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PREFEITURA DE OLINDA-PE
Guarda Civil
Raciocínio Lógico/Matemática
Raciocínio lógico. Noções de lógica. .............................................................................. 1
Conjuntos numéricos: números naturais, inteiros e racionais ........................................ 11
Operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão. Resolução de 
problemas ....................................................................................................................... 16
Regra de três simples..................................................................................................... 20
Porcentagem .................................................................................................................. 21
Geometria básica ........................................................................................................... 24
Sistema monetário brasileiro .......................................................................................... 32
Sistema de medidas: comprimento, superfície, volume, massa, capacidade e
tempo.............................................................................................................................. 35
Fundamentos de Estatística ........................................................................................... 41
Exercícios ....................................................................................................................... 48
Gabarito .......................................................................................................................... 52
Apostila gerada especialmente para: Jhenyffer Biankha 112.950.164-78
1
Raciocínio lógico. Noções de lógica
 
Raciocínio lógico é o modo de pensamento que elenca hipóteses, a partir delas, é possível relacionar 
resultados, obter conclusões e, por fim, chegar a um resultado final.
Mas nem todo caminho é certeiro, sendo assim, certas estruturas foram organizadas de modo a analisar a 
estrutura da lógica, para poder justamente determinar um modo, para que o caminho traçado não seja o errado. 
Veremos que há diversas estruturas para isso, que se organizam de maneira matemática.
A estrutura mais importante são as proposições.
Proposição: declaração ou sentença, que pode ser verdadeira ou falsa.
Ex.: Carlos é professor.
As proposições podem assumir dois aspectos, verdadeiro ou falso. No exemplo acima, caso Carlos seja 
professor, a proposição é verdadeira. Se fosse ao contrário, ela seria falsa.
Importante notar que a proposição deve afirmar algo, acompanhado de um verbo (é, fez, não notou e etc). 
Caso a nossa frase seja “Brasil e Argentina”, nada está sendo afirmado, logo, a frase não é uma proposição.
Há também o caso de certas frases que podem ser ou não proposições, dependendo do contexto. A frase 
“N>3” só pode ser classificada como verdadeira ou falsa caso tenhamos algumas informações sobre N, caso 
contrário, nada pode ser afirmado. Nestes casos, chamamos estas frases de sentenças abertas, devido ao seu 
caráter imperativo.
O processo matemático em volta do raciocínio lógico nos permite deduzir diversas relações entre declarações, 
assim, iremos utilizar alguns símbolos e letras de forma a exprimir estes encadeamentos.
As proposições podem ser substituídas por letras minúsculas (p.ex.: a, b, p, q, …)
Seja a proposição p: Carlos é professor
Uma outra proposição q: A moeda do Brasil é o Real
É importante lembrar que nosso intuito aqui é ver se a proposição se classifica como verdadeira ou falsa.
Podemos obter novas proposições relacionando-as entre si. Por exemplo, podemos juntar as proposições p 
e q acima obtendo uma única proposição “Carlos é professor e a moeda do Brasil é o Real”. 
Nos próximos exemplos, veremos como relacionar uma ou mais proposições através de conectivos.
Existem cinco conectivos fundamentais, são eles:
^: e (aditivo) conjunção
Posso escrever “Carlos é professor e a moeda do Brasil é o Real”, posso escrever p ^ q.
v: ou (um ou outro) ou disjunção
p v q: Carlos é professor ou a moeda do Brasil é o Real
: “ou” exclusivo (este ou aquele, mas não ambos) ou disjunção exclusiva (repare o ponto acima do 
conectivo).
p v q: Ou Carlos é professor ou a moeda do Brasil é o Real (mas nunca ambos)
¬ ou ~: negação
~p: Carlos não é professor
->: implicação ou condicional (se… então…)
p -> q: Se Carlos é professor, então a moeda do Brasil é o Real
⇔: Se, e somente se (ou bi implicação) (bicondicional)
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p ⇔ q: Carlos é professor se, e somente se, a moeda do Brasil é o Real
Vemos que, mesmo tratando de letras e símbolos, estas estruturas se baseiam totalmente na nossa lingua-
gem, o que torna mais natural decifrar esta simbologia.
