02_Raciocinio_Logico_e_Matematico

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Raciocínio Lógico e Matemático
Conjuntos numéricos (números naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e com-
plexos). Operações, propriedades e aplicações (soma, subtração, multiplicação, divi-
são, potenciação e radiciação). .................................................................................... 1
Razão e Proporção. Grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Regra de 
três simples e composta. .............................................................................................. 17
Sistema monetário brasileiro. ........................................................................................ 26
Porcentagem. ................................................................................................................ 29
Juros simples e compostos. .......................................................................................... 31
Equações e inequações. ............................................................................................... 34
Sequências. Progressões aritméticas e geométricas.................................................... 43
Análise combinatória. Arranjos e permutações. Princípios de contagem e Probabilida-
de................................................................................................................................... 47
Resolução de situações problemas............................................................................... 53
Sistemas de medidas. ................................................................................................... 55
Cálculo de áreas e volumes .......................................................................................... 61
Compreensão de estruturas lógicas. ............................................................................ 68
Lógica de argumentação (analogias, inferências, deduções e conclusões). ................ 69
Diagramas lógicos ......................................................................................................... 71
Exercícios ...................................................................................................................... 74
Gabarito ......................................................................................................................... 79
1801025 E-book gerado especialmente para ANDRESSA PEREIRA
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Conjuntos numéricos (números naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e com-
plexos). Operações, propriedades e aplicações (soma, subtração, multiplicação, divisão, 
potenciação e radiciação) 
— Conjuntos Numéricos
O grupo de termos ou elementos que possuem características parecidas, que são similares em sua nature-
za, são chamados de conjuntos. Quando estudamos matemática, se os elementos parecidos ou com as mes-
mas características são números, então dizemos que esses grupos são conjuntos numéricos1.
Em geral, os conjuntos numéricos são representados graficamente ou por extenso – forma mais comum em 
se tratando de operações matemáticas. Quando os representamos por extenso, escrevemos os números entre 
chaves {}. Caso o conjunto seja infinito, ou seja, tenha incontáveis números, os representamos com reticências 
depois de colocar alguns exemplos. Exemplo: N = {0, 1, 2, 3, 4…}.
Existem cinco conjuntos considerados essenciais, pois eles são os mais usados em problemas e questões 
no estudo da Matemática. São eles: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais.
Conjunto dos Números Naturais (N)
O conjunto dos números naturais é representado pela letra N. Ele reúne os números que usamos para contar 
(incluindo o zero) e é infinito. Exemplo:
N = {0, 1, 2, 3, 4…}
Além disso, o conjunto dos números naturais pode ser dividido em subconjuntos:
N* = {1, 2, 3, 4…} ou N* = N – {0}: conjunto dos números naturais não nulos, ou sem o zero.
Np = {0, 2, 4, 6…}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.
Ni = {1, 3, 5, 7..}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.
P = {2, 3, 5, 7..}: conjunto dos números naturais primos.
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros é representado pela maiúscula Z, e é formado pelos números inteiros ne-
gativos, positivos e o zero. Exemplo: Z = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4…}
O conjunto dos números inteiros também possui alguns subconjuntos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos.
Z- = {…-4, -3, -2, -1, 0}: conjunto dos números inteiros não positivos.
Z*+ = {1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos e não nulos, ou seja, sem o zero.
Z*- = {… -4, -3, -2, -1}: conjunto dos números inteiros não positivos e não nulos.
Conjunto dos Números Racionais (Q)
Números racionais são aqueles que podem ser representados em forma de fração. O numerador e o deno-
minador da fração precisam pertencer ao conjunto dos números inteiros e, é claro, o denominador não pode ser 
zero, pois não existe divisão por zero.
O conjunto dos números racionais é representado pelo Q. Os números naturais e inteiros são subconjuntos 
dos números racionais, pois todos os números naturais e inteiros também podem ser representados por uma 
fração. Além destes, números decimais e dízimas periódicas também estão no conjunto de números racionais.
Vejamos um exemplo de um conjunto de números racionais com 4 elementos:
Qx = {-4, 1/8, 2, 10/4}
1 https://matematicario.com.br/
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Também temos subconjuntos dos números racionais:
Q* = subconjunto dos números racionais não nulos, formado pelos números racionais sem o zero.
Q+ = subconjunto dos números racionais não negativos, formado pelos números racionais positivos.
Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos e não nulos.
Q- = subconjunto dos números racionais não positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.
Q*- = subconjunto dos números racionais negativos, formado pelos números racionais negativos e não nulos.
Conjunto dos Números Irracionais (I)
O conceito de números irracionais é dependente da definição de números racionais. Assim, pertencem ao 
conjunto dos números irracionais os números que não pertencem ao conjunto dos racionais.
Em outras palavras, ou um número é racional ou é irracional. Não há possibilidade de pertencer aos dois 
conjuntos ao mesmo tempo. Por isso, o conjunto dos números irracionais é complementar ao conjunto dos nú-
meros racionais dentro do universo dos números reais.
Outra forma de saber quais números formam o conjunto dos números irreais é saber que os números irracio-
nais não podem ser escritos em forma de fração. Isso acontece, por exemplo, com decimais infinitos e raízes 
não exatas.
Os decimais infinitos são números que têm infinitas casas decimais e que não são dízimas periódicas. Como 
exemplo, temos 0,12345678910111213, π, √3 etc.
Conjunto dos Números Reais (R)
O conjunto dos números reais é representado pelo R e é formado pela junção do conjunto dos números 
racionais com o conjunto dos números irracionais. Não esqueça que o conjunto dos racionais é a união dos 
conjuntos naturais e inteiros. Podemos dizer que entre dois números reais existem infinitos números.
Entre os conjuntos números reais, temos:
R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.
R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.
R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.
R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.
R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos.
— Múltiplos e Divisores
Os conceitos de múltiplos e divisores de um número natural estendem-se para o conjunto dos números in-
teiros2. Quando tratamos do assunto múltiplos e divisores, referimo-nos a conjuntos numéricos que satisfazem 
algumas condições. Os múltiplos são encontrados após a multiplicação por números inteiros, e os divisores são 
números divisíveis porum certo número.
Devido a isso, encontraremos subconjuntos dos números inteiros, pois os elementos dos conjuntos dos múl-
tiplos e divisores são elementos do conjunto dos números inteiros. Para entender o que são números primos, é 
necessário compreender o conceito de divisores.
Múltiplos de um Número
Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, o número a é múltiplo de b se, e somente se, existir um nú-
mero inteiro k tal que a = b · k. Desse modo, o conjunto dos múltiplos de a é obtido multiplicando a por todos os 
números inteiros, os resultados dessas multiplicações são os múltiplos de a.
Por exemplo, listemos os 12 primeiros múltiplos de 2. Para isso temos que multiplicar o número 2 pelos 12 
primeiros números inteiros, assim:
2 · 1 = 2
2 https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm
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3
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Portanto, os múltiplos de 2 são:
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Observe que listamos somente os 12 primeiros números, mas poderíamos ter listado quantos fossem neces-
sários, pois a lista de múltiplos é dada pela multiplicação de um número por todos os inteiros. Assim, o conjunto 
dos múltiplos é infinito.
Para verificar se um número é ou não múltiplo de outro, devemos encontrar um número inteiro de forma que 
a multiplicação entre eles resulte no primeiro número. Veja os exemplos:
– O número 49 é múltiplo de 7, pois existe número inteiro que, multiplicado por 7, resulta em 49.
49 = 7 · 7
– O número 324 é múltiplo de 3, pois existe número inteiro que, multiplicado por 3, resulta em 324.
324 = 3 · 108
– O número 523 não é múltiplo de 2, pois não existe número inteiro que, multiplicado por 2, resulte em 523.
523 = 2 · ?”
• Múltiplos de 4
Como vimos, para determinar os múltiplos do número 4, devemos multiplicar o número 4 por números intei-
ros. Assim:
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
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4
Portanto, os múltiplos de 4 são:
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
Divisores de um Número
Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, vamos dizer que b é divisor de a se o número b for múltiplo 
de a, ou seja, a divisão entre b e a é exata (deve deixar resto 0).
Veja alguns exemplos:
– 22 é múltiplo de 2, então, 2 é divisor de 22.
– 63 é múltiplo de 3, logo, 3 é divisor de 63.
– 121 não é múltiplo de 10, assim, 10 não é divisor de 121.
Para listar os divisores de um número, devemos buscar os números que o dividem. Veja:
– Liste os divisores de 2, 3 e 20.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1, 3}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Observe que os números da lista dos divisores sempre são divisíveis pelo número em questão e que o maior 
valor que aparece nessa lista é o próprio número, pois nenhum número maior que ele será divisível por ele.
Por exemplo, nos divisores de 30, o maior valor dessa lista é o próprio 30, pois nenhum número maior que 
30 será divisível por ele. Assim:
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.
Propriedade dos Múltiplos e Divisores
Essas propriedades estão relacionadas à divisão entre dois inteiros. Observe que quando um inteiro é múl-
tiplo de outro, é também divisível por esse outro número.
Considere o algoritmo da divisão para que possamos melhor compreender as propriedades.
N = d · q + r, em que q e r são números inteiros.
Lembre-se de que:
N: dividendo; 
d, divisor; 
q: quociente; 
r: resto.
– Propriedade 1: A diferença entre o dividendo e o resto (N – r) é múltipla do divisor, ou o número d é divisor 
de (N – r).
– Propriedade 2: (N – r + d) é um múltiplo de d, ou seja, o número d é um divisor de (N – r + d).
Veja o exemplo:
Ao realizar a divisão de 525 por 8, obtemos quociente q = 65 e resto r = 5. 
Assim, temos o dividendo N = 525 e o divisor d = 8. Veja que as propriedades são satisfeitas, pois (525 – 5 
+ 8) = 528 é divisível por 8 e:
528 = 8 · 66
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5
— Números Primos
Os números primos são aqueles que apresentam apenas dois divisores: um e o próprio número3. Eles fazem 
parte do conjunto dos números naturais.
Por exemplo, 2 é um número primo, pois só é divisível por um e ele mesmo.
Quando um número apresenta mais de dois divisores eles são chamados de números compostos e podem 
ser escritos como um produto de números primos.
Por exemplo, 6 não é um número primo, é um número composto, já que tem mais de dois divisores (1, 2 e 
3) e é escrito como produto de dois números primos 2 x 3 = 6.
Algumas considerações sobre os números primos:
– O número 1 não é um número primo, pois só é divisível por ele mesmo;
– O número 2 é o menor número primo e, também, o único que é par;
– O número 5 é o único número primo terminado em 5;
– Os demais números primos são ímpares e terminam com os algarismos 1, 3, 7 e 9.
Uma maneira de reconhecer um número primo é realizando divisões com o número investigado. Para facili-
tar o processo, veja alguns critérios de divisibilidade:
– Divisibilidade por 2: todo número cujo algarismo da unidade é par é divisível por 2;
– Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 
3;
– Divisibilidade por 5: um número será divisível por 5 quando o algarismo da unidade for igual a 0 ou 5.
Se o número não for divisível por 2, 3 e 5 continuamos as divisões com os próximos números primos meno-
res que o número até que:
– Se for uma divisão exata (resto igual a zero) então o número não é primo.
– Se for uma divisão não exata (resto diferente de zero) e o quociente for menor que o divisor, então o nú-
mero é primo.
– Se for uma divisão não exata (resto diferente de zero) e o quociente for igual ao divisor, então o número é 
primo.
Exemplo: verificar se o número 113 é primo.
Sobre o número 113, temos:
– Não apresenta o último algarismo par e, por isso, não é divisível por 2;
– A soma dos seus algarismos (1+1+3 = 5) não é um número divisível por 3;
– Não termina em 0 ou 5, portanto não é divisível por 5.
Como vimos, 113 não é divisível por 2, 3 e 5. Agora, resta saber se é divisível pelos números primos menores 
que ele utilizando a operação de divisão.
Divisão pelo número primo 7:
Divisão pelo número primo 11:
3 https://www.todamateria.com.br/o-que-sao-numeros-primos/
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6
Observe que chegamos a uma divisão não exata cujo quociente é menor que o divisor. Isso comprova que 
o número 113 é primo.
Potenciação
Multiplicação de fatores iguais
2³=2.2.2=8
Casos
1) Todo número elevado ao expoente 0 resulta em 1.
2) Todo número elevado ao expoente 1 é o próprio número.
3) Todo número negativo, elevado ao expoente par, resulta em um número positivo.
4) Todo número negativo, elevado ao expoente ímpar, resulta em um número negativo.
5) Se o sinal do expoente for negativo, devemos passar o sinal para positivo e inverter o número que está 
na base. 
6) Toda vez que a base for igual a zero, não importa o valor do expoente, o resultado será igual a zero. 
Propriedades
1) (am . an = am+n) Em uma multiplicação de potências de mesma base, repete-se a base e soma os expoen-
tes.
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Exemplos:
24 . 23 = 24+3= 27
(2.2.2.2) .( 2.2.2)= 2.2.2. 2.2.2.2= 27
2) (am: an = am-n). Em uma divisão de potência de mesma base. Conserva-se a base e subtraem os expoentes.
Exemplos:
96 : 92 = 96-2 = 94
3) (am)n Potência de potência. Repete-se a base e multiplica-se os expoentes.
Exemplos:
(52)3 = 52.3 = 56
4) E uma multiplicação de dois ou mais fatores elevados a um expoente, podemos elevar cada um a esse 
mesmo expoente.
(4.3)²=4².3²
5) Na divisão de dois fatores elevados a um expoente, podemos elevarseparados.
Radiciação
Radiciação é a operação inversa a potenciação
Técnica de Cálculo
A determinação da raiz quadrada de um número torna-se mais fácil quando o algarismo se encontra fatorado 
em números primos. Veja: 
64 2
32 2
16 2
8 2
4 2
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8
2 2
1
64=2.2.2.2.2.2=26
Como é raiz quadrada a cada dois números iguais “tira-se” um e multiplica.
Observe: 
( ) 5.35.35.35.3 2
1
2
1
2
1
===
De modo geral, se
,,, *NnRbRa ∈∈∈ ++
Então:
nnn baba .. =
O radical de índice inteiro e positivo de um produto indicado é igual ao produto dos radicais de mesmo índice 
dos fatores do radicando.
Raiz quadrada de frações ordinárias
Observe: 
3
2
3
2
3
2
3
2
2
1
2
1
2
1
==




=
De modo geral, se ,,, ** NnRbRa ∈∈∈
++ então: n
n
n
b
a
b
a
=
O radical de índice inteiro e positivo de um quociente indicado é igual ao quociente dos radicais de mesmo 
índice dos termos do radicando.
Raiz quadrada números decimais
Operações
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Operações
Multiplicação
Exemplo
Divisão
Exemplo
Adição e subtração
Para fazer esse cálculo, devemos fatorar o 8 e o 20.
8 2 20 2
4 2 10 2
2 2 5 5
1 1
Caso tenha: 
Não dá para somar, as raízes devem ficar desse modo.
Racionalização de Denominadores
Normalmente não se apresentam números irracionais com radicais no denominador. Ao processo que leva 
à eliminação dos radicais do denominador chama-se racionalização do denominador. 
1º Caso: Denominador composto por uma só parcela
2º Caso: Denominador composto por duas parcelas.
Devemos multiplicar de forma que obtenha uma diferença de quadrados no denominador:
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OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
As operações matemáticas abrangem os cálculos que são utilizados para a resolução das equações. Basi-
camente têm-se a adição, a subtração, a divisão e a multiplicação, que, apesar de abrangerem um raciocínio 
simples, são de suma importância para realização de qualquer cálculo matemático, como por exemplo, na ta-
buada. As escolas já apresentam esses conteúdos nas séries iniciais e à medida que os alunos vão avançando 
compreendem os conceitos mais complexos.
Adição
Na adição existe o cálculo de adicionar números naturais a outros. Essa operação matemática também é 
conhecida popularmente como soma. O resultado final da adição é chamado de total ou soma e os números 
utilizados são as parcelas. O operador aritmético, ou seja, o sinal que indica o seu cálculo é o (+). Observe o 
exemplo:
6 (parcela) + 2 (parcela) = 8 (soma ou total)
As propriedades da adição são:
- Elemento neutro: zero, ou seja, qualquer número somado a zero terá como resultado ele mesmo. Ex.: 6 + 
0 = 6.
- Comutatividade: a ordem de duas parcelas não altera o resultado final. Ex.: 8 + 2 = 10 e 2 + 8 = 10.
