo a equação a seguir.
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A distribuição de probabilidade exponencial pode auxiliar no estudo da distribuição de Poisson,
pois analisa a probabilidade do tempo ocorrência entre duas variáveis discretas. Com a definição de
um modelo de estudo, é possível determinar os próximos passos nos estudos da função densidade
de probabilidade e um modelo matemático de resolução da distribuição exponencial.
4.2 Função densidade de probabilidade
A função de densidade de probabilidade da distribuição exponencial, para a extensão de tempo
entre as chegadas por unidade de tempo, está expressa na equação a seguir. Indica como se
comporta variável discreta X em relação ao tempo médio (λ):
λ – média aritmética do número de chegadas por unidade de tempo;
e – constante matemática de Neper, aproximada por 2,71828;
X – qualquer valor da variável contínua no intervalo (0 < X < ∞).
O comportamento da função densidade de probabilidade da distribuição exponencial pode ser
observado na Figura 11. Na figura, é analisado o comportamento da variável aleatória continua (X),
em função de λ, com valores estipulados para λ = 5, λ = 3 e λ = 1,5.
Figura 11 – Chegada de dados
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O gráfico demostra que as maiores probabilidades estão perto de lambda. Quanto mais longe
do parâmetro, menor a probabilidade.
Para facilitar a compreensão desse cálculo, imagine que o técnico quer descobrir a probabilidade
de ocorrer uma falha de um equipamento sabendo que acabou de ocorrer o evento falha. Neste
caso, a variável de estudo é o tempo até a próxima falha, assim, temos duas formas de calcular essa
probabilidade, conforme demostrado nas equações a seguir:
Desta forma, é calculada a probabilidade do tempo antes da próxima chegada ou acontecimento
que está sendo analisado. Na Figura 12, é ilustrado como é realizado o cálculo da área, referente às
equações que acabamos de ver, utilizando simulação com λ=2.
Figura 12 – Gráfico com o cálculo de probabilidades (λ=2)
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No exemplo da falha de equipamento, o λ considera a média de 2 falhas por dia e o técnico quer
verificar qual é a probabilidade de ocorrer outra falha dentro de 24 horas. Neste caso, o valor do
tempo analisando é no máximo 24 horas, ou seja, X deve estar contido no intervalo de menor ou
igual ao tempo estudo (X ≤ t). Imagine que se quer verificar a probabilidade de uma falha de
equipamento antes de 24 horas. Com λ = 2 falhas em 24 horas e X= 1 falha, o cálculo da
probabilidade será indicado na equação a seguir:
Neste caso, a probabilidade de ocorrer uma falha em 24 horas é de 86,47%. Desta forma, quanto
mais perto da média, maior a probabilidade de ocorrer outra falha. Caso necessite de tempo maior
que 24 horas, deve se utilizar a equação para valores de X>t.
Essa distribuição também possui média e desvio-padrão, e a sua interpretação estará ligada ao
tempo entre chegadas entre duas variáveis aleatórias.
Na Exponencial, a média do tempo entre chegadas é o valor inverso de lambda (λ), normalmente
identificado no experimento que se queira realizar, conforme a equação a seguir.
O outro parâmetro é o desvio-padrão que é calculado da mesma maneira que a média da
distribuição, a inversa de λ, indicando a variação da distribuição, como mostra a equação a seguir.
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No nosso exemplo de falha de um equipamento, a média do tempo entre falhas é igual a 1/λ,
que é 0,5 dia ou 12 horas. O desvio-padrão desse experimento coincide com o valor calculado para a
média, 12 horas entre as falhas, indicando a variação do tempo entre falhas do equipamento que
está em análise. Na Figura 12, é indicado o intervalo da distribuição Exponencial com várias
repetições.
Figura 12 – Intervalo da distribuição Poisson (λ = 2)
Com esse intervalo, o tempo médio entre falhas de equipamentos é de 12 horas em uma
determinada dia, podendo variar de 0 até 24 para ocorrer uma falha de equipamento. Esse intervalo
considera várias observações, em vários dias, para que a distribuição se torne cada vez mais assertiva.
A distribuição Exponencial é a única distribuição contínua que perde memória, não importa o
tempo de espera paraa próxima falha, a probabilidade para o próximo período será a mesma. Isso
acontece porque a distribuição é fortemente assimétrica à direta, intensificando as chances da
ocorrência em torno de lambda (λ). Essa distribuição é muito importante na análise de falhas
sucessivas, planejamento de manutenção e troca de equipamento, planejamento para troca de
equipamentos, acompanhamento de manutenção de rede e verificação de indicadores de
desempenho.
Com os cálculos da probabilidade de ocorrência de um evento e o tempo médio entre esses
eventos, essa distribuição é uma ferramenta muito eficaz e útil no trabalho do técnico e do
especialista.