Por fim, a lógica tradicional segue três princípios. Podem parecer princípios tolos, por serem óbvios, mas 
pensemos aqui, que estamos estabelecendo as regras do nosso jogo, então é primordial que tudo esteja extre-
mamente estabelecido.
1 – Princípio da Identidade
p=p
Literalmente, estamos afirmando que uma proposição é igual (ou equivalente) a ela mesma.
2 – Princípio da Não contradição
p = q v p ≠ q
Estamos estabelecendo que apenas uma coisa pode acontecer às nossas proposições. Ou elas são iguais 
ou são diferentes, ou seja, não podemos ter que uma proposição igual e diferente a outra ao mesmo tempo.
3 – Princípio do Terceiro excluído
p v ¬ p
Por fim, estabelecemos que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa, não havendo mais nenhuma opção, 
ou seja, excluindo uma nova (como são duas, uma terceira) opção).
DICA: Vimos então as principais estruturas lógicas, como lidamos com elas e quais as regras para jogarmos 
este jogo. Então, escreva várias frases, julgue se são proposições ou não e depois tente traduzi-las para a lin-
guagem simbólica que aprendemos.
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO
Quando falamos sobre lógica de argumentação, estamos nos referindo ao processo de argumentar, ou seja, 
através de argumentos é possível convencer sobre a veracidade de certo assunto.
No entanto, a construção desta argumentação não é necessariamente correta. Veremos alguns casos de 
argumentação, e como eles podem nos levar a algumas respostas corretas e outras falsas.
Analogias: Argumentação pela semelhança (analogamente)
Todo ser humano é mortal
Sócrates é um ser humano
Logo Sócrates é mortal
Inferências: Argumentar através da dedução
Se Carlos for professor, haverá aula
Se houve aula, então significa que Carlos é professor, caso contrário, então Carlos não é professor
Deduções: Argumentar partindo do todo e indo a uma parte específica
Roraima fica no Brasil
A moeda do Brasil é o Real
Logo, a moeda de Roraima é o Real
Indução: É a argumentação oposta a dedução, indo de uma parte específica e chegando ao todo
Todo professor usa jaleco
Todo médico usa jaleco
Então todo professor é médico
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Vemos que nem todas as formas de argumentação são verdades universais, contudo, estão estruturadas de 
forma a parecerem minimamente convincentes. Para isso, devemos diferenciar uma argumentação verdadeira 
de uma falsa. Quando a argumentação resultar num resultado falso, chamaremos tal argumentação de sofismo1.
No sofismo temos um encadeamento lógico, no entanto, esse encadeamento se baseia em algumas sutilezas 
que nos conduzem a resultados falsos. Por exemplo:
A água do mar é feita de água e sal
A bolacha de água e sal é feita de água e sal
Logo, a bolacha de água e sal é feita de mar (ou o mar é feito de bolacha)
Esta argumentação obviamente é falsa, mas está estruturada de forma a parecer verdadeira, principalmente 
se vista com pressa.
Convidamos você, caro leitor, para refletir sobre outro exemplo de sofismo:
Queijo suíço tem buraco
Quanto mais queijo, mais buraco
Quanto mais buraco, menos queijo
Então quanto mais queijo, menos queijo?
LÓGICA SENTENCIAL(OU PROPOSICIONAL)
A lógica proposicional é baseada justamente nas proposições e suas relações. Podemos ter dois tipos de 
proposições, simples ou composta.
Em geral, uma proposição simples não utiliza conectivos (e; ou; se; se, e somente se). Enquanto a proposi-
ção composta são duas ou mais proposições (simples) ligadas através destes conectivos.
Mas às vezes uma proposição composta é de difícil análise. “Carlos é professor e a moeda do Brasil é o 
Real”. Se Carlos não for professor e a moeda do Brasil for o real, a proposição composta é verdadeira ou falsa? 
Temos uma proposição verdadeira e falsa? Como podemos lidar com isso?