- Associatividade: a ordem de mais de duas parcelas também não altera o resultado, mas é necessário 
considerar a regra do uso dos parênteses, que significa que deve-se iniciar a adição a partir do que está dentro 
deles. Ex.: 8 + (2 + 1) = 11 e (8 + 2) + 1 = 11.
- Números negativos e positivos: os números positivos e negativos podem ser somados, mas existem algu-
mas regras que devem ser consideradas. Quando os números possuem sinais diferentes (negativos e positi-
vos) o resultado acompanhará o sinal do número maior. Ex.: (-3) + 4 = 1. Já no caso de dois números negativos, 
o resultado também será negativo. Ex.: (-8) + (-7) = - 1.
Subtração
A subtração abrange a redução de um número por outro. Os seus elementos são: minuendo, subtraendo e 
diferença ou resto. O (-) é o sinal utilizado na operação. Veja o exemplo:
8 (minuendo) – 2 (subtraendo) = 6 (diferença ou resto)
As propriedades da subtração são:
- O resultado é alterado no caso de mudança na ordem de apresentação dos valores, e nesse caso a dife-
rença terá o sinal trocado. Ex.: 8 - 2 = 6 é diferente de 2 - 8 = -6.
- Não existe elemento neutro.
Multiplicação
A Multiplicação está intimamente relacionada à adição, pois pode-se dizer que ela é a soma de um número 
pela quantidade de vezes que deverá ser multiplicado. O símbolo mais conhecido é o (x), mas muitas pessoas 
utilizam o (*) ou (.) para representar essa operação. Os nomes dados aos seus elementos são fatores e produ-
tos. Vejamos um exemplo:
4 (fator) x 4 (fator) = 16 (produto)
Observe que o exemplo também poderia ser representado: 4 + 4 + 4 + 4 = 16.
As propriedades da Multiplicação são:
- Comutatividade: a ordem dos fatores não altera o produto. Ex.: 4 x 2 = 8 e 2 x 4 = 8.
- Associatividade: quando tem mais de dois fatores não importa a sua ordem, pois o resultado será o mes-
mo. Ex.: (3 x 5) x 2 = 30 ou 3 x (5 x 2) = 30
- Distributividade: quando temos que multiplicar e somar devemos iniciar o cálculo pela multiplicação, mes-
mo que a soma esteja dentro de parênteses. Ex.: 2 x (3 + 3) = (2 x 3) + (2 x 3) = 6 + 6 = 12.
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- Elemento neutro: número 1, sendo que qualquer número multiplicado por ele resultará nele mesmo.
Divisão
Nessa operação é possível dividir dois números em partes iguais. Essa operação tem os seguintes elemen-
tos: dividendo, divisor, quociente e resto. O sinal utilizado é (÷), mas podemos ver também os sinais (/) ou (:). 
Observe o exemplo:
31 (dividendo) ÷ 2 (divisor) = 15 (quociente) 1 (resto)
Ao dividir 31 por 2 não temos um resultado exato, sendo assim, temos o 15 como quociente e 1 de resto. 
As propriedades da divisão são as seguintes:
- A ordem dos elementos altera o resultado final, pois não é comutativa. Ex.: 8 ÷ 2 = 4 é diferente de 2 ÷ 8 
= 0,25.
- Não é associativa; na divisão os parênteses devem ser resolvidos primeiro. Ex.: (6 ÷ 3) ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 1 é 
diferente de 6 ÷ (3 ÷ 3) = 6 ÷ 1 = 6.
- Elemento neutro: número 1, ou seja, o valor dividido por ele terá como resultado ele mesmo.
- Números positivos e negativos: os sinais interferem no resultado final, sendo assim, quando forem iguais 
ele fica positivo, mas quando forem diferentes ele ficará negativo. Ex.: +10 ÷ +5 = +2; -10 ÷ -5 = +2; +10 ÷ -5 = 
-2.
Vale destacar que essas são as operações matemáticas mais básicas. Apesar disso, elas são utilizadas na 
realização de diversas outras operações, como, por exemplo, soma de frações e subtração de frações.
Fonte: Disponível em: https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/operacoes-matematicas. 
Acesso em: 16.fev.2023.
PROBLEMAS COM AS QUATRO OPERAÇÕES
Os cálculos desse tipo de problemas, envolvem adições e subtrações, posteriormente as multiplicações 
e divisões. Depois os problemas são resolvidos com a utilização dos fundamentos algébricos, isto é, criamos 
equações matemáticas com valores desconhecidos (letras). Observe algumas situações que podem ser descri-
tas com utilização da álgebra.
É bom ter mente algumas situações que podemos encontrar:
Exemplos:
(PREF. GUARUJÁ/SP – SEDUC – PROFESSOR DE MATEMÁTICA – CAIPIMES) Sobre 4 amigos, sabe-
-se que Clodoaldo é 5 centímetros mais alto que Mônica e 10 centímetros mais baixo que Andreia. Sabe-se 
também que Andreia é 3 centímetros mais alta que Doralice e que Doralice não é mais baixa que Clodoaldo. Se 
Doralice tem 1,70 metros, então é verdade que Mônica tem, de altura:
(A) 1,52 metros.
(B) 1,58 metros.
(C) 1,54 metros.
(D) 1,56 metros.
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Resolução:
Escrevendo em forma de equações, temos:
C = M + 0,05 ( I )
C = A – 0,10 ( II )
A = D + 0,03 ( III )
D não é mais baixa que C
Se D = 1,70 , então:
( III ) A = 1,70 + 0,03 = 1,73
( II ) C = 1,73 – 0,10 = 1,63
( I ) 1,63 = M + 0,05
M = 1,63 – 0,05 = 1,58 m
Resposta: B
(CEFET – AUXILIAR EM ADMINISTRAÇÃO – CESGRANRIO) Em três meses, Fernando depositou, ao 
todo, R$ 1.176,00 em sua caderneta de poupança. Se, no segundo mês, ele depositou R$ 126,00 a mais do que 
no primeiro e, no terceiro mês, R$ 48,00 a menos do que no segundo, qual foi o valor depositadono segundo 
mês?
(A) R$ 498,00
(B) R$ 450,00
(C) R$ 402,00
(D) R$ 334,00
(E) R$ 324,00
Resolução:
Primeiro mês = x
Segundo mês = x + 126
Terceiro mês = x + 126 – 48 = x + 78
Total = x + x + 126 + x + 78 = 1176 
3.x = 1176 – 204
x = 972 / 3
x = R$ 324,00 (1º mês)
* No 2º mês: 324 + 126 = R$ 450,00
Resposta: B
(PREFEITURA MUNICIPAL DE RIBEIRÃO PRETO/SP – AGENTE DE ADMINISTRAÇÃO – VUNESP) 
Uma loja de materiais elétricos testou um lote com 360 lâmpadas e constatou que a razão entre o número de 
lâmpadas queimadas e o número de lâmpadas boas era 2 / 7. Sabendo-se que, acidentalmente, 10 lâmpadas 
boas quebraram e que lâmpadas queimadas ou quebradas não podem ser vendidas, então a razão entre o 
número de lâmpadas que não podem ser vendidas e o número de lâmpadas boas passou a ser de
(A) 1 / 4.
(B) 1 / 3.
(C) 2 / 5.
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13
(D) 1 / 2.
(E) 2 / 3.
Resolução: 
Chamemos o número de lâmpadas queimadas de ( Q ) e o número de lâmpadas boas de ( B ). Assim:
B + Q = 360 , ou seja, B = 360 – Q ( I )
 , ou seja, 7.Q = 2.B ( II )
Substituindo a equação ( I ) na equação ( II ), temos:
7.Q = 2. (360 – Q)
7.Q = 720 – 2.Q
7.Q + 2.Q = 720
9.Q = 720
Q = 720 / 9
Q = 80 (queimadas)
Como 10 lâmpadas boas quebraram, temos:
Q’ = 80 + 10 = 90 e B’ = 360 – 90 = 270
Resposta: B
NÚMEROS COMPLEXOS
Os números complexos são números compostos por uma parte real e uma imaginária4.
Eles representam o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), cujos elementos pertencem ao conjunto 
dos números reais (R).
O conjunto dos números complexos é indicado por reto números complexos, onde se definem as operações:
Igualdade: (a, b) = (c, d) ↔ a = c e b = d
Adição: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Multiplicação: (a, b) . (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
— Unidade Imaginária (i)
Indicado pela letra i, a unidade imaginária é o par ordenado (0, 1). Logo:
Assim, i é a raiz quadrada de –1, pois:
Exemplo:
4 https://www.todamateria.com.br/numeros-complexos/#:~:text=Os%20n%C3%BAmeros%20comple-
xos%20s%C3%A3o%20n%C3%BAmeros,dos%20n%C3%BAmeros%20reais%20(R).
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— Forma Algébrica de um Número Complexo
A forma mais usual de representar números complexos é utilizando a forma algébrica ou, binomial.
A forma algébrica, de um número complexo z é:
z = x + yi
Onde:
- x é um número real indicado por: x = Re (Z), sendo a parte real de z.
- y é um número real indicado por: y = Im (Z), sendo a parte imaginária de z.
Exemplos:
z = 4 + 3i, onde 4 é a parte real e 3i a imaginária.
z = 8, onde 8 é a parte real e 0 a imaginária.
z = 16i, onde 0 é a parte real e 16i a imaginária. (Neste caso, chama-se z de imaginário puro).
— Conjugado de um Número Complexo
O conjugado de um número complexo z = a + bi é definido por:
Assim, troca-se o sinal de sua parte imaginária.
Exemplos:
Se z = 5 + 2i, então .
Se z = 1 - 3i, então .
Se z = -15i, então .
Se z = 4. então .
Quando multiplicamos um número complexo por seu conjugado, o resultado será um número real.
— Igualdade entre Números Complexos
Sendo dois números complexos Z1 = (a, b) e Z2 = (c, d), eles são iguais quando a = c e b = d. Isso porque 
eles possuem partes reais e imaginárias idênticas. Assim:
a + bi = c + di quando a = c e b = d
Exemplo:
 e 
Então, = .
— Operações com Números Complexos
Com os números complexos é possível realizar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. 
Confira as definições e exemplos:
Adição
Z1 + Z2
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)
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Exemplo:
(2 +3i) + (–4 + 5i)
(2 – 4) + i (3 + 5)
–2 + 8i
Subtração
Z1 – Z2
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + i (b – d)
Exemplo:
(4 – 5i) – (2 + i)
(4 – 2) + i (–5 –1)
2 – 6i
Multiplicação
Usamos a propriedade distributiva:
(a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci + bdi² (lembre que i² = –1)
(a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci – bd
Juntando as partes reais e imaginárias:
(a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + i (ad + bc)
Exemplo:
(4 + 3i) . (2 – 5i)
8 – 20i + 6i – 15i²
8 – 14i + 15
23 – 14i
Divisão
Z1/Z2 = Z3
Z1 = Z2 . Z3
Na igualdade acima, se Z3 = x + yi, temos:
Z1 = Z2 . Z3
a + bi = (c + di) . (x + yi)
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a + bi = (cx – dy) + i (cy + dx)
Pelo sistema das incógnitas x e y temos:
cx – dy = a
dx + cy = b
Logo,
x = ac + bd/c² + d²
y = bc – ad/c² + d²
Exemplo:
2 – 5i/i
2 – 5i/ . (– i)/ (– i)
–2i +5i²/–i²
5 – 2i
— Plano Complexo ou Plano de Argand-Gauss.
Os números complexos podem ser representados geometricamente no plano complexo.
Dado um número complexo em sua forma algébrica, z = a + bi, um ponto P no plano complexo tem as 
coordenadas P(a, b) representa este número complexo.
— Módulo de um Número Complexo
O módulo ou, medida de comprimento, de um número complexo é a distância entre a origem do sistema de 
coordenadas e o ponto que o define no plano complexo. É representado por entre barras verticais, |z| ou pela 
letra grega e definido como:
Esta definição vem do teorema de Pitágoras, aplicado no triângulo retângulo OPa. |z| é a hipotenusa do 
triângulo.
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Razão e Proporção. Grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Regra de 
três simples e composta
A razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, sendo o coeficiente entre dois números5.
Já a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, ou ainda, quando duas razões possuem o 
mesmo resultado.
Note que a razão está relacionada com a operação da divisão. Vale lembrar que duas grandezas são 
proporcionais quando formam uma proporção.
Ainda que não tenhamos consciência disso, utilizamos cotidianamente os conceitos de razão e proporção. 
Para preparar uma receita, por exemplo, utilizamos certas medidas proporcionais entre os ingredientes.
Para encontrar a razão entre duas grandezas, as unidades de medida terão de ser as mesmas.
A partir das grandezas A e B temos:
Razão
ou A : B, onde b ≠ 0.
Proporção
onde todos os coeficientes são ≠ 0.
Exemplo: Qual a razão entre 40 e 20?
Lembre-se que numa fração, o numerador é o número acima e o denominador, o de baixo.
Se o denominador for igual a 100, temos uma razão do tipo porcentagem, também chamada de razão 
centesimal.
Além disso, nas razões, o coeficiente que está localizado acima é chamado de antecedente (A), enquanto o 
de baixo é chamado de consequente (B).
5 https://www.todamateria.com.br/razao-e-proporcao/
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Qual o valor de x na proporção abaixo?
x = 12 . 3
x = 36
Assim, quando temos três valores conhecidos, podemos descobrir o quarto, também chamado de “quarta 
proporcional”.
Na proporção, os elementos são denominados de termos. A primeira fração é formada pelos primeiros termos 
(A/B), enquanto a segunda são os segundos termos (C/D).
Nos problemas onde a resolução é feita através da regra de três, utilizamos o cálculo da proporção para 
encontrar o valor procurado.
— Propriedades da Proporção
1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, por exemplo:
Logo: A · D = B · C.
Essa propriedade é denominada de multiplicação cruzada.
2. É possível trocar os extremos e os meios de lugar, por exemplo:
é equivalente
Logo, D. A = C . B.
— Regra de três simples e composta
A regra de três é a proporção entre duas ou mais grandezas, que podem ser velocidades, tempos, áreas, 
distâncias, cumprimentos, entre outros6.
É o método para determinar o valor de uma incógnita quando são apresentados duas ou mais razões, sejam 
elas diretamente ou inversamente proporcionais.
As Grandezas
Dentro da regra de três simples e composta existem grandezas diretamente e inversamente proporcionais.
6 https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/regra-de-tres-simples-e-composta
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Caracteriza-sepor grandezas diretas aquelas em que o acréscimo ou decréscimo de uma equivale ao 
mesmo processo na outra. Por exemplo, ao triplicarmos uma razão, a outra também será triplicada, e assim 
sucessivamente. 
Exemplo: Supondo que cada funcionário de uma microempresa com 35 integrantes gasta 10 folhas de papel 
diariamente. Quantas folhas serão gastas nessa mesma empresa quando o quadro de colaboradores aumentar 
para 50?
Ao analisarmos o caso percebemos que o aumento de colaboradores provocará também um aumento no 
gasto de papel. Logo, essa é uma razão do tipo direta, que deve ser resolvida através da multiplicação cruzada:
35x = 50 . 10
35x = 500
x = 500/35
x = 14,3
Portanto, serão necessários 14,3 papéis para suprir as demandas da microempresa com 50 funcionários.
Por outro lado, as grandezas inversas ocorrem quando o aumento ou diminuição de uma resultam em 
grandezas opostas. Ou seja, se uma é quadruplicada, a outra é reduzida pela metade, e assim por diante. 
Exemplo: Se 7 pedreiros constroem uma casa grande em 80 dias, apenas 5 deles construirão a mesma casa 
em quanto tempo?
Nesta situação, é preciso inverter uma das grandezas, pois a relação é inversamente proporcional. Isso 
acontece porque a diminuição de pedreiros provoca o aumento no tempo de construção.
5x = 80 . 7
5x = 560
x = 560/5
x = 112 
Sendo assim, serão 112 dias para a construção da casa com 5 pedreiros.
Regra de Três Simples
A regra de três simples funciona na relação de apenas duas grandezas, que podem ser diretamente ou 
inversamente proporcionais. 
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Exemplo 1: Para fazer um bolo de limão utiliza-se 250 ml do suco da fruta. Porém, foi feito uma encomenda 
de 6 bolos. Quantos limões serão necessários?
Reparem que as grandezas são diretamente proporcionais, já que o aumento no pedido de bolos pede uma 
maior quantidade de limões. Logo, o valor desconhecido é determinado pela multiplicação cruzada:
x = 250 . 6
x = 1500 ml de suco
Exemplo 2: Um carro com velocidade de 120 km/h percorre um trajeto em 2 horas. Se a velocidade for 
reduzida para 70 km/h, em quanto tempo o veículo fará o mesmo percurso?