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TEMA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Esta é a distribuição de probabilidades contínua mais utilizada na estatística, sendo aplicada em
vários experimentos aleatórios. Por conseguir descrever vários fenômenos físicos, é utilizada em
vários experimentos técnicos, econômicos e de planejamento.
A distribuição normal possui uma aproximação eficiente para várias distribuições de
probabilidades discretas, como a binomial e Poisson. Isso acontece quando a amostra é grande e
existe tendência ao ponto central da distribuição discreta, no caso a média. Outra grande vantagem
desta distribuição é que ela proporciona a base para a inferência estatística clássica, indicando os
principais intervalos de confiança. A distribuição de probabilidade normal tem sua função simétrica
em relação à média e intervalos de erro padrão para indicar os valores de normalidade. A distribuição
normal, também conhecida como distribuição de Gauss, revolucionou o entendimento sobre as
funções de probabilidades devido à sua fácil aplicação e interpretação.
5.1 CONCEITOS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
A distribuição de probabilidade Normal analisa o comportamento de uma variável aleatória
contínua, delimitadas dentro da amplitude do intervalo estudado. Por ser uma distribuição de variável
contínua, as probabilidades exatas são sempre iguais a zero, e é possível encontrar probabilidades
entre intervalos de valores. A distribuição normal tem algumas propriedades importantes que
auxiliam na compreensão de sua formação e aplicação no ambiente de trabalho:
a)  A distribuição é simétrica, as suas medidas de tendência central são iguais, a média e a
mediana.
b)  A sua forma é simétrica e se centraliza na média, sendo muito parecida com o formato
de um sino.
c)  Possui 50% dos seus valores abaixo da média e 50% dos seus valores acima da média.
d)  A variável aleatória de estudo pode assumir qualquer valor real de menos infinito a mais
infinito ( .
e)  A distribuição tem dois parâmetros de alocação de probabilidade da variável aleatória, a
média aritmética  e a variância , e por consequência, o desvio-padrão .
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f)   Possui um ponto de inflexão à direita  e outro à esquerda .
Para ilustrar e sintetizar todas essas características e propriedades fundamentais da distribuição
de probabilidade normal, observe a Figura 13.
Figura 13 – Formato da distribuição normal
O formato da distribuição normal tem como principal característica a simetria da função no
parâmetro  e que a função nunca encosta no eixo X.
A notação para distribuição normal para a variável aleatória X é definida com os parâmetros da
média e variância. Recebe a seguinte notação matemática: X segue uma distribuição de
probabilidade normal com parâmetros , segundo a equação a seguir.
Na prática, muitas variáveis aleatórias contínuas se assemelham à curva da distribuição normal,
desde o crescimento de uma planta, fabricação de um produto, medidas de uma peça, controle de
falhas em procedimento de qualidade, aferição de equipamentos, entre outros.
Essa distribuição tem uma vasta aplicação prática e consegue verificar os valores que estão fora
dos limites estabelecidos, por parâmetros internacionais ou por indicação do fabricante. Muito útil
para análise de banco de dados com muitas amostras e inferências rápidas sobre os dados
analisados.
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5.2 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE
O modelo matemático que expressa a função de densidade de probabilidade da distribuição
normal não é um modelo trivial. Foi elaborado por Abraham de Moivre, em 1733, descrevendo a
função densidade, levando em consideração a média e o desvio padrão da amostra estudada. A
função de densidade de probabilidade para a distribuição normal é expressa na equação a seguir:
 – constante matemática de Pi, aproximada por 3,14159;
e – constante matemática de Neper, aproximada por 2,71828;
X – qualquer valor da variável contínua, entre ;
 – média aritmética;
 – desvio-padrão.
Como observado, o modelo matemático não é de fácil aplicação, porém surgiram tabelas para
facilitar os cálculos de probabilidades para calcular as áreas de interesse. Neste modelo matemático,
X depende somente dos valores da média (  e do desvio-padrão ( . Com esses valores, é possível
conhecer o comportamento da variável aleatória X e as várias combinações possíveis de amostra.
A figura a seguir ilustra a distribuição normal, com alguns valores de  , indicando as
principais alterações no formato da função:
Figura 14 – Formato da distribuição normal
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O comportamento da função é indicado pelos parâmetros da normal ( , as distribuições
vermelha, azul e verde, apresentam a mesma média com desvio-padrão diferentes. Neste caso,
quanto maior o desvio, maior é a variação da função no eixo X, o que demonstra maior dispersão dos
dados. A distribuição rosa difere das outras, pois a sua média aritmética está deslocada em relação às
outras, expressando um comportamento distinto das outras funções de distribuição.
Os diferentes valores dos parâmetros da distribuição normal geram resultados e formatos
diferentes, que muitas vezes complicam a comparação de amostras e consolidação de hipóteses. Por
esse motivo e a dificuldade em calcular as probabilidades da distribuição normal, é necessário usar
uma transformação matemática para facilitar as intepretações e cálculos.