A melhor maneira de analisar estas proposições compostas é através de tabelas-verdades.
A tabela verdade é montada com todas as possibilidades que uma proposição pode assumir e suas com-
binações. Se quiséssemos saber sobre uma proposição e sua negativa, teríamos a seguinte tabela verdade:
p ~p
V F
F V
A tabela verdade de uma conjunção (p ^ q) é a seguinte:
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Todas as tabelas verdades são as seguintes:
p q p ^ q p v q p -> q p ⇔q p v. q
1 O termo sofismo vem dos Sofistas, pensadores não alinhados aos movimentos platônico e aristotélico na 
Grécia dos séculos V e IV AEC, sendo considerados muitas vezes falaciosos por essas linhas de pensamento. 
Desta forma, o termo sofismo se refere a quando a estrutura foge da lógica tradicional e se obtém uma conclu-
são falsa.
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V V V V V V F
V F F V F F V
F V F V V F V
F F F F V V F
Note que quando tínhamos uma proposição, nossa tabela verdade resultou em uma tabela com 2 linhas e 
quando tínhamos duas proposições nossa tabela era composta por 4 linhas.
A fórmula para o número de linhas se dá através de 2^n, onde n é o número de proposições.
Se tivéssemos a seguinte tabela verdade:
p q r p v q -> r
Mesmo sem preenchê-la, podemos afirmar que ela terá 2³ linhas, ou seja, 8 linhas.
Mais um exemplo:
p q p -> q ~p ~q ~q -> ~p
V V V F F V
V F F F V F
F V V V F V
F F V V V V
Note que o resultado de p->q é igual a ~q -> ~p (V-F-F-V). Quando isso acontece, diremos que as proposi-
ções compostas são logicamente equivalentes (iguais).
Outro exemplo de como a tabela verdade pode nos ajudar a resolver certas proposições mais complicadas: 
Quero saber os resultados para a proposição composta (p^q) -> pvq. O que vamos fazer primeiro é montar a 
tabela verdade para p^q e pvq. 
p q p^q p v q
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F
Agora que sabemos como nossos elementos se comportam, vamos relacionar com p->q:
p q p->q
V V V
V F F
F V V
F F V
Desta forma, sabemos que a implicação que relaciona V com V resulta em V, e V com F resulta em F, e assim 
por diante.
Podemos então agora montar nossa tabela completa com todas estas informações:
p q p^q pvp p->q (p^q) -> pvq
V V V V V V
V F F V F V
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F V F V V V
F F F F V V
O processo pode parecer trabalhoso, mas a prática faz com que seja rápida a montagem destas tabelas, 
chegando rapidamente na análise da questão e com seu resultado prontamente obtido.
Geralmente, não é simples construir uma tabela verdade, algumas relações podem facilitar as análises. Uma 
delas são as Leis de Morgan, que negam algumas relações. São elas:
– 1ª lei de Morgan: ¬(p^q) = (¬p) v (¬q)
– 2ª lei de Morgan: ¬(p v q) = (¬p) ^ (¬q)
Vejamos o exemplo para decifrar o que dizem estas leis:
p: Carlos é professor
q: a moeda do Brasil é o Real
Então, através de Morgan, negar p ^ q (Carlos é professor E a moeda do Brasil é o Real,) equivale a dizer, 
Carlos não é professor OU a moeda do Brasil não é o real
Da mesma forma, negar p v q (Carlos é professor OU a moeda do Brasil é o Real) equivale a Carlos não é 
professor E a moeda do Brasil não é o Real.
Estas leis podem parecer abstratas mas através da prática é possível familiarizar-se com elas, já que são 
importantes aliadas para resolver diversas questões.
TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA
Quando uma expressão sempre apresenta a coluna resultado na tabela verdade como verdadeira, ela é 
chamada de tautologia. Na mesma linha de pensamento, podemos denominar uma expressão como uma 
contradição quando sua tabela verdade sempre resulta em falso. Por fim, são denominadas como contingência, 
as expressões que não são nem tautologias nem contradições, ou seja, que apresentam tanto resultados 
verdadeiros quanto falsos.