Observa-se que neste exemplo teremos uma regra de três simples inversa, uma vez que ao diminuirmos 
a velocidade do carro o tempo de deslocamento irá aumentar. Então, pela regra, uma das razões deverá ser 
invertida e transformada em direta.
70x = 120 . 2
70x = 240
x = 240/70 
x = 3,4 h
Regra de Três Composta
A regra de três composta é a razão e proporção entre três ou mais grandezas diretamente ou inversamente 
proporcionais, ou seja, as relações que aparecem em mais de duas colunas.
Exemplo: Uma loja demora 4 dias para produzir 160 peças de roupas com 8 costureiras. Caso 6 funcionárias 
estiverem trabalhando, quantos dias levará para a produção de 300 peças?
Inicialmente, deve-se analisar cada grandeza em relação ao valor desconhecido, isto é:
- Relacionando os dias de produção com a quantidade de peças, percebe-se que essas grandezas são 
diretamente proporcionais, pois aumentando o número de peças cresce a necessidade de mais dias de trabalho. 
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- Relacionando a demanda de costureiras com os dias de produção, observa-se que aumentando a quantidade 
de peças o quadro de funcionárias também deveria aumentar. Ou seja, as grandezas são inversamente 
proporcionais. 
Após análises, organiza-se as informações em novas colunas:
4/x = 160/300 . 6/8
4/x = 960/2400
960x = 2400 . 4
960x = 9600
 x = 9600/960 
x = 10 dias
DIVISÃO PROPORCIONAL
Quando realizamos uma divisão diretamente proporcional estamos dividindo um número de maneira propor-
cional a uma sequência de outros números. A divisão pode ser de diferentes tipos, vejamos:
Divisão Diretamente Proporcional
• Divisão em duas partes diretamente proporcionais: para decompor um número M em duas partes A e 
B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo 
que a soma das partes seja A + B = M: 
O valor de K é que proporciona a solução pois: A = K.p e B = K.q
• Divisão em várias partes diretamente proporcionais: para decompor um número M em partes x1, x2, 
..., xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, 
sendo as somas x1 + x2 + ... + xn= M e p1 + p2 + ... + pn = P:
Divisão Inversamente Proporcional
• Divisão em duas partes inversamente proporcionais: para decompor um número M em duas partes A 
e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente 
proporcionais a 1/p e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de p e q. Assim basta montar o sistema com 
duas equações e duas incógnitas tal que A + B = M:
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O valor de K proporciona a solução pois: A = K/p e B = K/q.
• Divisão em várias partes inversamente proporcionais: para decompor um número M em n partes x1, 
x2, ..., xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta decompor este número M em n partes x1, x2, ..., xn 
diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn. A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume 
que x1 + x2 + ... + xn= M:
Divisão em partes direta e inversamente proporcionais
• Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais: para decompor um número M em duas 
partes A e B diretamente proporcionais a, c e d e inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este 
número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas 
equações e duas incógnitas de forma que A + B = M
O valor de K proporciona a solução pois: A = K.c/p e B = K.d/q.
• Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais: para decompor um número M em n partes x1, 
x2, ..., xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e inversamente proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor 
este número M em n partes x1, x2, ..., xn diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn.
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que x1 + x2 + ... + xn = M:
Exemplos:
(PREF. PAULISTANA/PI – PROFESSOR DE MATEMÁTICA – IMA) Uma herança de R$ 750.000,00 deve 
ser repartida entre três herdeiros, em partes proporcionais a suas idades que são de 5, 8 e 12 anos. O mais 
velho receberá o valor de: 
(A) R$ 420.000,00 
(B) R$ 250.000,00 
(C) R$ 360.000,00 
(D) R$ 400.000,00 
(E) R$ 350.000,00 
Resolução:
5x + 8x + 12x = 750.000
25x = 750.000
x = 30.000
O mais velho receberá: 12⋅30000=360000
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Resposta: C
(TRF 3ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC) Quatro funcionários dividirão, em partes diretamente proporcio-
nais aos anos dedicados para a empresa, um bônus de R$36.000,00. Sabe-se que dentre esses quatro funcio-
nários um deles já possui 2 anos trabalhados, outro possui 7 anos trabalhados, outro possui 6 anos trabalhados 
e o outro terá direito, nessa divisão, à quantia de R$6.000,00. Dessa maneira, o número de anos dedicados 
para a empresa, desse último funcionário citado, é igual a
(A) 5.
(B) 7.
(C) 2.
(D) 3.
(E) 4.
Resolução:
2x + 7x + 6x + 6000 = 36000
15x = 30000
x = 2000
Como o último recebeu R$ 6.000,00, significa que ele se dedicou 3 anos a empresa, pois 2000.3 = 6000
Resposta: D
(CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC) Uma prefeitura destinou a quantia 
de 54 milhões de reais para a construção de três escolas de educação infantil. A área a ser construída em cada 
escola é, respectivamente, 1.500 m², 1.200 m² e 900 m² e a quantia destinada à cada escola é diretamente 
proporcional a área a ser construída. 
Sendo assim, a quantia destinada à construção da escola com 1.500 m² é, em reais, igual a 
(A) 22,5 milhões. 
(B) 13,5 milhões. 
(C) 15 milhões. 
(D) 27 milhões. 
(E) 21,75 milhões.
Resolução:
Chamemos de x, y e z as quantias destinadas às áreas de 1.500 m², 1.200 m² e900 m², respectivamente.
Sendo as quantias diretamente proporcionais às áreas, teremos:
Ou ainda, simplificando os denominadores:
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(Apenas dividi cada denominador por 300).
Agora vamos escrever as incógnitas y e z em função de x:
Ainda, sabemos que:
Substituindo pelas expressões de y e z:
Resposta: A
(SABESP – ATENDENTE A CLIENTES 01 – FCC) Uma empresa quer doar a três funcionários um bônus de 
R$ 45.750,00. Será feita uma divisão proporcional ao tempo de serviço de cada um deles. Sr. Fortes trabalhou 
durante 12 anos e 8 meses. Sra. Lourdes trabalhou durante 9 anos e 7 meses e Srta. Matilde trabalhou durante 
3 anos e 2 meses. O valor, em reais, que a Srta. Matilde recebeu a menos que o Sr. Fortes é
(A) 17.100,00.
(B) 5.700,00.
(C) 22.800,00.
(D) 17.250,00.
(E) 15.000,00.
Resolução:
* Fortes: 12 anos e 8 meses = 12.12 + 8 = 144 + 8 = 152 meses
* Lourdes: 9 anos e 7 meses = 9.12 + 7 = 108 + 7 = 115 meses
* Matilde: 3 anos e 2 meses = 3.12 + 2 = 36 + 2 = 38 meses
* TOTAL: 152 + 115 + 38 = 305 meses
* Vamos chamar a quantidade que cada um vai receber de F, L e M.
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Agora, vamos calcular o valor que M e F receberam:
M = 38 . 150 = R$ 5 700,00
F = 152 . 150 = R$ 22 800,00
Por fim, a diferença é: 22 800 – 5700 = R$ 17 100,00
Resposta: A
(SESP/MT – PERITO OFICIAL CRIMINAL - ENGENHARIA CIVIL/ENGENHARIA ELÉTRICA/FÍSICA/MA-
TEMÁTICA – FUNCAB/2014) Maria, Júlia e Carla dividirão R$ 72.000,00 em partes inversamente proporcio-
nais às suas idades. Sabendo que Maria tem 8 anos, Júlia,12 e Carla, 24, determine quanto receberá quem 
ficar com a maior parte da divisão.
(A) R$ 36.000,00
(B) R$ 60.000,00
(C) R$ 48.000,00
(D) R$ 24.000,00
(E) R$ 30.000,00
Resolução:
A maior parte ficará para a mais nova (grandeza inversamente proporcional).
Assim:
8.M = 288 000 
M = 288 000 / 8 
M = R$ 36 000,00
M + J + C = 72000
Resposta: A
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Sistema monetário brasileiro
O primeiro dinheiro do Brasil foi à moeda-mercadoria. Durante muito tempo, o comércio foi feito por meio da 
troca de mercadorias, mesmo após a introdução da moeda de metal.
As primeiras moedas metálicas (de ouro, prata e cobre) chegaram com o início da colonização portuguesa. 
A unidade monetária de Portugal, o Real, foi usada no Brasil durante todo o período colonial. Assim, tudo se 
contava em réis (plural popular de real) com moedas fabricadas em Portugal e no Brasil. O Real (R) vigorou até 
07 de outubro de 1833. De acordo com a Lei nº 59, de 08 de outubro de 1833, entrou em vigor o Mil-Réis (Rs), 
múltiplo do real, como unidade monetária, adotada até 31 de outubro de 1942. 
No século XX, o Brasil adotou nove sistemas monetários ou nove moedas diferentes (mil-réis, cruzeiro, cru-
zeiro novo, cruzeiro, cruzado, cruzado novo, cruzeiro, cruzeiro real, real). 
Por meio do Decreto-Lei nº 4.791, de 05 de outubro de 1942, uma nova unidade monetária, o cruzeiro – Cr$ 
veio substituir o mil-réis, na base de Cr$ 1,00 por mil-réis. 
A denominação “cruzeiro” origina-se das moedas de ouro (pesadas em gramas ao título de 900 milésimos de 
metal e 100 milésimos de liga adequada), emitidas na forma do Decreto nº 5.108, de 18 de dezembro de 1926, no 
regime do ouro como padrão monetário. 
O Decreto-Lei nº 1, de 13 de novembro de 1965, transformou o cruzeiro – Cr$ em cruzeiro novo – NCr$, 
na base de NCr$ 1,00 por Cr$ 1.000. A partir de 15 de maio de 1970 e até 27 de fevereiro de 1986, a unidade 
monetária foi novamente o cruzeiro (Cr$). 
Em 27 de fevereiro de 1986, Dílson Funaro, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Cruzado (Decreto-Lei nº 
2.283, de 27 de fevereiro de 1986): o cruzeiro – Cr$ se transformou em cruzado – Cz$, na base de Cz$ 1,00 por 
Cr$ 1.000 (vigorou de 28 de fevereiro de 1986 a 15 de janeiro de 1989). Em novembro do mesmo ano, o Plano 
Cruzado II tentou novamente a estabilização da moeda. Em junho de 1987, Luiz Carlos Brésser Pereira, minis-
tro da Fazenda, anunciou o Plano Brésser: um Plano Cruzado “requentado” avaliou Mário Henrique Simonsen. 
Em 15 de janeiro de 1989, Maílson da Nóbrega, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Verão (Medida Pro-
visória nº 32, de 15 de janeiro de 1989): o cruzado – Cz$ se transformou em cruzado novo – NCz$, na base de 
NCz$ 1,00 por Cz$ 1.000,00 (vigorou de 16 de janeiro de 1989 a 15 de março de 1990). 
Em 15 de março de 1990, Zélia Cardoso de Mello, ministra da Fazenda, anunciou o Plano Collor (Medida 
Provisória nº 168, de 15 de março de 1990): o cruzado novo – NCz$ se transformou em cruzeiro – Cr$, na base 
de Cr$ 1,00 por NCz$ 1,00 (vigorou de 16 de março de 1990 a 28 de julho de 1993). Em janeiro de 1991, a 
inflação já passava de 20% ao mês, e o Plano Collor II tentou novamente a estabilização da moeda. 
A Medida Provisória nº 336, de 28 de julho de1993, transformou o cruzeiro – Cr$ em cruzeiro real – CR$, na 
base de CR$ 1,00 por Cr$ 1.000,00 (vigorou de 29 de julho de 1993 a 29 de junho de 1994). 
Em 30 de junho de 1994, Fernando Henrique Cardoso, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Real: o cru-
zeiro real – CR$ se transformou em real – R$, na base de R$ 1,00 por CR$ 2.750,00 (Medida Provisória nº 542, 
de 30 de junho de 1994, convertida na Lei nº 9.069, de 29 de junho de 1995). 
O artigo 10, I, da Lei nº 4.595, de 31 de dezembro de 1964, delegou ao Banco Central do Brasil competência 
para emitir papel-moeda e moeda metálica, competência exclusiva consagrada pelo artigo 164 da Constituição 
Federal de 1988. 
Antes da criação do BCB, a Superintendência da Moeda e do Crédito (SUMOC), o Banco do Brasil e o Te-
souro Nacional desempenhavam o papel de autoridade monetária. 
A SUMOC, criada em 1945 e antecessora do BCB, tinha por finalidade exercer o controle monetário. A SU-
MOC fixava os percentuais de reservas obrigatórias dos bancos comerciais, as taxas do redesconto e da assis-
tência financeira de liquidez, bem como os juros. Além disso, supervisionava a atuação dos bancos comerciais, 
orientava a política cambial e representava o País junto a organismos internacionais. 
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27
O Banco do Brasil executava as funções de banco do governo, e o Tesouro Nacional era o órgão emissor 
de papel-moeda.
Cruzeiro
1000 réis = Cr$1(com centavos) 01.11.1942
O Decreto-Lei nº 4.791, de 05 de outubro de 1942 (D.O.U. de 06 de outubro de 1942), instituiu o Cruzeiro 
como unidade monetária brasileira, com equivalência a um mil réis. Foi criado o centavo, correspondente à 
centésima parte do cruzeiro. 
Exemplo: 4:750$400 (quatro contos, setecentos e cinquenta mil e quatrocentos réis) passou a expressar-se 
Cr$ 4.750,40 (quatro mil setecentos e cinquenta cruzeiros e quarenta centavos)
Cruzeiro
(sem centavos) 02.12.1964
A Lei nº 4.511, de 01de dezembro de1964 (D.O.U. de 02 de dezembro de 1964), extinguiu a fração do 
cruzeiro denominada centavo. Por esse motivo, o valor utilizado no exemplo acima passou a ser escrito sem 
centavos: Cr$ 4.750 (quatro mil setecentos e cinquenta cruzeiros).
Cruzeiro Novo
Cr$1000 = NCr$1(com centavos) 13.02.1967
O Decreto-Lei nº 1, de 13 de novembro de1965 (D.O.U. de 17 de novembro de 1965), regulamentado pelo 
Decreto nº 60.190, de 08 de fevereiro de1967 (D.O.U. de 09 de fevereiro de 1967), instituiu o Cruzeiro Novo 
como unidade monetária transitória, equivalente a um mil cruzeiros antigos, restabelecendo o centavo. O Con-
selho Monetário Nacional, pela Resolução nº 47, de 08 de fevereiro de 1967, estabeleceu a data de 13.02.67 
para início de vigência do novo padrão. 
Exemplo: Cr$ 4.750 (quatro mil, setecentos e cinquenta cruzeiros) passou a expressar-se NCr$ 4,75(quatro 
cruzeiros novos e setenta e cinco centavos).
Cruzeiro
De NCr$ para Cr$ (com centavos) 15.05.1970
A Resolução nº 144, de 31 de março de 1970 (D.O.U. de 06 de abril de 1970), do Conselho Monetário Na-
cional, restabeleceu a denominaçãoCruzeiro, a partir de 15 de maio de 1970, mantendo o centavo. 
Exemplo: NCr$ 4,75 (quatro cruzeiros novos e setenta e cinco centavos) passou a expressar-se Cr$ 
4,75(quatro cruzeiros e setenta e cinco centavos).
Cruzeiros 
(sem centavos) 16.08.1984
A Lei nº 7.214, de 15 de agosto de 1984 (D.O.U. de 16.08.84), extinguiu a fração do Cruzeiro denominada 
centavo. Assim, a importância do exemplo, Cr$ 4,75 (quatro cruzeiros e setenta e cinco centavos), passou a 
escrever-se Cr$ 4, eliminando-se a vírgula e os algarismos que a sucediam.
Cruzado
Cr$ 1000 = Cz$1 (com centavos) 28.02.1986
O Decreto-Lei nº 2.283, de 27 de fevereiro de 1986 (D.O.U. de 28 de fevereiro de 1986), posteriormente 
substituído pelo Decreto-Lei nº 2.284, de 10 de março de 1986 (D.O.U. de 11 de março de 1986), instituiu o Cru-
zado como nova unidade monetária, equivalente a um mil cruzeiros, restabelecendo o centavo. A mudança de 
padrão foi disciplinada pela Resolução nº 1.100, de 28 de fevereiro de 1986, do Conselho Monetário Nacional. 
Exemplo: Cr$ 1.300.500 (um milhão, trezentos mil e quinhentos cruzeiros) passou a expressar-se Cz$ 
1.300,50 (um mil e trezentos cruzados e cinquenta centavos).
