Prova1_inferência1

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Universidade Federal de
Goi´as
Instituto de Matem´atica e
Estat´ıstica
Prova1 - Inferˆencia 1 - 19/04/2021
Mostre todo o seu trabalho! Respostas n˜ao justificadas ser˜ao desconsideradas
Quest˜ao 01 Suponhamos
ˆθ1 e
ˆθ2 estimadores n˜ao-viesados para o parˆametro θ onde V ar(
ˆθ1)
= σ21 > 0 e V ar(
ˆθ2) = σ22 > 0. Considere outro estimador
ˆθ3 = a
ˆθ1 + (1 − a)
ˆθ2, 0 < a < 1 para θ.
Assumindo que ˆθ1 e
ˆθ2 s˜ao vari´aveis aleat´orias independentes,
(a)(0,5 ponto) Determine a esperan¸ca e a variˆancia de
ˆθ3.
(b)(1,0 ponto) Determine a que minimiza o Erro Quadr´atico M´edio de
ˆθ3.
Quest˜ao 02 Seja X1, . . . , Xn uma amostra aleat´oria de X com distribui¸c˜ao geom´etrica, e
fun¸c˜ao de probabilidade
f(x|θ) = θ(1 − θ)x−1, x = 1, 2, . . . 0 < θ < 1
(a)(1,0 ponto) Mostre f tem fun¸c˜ao de probabilidade na fam´ılia exponencial.
(b)(1,0 ponto) Determine uma estat´ıstica suficiente para θ.
(c)(1,0 ponto) Determine um estimador n˜ao viciado para 1θque seja fun¸c˜ao da estat´ıstica
suficiente. Este estimador ´e eficiente? Justifique sua resposta.
Dado: Se X tem distribui¸c˜ao geom´etrica com parˆametro θ, ent˜ao E(X) = 1/θ e V ar(X) =
1−
θ
θ2
Quest˜ao 03 Seja X1, . . . , Xn uma amostra aleat´oria de X com distribui¸c˜ao de Maxwell, e fun¸c˜ao
densidade de probabilidade
f(x|θ) =
√2x2
πθ
3
exp{− x
2
2θ
2
} x > 0, θ > 0.
(a)(1,0 ponto) X tem densidade na fam´ılia exponencial? Justifique sua
resposta. (b)(1,0 ponto) Calcule E(X2) e V ar(X2).
(c)(1,0 ponto) Determine uma estat´ıstica suficiente para θ e determine um estimador n˜ao-viesado
para θ2 que seja fun¸c˜ao da estat´ısica suficiente.
(d)(1,0 ponto) Determine o Erro Quadr´atico M´edio do estimador determinado em (c) e calcule seu
limite quando n → ∞.
Quest˜ao 04 Seja X1, . . . , Xn uma amostra aleat´oria de X com densidade unifome em (θ−1/2,
θ+1/2), θ > 0.
(a)(0,5 ponto) Encontre uma estat´ıstica conjuntamente suficiente para θ.
(b)(1,0 ponto) Determine as fun¸c˜oes densidade de probabilidade de X(1) = min{X1, . . . , Xn} e de X(n)
= max{X1, . . . , Xn}.
(c)(1,0 ponto)Sugira um estimador n˜ao-viesado para θ que seja fun¸c˜ao da estat´ıstica suficiente.
Justifique sua resposta.
Boa Prova!