Vejamos a seguinte tabela verdade:
p q (p^q)->(p v q) ~(pvq) ^ (p^q) (pvq) -> (p^q)
V V V F V
V F V F F
F V V F F
F F V F V
Nesta tabela, temos que as proposições compostas: 
(p^q)->(p v q) é uma tautologia, pois sua tabela verdade é toda verdadeira.
~(pvq)^(p^q) é uma contradição, pois sua tabela verdade é toda falsa.
(pvq)->(p^q) é uma contingência, pois sua tabela verdade não é toda verdadeira nem toda falsa.
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM (OU LÓGICA DE PREDICADOS)
Uma certa evolução de uma lógica sentencial é a lógica de primeira ordem ou lógica de predicados, onde 
além dos conectivos, estão presente os quantificadores (com expressões como qualquer e algum, por exem-
plo)2.
Esta forma de raciocinar segue os mesmos preceitos que a lógica com conectivos (e, ou, ou exclusivo, im-
plicação, …), tendo também novos símbolos, que são:
∀: qualquer, todo
∀x(A(x) -> B(x))
2 Dizemos que a lógica de primeira ordem é uma extensão da lógica sentencial.
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Para todo elemento, se pertence a A, pertence a B.
∃: existe, algum, pelo menos um
∃x(A(x)^B(X): existe elemento que pertence a A e a B
∄: Não existe, nenhum
Nenhum A é B = Todo A é não B
A negativa de tais estruturas não são tão diretas como às apresentadas nas Leis de Morgan. A negativa de 
∃ (existe,) é ∄ (não existe), mas a negativa de ∄ pode ser ∃ ou ∀ (para todo), assim como a negativa de ∀ pode 
ser tanto ∃ e ∄, por isso, cada caso deve ser analisado atentamente.
Tendo elencado estas novas estruturas, basta construirmos tabelas verdade com elas, para resolvermos 
questões.
Repare que agora estamos trabalhando não só com o aspecto verdadeiro/falso mas com a ideia de quanti-
dade (existe um, todo, nenhum), então nosso estudo das afirmações devem levar em consideração estas novas 
peculiaridades.
RACIOCÍNIO VERBAL 
O raciocínio verbal lida com problemas de lógica quase que totalmente escritos, abordando geralmente a 
negação de certas frases que podem parecer óbvias mas que muitas vezes nos pregam peças.
Podemos nos perguntar se a lógica, em geral, não é estabelecer símbolos para traduzir estas frases. Sim! A 
diferença é que negar certas frases podem fazer sentido verbalmente, mas devemos nos ater a lógica em si e 
buscar então absorver isso ao nosso raciocínio.
Uma importante ferramenta neste momento são as Leis de Morgan:
1ª lei de Morgan
¬(p ∧ q) = (¬p) ∨ (¬q)
2ª lei de Morgan
¬(p ∨ q) = (¬p) ∧ (¬q)
Exemplo:
p: João dirige
q: a capital do mundo é Itapeva.
p ∧ q: João dirige e a capital do mundo é Itapeva.
Vamos negar esta proposição. Num primeiro momento, podemos estar inclinados a responder que a negativa 
seria João não dirige e a capital do mundo não é Itapeva. Mas a 1ª Lei de Morgan nos sinaliza que está errado3. 
Devemos, negar as proposições simples e trocar o nosso conectivo. Se estava e, agora precisa estar ou.
Assim, a negação da frase seria: João não dirige ou a capital do mundo não é Itapeva. Diferença sutil, mas 
muito importante.
p ∨ q: João dirige ou a capital do mundo é Itapeva
Vamos novamente negar esta frase. Da mesma forma da anterior, nosso senso pode nos levar a responder 
que a negação seria João não dirige ou a capital do mundo é Itapeva. Mais uma vez, pela 2ª Lei de Morgan, 
temos que a negação se trata de João não dirige e a capital do mundo não é Itapeva.
Podemos então estabelecer que para negar logicamente uma frase verbal, devemos não só negar suas 
partes, mas também inverter seu conectivo.Se antes estava e, deve se tornar ou na negação. Igualmente, se 
antes estava ou, deve se tornar e.