5.3 DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA
Para ajudar a encontrar as probabilidades da distribuição normal, foram criadas tabelas com os
cálculos da função de densidade de probabilidade da distribuição normal. Essas tabelas facilitam o
encontro dos resultados das probabilidades e dispensam o uso da fórmula da função de densidade.
Para que isso aconteça de modo eficiente, deve ser feita uma padronização nos dados da distribuição
normal. Para isso, observe, a seguir, duas etapas para a padronização e leitura das tabelas de
normalização.
Fórmula da normalização das variáveis aleatórias: nesta etapa, é utilizada uma fórmula de
transformação que converte qualquer valor da variável aleatória normal (X) em uma variável aleatória
normal padronizada (Z). O valor dessa nova variável (Z) realiza a diferença entre a variável original (X)
e a média aritmética ( . Com isso, encontrando os desvios de cada amostra, depois é realizada a
divisão pelo desvio-padrão , conforme indicado na seguinte equação:
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Esse procedimento é denominado de escore Z, indicando os desvios-padrão da distribuição
normal padronizada.
Distribuição normal padronizada: com a padronização, os parâmetros da nova distribuição
terão sempre os mesmos valores, . Dessa forma, é possível criar tabelas de cálculos
para facilitar a determinação das probabilidades. Segue a figura da distribuição normal padronizada
com 3 desvios padronizados para cima e para baixo da média.
Figura 15 – Formato da distribuição normal padronizada (Z)
Créditos: IAMNEE/Shutterstock
Imagine que o técnico está verificando o tempo de conexão de um servidor e encontrou um
valor de X = 3 segundos, com. Para encontrar o escore Z dessa observação, é realizado
o seguinte cálculo:
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Esse valor indica que 3 segundos equivalem a 1 unidade padronizada de desvio-padrão, assim é
possível comparar com outros tempos, lembrando que, quanto menor o desvio, menor a dispersão
dos dados, considerando que a distribuição tem os novos parâmetros, .
Com esse cálculo e a normalização da distribuição, é possível encontrar a dispersão dos dados
de uma amostra. Imagine que o analista quer verificar se o tempo de queda de um equipamento está
dentro do intervalo de dispersão de 3 desvios-padrão. Foram coletadas 10 observações. Nesse
experimento, o fornecedor informou os seguintes parâmetros - .
Veja, a seguir, a Tabela 4 com os valores das coletas e com o cálculo do escore Z:
Tabela 4 – Escore Z  (
)
Verificando o resultado da transformação do escore Z, a distribuição normal padronizada indica
que apenas as amostras 4 e 10 estão fora do intervalo previsto no experimento de ± 3 desvios
padronizados Z. Quanto mais perto da média definida pelo fabricante, menor vai ser o desvio
padronizado Z.
Com essas duas etapas, os cálculos de desvios padronizados ficam bem mais simples, o que
agiliza os cálculos de probabilidades e as definições de intervalos de confiança.
A distribuição normal é muito interessante, tem muita utilidade em vários experimentos na área
tecnológica, área em que os erros são cada vez menores e a cobrança por entregar um serviço de
qualidade seguindo padrões e diretrizes rigorosas é cada vez mais essencial. Neste momento, o
especialista deve atentar em procurar ferramenta de simulação apropriada e dominar os cálculos da
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distribuição normal. O aprendizado e a prática levam a processos melhores e confiança nas decisões
tomadas pela equipe gerencial.
FINALIZANDO
Nesta aula, foi apresentado, modelado e exemplificado as principais distribuições de
probabilidades utilizadas no mercado de trabalho, sendo acompanhado de suas propriedades,
modelos matemáticos e aplicações básicas. Em cada distribuição, foi demonstrado sua importância e
relevância na análise de dados e nos cálculos de probabilidade. Também foi identificado os principais
parâmetros que devem ser observados nas distribuições e a necessidade de identificar se a variável
que está sendo analisada é discreta e contínua. Foram apresentas cinco ferramentas assertivas no
encontro de valores de variáveis, probabilidade e intervalos simples do experimento.
Ademais, o foco desta aula foi ajudar vocês a entenderem o comportamento da variável, a
função de probabilidade, o modelo matemático de formação e a interferência dos parâmetros
principais, bem como a construção de modelos estatísticos robustos e cálculos para agilizar as
conclusões de experimentos técnicos e econômicos. Tenham em mente que conhecer as distribuições
auxilia os responsáveis técnicos a encontrar melhores soluções para problemas que ocorrem no dia a
dia de trabalho. Ademais, trabalhar corretamente com as distribuições de probabilidades otimiza o
tempo e proporciona dados para uma melhor decisão e planejamento estratégico nas operações
técnicas e de manutenção.
As distribuições de probabilidades discretas ou contínuas exigem um bom planejamento no
experimento, a escolha correta da variável de estudo e uma ambientação correta com as atividades
de trabalho.  
REFERÊNCIAS
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de experimentação. 2. ed., Florianópolis: Editora UFSC, 2010.
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