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28
Cruzado Novo
Cz$ 1000 = NCz$1 (com centavos) 16.01.1989
A Medida Provisória nº 32, de 15 de janeiro de 1989 (D.O.U. de 16 de janeiro de 1989), convertida na Lei nº 
7.730, de 31 de janeiro de 1989 (D.O.U. de 01 de fevereiro de 1989), instituiu o Cruzado Novo como unidade 
do sistema monetário, correspondente a um mil cruzados, mantendo o centavo. A Resolução nº 1.565, de 16 de 
janeiro de 1989, do Conselho Monetário Nacional, disciplinou a implantação do novo padrão. 
Exemplo: Cz$ 1.300,50 (um mil e trezentos cruzados e cinquenta centavos) passou a expressar-se NCz$ 
1,30 (um cruzado novo e trinta centavos).
Cruzeiro
De NCz$ para Cr$ (com centavos) 16.03.1990
A Medida Provisória nº 168, de 15 de março de 1990 (D.O.U. de 16 de março de 1990), convertida na Lei 
nº 8.024, de 12 de abril de 1990 (D.O.U. de 13 de abril de 1990), restabeleceu a denominação Cruzeiro para a 
moeda, correspondendo um cruzeiro a um cruzado novo. Ficou mantido o centavo. A mudança de padrão foi 
regulamentada pela Resolução nº 1.689, de 18 de março de 1990, do Conselho Monetário Nacional.
Exemplo: NCz$ 1.500,00 (um mil e quinhentos cruzados novos) passou a expressar-se Cr$ 1.500,00 (um 
mil e quinhentos cruzeiros).
Cruzeiro Real 
Cr$ 1000 = CR$ 1 (com centavos) 01.08.1993
A Medida Provisória nº 336, de 28 de julho de 1993 (D.O.U. de 29 de julho de 1993), convertida na Lei nº 
8.697, de 27 de agosto de 1993 (D.O.U. de 28 agosto de 1993), instituiu o Cruzeiro Real, a partir de 01 de agos-
to de 1993, em substituição ao Cruzeiro, equivalendo um cruzeiro real a um mil cruzeiros, com a manutenção do 
centavo. A Resolução nº 2.010, de 28 de julho de 1993, do Conselho Monetário Nacional, disciplinou a mudança 
na unidade do sistema monetário. 
Exemplo: Cr$ 1.700.500,00 (um milhão, setecentos mil e quinhentos cruzeiros) passou a expressar-se CR$ 
1.700,50 (um mil e setecentos cruzeiros reais e cinquenta centavos).
Real
CR$ 2.750 = R$ 1(com centavos) 01.07.1994
A Medida Provisória nº 542, de 30 de junho de 1994 (D.O.U. de 30 de junho de 1994), instituiu o Real como 
unidade do sistema monetário, a partir de 01 de julho de 1994, com a equivalência de CR$ 2.750,00 (dois mil, 
setecentos e cinquenta cruzeiros reais), igual à paridade entre a URV e o Cruzeiro Real fixada para o dia 30 de 
junho de 1994. Foi mantido o centavo.
Como medida preparatória à implantação do Real, foi criada a URV - Unidade Real de Valor - prevista na Me-
dida Provisória nº 434, publicada no D.O.U. de 28 de fevereiro de 1994, reeditada com os números 457 (D.O.U. 
de 30 de março de 1994) e 482 (D.O.U. de 29 de abril de 1994) e convertida na Lei nº 8.880, de 27 de maio de 
1994 (D.O.U. de 28 de maio de 1994). 
Exemplo: CR$ 11.000.000,00 (onze milhões de cruzeiros reais) passou a expressar-se R$ 4.000,00 (quatro 
mil reais).
Banco Central (BC ou Bacen) - Autoridade monetária do País responsável pela execução da política finan-
ceira do governo. Cuida ainda da emissão de moedas, fiscaliza e controla a atividade de todos os bancos no 
País.
Banco Interamericano de Desenvolvimento (BID) - Órgão internacional que visa ajudar países subde-
senvolvidos e em desenvolvimento na América Latina. A organização foi criada em 1959 e está sediada em 
Washington, nos Estados Unidos.
1801025 E-book gerado especialmente para ANDRESSA PEREIRA
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Banco Mundial - Nome pelo qual o Banco Internacional de Reconstrução e Desenvolvimento (BIRD) é co-
nhecido. Órgão internacional ligado a ONU, a instituição foi criada para ajudar países subdesenvolvidos e em 
desenvolvimento.
Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social (BNDES) - Empresa pública federal vinculada 
ao Ministério do Desenvolvimento, Indústria e Comércio Exterior que tem como objetivo financiar empreendi-
mentos para o desenvolvimento do Brasil.
Porcentagem
A porcentagem representa uma razão cujo denominador é 100, ou seja, .
O termo por cento é abreviado usando o símbolo %, que significa dividir por 100 e, por isso, essa razão 
também é chamada de razão centesimal ou percentual7.
Saber calcular porcentagem é importante para resolver problemas matemáticos, principalmente na 
matemática financeira para calcular descontos, juros, lucro, e assim por diante.
— Calculando Porcentagem de um Valor
Para saber o percentual de um valor basta multiplicar a razão centesimal correspondente à porcentagem 
pela quantidade total.
Exemplo: para descobrir quanto é 20% de 200, realizamos a seguinte operação:
Generalizando, podemos criar uma fórmula para conta de porcentagem:
Se preferir, você pode fazer o cálculo de porcentagem da seguinte forma:
1º passo: multiplicar o percentual pelo valor.
20 x 200 = 4.000
2º passo: dividir o resultado anterior por 100.
Calculando Porcentagem de Forma Rápida
Alguns cálculos podem levar muito tempo na hora de fazer uma prova. Pensando nisso, trouxemos dois 
métodos que te ajudarão a fazer porcentagem de maneira mais rápida.
Método 1: Calcular porcentagem utilizando o 1%
Você também tem como calcular porcentagem rapidamente utilizando o correspondente a 1% do valor.
Vamos continuar usando o exemplo do 20% de 200 para aprender essa técnica.
7 https://www.todamateria.com.br/calcular-porcentagem/
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30
1º passo: dividir o valor por 100 e encontrar o resultado que representa 1%.
2º passo: multiplicar o valor que representa 1% pela porcentagem que se quer descobrir.
2 x 20 = 40
Chegamos mais uma vez à conclusão que 20% de 200 é 40.
Método 2: Calcular porcentagem utilizando frações equivalentes
As frações equivalentes representam a mesma porção do todo e podem ser encontradas dividindo o 
numerador e o denominador da fração pelo mesmo número natural.
Veja como encontrar a fração equivalente de .
Se a fração equivalente de é , então para calcular 20% de um valor basta dividi-lo por 5. Veja como 
fazer:
— Calcular porcentagem de aumentos e descontos
Aumentos e descontos percentuais podem ser calculados utilizando o fator de multiplicação ou fator 
multiplicativo.
Essa fórmula é diferente para acréscimo e decréscimo no preço de um produto, ou seja, o resultado será 
fatores diferentes.
Fator multiplicativo para aumento em um valor
Quando um produto recebe um aumento, o fator de multiplicação é dado por uma soma.
Fator de multiplicação = 1 + i.
Exemplo: Foi feito um aumento de 25% em uma mercadoria que custava R$ 100. O valor final da mercadoria 
pode ser calculado da seguinte forma:
1º passo: encontrar a taxa de variação.
2º passo: aplicar a taxa na fórmula do fator multiplicativo.
Fator de multiplicação = 1 + 0,25.
Fator de multiplicação = 1,25.
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31
3º passo: multiplicar o valor inicial pelo fator multiplicativo.100 x 1,25 = 125 reais.
Um acréscimo de 25% fará com que o valor final da mercadoria seja R$ 125.
Fator multiplicativo para desconto em um valor
Para calcular um desconto de um produto, a fórmula do fator multiplicativo envolve uma subtração.
Fator de multiplicação = 1 - 0,25.
Exemplo: Ao aplicar um desconto de 25% em uma mercadoria que custa R$ 100, qual o valor final da 
mercadoria?
1º passo: encontrar a taxa de variação.
2º passo: aplicar a taxa na fórmula do fator multiplicativo.
Fator de multiplicação = 1 - 0,25.
Fator de multiplicação = 0,75.
3º passo: multiplicar o valor inicial pelo fator multiplicativo.
100 x 0,75 = 75 reais.
Juros simples e compostos
Os juros simples e compostos são cálculos efetuados com o objetivo de corrigir os valores envolvidos nas 
transações financeiras, isto é, a correção que se faz ao emprestar ou aplicar uma determinada quantia durante 
um período de tempo8.
O valor pago ou resgatado dependerá da taxa cobrada pela operação e do período que o dinheiro ficará 
emprestado ou aplicado. Quanto maior a taxa e o tempo, maior será este valor.
— Diferença entre Juros Simples e Compostos
Nos juros simples a correção é aplicada a cada período e considera apenas o valor inicial. Nos juros 
compostos a correção é feita em cima de valores já corrigidos.
Por isso, os juros compostos também são chamados de juros sobre juros, ou seja, o valor é corrigido sobre 
um valor que já foi corrigido.
Sendo assim, para períodos maiores de aplicação ou empréstimo a correção por juros compostos fará com 
que o valor final a ser recebido ou pago seja maior que o valor obtido com juros simples.
8 https://www.todamateria.com.br/juros-simples-e-compostos/
1801025 E-book gerado especialmente para ANDRESSA PEREIRA
32
A maioria das operações financeiras utiliza a correção pelo sistema de juros compostos. Os juros simples se 
restringem as operações de curto período.
— Fórmula de Juros Simples
Os juros simples são calculados aplicando a seguinte fórmula:
Sendo:
J: juros.
C: valor inicial da transação, chamado em matemática financeira de capital.
i: taxa de juros (valor normalmente expresso em porcentagem).
t: período da transação.
Podemos ainda calcular o valor total que será resgatado (no caso de uma aplicação) ou o valor a ser quitado 
(no caso de um empréstimo) ao final de um período predeterminado.
Esse valor, chamado de montante, é igual a soma do capital com os juros, ou seja:
Podemos substituir o valor de J, na fórmula acima e encontrar a seguinte expressão para o montante:
A fórmula que encontramos é uma função afim, desta forma, o valor do montante cresce linearmente em 
função do tempo.
Exemplo: Se o capital de R$ 1 000,00 rende mensalmente R$ 25,00, qual é a taxa anual de juros no sistema 
de juros simples?
Solução: Primeiro, vamos identificar cada grandeza indicada no problema.
C = R$ 1 000,00
J = R$ 25,00
t = 1 mês
i = ?
Agora que fizemos a identificação de todas as grandezas, podemos substituir na fórmula dos juros:
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33
Entretanto, observe que essa taxa é mensal, pois usamos o período de 1 mês. Para encontrar a taxa anual 
precisamos multiplicar esse valor por 12, assim temos:
i = 2,5.12= 30% ao ano
— Fórmula de Juros Compostos
O montante capitalizado a juros compostos é encontrado aplicando a seguinte fórmula:
Sendo:
M: montante.
C: capital.
i: taxa de juros.
t: período de tempo.
Diferente dos juros simples, neste tipo de capitalização, a fórmula para o cálculo do montante envolve uma 
variação exponencial. Daí se explica que o valor final aumente consideravelmente para períodos maiores.
Exemplo: Calcule o montante produzido por R$ 2 000,00 aplicado à taxa de 4% ao trimestre, após um ano, 
no sistema de juros compostos.
Solução: Identificando as informações dadas, temos:
C = 2 000
i = 4% ou 0,04 ao trimestre
t = 1 ano = 4 trimestres
M = ?
Substituindo esses valores na fórmula de juros compostos, temos:
Observação: o resultado será tão melhor aproximado quanto o número de casas decimais utilizadas na 
potência.
Portanto, ao final de um ano o montante será igual a 
R$ 2 339,71.
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Equações e inequações.
— Equação do 1° Grau
Na Matemática, a equação é uma igualdade que envolve uma ou mais incógnitas9. Quem determina o “grau” 
dessa equação é o expoente dessa incógnita, ou seja, se o expoente for 1, temos a equação do 1º grau. Se o 
expoente for 2, a equação será do 2º grau; se o expoente for 3, a equação será de 3º grau. Exemplos:
4x + 2 = 16 (equação do 1º grau)
x² + 2x + 4 = 0 (equação do 2º grau)
x³ + 2x² + 5x – 2 = 0 (equação do 3º grau)
A equação do 1º grau é apresentada da seguinte forma:
É importante dizer que a e b representam qualquer número real e a é diferente de zero (a 0). A incógnita x 
pode ser representada por qualquer letra, contudo, usualmente, utilizamos x ou y como valor a ser encontrado 
para o resultado da equação. O primeiro membro da equação são os números do lado esquerdo da igualdade, 
e o segundo membro, o que estão do lado direito da igualdade.
Como resolver uma equação do primeiro grau
Para resolvermos uma equação do primeiro grau, devemos achar o valor da incógnita (que vamos chamar 
de x) e, para que isso seja possível, é só isolar o valor do x na igualdade, ou seja, o x deve ficar sozinho em 
um dos membros da equação.
O próximo passo é analisar qual operação está sendo feita no mesmo membro em que se encontra x e 
“jogar” para o outro lado da igualdade fazendo a operação oposta e isolando x.
1° exemplo:
Nesse caso, o número que aparece do mesmo lado de x é o 4 e ele está somando. Para isolar a incógnita, 
ele vai para o outro lado da igualdade fazendo a operação inversa (subtração):
2° exemplo:
O número que está do mesmo lado de x é o 12 e ele está subtraindo. Nesse exemplo, ele vai para o outro 
lado da igualdade com a operação inversa, que é a soma:
9 https://escolakids.uol.com.br/matematica/equacao-primeiro-grau.htm#:~:text=Na%20Matem%C3%A-
1tica%2C%20a%20equa%C3%A7%C3%A3o%20%C3%A9,equa%C3%A7%C3%A3o%20ser%C3%A1%20
de%203%C2%BA%20grau.
1801025 E-book gerado especialmente para ANDRESSA PEREIRA
35
3° exemplo:
Vamos analisar os números que estão no mesmo lado da incógnita, o 4 e o 2. O número 2 está somando 
e vai para o outro lado da igualdade subtraindo e o número 4, que está multiplicando, passa para o outro lado 
dividindo.
4° exemplo: 
Esse exemplo envolve números negativos e, antes de passar o número para o outro lado, devemos sempre 
deixar o lado da incógnita positivo, por isso vamos multiplicar toda a equação por -1.
Passando o número 3, que está multiplicando x, para o outro lado, teremos:
— Propriedade Fundamental das Equações
A propriedade fundamental das equações é também chamada de regra da balança. Não é muito utilizada 
no Brasil, mas tem a vantagem de ser uma única regra. A ideia é que tudo que for feito no primeiro membro 
da equação deve também ser feito no segundo membro com o objetivo de isolar a incógnita para se obter o 
resultado. Veja a demonstração nesse exemplo:
Começaremos com a eliminação do número 12. Como ele está somando, vamos subtrair o número 12 nos 
dois membros da equação:
Para finalizar, o número 3 que está multiplicando a incógnita será dividido por 3 nos dois membros da 
equação:
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36
EQUAÇÃO DO 2° GRAU
Toda equação que puder ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0 será chamada equação do segundo grau10. 
O único detalhe é que a, b e c devem ser números reais, e a não pode ser igual a zero em hipótese alguma.
Uma equação é uma expressão que relaciona números conhecidos (chamados coeficientes) a números 
desconhecidos (chamados incógnitas), por meio de uma igualdade. Resolver uma equação é usar as 
propriedades dessa igualdade para descobrir o valor numérico desses números desconhecidos. Como eles 
são representados pela letra x, podemos dizerque resolver uma equação é encontrar os valores que x pode 
assumir, fazendo com que a igualdade seja verdadeira.
— Como resolver equações do 2º grau?
Conhecemos como soluções ou raízes da equação ax² + bx + c = 0 os valores de x que fazem com que essa 
equação seja verdadeira11. Uma equação do 2º grau pode ter no máximo dois números reais que sejam raízes 
dela. Para resolver equações do 2º grau completas, existem dois métodos mais comuns:
- Fórmula de Bhaskara;
- Soma e produto.
O primeiro método é bastante mecânico, o que faz com que muitos o prefiram. Já para utilizar o segundo, é 
necessário o conhecimento de múltiplos e divisores. Além disso, quando as soluções da equação são números 
quebrados, soma e produto não é uma alternativa boa.