Outra negativa importante, não abordada diretamente pelas Leis de Morgan, é a negativa de “se…então…”.
Se João dirige, então a capital do mundo é Itapeva.
3 Repare que as Leis de Morgan se tratam de equivalências lógicas. Caso se interesse em ver essas igual-
dades, veja o tópico equivalências lógicas.
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Como iremos negar esta proposição? A ideia aqui é manter a primeira proposição e negar a segunda, 
retirando os termos “se” e “então”. Ficamos então com a negativa: João dirige e a capital do mundo não é 
Itapeva.
Neste exemplo, vemos que essa questão é menos intuitiva comparada àquelas que são abordadas pelas 
Leis de Morgan, mas novamente, sendo bem absorvidas, farão sentido e evitarão erros na resolução das 
questões.
RACIOCÍNIO ESPACIAL E TEMPORAL
Existem tipos de questões de lógica que envolvem situações específicas que necessitam de algo a mais 
para resolver do que somente as tabelas verdade. Um exemplo disso são questões envolvendo espaço (posi-
ção, fila e tamanho e etc.) e tempo (horas, dias, calendário e etc.).
Não há uma forma de elaborar estratégias específicas para a resolução de questões deste tipo, então iremos 
fornecer alguns exemplos para inspirar quais análises podem ser feitas.
Exemplos:
1 – Em um determinado ano, o mês de setembro teve 5 sábados e 5 domingos. Rodrigo faz aniversário no 
dia 1º de setembro. Em qual dia da semana foi o seu aniversário esse ano?
Aqui, temos um exercício lidando com tempo. Neste caso, estamos lidando com calendário, envolvendo dias 
de um mês. Numa primeira vista, esta questão pode parecer muito difícil de resolver, pois, aparentemente, há 
informações faltando. Mas vamos ver como proceder na análise:
1º) Vamos nos atentar que setembro possui 30 dias;
2º) Dessa forma, dividindo este valor por 7, descobrimos quantas semanas há nesse mês: 30 : 7 = 4 (e sobra 
2).
3º) Assim, esse mês terá 4 semanas e mais dois dias.
4º) Se o mês começasse numa quinta-feira, teríamos então:
4 domingos
4 segundas
4 terças
4 quartas
4 quintas
5 sextas
5 sábados
5º) No exemplo acima, para dar 5 sextas e 5 sábados, o mês começou numa quinta. Assim, para termos 5 
sábados e 5 domingos, o mês deve começar numa sexta.
6º) Como o aniversário de Rodrigo é no dia 1º de setembro, então seu aniversário será numa sexta-feira
---
2 – Observando o calendário de 2021, temos que o dia 23 de outubro caiu em um sábado. Sabendo que o 
ano de 2020 foi o último ano bissexto, o dia 23 de outubro de 2024 cairá em uma:
Vamos operar de maneira semelhante à questão anterior:
1º) Vamos dividir 365 (dias por ano) por 7 (dias por semana) para vermos quantas semanas temos no ano
365 : 7 = 52 (sobra 1)
2º) A divisão acima nos diz que a cada ano, avançamos um dia. Ou seja, se o dia 1º de janeiro de 2023 foi 
num domingo, em 2024 será numa segunda.
3º) Devemos analisar também o ano bissexto, pois nestes anos, há um dia a mais, então seria para dividirmos 
366 por 7.
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366 : 7 = 52 (sobra 2)
4º) O último ano bissexto foi em 2020, então o próximo será em 2024. Nos anos bissextos, fevereiro ganha 
um dia a mais.
5º) Temos então que de 2021 para 2024:
2021 2022: +1 dia na semana
2022 2023: +1 dia na semana
2023 2024: +2 dias na semana
= +4 dias na semana
6º) Como o dia 23 de outubro de 2021 caiu num sábado, o dia 23 de outubro de 2024 cairá 4 dias da semana 
depois, ou seja, numa quarta.
