algebra linear e vetorial avaliacao II individual

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A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida, então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto. A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar. ( ) Os espaços vetoriais podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares. ( ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço. ( ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
F - V - V - F.
B
V - F - V - F.
C
V - V - V - F.
D
F - F - F - V.
2Ao analisar os Espaços Vetoriais, podemos realizar a análise de sua dimensão. Nesse sentido, é possível relacioná-la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As aplicações deste conceito são puramente utilizadas na matemática, nas provas de teoremas e propriedades. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n². ( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômio de grau 3 é igual a 3. ( ) A dimensão do R² é igual a 3. ( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3 é igual a 4. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
V - F - F - V.
B
F - F - V - V.
C
V - F - F - F.
D
F - V - F - V.
3Uma das utilidades do produto vetorial de vetores resulta em um outro vetor cuja norma resulta na área de um paralelogramo de lados congruentes à norma dos vetores utilizados na operação. Supondo que esses vetores pertencem a um mesmo ponto e que eles possuem v = (-1, 0, 2) e u = (4, 0, -1), determine a área do paralelogramo delimitado por estes vetores e assinale a alternativa CORRETA:
A
5.
B
3.
C
9.
D
7.
4As operações vetoriais existentes são a soma e a multiplicação por um escalar. Combinando estas operações podemos realizar uma série de outros vetores que podem ser aplicados em diversas áreas. Sendo assim, dados os vetores u = (1, -2) e v = (3,-3), assinale a alternativa CORRETA que apresenta o vetor resultante da operação w = 3u - 2v:
A
w = (-3,0).
B
w = (0,-3).
C
w = (4,5).
D
w = (2,-1).
5O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o produto vetorial aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria, em que o produto entre dois vetores tem como solução um novo vetor, simultaneamente ortogonal aos outros dois. Quanto ao produto vetorial (u x v) entre os vetores u = (1,1,2) e v = (-3,1,2), analise as sentenças a seguir: I) u x v = (1,8,-4). II) u x v = (0,8,4). III) u x v = (0,-8,4). IV) u x v = (0,8,-4). Assinale a alternativa CORRETA:
A
Somente a sentença IV está correta.
B
Somente a sentença III está correta.
C
Somente a sentença I está correta.
D
Somente a sentença II está correta.
6Quando trabalhamos com vetores do espaço vetorial R³, pode-se combinar o produto escalar com o produto vetorial para definir uma nova operação entre três vetores. A esta operação damos o nome de produto misto, porque o resultado é uma quantidade escalar. Em particular, o módulo deste resultado nos calcula o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) O volume do paralelepípedo formado por (2, -1, 3), (0, 2, -5), (1, -1, -2) é igual à 19. ( ) O volume do paralelepípedo formado por (2, -1, 3), (0, 2, -5), (1, -1, -2) é igual à 12. ( ) O volume do paralelepípedo formado por (4, 1, -2), (0, 1, 1), (1, 0, -2) é igual à 7. ( ) O volume do paralelepípedo formado por (4, 1, -2), (0, 1, 1), (1, 0, -2) é igual à 5. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
V - F - V - F.
B
F - V - F - V.
C
F - V - V - F.
D
V - F - F - V.
7A norma ou módulo de um vetor trata-se da verificação de qual é o comprimento do vetor analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física envolvida em um dado problema. Sendo assim, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma (ou módulo) do vetor z = (-2,4).
A
Raiz de 20.
B
Raiz de 10.
C
4.
D
2.
8Em Álgebra Linear, podemos identificar o conjunto das matrizes linha, que são aquelas que possuem apenas uma linha como um espaço vetorial. Elas respeitam as operações elementares para esta definição. Sendo assim, este espaço vetorial (o das matrizes linha) possui um vetor oposto. Imagine uma matriz linha M = [1 2 -4]. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta seu vetor oposto:
A
(1, 2, 4).
B
(4, -2, -1).
C
(-4, 2, 1).
D
(-1, -2, 4).
9Em muitas aplicações não é interessante trabalhar com um espaço vetorial "inteiro", mas com uma parte deste espaço, ou seja, um subespaço, que seja constituído pelas combinações lineares de um dado conjunto de vetores. Será, então, conveniente escrever os elementos desse subespaço como combinações lineares de um conjunto que contenha o menor número possível de vetores e que estes sejam escritos de forma simplificada. Neste aspecto, podemos representar estes subespaços através de bases. Sobre os conjuntos que podem ser bases de R², classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: ( ) {(2,3),(-1,4)}. ( ) {(2,3),(-6,-9)}. ( ) {(1,5),(3,11)}. ( ) {(0,2),(0,0)}. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
F - V - F - V.
B
F - F - F - V.
C
V - F - V - F.
D
V - V - F - F.
10
Com relação à base ortonormal , considere os vetores ,   e .  Lembre-se de que a área do triângulo ABC é metade do produto vetorial entre AB e AC (em módulo).
 
Qual é o valor relativo à área do triângulo ABC usando produto vetorial?
A
357 u.a
B
348 u.a
C
511 u.a
D
5112 u.a