— Fórmula de Bhaskara
1) Determinar os coeficientes da equação
Os coeficientes de uma equação são todos os números que não são a incógnita dessa equação, sejam 
eles conhecidos ou não. Para isso, é mais fácil comparar a equação dada com a forma geral das equações do 
segundo grau, que é: ax2 + bx + c = 0. Observe que o coeficiente “a” multiplica x2, o coeficiente “b” multiplica 
x, e o coeficiente “c” é constante.
Por exemplo, na seguinte equação:
x² + 3x + 9 = 0
O coeficiente a = 1, o coeficiente b = 3 e o coeficiente c = 9.
Na equação:
– x² + x = 0
O coeficiente a = – 1, o coeficiente b = 1 e o coeficiente c = 0.
2) Encontrar o discriminante
O discriminante de uma equação do segundo grau é representado pela letra grega Δ e pode ser encontrado 
pela seguinte fórmula:
Δ = b² – 4·a·c
Nessa fórmula, a, b e c são os coeficientes da equação do segundo grau. Na equação: 4x² – 4x – 24 = 0, por 
exemplo, os coeficientes são: a = 4, b = – 4 e c = – 24. Substituindo esses números na fórmula do discriminante, 
teremos:
Δ = b² – 4 · a · c
Δ= (– 4)² – 4 · 4 · (– 24)
Δ = 16 – 16 · (– 24)
Δ = 16 + 384
10 https://escolakids.uol.com.br/matematica/equacoes-segundo-grau.htm#:~:text=Toda%20equa%-
C3%A7%C3%A3o%20que%20puder%20ser,a%20zero%20em%20hip%C3%B3tese%20alguma.
11 https://www.preparaenem.com/matematica/equacao-do-2-grau.htm
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37
Δ = 400
— Quantidade de soluções de uma equação
As equações do segundo grau podem ter até duas soluções reais12. Por meio do discriminante, é possível 
descobrir quantas soluções a equação terá. Muitas vezes, o exercício solicita isso em vez de perguntar quais 
as soluções de uma equação. Então, nesse caso, não é necessário resolvê-la, mas apenas fazer o seguinte:
Se Δ < 0, a equação não possui soluções reais.
Se Δ = 0, a equação possui apenas uma solução real.
Se Δ > 0, a equação possui duas soluções reais.
Isso acontece porque, na fórmula de Bhaskara, calcularemos a raiz de Δ. Se o discriminante é negativo, é 
impossível calcular essas raízes. 
3) Encontrar as soluções da equação
Para encontrar as soluções de uma equação do segundo grau usando fórmula de Bhaskara, basta substituir 
coeficientes e discriminante na seguinte expressão:
Observe a presença de um sinal ± na fórmula de Bhaskara. Esse sinal indica que deveremos fazer um 
cálculo para √Δ positivo e outro para √Δ negativo. Ainda no exemplo 4x2 – 4x – 24 = 0, substituiremos seus 
coeficientes e seu discriminante na fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções dessa equação são 3 e – 2, e seu conjunto de solução é: S = {3, – 2}.
— Soma e Produto
Nesse método é importante conhecer os divisores de um número. Ele se torna interessante quando as 
raízes da equação são números inteiros, porém, quando são um número decimal, esse método fica bastante 
complicado.
A soma e o produto é uma relação entre as raízes x1 e x2 da equação do segundo grau, logo devemos buscar 
quais são os possíveis valores para as raízes que satisfazem a seguinte relação:
Exemplo: Encontre as soluções para a equação x² – 5x + 6 = 0.
12 https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/discriminante-uma-equacao-segundo-grau.htm
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38
1º passo: encontrar a, b e c.
a = 1
b = -5
c = 6
2º passo: substituir os valores de a, b e c na fórmula.
3º passo: encontrar o valor de x1 e x2 analisando a equação.
Nesse caso, estamos procurando dois números cujo produto seja igual a 6 e a soma seja igual a 5.
Os números cuja multiplicação é igual a 6 são:
I. 6 x 1 = 6
II. 3 x 2 =6
III. (-6) x (-1) = 6
IV. (-3) x (-2) = 6
Dos possíveis resultados, vamos buscar aquele em que a soma seja igual a 5. Note que somente a II possui 
soma igual a 5, logo as raízes da equação são x1 = 3 e x2 = 2.
— Equação do 2º Grau Incompleta
Equação do 2º grau é incompleta quando ela possui b e/ou c iguais a zero4. Existem três tipos dessas 
equações, cada um com um método mais adequado para sua resolução.
Uma equação do 2º grau é conhecida como incompleta quando um dos seus coeficientes, b ou c, é igual a 
zero. Existem três casos possíveis de equações incompletas, que são:
- Equações que possuem b = 0, ou seja, ax² + c = 0;
- Equações que possuem c = 0, ou seja, ax² + bx = 0;
- Equações em que b = 0 e c = 0, então a equação será ax² = 0.
Em cada caso, é possível utilizar métodos diferentes para encontrar o conjunto de soluções da equação. Por 
mais que seja possível resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara, os métodos específicos de cada equação 
incompleta acabam sendo menos trabalhosos. A diferença entre a equação completa e a equação incompleta 
é que naquela todos os coeficientes são diferentes de 0, já nesta pelo menos um dos seus coeficientes é zero.
Como Resolver Equações do 2º Grau Incompletas
Para encontrar as soluções de uma equação do 2º grau, é bastante comum a utilização da fórmula de 
Bhaskara, porém existem métodos específicos para cada um dos casos de equações incompletas, a seguir 
veremos cada um deles.
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Quando c = 0
Quando o c = 0, a equação do 2º grau é incompleta e é uma equação do tipo ax² + bx = 0. Para encontrar seu 
conjunto de soluções, colocamos a variável x em evidência, reescrevendo essa equação como uma equação 
produto. Vejamos um exemplo a seguir.
Exemplo: Encontre as soluções da equação 2x² + 5x = 0.
1º passo: colocar x em evidência.
Reescrevendo a equação colocando x em evidência, temos que:
2x² + 5x = 0
x · (2x + 5) = 0
2º passo: separar a equação produto em dois casos.
Para que a multiplicação entre dois números seja igual a zero, um deles tem que ser igual a zero, no caso, 
temos que:
x · (2x + 5) = 0
x = 0 ou 2x + 5 = 0
3º passo: encontrar as soluções.
Já encontramos a primeira solução, x = 0, agora falta encontrar o valor de x que faz com que 2x + 5 seja 
igual a zero, então, temos que:
2x + 5 = 0
2x = -5
x = -5/2
Então encontramos as duas soluções da equação, x = 0 ou x = -5/2.
Quando b = 0
Quando b = 0, encontramos uma equação incompleta do tipo ax² + c = 0. Nesse caso, vamos isolar a variável 
x até encontrar as possíveis soluções da equação. Vejamos um exemplo:
Exemplo: Encontre as soluções da equação 3x² – 12 = 0.
Para encontrar as soluções, vamos isolar a variável.
3x² – 12 = 0
3x² = 12
x² = 12 : 3
x² = 4
Ao extrair a raiz no segundo membro, é importante lembrar que existem sempre dois números e que, ao 
elevarmos ao quadrado, encontramos como solução o número 4 e, por isso, colocamos o símbolo de ±.
x = ±√4
x = ±2
Então as soluções possíveis são x = 2 e x = -2.
Quando b = 0 e c = 0
Quando tanto o coeficiente b quanto o coeficiente c são iguais a zero, a equação será do tipo ax² = 0 e terá 
sempre como única solução x = 0. Vejamos um exemplo a seguir.
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Exemplo:
3x² = 0
x² = 0 : 3
x² = 0
x = ±√0
x = ±0
x = 0
INEQUAÇÕES DO 1° GRAU
Inequação é uma sentença matemática que apresenta pelo menos um valor desconhecido (incógnita) e 
representa uma desigualdade13.
Nas inequações usamos os símbolos:
> maior que
< menor que
≥ maior que ou igual
≤ menor que ou igual
Exemplos:
a) 3x -5 > 62
b) 10 + 2x ≤ 20
— Inequação do Primeiro Grau
Uma inequação é do 1º grau quando o maior expoente da incógnita é igual a 1. Podem assumir as seguintes 
formas:
ax + b >0
ax + b < 0
ax + b ≥ 0
ax + b ≤ 0
Sendo a e b números reais e a ≠ 0.
— Resolução de uma inequação do primeiro grau.
Para resolver uma inequação desse tipo, podemos fazer da mesma forma que fazemos nas equações.
Contudo, devemos ter cuidado quando a incógnita ficar negativa.
Nesse caso, devemos multiplicar por (-1) e inverter o símbolo da desigualdade.
Exemplos:
a) Resolvendo a inequação 3x + 19 < 40.
Para resolver a inequação devemos isolar o x, passando o 19 e o 3 para o outro lado da desigualdade.
Lembrando que ao mudar de lado devemos trocar a operação. Assim, o 19 que estava somando, passará 
diminuindo e o 3 que estava multiplicando passará dividindo.
3x < 40 -19
x < 21/3
x < 7
13 https://www.todamateria.com.br/inequacao/
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b) Como resolver a inequação 15 - 7x ≥ 2x - 30?
Quando há termos algébricos (x) dos dois lados da desigualdade, devemos juntá-los no mesmo lado.
Ao fazer isso, os números que mudam de lado têm o sinal alterado.
15 - 7x ≥ 2x - 30
- 7x - 2 x ≥ - 30 -15
- 9x ≥ - 45
Agora, vamos multiplicar toda a inequação por (-1). Para tanto, trocamos o sinal de todos os termos:
9x ≤ 45 (observe que invertemos o símbolo ≥ para ≤)
x ≤ 45/9
x ≤ 5
Portanto, a solução dessa inequação é x ≤ 5.
— Resolução usando o gráfico da inequação
Outra forma de resolver uma inequação é fazer um gráfico no plano cartesiano.
No gráfico, fazemos o estudo do sinal da inequação identificando que valores de x transformam a desigualdade 
em uma sentença verdadeira.
Para resolver uma inequação usando esse método devemos seguir os passos:
1º) Colocar todos os termos da inequação em um mesmo lado.
2º) Substituir o sinal da desigualdade pelo da igualdade.
3º) Resolver a equação, ou seja, encontrar sua raiz.
4º) Fazer o estudo do sinal da equação, identificando os valores de x que representam a solução da inequação.
Exemplo: Resolvendo a inequação 3x + 19 < 40.
Primeiro, vamos escrever a inequação com todos os termos de um lado da desigualdade:
3x + 19 - 40 < 0
3x - 21 < 0
Essa expressão indica que a solução da inequação são os valores de x que tornam a inequação negativa 
(< 0).
Encontrar a raiz da equação 3x - 21 = 0
x = 21/3
x = 7 (raiz da equação)
Representar no plano cartesiano os pares de pontos encontrados ao substituir valores no x na equação. O 
gráfico deste tipo de equação é uma reta.
INEQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
Uma inequação é do 2º grau quando o maior expoente da incógnita é igual a 2. Podem assumir as seguintes 
formas:
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c ≤ 0
Sendo a, b e c números reais e a ≠ 0.
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Podemos resolver esse tipo de inequação usando o gráfico que representa a equação do 2º grau para fazer 
o estudo do sinal, da mesma forma que fizemos no da inequação do 1º grau.
Lembrando que, nesse caso, o gráfico será uma parábola.
Exemplo: Resolvendo a inequação x² - x - 6 < 0.
Para resolver uma inequação do segundo grau é preciso encontrar valores cuja expressão do lado esquerdo 
do sinal < dê uma solução menor do que 0 (valores negativos).
Primeiro, identifique os coeficientes:
a = 1
b = - 1
c = - 6
Utilizamos a fórmula de Bhaskara (Δ = b² - 4ac) e substituímos pelos valores dos coeficientes:
Δ = (- 1)² - 4 . 1 . (- 6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25
Continuando na fórmula de Bhaskara, substituímos novamente pelos valores dos nossos coeficientes:
As raízes da equação são -2 e 3. Como o coeficiente a da equação do 2º grau é positivo, seu gráfico terá a 
concavidade voltada para cima.
Pelo gráfico, observamos que os valores que satisfazem a inequação são: - 2 < x < 3.
Podemos indicar a solução usando a seguinte notação: 
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.
Um número x que pertence ao conjunto dos números Reais, tal que, x seja maior que -2 e menor que 3.
Identificamos que os valores < 0 (valores negativos) são os valores de x < 7. O valor encontrado coincide 
com o valor que encontramos ao resolver diretamente (exemplo a, anterior).
Sequências. Progressões aritméticas e geométricas
— Sequência Numérica
Na matemática, a sequência numérica ou sucessão numérica corresponde a uma função dentro de um 
agrupamento de números.
De tal modo, os elementos agrupados numa sequência numérica seguem uma sucessão, ou seja, uma 
ordem no conjunto14.
— Classificação
As sequências numéricas podem ser finitas ou infinitas, por exemplo:
SF = (2, 4, 6, ..., 8).
SI = (2,4,6,8...).
Note que quando as sequências são infinitas, elas são indicadas pelas reticências no final. Além disso, vale 
lembrar que os elementos da sequência são indicados pela letra a. Por exemplo:
1° elemento: a1 = 2.
4° elemento: a4 = 8.
O último termo da sequência é chamado de enésimo, sendo representado por an. Nesse caso, o an da 
sequência finita acima seria o elemento 8.
Assim, podemos representá-la da seguinte maneira:
SF = (a1, a2, a3,...,an).
SI = (a1, a2, a3, an...).
14 https://www.todamateria.com.br/sequencia-numerica/
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— Lei de Formação
A Lei de Formação ou Termo Geral é utilizada para calcular qualquer termo de uma sequência, expressa 
pela expressão:
an = 2n² - 1
— Lei de Recorrência
A Lei da Recorrência permite calcular qualquer termo de uma sequência numérica a partir de elementos 
antecessores:
an = an-1, an-2,...a1
— Progressão Aritmética (PA)
Uma progressão aritmética é uma sequência formada por termos que se diferenciam um do outro por um 
valor constante, que recebe o nome de razão, calculado por15:
r = a2 – a1
Onde:
r é a razão da PA;
a2 é o segundo termo;
a1 é o primeiro termo.
Sendo assim, os termos de uma progressão aritmética podem ser escritos da seguinte forma:
Note que em uma PA de n termos a fórmula do termo geral (an) da sequência é:
an = a1 + (n – 1) . r
Alguns casos particulares são: uma PA de 3 termos é representada por (x - r, x, x + r) e uma PA de 5 termos 
tem seus componentes representados por (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).
Tipos de PA
De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em 3 tipos:
1. Constante: quando a razão for igual a zero e os termos da PA são iguais.
Exemplo: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), onde r = 0
2. Crescente: quando a razão for maior que zero e um termo a partir do segundo é maior que o anterior;
Exemplo: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), onde r = 2
3. Decrescente: quando a razão for menor que zero e um termo a partir do segundo é menor que o anterior.
Exemplo: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), onde r = - 2
As progressões aritméticas ainda podem ser classificadas em finitas, quando possuem um determinado 
número de termos, e infinitas, ou seja, com infinitos termos.
Soma dos Termos de uma PA
A soma dos termos de uma progressão aritmética é calculada pela fórmula:
15 https://www.todamateria.com.br/pa-e-pg/
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Onde, n é o número de termos da sequência, a1 é o primeiro termo e an é o enésimo termo. A fórmula é útil 
para resolver questões em que são dados o primeiro e o último termo.
Quando um problema apresentar o primeiro termo e a razão da PA, você pode utilizar a fórmula:
Essas duas fórmulas são utilizadas para somar os termos de uma PA finita.
Termo médio da PA
Para determinar o termo médio ou central de uma PA com um número ímpar de termos calculamos a média 
aritmética com o primeiro e último termo (a1 e an):
Já o termo médio entre três números consecutivos de uma PA corresponde à média aritmética do antecessor 
e do sucessor. 
Exemplo: Dada a PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) vamos determinar a razão, o termo médio e a soma dos termos.
1. Razão da PA
2. Termo médio
3. Soma dos termos
— ProgressãoGeométrica (PG)
Uma progressão geométrica é formada quando uma sequência tem um fator multiplicador resultado da 
divisão de dois termos consecutivos, chamada de razão comum, que é calculada por:
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Onde,
q é a razão da PG;
a2 é o segundo termo;
a1 é o primeiro termo.
Uma progressão geométrica de n termos pode ser representada da seguinte forma:
Sendo a1 o primeiro termo, o termo geral da PG é calculado por a1.q(n-1).
Tipos de PG
De acordo com o valor da razão (q), podemos classificar as Progressões Geométricas em 4 tipos:
1. Crescente: com a razão q > 1 e termos positivos ou, 0 < q < 1 e termos negativos;
Exemplos:
PG: (3, 9, 27, 81, ...), onde q = 3.