– Lembrando: calendário e horas
Janeiro – 31 dias
Fevereiro – 28* dias
Março – 31 dias
Abril – 30 dias
Maio – 31 dias
Junho – 30 dias
Julho – 31 dias
Agosto – 31 dias
Setembro – 30 dias
Outubro – 31 dias
Novembro – 30 dias
Dezembro – 31 dias
*Os anos bissextos acontecem a cada 4 anos (múltiplos de 4 como 2000, 2004, 2008, 2012, 2016, 2020, 
2024, 2028, …) e nestes anos fevereiro possui 29 dias.
1 dia = 24 horas
1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos
3 – Ana, Bela, Carla e Dora estão sentadas em volta de uma mesa quadrada em cadeiras numeradas de 1 
a 4, como mostra a figura a seguir:
Sabe-se que:
– Ana não está em frente a Bela.
– Bela tem Carla a sua esquerda.
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– Ana e Dora estão nas cadeiras pares.
Onde cada uma está sentada?
Vamos proceder com a seguinte análise:
1º) Como Ana não está na frente a Bela, então elas estão uma do lado da outra.
2º) Bela tem Carla a sua esquerda.
Então ela tem a Ana a sua direita.
E por fim, Dora está a sua frente.
3º) Ana e Dora estão nas cadeiras pares
Se Ana estiver na cadeira 2, temos a configuração:
1 – Carla 2 – Ana 3 – Bela 4 – Dora
Se Ana estiver na cadeira na cadeira 4, temos a configuração
1 – Dora 2 – Bela 3 – Carla 4 – Ana
Mas essa opção não é possível, pois Ana e Dora estão nas pares.
Logo, estão sentadas Carla na cadeira 1, Ana na cadeira 2, Bela na cadeira 3 e Dora na cadeira 4.
---
Vemos que cabe ao candidato uma certa criatividade aliada ao raciocínio para abordar as questões. Não há 
nada muito complexo, mas deve ser cuidadosamente vista para evitar deslizes e más interpretações.
LÓGICA SEQUENCIAL
A lógica sequencial envolve a percepção e interpretação de objetos que induzem a uma sequência, buscan-
do reconhecer essa sequência e estabelecer sucessores a este objeto.
Muitas vezes essas questões vêm atreladas com aspectos aritméticos (sequências numéricas) ou geometria 
(construção de certas figuras).
Não há como sistematizar este assunto, então iremos ver alguns exemplos para nos inspirar para que bus-
quemos resolver demais questões.
Exemplos:
1 – A sequência de números a seguir foi construída com um padrão lógico e é uma sequência ilimitada:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 40, …
A partir dessas informações, identifique o termo da posição 74 e o termo da posição 95. Qual a soma destes 
dois termos?
Vamos analisar esta sequência dada:
1º) Vemos que a sequência vai de 6 em 6 termos e pula para a dezena seguinte
Os primeiros 6 termos vão de 0 a 5
Do 7º termo ao 12º termo: 10 a 15
13º termo ao 18º termo: 20 a 25
2º) Vemos que o padrão segue a tabuada do 6
6 x 1 = 6 (0 até 5)
6 x 2 = 12 (10 até 15)
6 x 3 = 18 (20 até 25)
3º) O número que está multiplicando o 6 menos uma unidade representa a dezena que estamos começando 
a contar:
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10
6 x 1 1 - 1 = 0 (0 até 5)
6 x 2 2 - 1 = 1 (10 até 15)
6 x 3 3 - 1 = 2 (20 até 25)
4º) Se dividirmos 74 por 6 e 95 por 6 descobriremos seus valores
74 : 6 = 12 (sobra 2)
95 : 6 = 15 (sobra 5)
5º) O termo 74 então está dois termos após 6 x 12
6 x 12 12 - 1 = 11 (110 até 115)
Então o termo 74 está no intervalo entre 120 até 125
O 74º termo é o número 121
6º) Da mesma forma, 95 está 5 após 6 x 15
6 x 15 15 - 1 = 14 (140 até 145)
O termo 95 está no intervalo entre 150 até 155
O 95º termo é o número 154
7º) Somando 121 + 154 = 275
2. Analise a sequência a seguir:
4; 7; 13; 25; 49
Admitindo-se que a regularidade dessa sequência permaneça a mesma para os números seguintes, é 
correto afirmar que o sétimo termo será igual a?
1º) Do primeiro termo para o segundo, estamos somando 3.
2º) Do segundo termo para o terceiro, estamos somando 6.
3º) Do terceiro termo para o quarto, estamos somando 12.
4º) Do quarto termo para o quinto, estamos somando 24.
5º) Podemos estabelecer o padrão que estamos multiplicando a soma anterior por 2.
6º) Assim, do quinto termo para o sexto, estaríamos somando 48. E do sexto para o sétimo estaríamos 
somando 96
7º) Dessa forma, basta somarmos 49 com 48 e 96: 49 + 48 + 96 = 193
3 – Observe a sequência:
O padrão de formação dessa sequência permanece para as figuras seguintes. Desse modo, a figura que 
deve ocupar a 131ª posição na sequência é idêntica à qual figura?1º) Vemos que o padrão retorna para a origem a cada 7 termos.
2º) Os termos 14, 21, 28, 35, …, irão ser os mesmos que o padrão da 7ª figura.
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11
3º) Os termos 8, 15, 22, 29, 36, …, irão ser os mesmos que o padrão da 1ª figura.
4º) Vamos então dividir 131 por 7 para descobrir essa equivalência.
131 : 7 = 18 (sobra 5)
5º) Justamente essa sobra, 5, será a posição equivalente.
Assim, a figura da 131ª posição é idêntica a figura da 5ª posição
 
Conjuntos numéricos: números naturais, inteiros e racionais
— Conjuntos Numéricos
O grupo de termos ou elementos que possuem características parecidas, que são similares em sua nature-
za, são chamados de conjuntos. Quando estudamos matemática, se os elementos parecidos ou com as mes-
mas características são números, então dizemos que esses grupos são conjuntos numéricos4.
Em geral, os conjuntos numéricos são representados graficamente ou por extenso – forma mais comum em 
se tratando de operações matemáticas. Quando os representamos por extenso, escrevemos os números entre 
chaves {}. Caso o conjunto seja infinito, ou seja, tenha incontáveis números, os representamos com reticências 
depois de colocar alguns exemplos. Exemplo: N = {0, 1, 2, 3, 4…}.
Existem cinco conjuntos considerados essenciais, pois eles são os mais usados em problemas e questões 
no estudo da Matemática. São eles: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais.
Conjunto dos Números Naturais (N)
O conjunto dos números naturais é representado pela letra N. Ele reúne os números que usamos para contar 
(incluindo o zero) e é infinito. Exemplo:
N = {0, 1, 2, 3, 4…}
Além disso, o conjunto dos números naturais pode ser dividido em subconjuntos:
N* = {1, 2, 3, 4…} ou N* = N – {0}: conjunto dos números naturais não nulos, ou sem o zero.
Np = {0, 2, 4, 6…}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.
Ni = {1, 3, 5, 7..}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.
P = {2, 3, 5, 7..}: conjunto dos números naturais primos.
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros é representado pela maiúscula Z, e é formado pelos números inteiros ne-
gativos, positivos e o zero. Exemplo: Z = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4…}
O conjunto dos números inteiros também possui alguns subconjuntos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos.
Z- = {…-4, -3, -2, -1, 0}: conjunto dos números inteiros não positivos.
Z*+ = {1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos e não nulos, ou seja, sem o zero.
Z*- = {… -4, -3, -2, -1}: conjunto dos números inteiros não positivos e não nulos.
Conjunto dos Números Racionais (Q)
Números racionais são aqueles que podem ser representados em forma de fração. O numerador e o deno-
minador da fração precisam pertencer ao conjunto dos números inteiros e, é claro, o denominador não pode ser 
zero, pois não existe divisão por zero.
4 https://matematicario.com.br/
Apostila gerada especialmente para: Jhenyffer Biankha 112.950.164-78
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O conjunto dos números racionais é representado pelo Q. Os números naturais e inteiros são subconjuntos 
dos números racionais, pois todos os números naturais e inteiros também podem ser representados por uma 
fração. Além destes, números decimais e dízimas periódicas também estão no conjunto de números racionais.