PG: (-90, -30, -15, -5, ...), onde q = 1/3.
2. Decrescente: com a razão q > 1 e termos negativos ou, 0 < q < 1 e os termos positivos;
Exemplo:
PG: (-3, -9, -27, -81, ...), onde q = 3.
PG: (90, 30, 15, 5, ...), onde q = 1/3.
3. Oscilante: a razão é negativa (q < 0) e os termos são números negativos e positivos;
Exemplo: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96, …), onde q = - 2.
4. Constante: a razão é sempre igual a 1 e os termos possuem o mesmo valor.
Exemplo: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), onde q = 1.
Soma dos Termos de uma PG
A soma dos termos de uma progressão geométrica é calculada pela fórmula:
Sendo a1 o primeiro termo, q a razão comum e n o número de termos.
Se a razão da PG for menor que 1, então utilizaremos a fórmula a seguir para determinar a soma dos termos.
Essas fórmulas são utilizadas para uma PG finita. Caso a soma pedida seja de uma PG infinita com 0 < q < 
1, a fórmula utilizada é:
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Termo Médio da PG
Para determinar o termo médio ou central de uma PG com um número ímpar de termos calculamos a média 
geométrica com o primeiro e último termo (a1 e an):
Exemplo: Dada a PG (1, 3, 9, 27 e 81) vamos determinar a razão, o termo médio e a soma dos termos.
1. Razão da PG
2. Termo médio
3. Soma dos termos
Análise combinatória. Arranjos e permutações. Princípios de contagem e Probabilida-
de
A análise combinatória ou combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos e técnicas que permitem 
resolver problemas relacionados com contagem16.
Muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, ela faz análise das possibilidades e das combinações 
possíveis entre um conjunto de elementos.
16 https://www.todamateria.com.br/analise-combinatoria/
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— Princípio Fundamental da Contagem
O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, postula que:
“quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as possibilidades 
da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de possibilidades de o 
evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y)”.
Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções entre as escolhas que 
lhe são apresentadas.
Exemplo: Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão incluídos um 
sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São oferecidas três opções de sanduíches: hambúrguer especial, 
sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. Como opção de bebida pode-se escolher 2 tipos: suco 
de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de chocolate, 
cupcake de morango e cupcake de baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras 
um cliente pode escolher o seu lanche?
Solução: Podemos começar a resolução do problema apresentado, construindo uma árvore de possibilidades, 
conforme ilustrado abaixo:
Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar quantos tipos diferentes de lanches podemos 
escolher. Assim, identificamos que existem 24 combinações possíveis.
Podemos ainda resolver o problema usando o princípio multiplicativo. Para saber quais as diferentes 
possibilidades de lanches, basta multiplicar o número de opções de sanduíches, bebidas e sobremesa.
Total de possibilidades: 3.2.4 = 24.
Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches para escolher na promoção.
— Tipos de Combinatória
O princípio fundamental da contagem pode ser usado em grande parte dos problemas relacionados com 
contagem. Entretanto, em algumas situações seu uso torna a resolução muito trabalhosa.
Desta maneira, usamos algumas técnicas para resolver problemas com determinadas características. 
Basicamente há três tipos de agrupamentos: arranjos, combinações e permutações.
Antes de conhecermos melhor esses procedimentos de cálculo, precisamos definir uma ferramenta muito 
utilizada em problemas de contagem, que é o fatorial.
O fatorial de um número natural é definido como o produto deste número por todos os seus antecessores. 
Utilizamos o símbolo ! para indicar o fatorial de um número.
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Define-se ainda que o fatorial de zero é igual a 1.
Exemplo:
0! = 1.
1! = 1.
3! = 3.2.1 = 6.
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040.
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800.
Note que o valor do fatorial cresce rapidamente, conforme cresce o número. Então, frequentemente usamos 
simplificações para efetuar os cálculos de análise combinatória.
— Arranjos
Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos.
Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:
Exemplo: Como exemplo de arranjo, podemos pensar na votação para escolher um representante e um 
vice-representante de uma turma, com 20 alunos. Sendo que o mais votado será o representante e o segundo 
mais votado o vice-representante.
Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Observe que nesse caso, a ordem 
é importante, visto que altera o resultado.
Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes.
— Permutações
As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (n) do agrupamento é igual ao 
número de elementos disponíveis.
Note que a permutação é um caso especial de arranjo, quando o número de elementos é igual ao número de 
agrupamentos. Desta maneira, o denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 na permutação.
Assim a permutação é expressa pela fórmula:
Exemplo: Para exemplificar, vamos pensar de quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se sentar em 
um banco com 6 lugares.
Como a ordem em que irão se sentar é importante e o número de lugares é igual ao número de pessoas, 
iremos usar a permutação:
Logo, existem 720 maneiras diferentes para as 6 pessoas se sentarem neste banco.
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— Combinações
As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são 
caracterizadas pela natureza dos mesmos.
Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte 
expressão:
Exemplo: A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 membros para formar uma comissão 
organizadora de um evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram.
De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada?
Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é relevante. Isso quer 
dizer que escolher Maria, João e José é equivalente a escolher João, José e Maria.
Observe que para simplificar os cálculos, transformamos o fatorial de 10 em produto, mas conservamos o 
fatorial de 7, pois, desta forma, foi possível simplificar com o fatorial de 7 do denominador.
Assim, existem 120 maneiras distintas formar a comissão.
— Probabilidade e Análise Combinatória
A Probabilidade permite analisar ou calcular as chances de obter determinado resultado diante de um 
experimento aleatório. São exemplos as chances de um número sair em um lançamento de dados ou a 
possibilidade de ganhar na loteria.
A partir disso, a probabilidadeé determinada pela razão entre o número de eventos possíveis e número de 
eventos favoráveis, sendo apresentada pela seguinte expressão:
Sendo:
P (A): probabilidade de ocorrer um evento A.
n (A): número de resultados favoráveis.
n (Ω): número total de resultados possíveis.
Para encontrar o número de casos possíveis e favoráveis, muitas vezes necessitamos recorrer as fórmulas 
estudadas em análise combinatória.
Exemplo: Qual a probabilidade de um apostador ganhar o prêmio máximo da Mega-Sena, fazendo uma 
aposta mínima, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados?
Solução: Como vimos, a probabilidade é calculada pela razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis. 
Nesta situação, temos apenas um caso favorável, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados.
Já o número de casos possíveis é calculado levando em consideração que serão sorteados, ao acaso, 6 
números, não importando a ordem, de um total de 60 números.
Para fazer esse cálculo, usaremos a fórmula de combinação, conforme indicado abaixo:
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Assim, existem 50 063 860 modos distintos de sair o resultado. A probabilidade de acertarmos então será 
calculada como:
— Probabilidade
A teoria da probabilidade é o campo da Matemática que estuda experimentos ou fenômenos aleatórios e 
através dela é possível analisar as chances de um determinado evento ocorrer17.
Quando calculamos a probabilidade, estamos associando um grau de confiança na ocorrência dos resultados 
possíveis de experimentos, cujos resultados não podem ser determinados antecipadamente. Probabilidade é a 
medida da chance de algo acontecer.
Desta forma, o cálculo da probabilidade associa a ocorrência de um resultado a um valor que varia de 0 a 1 
e, quanto mais próximo de 1 estiver o resultado, maior é a certeza da sua ocorrência.
Por exemplo, podemos calcular a probabilidade de uma pessoa comprar um bilhete da loteria premiado ou 
conhecer as chances de um casal ter 5 filhos, todos meninos.
— Experimento Aleatório
Um experimento aleatório é aquele que não é possível conhecer qual resultado será encontrado antes de 
realizá-lo.
Os acontecimentos deste tipo quando repetidos nas mesmas condições, podem dar resultados diferentes e 
essa inconstância é atribuída ao acaso.
Um exemplo de experimento aleatório é jogar um dado não viciado (dado que apresenta uma distribuição 
homogênea de massa) para o alto. Ao cair, não é possível prever com total certeza qual das 6 faces estará 
voltada para cima.
— Fórmula da Probabilidade
Em um fenômeno aleatório, as possibilidades de ocorrência de um evento são igualmente prováveis.
Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de ocorrer um determinado resultado através da divisão 
entre o número de eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis:
Sendo:
P(A): probabilidade da ocorrência de um evento A.
n(A): número de casos favoráveis ou, que nos interessam (evento A).
n(Ω): número total de casos possíveis.
O resultado calculado também é conhecido como probabilidade teórica.
Para expressar a probabilidade na forma de porcentagem, basta multiplicar o resultado por 100.
Exemplo: Se lançarmos um dado perfeito, qual a probabilidade de sair um número menor que 3?
17 https://www.todamateria.com.br/probabilidade/
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Solução: Sendo o dado perfeito, todas as 6 faces têm a mesma chance de caírem voltadas para cima. 
Vamos então, aplicar a fórmula da probabilidade.
Para isso, devemos considerar que temos 6 casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6) e que o evento “sair um número 
menor que 3” tem 2 possibilidades, ou seja, sair o número 1 ou 2. Assim, temos:
Para responder na forma de uma porcentagem, basta multiplicar por 100.
Portanto, a probabilidade de sair um número menor que 3 é de 33%.
— Ponto Amostral
Ponto amostral é cada resultado possível gerado por um experimento aleatório.
Exemplo: Seja o experimento aleatório lançar uma moeda e verificar a face voltada para cima, temos os 
pontos amostrais cara e coroa. Cada resultado é um ponto amostral.
— Espaço Amostral
Representado pela letra Ω(ômega), o espaço amostral corresponde ao conjunto de todos os pontos amostrais, 
ou, resultados possíveis obtidos a partir de um experimento aleatório.
Por exemplo, ao retirar ao acaso uma carta de um baralho, o espaço amostral corresponde às 52 cartas que 
compõem este baralho.
Da mesma forma, o espaço amostral ao lançar uma vez um dado, são as seis faces que o compõem:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A quantidade de elementos em um conjunto chama-se cardinalidade, expressa pela letra n seguida do 
símbolo do conjunto entre parênteses.
Assim, a cardinalidade do espaço amostral do experimento lançar um dado é n(Ω) = 6.
— Espaço Amostral Equiprovável
Equiprovável significa mesma probabilidade. Em um espaço amostral equiprovável, cada ponto amostral 
possui a mesma probabilidade de ocorrência.
Exemplo: Em uma urna com 4 esferas de cores: amarela, azul, preta e branca, ao sortear uma ao acaso, 
quais as probabilidades de ocorrência de cada uma ser sorteada?
Sendo experimento honesto, todas as cores possuem a mesma chance de serem sorteadas.
— Tipos de Eventos
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.
Evento certo
O conjunto do evento é igual ao espaço amostral.
Exemplo: Em uma delegação feminina de atletas, uma ser sorteada ao acaso e ser mulher.
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Evento Impossível
O conjunto do evento é vazio.
Exemplo: Imagine que temos uma caixa com bolas numeradas de 1 a 20 e que todas as bolas são vermelhas.
O evento “tirar uma bola vermelha” é um evento certo, pois todas as bolas da caixa são desta cor. Já o 
evento “tirar um número maior que 30”, é impossível, visto que o maior número na caixa é 20.
Evento Complementar
Os conjuntos de dois eventos formam todo o espaço amostral, sendo um evento complementar ao outro.
Exemplo: No experimento lançar uma moeda, o espaço amostral é Ω = {cara, coroa}.
Seja o evento A sair cara, A = {cara}, o evento B sair coroa é complementar ao evento A, pois, B={coroa}. 
Juntos formam o próprio espaço amostral.
Evento Mutuamente Exclusivo
Os conjuntos dos eventos não possuem elementos em comum. A intersecção entre os dois conjuntos é 
vazia.
Exemplo: Seja o experimento lançar um dado, os seguintes eventos são mutuamente exclusivos
A: ocorrer um número menor que 5, A = {1, 2, 3, 4}.
B: ocorrer um número maior que 5, A = {6}.
— Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional relaciona as probabilidades entre eventos de um espaço amostral equiprovável. 
Nestas circunstâncias, a ocorrência do evento A, depende ou, está condicionada a ocorrência do evento B.
A probabilidade do evento A dado o evento B é definida por:
Onde o evento B não pode ser vazio.
Exemplo de caso de probabilidade condicional: Em um encontro de colaboradores de uma empresa que 
atua na França e no Brasil, um sorteio será realizado e um dos colaboradores receberá um prêmio. Há apenas 
colaboradores franceses e brasileiros, homens e mulheres.
Como evento de probabilidade condicional, podemos associar a probabilidade de sortear uma mulher (evento 
A) dado que seja francesa (evento B).
Neste caso, queremos saber a probabilidade de ocorrer A (ser mulher), apenas se for francesa (evento B).
Resolução de situações problemas
A resolução de problemas na matemática é um processo que envolve a aplicação de conceitos matemáticos 
para solucionar questões ou situações que requerem raciocínio lógico e análise quantitativa. É um processo 
criativo que requer habilidades de pensamento crítico e estratégias específicas para chegar a uma solução.
Aqui estão algumas etapas comuns que podem ajudar a resolver problemas matemáticos:
Compreensão do problema: Leia cuidadosamente o enunciado do problema e certifique-se de entendê-lo 
completamente. Identifique os dados fornecidos, as incógnitasa serem encontradas e as restrições dadas.
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54
Planejamento: Desenvolva um plano ou estratégia para resolver o problema. Isso pode envolver a identifi-
cação de fórmulas ou conceitos matemáticos relevantes, a criação de diagramas ou representações visuais, a 
divisão do problema em etapas menores ou a consideração de casos específicos.
Execução: Implemente o plano que você desenvolveu, realizando os cálculos e aplicando as estratégias 
escolhidas. Organize suas informações e seja cuidadoso com os cálculos para evitar erros.
Verificação: Após chegar a uma solução, verifique se ela faz sentido e está de acordo com as restrições do 
problema. Faça uma revisão dos cálculos e verifique se a resposta obtida é razoável.
Comunicação: Expresse sua solução de forma clara e coerente, utilizando termos matemáticos apropria-
dos e explicando o raciocínio utilizado. Se necessário, apresente sua solução em um formato compreensível 
para outras pessoas.
Dentro deste prisma vamos elencar a técnica abaixo:
TECNICA PARA INTERPRETAR PROBLEMAS DE MATEMÁTICA
A linguagem matemática para algebrizar problemas:
Linguagem da questão Linguagem Matemática
Preposição da, de, do Multiplicação
Preposição por divisão
Verbos Equivale, será, tem, e, etc. igualdade
Pronomes interrogativos qual, quanto x ?
Um número x
O dobro de um número 2x
O triplo de um número 3x
A metade de um número x/2
A terça parte de um número x/3
Dois números consecutivos x, x + 1
Três números consecutivos x, x + 1, x + 2
Um número Par 2x
Um número Ímpar 2x - 1
Dois números pares consecutivos 2x, 2x + 2
Dois números ímpares consecutivos 2x -1, 2x -1 + 2 (2x + 1)
O oposto de X ( na adição ) -x
O inverso de X ( na multiplicação) 1/x
Soma Aumentar, maior que, mais, ganhar, adicionar
Subtração menos, menor que, diferença, diminuir, per-
der, tirar
Divisão Razão
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Sistemas de medidas.
As unidades de medida são modelos estabelecidos para medir diferentes grandezas, tais como comprimento, 
capacidade, massa, tempo e volume18.
O Sistema Internacional de Unidades (SI) define a unidade padrão de cada grandeza. Baseado no sistema 
métrico decimal, o SI surgiu da necessidade de uniformizar as unidades que são utilizadas na maior parte dos 
países.
— Medidas de Comprimento
Existem várias medidas de comprimento, como por exemplo a jarda, a polegada e o pé.
No SI a unidade padrão de comprimento é o metro (m). Atualmente ele é definido como o comprimento da 
distância percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de um segundo.
Assim, são múltiplos do metro: quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam)19.
Enquanto são submúltiplos do metro: decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).
Os múltiplos do metro são as grandes distâncias. Eles são chamados de múltiplos porque resultam de uma 
multiplicação que tem como referência o metro.
Os submúltiplos, ao contrário, como pequenas distâncias, resultam de uma divisão que tem igualmente 
como referência o metro. Eles aparecem do lado direito na tabela acima, cujo centro é a nossa medida base - o 
metro.
— Medidas de Capacidade
As medidas de capacidade representam as unidades usadas para definir o volume no interior de um 
recipiente20. A principal unidade de medida da capacidade é o litro (L).
O litro representa a capacidade de um cubo de aresta igual a 1 dm. Como o volume de um cubo é igual a 
medida da aresta elevada ao cubo, temos então a seguinte relação:
1 L = 1 dm³
Mudança de Unidades
O litro é a unidade fundamental de capacidade. Entretanto, também é usado o quilolitro(kL), hectolitro(hL) e 
decalitro que são seus múltiplos e o decilitro, centilitro e o mililitro que são os submúltiplos.
Como o sistema padrão de capacidade é decimal, as transformações entre os múltiplos e submúltiplos são 
feitas multiplicando-se ou dividindo-se por 10.
Para transformar de uma unidade de capacidade para outra, podemos utilizar a tabela abaixo:
18 https://www.todamateria.com.br/unidades-de-medida/
19 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-comprimento/
20 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-capacidade/
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Exemplo: fazendo as seguintes transformações:
a) 30 mL em L
Observando a tabela acima, identificamos que para transformar de ml para L devemos dividir o número três 
vezes por 10, que é o mesmo que dividir por 1000. Assim, temos:
30 : 1000 = 0,03 L
Note que dividir por 1000 é o mesmo que “andar” com a vírgula três casa diminuindo o número.
b) 5 daL em dL
Seguindo o mesmo raciocínio anterior, identificamos que para converter de decalitro para decilitro devemos 
multiplicar duas vezes por 10, ou seja, multiplicar por 100.
5 . 100 = 500 dL
c) 400 cL em L
Para passar de centilitro para litro, vamos dividir o número duas vezes por 10, isto é, dividir por 100:
400 : 100 = 4 L
Medida de Volume
As medidas de volume representam o espaço ocupado por um corpo. Desta forma, podemos muitas vezes 
conhecer a capacidade de um determinado corpo conhecendo seu volume.
A unidade de medida padrão de volume é o metro cúbico (m³), sendo ainda utilizados seus múltiplos (km³, 
hm³ e dam³) e submúltiplos (dm³, cm³ e mm³).
Em algumas situações é necessário transformar a unidade de medida de volume para uma unidade de 
medida de capacidade ou vice-versa. Nestes casos, podemos utilizar as seguintes relações:
1 m³ = 1 000 L
1 dm³ = 1 L
1 cm³ = 1 mL
Exemplo: Um tanque tem a forma de um paralelepípedo retângulo com as seguintes dimensões: 1,80 m de 
comprimento, 0,90 m de largura e 0,50 m de altura. A capacidade desse tanque, em litros, é:
A) 0,81
B) 810
C) 3,2
D) 3200
Para começar, vamos calcular o volume do tanque, e para isso, devemos multiplicar suas dimensões:
V = 1,80 . 0,90 . 0,50 = 0,81 m³
Para transformar o valor encontrado em litros, podemos fazer a seguinte regra de três:
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Assim, x = 0,81 . 1000 = 810 L.
Portanto, a resposta correta é a alternativa b.
Medidas de Massa
No Sistema Internacional de unidades a medida de massa é o quilograma (kg)21. Um cilindro de platina e 
irídio é usado como o padrão universal do quilograma.
As unidades de massa são: quilograma (kg), hectograma (hg), decagrama (dag), grama (g), decigrama (dg), 
centigrama (cg) e miligrama (mg).
São ainda exemplos de medidas de massa a arroba, a libra, a onça e a tonelada. Sendo 1 tonelada 
equivalente a 1000 kg.
• Unidades de medida de massa
As unidades do sistema métrico decimal de massa são: quilograma (kg), hectograma (hg), decagrama 
(dag), grama (g), decigrama (dg), centigrama (cg), miligrama (mg).
Utilizando o grama como base, os múltiplos e submúltiplos das unidades de massa estão na tabela a seguir.
Além das unidades apresentadas existem outras como a tonelada, que é um múltiplo do grama, sendo que 
1 tonelada equivale a 1 000 000 g ou 1 000 kg. Essa unidade é muito usada para indicar grandes massas.
A arroba é uma unidade de medida usada no Brasil, para determinar a massa dos rebanhos bovinos, suínos 
e de outros produtos. Uma arroba equivale a 15 kg.
O quilate é uma unidade de massa, quando se refere a pedras preciosas. Neste caso 1 quilate vale 0,2 g.
— Conversão de unidades
Como o sistema padrão de medida de massa é decimal, as transformações entre os múltiplos e submúltiplos 
são feitas multiplicando-se ou dividindo-se por 1022.
Para transformar as unidades de massa, podemos utilizar a tabela abaixo:
Exemplos: 
a) Quantas gramas tem 1 kg?
Para converter quilograma em grama basta consultar o quadro acima. Observe que é necessário multiplicar 
por 10 três vezes.
21 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-massa/
22 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-massa/
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1 kg → g
1 kg x 10 x 10 x 10 = 1 x 1000 = 1.000 g
b) Quantos quilogramas tem em 3.000g?
Para transformar grama em quilograma, vemos na tabela que devemos dividir o valor dado por 1.000. Isto 
é o mesmo que dividir por 10, depois novamente por 10 e mais uma vez por 10.
3.000 g → kg
3.000 g : 10 : 10 : 10 = 3.000 : 1.000 = 3 kg
c) Transformando 350 g em mg.
Para transformar de grama para miligrama devemos multiplicar o valor dado por 1.000 (10 x 10 x 10).
350 g → mg
350 x 10 x 10 x 10 = 350 x 1000 = 350.000 mg
— Medidas de Tempo
Existem diversas unidades de medida de tempo, por exemplo a hora, o dia, o mês, o ano, o século. No 
sistema internacional de medidas a unidades de tempo é o segundo (s)23.
Horas, Minutos e Segundos
Muitas vezes necessitamos transformar uma informação que está, por exemplo, em minuto para segundos, 
ou em segundos para hora.
Para tal, devemos sempre lembrar que 1 hora tem 60 minutos e que 1 minuto equivale a 60 segundos. Desta 
forma, 1 hora corresponde a 3.600 segundos.
Assim, para mudar de hora para minuto devemos multiplicar por 60. Por exemplo, 3 horas equivalem a 180 
minutos (3 . 60 = 180).
O diagrama abaixo apresenta a operação que devemos fazer para passar de uma unidade para outra.
Em algumas áreas é necessário usar medidas com precisão maior que o segundo. Neste caso, usamos 
seus submúltiplos.
Assim, podemos indicar o tempo decorrido de um evento em décimos, centésimos ou milésimos de segundos.
Por exemplo, nas competições de natação o tempo de um atleta é medido com precisão de centésimos de 
segundo.
Instrumentos de Medidas
Para medir o tempo utilizamos relógios que são dispositivos que medem eventos que acontecem em 
intervalos regulares.
Os primeiros instrumentos usados para a medida do tempo foram os relógios de Sol, que utilizavam a 
sombra projetada de um objeto para indicar as horas.
23 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-tempo/
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59
Foram ainda utilizados relógios que empregavam escoamento de líquidos, areia, queima de fluidos e 
dispositivos mecânicos como os pêndulos para indicar intervalos de tempo.
Outras Unidades de Medidas de Tempo
O intervalo de tempo de uma rotação completa da terra equivale a 24h, que representa 1 dia.
O mês é o intervalo de tempo correspondente a determinado número de dias. Os meses de abril, junho, 
setembro, novembro têm 30 dias.
Já os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro possuem 31 dias. O mês de 
fevereiro normalmente têm 28 dias. Contudo, de 4 em 4 anos ele têm 29 dias.
O ano é o tempo que a Terra leva para dar uma volta completa ao redor do Sol. Normalmente, 1 ano 
corresponde a 365 dias, no entanto, de 4 em 4 anos o ano têm 366 dias (ano bissexto).
Na tabela abaixo relacionamos algumas dessas unidades:
Tabela de Conversão de Medidas
O mesmo método pode ser utilizado para calcular várias grandezas.
Primeiro, vamos desenhar uma tabela e colocar no seu centro as unidades de medidas bases das grandezas 
que queremos converter, por exemplo:
Capacidade: litro (l)
Comprimento: metro (m)
Massa: grama (g)
Volume: metro cúbico (m3)
Tudo o que estiver do lado direito da medida base são chamados submúltiplos. Os prefixos deci, centi e mili 
correspondem respectivamente à décima, centésima e milésima parte da unidade fundamental.
Do lado esquerdo estão os múltiplos. Os prefixos deca, hecto e quilo correspondem respectivamente a dez, 
cem e mil vezes a unidade fundamental.
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Exemplos:
a) Quantos mililitros correspondem 35 litros?
Para fazer a transformação pedida, vamos escrever o número na tabela das medidas de capacidade. 
Lembrando que a medida pode ser escrita como 35,0 litros. A virgula e o algarismo que está antes dela devem 
ficar na casa da unidade de medida dada, que neste caso é o litro.
Depois completamos as demais caixas com zeros até chegar na unidade pedida. A vírgula ficará sempre 
atrás dos algarismos que estiver na caixa da unidade pedida, que neste caso é o ml.
Assim 35 litros correspondem a 35000 ml.
b) Transformando 700 gramas em quilogramas.
Lembrando que podemos escrever 700,0 g. Colocamos a vírgula e o 0 antes dela na unidade dada, neste 
caso g e os demais algarismos nas casas anteriores.
Depois completamos com zeros até chegar na casa da unidade pedida, que neste caso é o quilograma. A 
vírgula passa então para atrás do algarismo que está na casa do quilograma.
Então 700 g corresponde a 0,7 kg.
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Cálculo de áreas e volumes
— Geometria Plana
É a área da matemática que estuda as formas que não possuem volume. Triângulos, quadriláteros, retângulos, 
circunferências são alguns exemplos de figuras de geometria plana (polígonos)24.
Para geometria plana, é importante saber calcular a área, o perímetro e o(s) lado(s) de uma figura a partir 
das relações entre os ângulos e as outras medidas da forma geométrica. 
Algumas fórmulas de geometria plana:
— Teorema de Pitágoras
Uma das fórmulas mais importantes para esta frente matemática é o Teorema de Pitágoras.
Em um triângulo retângulo (com um ângulo de 90º), a soma dos quadrados dos catetos (os “lados” que 
formam o ângulo reto) é igual ao quadrado da hipotenusa (a aresta maior da figura).
Teorema de Pitágoras: a² + b² = c²
— Lei dos Senos
Lembre-se que o Teorema de Pitágoras é válido apenas para triângulos retângulos. A lei dos senos e lei dos 
cossenos existe para facilitar os cálculos para todos os tipos de triângulos.
Veja a fórmula abaixo. Onde a, b e c são lados do triângulo.
Para qualquer triângulo ABC inscrito em uma circunferência de centro O e raio R, temos que:
— Lei dos Cossenos
A lei dos cossenos pode ser utilizada para qualquer tipo de triângulo, mesmo que ele não tenha um ângulo 
de 90º. Basta conhecer o cosseno de um dos ângulos e o valor de dois lados (arestas) do triângulo.
Veja a fórmula abaixo. Onde a, b e c são lados do triângulo.
Para qualquer triângulo ABC, temos que:
24 https://bityli.com/BMvcWO
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— Relações Métricas do Triângulo Retângulo
As relações trigonométricas no triângulo retângulo são fórmulas simplificadas. Elas podem facilitar a resolução 
das questões em que o Teorema de Pitágoras é aplicável.
Para um triângulo retângulo, sua altura relativa à hipotenusa e as projeções ortogonais dos catetos, temos 
o seguinte:
- Onde a é hipotenusa;
- b e c são catetos;
- m e n são projeções ortogonais;
- h é altura.
— Teorema de Tales
O Teorema de Tales é uma propriedade para retas paralelas.
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63
Se as retas CC’, BB’ e AA’ são paralelas, então:
— Fórmulas Básicas de Geometria Plana
Polígonos
O perímetro é a soma de todos os lados da figura, ou seja, o comprimento do polígono.
Onde A é a área da figura, veja as principais fórmulas:
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64
Fórmulas da Circunferência
Conversão para radiano, comprimento e área do círculo:
Conversão de unidades: π rad corresponde a 180°.
Comprimento de uma circunferência: C = 2 · π · R.
Área de uma circunferência: A = π · R²
— Geometria Espacial 
É a frente matemática que estuda a geometria no espaço. Ou seja, é o estudo das formas que possuem três 
dimensões: comprimento, largura e altura.
Apenas as figuras de geometria espacial têm volume.
Uma das primeiras figuras geométricas que você estuda em geometria espacial é o prisma. Ele é uma 
figura formada por retângulos, e duas bases. Outros exemplos de figuras de geometria espacial são cubos, 
paralelepípedos, pirâmides, cones, cilindros e esferas. Veja a aula de Geometria espacial sobre prisma e esfera.
— Fórmulas de Geometria Espacial
Fórmula do Poliedro: Relação de Euler
Para saber a quantidade de vértices e arestas de uma figura espacial, utilize a Relação de Euler:
Onde V é o número de vértices, F é a quantidade de faces e A é a quantidade de arestas, temos:
V + F = A +2
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Fórmulas da Esfera
Fórmulas do Cone
Onde r é o raio da base, g é a geratriz e H é a altura.
Área lateral do cone: Š = π · R . g
Área da base do cone: A = π · R²
Área da superfície total do cone: S = Š + A
Volume do cone: V = 1/3 . A . H
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Fórmulas do cilindro
Área da base de um cilindro: Ab = π · r².
Área da superfície lateral de um cilindro: Al = 2 · π · r · h.
Volume de um cilindro: V = Ab · h = π · r² · h.
Secção meridiana: corte feito na “vertical”; a área desse corte será 2r · h.
Fórmulas do Prisma
O prisma é um sólido formado por laterais retangulares e duas bases. Na imagem a seguir, o prisma tem 
base retangular, sendo um paralelepípedo. O cubo é um paralelepípedo e um prisma.
Diagonal de um paralelepípedo: .
Área total de um paralelepípedo: .
Volume de um paralelepípedo: .
Prismas retos são sólidos cujas faces laterais são formadas por retângulos.
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Volume de um prisma: 
Fórmulas da Pirâmide Regular
Para uma pirâmide regular reta, temos:
Área da Base (AB): área do polígono que serve de base para a pirâmide.
Área Lateral (AL): soma das áreas das faces laterais, todas triangulares.
Área Total (AT): soma das áreas de todas as faces: AT = AB + AL.
Volume (V): V = . AB . h.
E sendo a (apótema da base), h (altura), g (apótema da pirâmide), r (raio da base), b (aresta da base) e t 
(aresta lateral), temos pela aplicação de Pitágoras nos triângulos retângulos.
h² + r² = t²
h² + a² = g²
Fórmulas do Tetraedro Regular
Para o tetraedro regular de aresta medindo a, temos:
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Altura da face = 
Altura do tetraedro = 
Área da face: AF = 
Área total: AT = 
Volume do tetraedro: 
Compreensão de estruturas lógicas
Raciocínio lógico é o modo de pensamento que elenca hipóteses, a partir delas, é possível relacionar 
resultados, obter conclusões e, por fim, chegar a um resultado final.
Mas nem todo caminho é certeiro, sendo assim, certas estruturas foram organizadas de modo a analisar a 
estrutura da lógica, para poder justamente determinar um modo, para que o caminho traçado não seja o errado. 
Veremos que há diversas estruturas para isso, que se organizam de maneira matemática.
A estrutura mais importante são as proposições.
Proposição: declaração ou sentença, que pode ser verdadeira ou falsa.
Ex.: Carlos é professor.
As proposições podem assumir dois aspectos, verdadeiro ou falso. No exemplo acima, caso Carlos seja 
professor, a proposição é verdadeira. Se fosse ao contrário, ela seria falsa.
Importante notar que a proposição deve afirmar algo, acompanhado de um verbo (é, fez, não notou e etc). 
Caso a nossa frase seja “Brasil e Argentina”, nada está sendo afirmado, logo, a frase não é uma proposição.
Há também o caso de certas frases que podem ser ou não proposições, dependendo do contexto. A frase 
“N>3” só pode ser classificada como verdadeira ou falsa caso tenhamos algumas informações sobre N, caso 
contrário, nada pode ser afirmado. Nestes casos, chamamos estas frases de sentenças abertas, devido ao seu 
caráter imperativo.
O processo matemático em volta do raciocínio lógico nos permite deduzir diversas relações entre declarações, 
assim, iremos utilizar alguns símbolos e letras de forma a exprimir estes encadeamentos.
As proposições podem ser substituídas por letras minúsculas (p.ex.: a, b, p, q, …)
Seja a proposição p: Carlos é professor
Uma outra proposição q: A moeda do Brasil é o Real
É importante lembrar que nosso intuito aqui é ver se a proposição se classifica como verdadeira ou falsa.
Podemos obter novas proposições relacionando-as entre si. Por exemplo, podemos juntar as proposições p 
e q acima obtendo uma única proposição “Carlos é professor e a moeda do Brasil é o Real”. 
Nos próximos exemplos, veremos como relacionar uma ou mais proposições através de conectivos.
Existem cinco conectivos fundamentais, são eles:
^: e (aditivo) conjunção
Posso escrever “Carlos é professor e a moeda do Brasil é o Real”, posso escrever p ^ q.
v: ou (um ou outro) ou disjunção
p v q: Carlos é professor ou a moeda do Brasil é o Real
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: “ou” exclusivo (este ou aquele, mas não ambos) ou disjunção exclusiva (repare o ponto acima do conec-
tivo).
p v q: Ou Carlos é professor ou a moeda do Brasil é o Real (mas nunca ambos)
¬ ou ~: negação
~p: Carlos não é professor
->: implicação ou condicional (se… então…)
p -> q: Se Carlos é professor, então a moeda do Brasil é o Real
⇔: Se, e somente se (ou bi implicação) (bicondicional)
p ⇔ q: Carlos é professor se, e somente se, a moeda do Brasil é o Real
Vemos que, mesmo tratando de letras e símbolos, estas estruturas se baseiam totalmente na nossa lingua-
gem, o que torna mais natural decifrar esta simbologia.
Por fim, a lógica tradicional segue três princípios. Podem parecer princípios tolos, por serem óbvios, mas 
pensemos aqui, que estamos estabelecendo as regras do nosso jogo, então é primordial que tudo esteja extre-
mamente estabelecido.
1 – Princípio da Identidade
p=p
Literalmente, estamos afirmando que uma proposição é igual (ou equivalente) a ela mesma.
2 – Princípio da Não contradição
p = q v p ≠ q
Estamos estabelecendo que apenas uma coisa pode acontecer às nossas proposições. Ou elas são iguais 
ou são diferentes, ou seja, não podemos ter que uma proposição igual e diferente a outra ao mesmo tempo.
3 – Princípio do Terceiro excluído
p v ¬ p
Por fim, estabelecemos que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa, não havendo mais nenhuma opção, 
ou seja, excluindo uma nova (como são duas, uma terceira) opção).
DICA: Vimos então as principais estruturas lógicas, como lidamos com elas e quais as regras para jogarmos 
este jogo. Então, escreva várias frases, julgue se são proposições ou não e depois tente traduzi-las para a lin-
guagem simbólica que aprendemos.
Lógica de argumentação (analogias, inferências, deduções e conclusões)
Quando falamos sobre lógica de argumentação, estamos nos referindo ao processo de argumentar, ou seja, 
através de argumentos é possível convencer sobre a veracidade de certo assunto.
No entanto, a construção desta argumentação não é necessariamente correta. Veremos alguns casos de 
argumentação, e como eles podem nos levar a algumas respostas corretas e outras falsas.
Analogias: Argumentação pela semelhança (analogamente)
Todo ser humano é mortal
Sócrates é um ser humano
Logo Sócrates é mortal
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Inferências: Argumentar através da dedução
Se Carlos for professor, haverá aula
Se houve aula, então significa que Carlos é professor, caso contrário, então Carlos não é professor
Deduções: Argumentar partindo do todo e indo a uma parte específica
Roraima fica no Brasil
A moeda do Brasil é o Real
Logo, a moeda de Roraima é o Real
Indução: É a argumentação oposta a dedução, indo de uma parte específica e chegando ao todo
Todo professor usa jaleco
Todo médico usa jaleco
Então todo professor é médico
Vemos que nem todas as formas de argumentação são verdades universais, contudo, estão estruturadas de 
forma a parecerem minimamente convincentes. Para isso, devemos diferenciar uma argumentação verdadeira 
de uma falsa. Quando a argumentação resultar num resultado falso, chamaremos tal argumentação de sofismo25.
No sofismo temos um encadeamento lógico, no entanto, esse encadeamento se baseia em algumas sutilezas 
que nos conduzem a resultados falsos. Por exemplo:
A água do mar é feita de água e sal
A bolacha de água e sal é feita de água e sal
Logo, a bolacha de água e sal é feita de mar (ou o mar é feito de bolacha)
Esta argumentação obviamente é falsa, mas está estruturada de forma a parecer verdadeira, principalmente 
se vista com pressa.
Convidamos você, caro leitor, para refletir sobreoutro exemplo de sofismo:
Queijo suíço tem buraco
Quanto mais queijo, mais buraco
Quanto mais buraco, menos queijo
Então quanto mais queijo, menos queijo?
25 O termo sofismo vem dos Sofistas, pensadores não alinhados aos movimentos platônico e aristotélico na 
Grécia dos séculos V e IV AEC, sendo considerados muitas vezes falaciosos por essas linhas de pensamento. 
Desta forma, o termo sofismo se refere a quando a estrutura foge da lógica tradicional e se obtém uma conclu-
são falsa.
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Diagramas lógicos
Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas. É uma ferramenta para resolvermos 
problemas que envolvam argumentos dedutivos, as quais as premissas deste argumento podem ser formadas 
por proposições categóricas. 
ATENÇÃO: É bom ter um conhecimento sobre conjuntos para conseguir resolver questões que en-
volvam os diagramas lógicos.
Vejamos a tabela abaixo as proposições categóricas:
TIPO PREPOSIÇÃO DIAGRAMAS
A
TODO 
A é B
Se um elemento pertence ao conjunto A, então pertence 
também a B.
E
NENHUM
A é B
Existe pelo menos um elemento que pertence a A, então não per-
tence a B, e vice-versa.
I
ALGUM 
A é B
Existe pelo menos um elemento comum aos conjuntos A e B.
Podemos ainda representar das seguintes formas:
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O
ALGUM 
A NÃO é B
Perceba-se que, nesta sentença, a atenção está sobre o(s) elemen-
to (s) de A que não são B (enquanto que, no “Algum A é B”, a aten-
ção estava sobre os que eram B, ou seja, na intercessão).
Temos também no segundo caso, a diferença entre conjuntos, que 
forma o conjunto A - B
Exemplo: 
(GDF–ANALISTA DE ATIVIDADES CULTURAIS ADMINISTRAÇÃO – IADES) Considere as proposições: 
“todo cinema é uma casa de cultura”, “existem teatros que não são cinemas” e “algum teatro é casa de cultura”. 
Logo, é correto afirmar que 
(A) existem cinemas que não são teatros. 
(B) existe teatro que não é casa de cultura. 
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. 
(D) existe casa de cultura que não é cinema. 
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema.
Resolução:
Vamos chamar de:
Cinema = C
Casa de Cultura = CC
Teatro = T
Analisando as proposições temos:
- Todo cinema é uma casa de cultura 
- Existem teatros que não são cinemas
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73
- Algum teatro é casa de cultura
Visto que na primeira chegamos à conclusão que C = CC
Segundo as afirmativas temos:
(A) existem cinemas que não são teatros- Observando o último diagrama vimos que não é uma verdade, 
pois temos que existe pelo menos um dos cinemas é considerado teatro.
(B) existe teatro que não é casa de cultura. – Errado, pelo mesmo princípio acima. 
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. – Errado, a primeira proposição já nos afirma o con-
trário. O diagrama nos afirma isso
(D) existe casa de cultura que não é cinema. – Errado, a justificativa é observada no diagrama da alternativa 
anterior.
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema. – Correta, que podemos observar no diagrama 
abaixo, uma vez que todo cinema é casa de cultura. Se o teatro não é casa de cultura também não é cinema.
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Resposta: E
Exercícios
1. PREFEITURA DE ITATIBA/SP - PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁSICA - AVANÇA SP/2020
No que se refere aos Conjuntos Numéricos, julgue os itens a seguir e, ao final, assinale a alternativa correta:
I – Reúnem diversos conjuntos cujos elementos são quase todos números.
II – São formados por números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
III – O ramo da Matemática que estuda os conjuntos numéricos é a Teoria dos Sistemas.
(A) Apenas o item I é verdadeiro.
(B) Apenas o item II é verdadeiro.
(C) Apenas o item III é verdadeiro.
(D) Apenas os itens I e III são verdadeiros.
(E) Todos os itens são verdadeiros.
2. PREFEITURA DE ARAPONGAS/PR - FISCAL AMBIENTAL - FAFIPA/2020
O conjunto dos números reais (R) é formado pela união de outros conjuntos numéricos: naturais (N), inteiros 
(Z), racionais (Q) e irracionais. Das alternativas a seguir, qual representa um conjunto de múltiplos de um nú-
mero real e, ao mesmo tempo, um subconjunto dos números naturais?
(A) {1, 5, 7, 9, 11, 13}.
(B) {−1, 5, −7, 9, −11, 13}.
(C) {1, −5, 7, −9, 11, −13}.
(D) {⋯ , 27, 36, 45, 54, 63, 72, ⋯ }.
(E) {1, 5, 7, −9, −11, −13}.
3. PREFEITURA DE MINISTRO ANDREAZZA/RO - AGENTE ADMINISTRATIVO - IBADE/2020
Em uma determinada loja de departamentos, o fogão custava R$ 400,00. Após negociação o vendedor 
aplicou um desconto de R$ 25,00. O valor percentual de desconto foi de:
(A) 5,57%
(B) 8,75%
(C) 12,15%
(D) 6,25%
(E) 6,05%
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4. ALEPI - CONSULTOR LEGISLATIVO - COPESE - UFPI/2020
Marina comprou 30% de uma torta de frango e 80% de um bolo em uma padaria. Após Marina deixar a 
padaria, Pedro comprou o que sobrou da torta de frango por 14 reais e o que sobrou do bolo por 6 reais, o valor 
que Marina pagou em reais é:
(A) 28
(B) 30
(C) 32
(D) 34
(E) 36
5. PREFEITURA DE PIRACICABA/SP - PROFESSOR - VUNESP/2020
Do número total de candidatos inscritos em um processo seletivo, apenas 30 não compareceram para a 
realização da prova. Se o número de candidatos que fizeram a prova representa 88% do total de inscritos, então 
o número de candidatos que realizaram essa prova é
(A) 320.
(B) 300.
(C) 250.
(D) 220.
(E) 200.
6. PREFEITURA DE PIRACICABA/SP - PROFESSOR - VUNESP/2020
Uma escola tem aulas nos períodos matutino e vespertino. Nessa escola, estudam 400 alunos, sendo o 
número de alunos do período vespertino igual a 2/3 do número de alunos do período matutino. A razão entre o 
número de alunos do período vespertino e o número total de alunos dessa escola é:
(A) 1/4
(B) 1/3
(C) 2/5
(D) 3/5
(E) 2/3
7. UEPA - TÉCNICO DE NÍVEL SUPERIOR - FADESP/2020
Doze funcionários de um escritório de contabilidade trabalham 8 horas por dia, durante 25 dias, para atender a 
um certo número de clientes. Se dois funcionários adoecem e precisam ser afastados por tempo indeterminado, 
o total de dias que os funcionários restantes levarão para atender ao mesmo número de pessoas, trabalhando 
2 horas a mais por dia, no mesmo ritmo de trabalho, será de:
(A) 23 dias.
(B) 24 dias.
(C) 25 dias.
(D) 26 dias.
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8. COMUR DE NOVO HAMBURGO/RS - AGENTE DE ATENDIMENTO E VENDAS - FUNDATEC/2021 Qual 
o resultado da equação de primeiro grau 2x - 7 = 28 - 5x?
(A) 3.
(B) 5.
(C) 7.
(D) -4,6.
(E) Não é possível resolver essa equação.
9. PREFEITURA DE MARECHAL CÂNDIDO RONDON/PR - ARQUITETO - INSTITUTO UNIFIL/2021
Considerando a equação do segundo grau {2x2 – 9x + 7 = 0}, assinale a alternativa que representa o 
resultado do produto das raízes desta equação.
(A) 5,0
(B) 4,6
(C) 4,4
(D) 3,5
10. PREFEITURA DE VILA VELHA/ES - PROFESSOR - IBADE/2020
A cidade de Vila Velha é separada da capital, Vitória, pela Baía de Vitória, mas unidas por pontes. A maior 
delas é a monumental, Terceira Ponte, com 3,33 km de extensão, um cartão postal das duas cidades.
O comprimento da ponte, em metros, corresponde a:
(A) 0,333
(B) 33,3
(C) 333
(D) 3.330
(E) 33.300
11. CREFONO - 1ª REGIÃO - AGENTE FISCAL - QUADRIX/2020
Com base nessa situação hipotética, julgue o item.
Supondo-se que um cachorro de pequeno porte precise de 600 mL de água por dia para se manter hidratado 
e que 1 g de água ocupe o volume de 1 cm3, é correto afirmar que a quantidade de água necessária para um 
cachorro de pequeno porte se manter hidratado é superior a meio quilo.
( ) CERTO 
( ) ERRADO
12. AVAREPREV/SP - OFICIAL DE MANUTENÇÃO E SERVIÇOS - VUNESP/2020
A capacidade de uma caixa d´água é de 8,5 m³. Essa capacidade em litros é de:
(A) 8,5.
(B) 85.
(C) 850.
(D) 8500.
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13. PREFEITURA DE TAUBATÉ/SP - ESCRITURÁRIO - VUNESP/2022
Um mestre de obras precisa de um pedaço de madeira cortada em formato de triângulo retângulo, com o 
maior lado medindo 37 cm, e o menor lado medindo 12 cm. O perímetro desse pedaço de madeira triangular 
deve ser de:
(A) 81 cm.
(B) 82 cm.
(C) 83 cm.
(D) 84 cm.
(E) 85 cm.
14. CÂMARA DE IPIRANGA DO NORTE/MT - ASSISTENTE ADMINISTRATIVO - OBJETIVA/2022
Um terreno retangular com comprimento de 16m e largura de 12m será dividido ao meio por uma de suas 
diagonais. Supondo-se que será utilizado uma cerca para fazer essa divisão, ao todo, quantos metros de cerca 
serão necessários?
(A) 18m
(B) 20m
(C) 22m
(D) 24m
15. SEED/PR - PROFESSOR - CESPE/CEBRASPE/2021
Considere o número complexo 2+4i / 7+xi em que i é a unidade imaginária tal que i² = –1. Caso esse número 
complexo tenha a parte imaginária igual a zero, então o valor de x é igual a:
(A) –7.
(B) –1.
(C) 14.
(D) 4.
(E) 13.
16. IBGE – 2022- Sabendo que o valor lógico da proposição simples p: “Carlos acompanhou o trabalho da 
equipe” é verdadeira e que o valor lógico da proposição simples q: “O recenseador visitou todos os locais” é 
falso, então é correto afirmar que o valor lógico da proposição composta:
(A) p disjunção q é falso
(B) p conjunção q é falso
(C) p condicional q é verdade
(D) p bicondicional q é verdade
(E) p disjunção exclusiva q é falso
17 PC – BA- “O acidente foi investigado e o autor foi encontrado”. De acordo com a lógica proposicional, a 
negação da frase é descrita como:
(A) “o acidente não foi investigado e o autor não foi encontrado”
(B) “o acidente não foi investigado ou o autor não foi encontrado”
(C) “o acidente não foi investigado e o autor foi encontrado”
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(D) “o acidente foi investigado e o autor não foi encontrado”
(E) “o acidente não foi investigado ou o autor foi encontrado”
18. CRF – GO 2022- Julgue o item:
A frase “Dois mil mais vinte mais dois” não é uma proposição.
( ) CERTO 
( ) ERRADO
19. IBGE – 2022 De acordo com a proposição lógica a frase “Se o coordenador realizou a previsão orça-
mentária, então o trabalho foi realizado com sucesso” é equivalente a frase:
(A) Se o coordenador não realizou a previsão orçamentária, então o trabalho não foi realizado com sucesso.
(B) O coordenador realizou a previsão orçamentária e o trabalho foi realizado com sucesso.
(C) O coordenador realizou a previsão orçamentária ou o trabalho foi realizado com sucesso.
(D) Se o trabalho não foi realizado com sucesso, então o coordenador não realizou a previsão orçamentária.
(E) Se o trabalho foi realizado com sucesso, então o coordenador realizou a previsão orçamentária.
20 Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para 
a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrên-
cia de A Assim quando C ocorre,
(A) D ocorre e B não ocorre
(B) D não ocorre ou A não ocorre
(C) B e A ocorrem
(D) Nem B nem D ocorrem
(E) B não ocorre ou A não ocorre
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Gabarito
1 B
2 D
3 D
4 B
5 D
6 C
7 B
8 B
9 D
10 D
11 CERTO
12 D
13 D
14 B
15 C
16 B
17 B
18 CERTO
19 D
20 C
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