Vejamos um exemplo de um conjunto de números racionais com 4 elementos:
Qx = {-4, 1/8, 2, 10/4}
Também temos subconjuntos dos números racionais:
Q* = subconjunto dos números racionais não nulos, formado pelos números racionais sem o zero.
Q+ = subconjunto dos números racionais não negativos, formado pelos números racionais positivos.
Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos e não nulos.
Q- = subconjunto dos números racionais não positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.
Q*- = subconjunto dos números racionais negativos, formado pelos números racionais negativos e não nulos.
Conjunto dos Números Irracionais (I)
O conceito de números irracionais é dependente da definição de números racionais. Assim, pertencem ao 
conjunto dos números irracionais os números que não pertencem ao conjunto dos racionais.
Em outras palavras, ou um número é racional ou é irracional. Não há possibilidade de pertencer aos dois 
conjuntos ao mesmo tempo. Por isso, o conjunto dos números irracionais é complementar ao conjunto dos nú-
meros racionais dentro do universo dos números reais.
Outra forma de saber quais números formam o conjunto dos números irreais é saber que os números irracio-
nais não podem ser escritos em forma de fração. Isso acontece, por exemplo, com decimais infinitos e raízes 
não exatas.
Os decimais infinitos são números que têm infinitas casas decimais e que não são dízimas periódicas. Como 
exemplo, temos 0,12345678910111213, π, √3 etc.
Conjunto dos Números Reais (R)
O conjunto dos números reais é representado pelo R e é formado pela junção do conjunto dos números 
racionais com o conjunto dos números irracionais. Não esqueça que o conjunto dos racionais é a união dos 
conjuntos naturais e inteiros. Podemos dizer que entre dois números reais existem infinitos números.
Entre os conjuntos números reais, temos:
R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.
R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.
R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.
R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.
R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos.
— Múltiplos e Divisores
Os conceitos de múltiplos e divisores de um número natural estendem-se para o conjunto dos números in-
teiros5. Quando tratamos do assunto múltiplos e divisores, referimo-nos a conjuntos numéricos que satisfazem 
algumas condições. Os múltiplos são encontrados após a multiplicação por números inteiros, e os divisores são 
números divisíveis por um certo número.
Devido a isso, encontraremos subconjuntos dos números inteiros, pois os elementos dos conjuntos dos múl-
tiplos e divisores são elementos do conjunto dos números inteiros. Para entender o que são números primos, é 
necessário compreender o conceito de divisores.
5 https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm
Apostila gerada especialmente para: Jhenyffer Biankha 112.950.164-78
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Múltiplos de um Número
Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, o número a é múltiplo de b se, e somente se, existir um nú-
mero inteiro k tal que a = b · k. Desse modo, o conjunto dos múltiplos de a é obtido multiplicando a por todos os 
números inteiros, os resultados dessas multiplicações são os múltiplos de a.
Por exemplo, listemos os 12 primeiros múltiplos de 2. Para isso temos que multiplicar o número 2 pelos 12 
primeiros números inteiros, assim:
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Portanto, os múltiplos de 2 são:
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Observe que listamos somente os 12 primeiros números, mas poderíamos ter listado quantos fossem neces-
sários, pois a lista de múltiplos é dada pela multiplicação de um número por todos os inteiros. Assim, o conjunto 
dos múltiplos é infinito.
Para verificar se um número é ou não múltiplo de outro, devemos encontrar um número inteiro de forma que 
a multiplicação entre eles resulte no primeiro número. Veja os exemplos:
– O número 49 é múltiplo de 7, pois existe número inteiro que, multiplicado por 7, resulta em 49.
49 = 7 · 7
– O número 324 é múltiplo de 3, pois existe número inteiro que, multiplicado por 3, resulta em 324.
324 = 3 · 108
– O número 523 não é múltiplo de 2, pois não existe número inteiro que, multiplicado por 2, resulte em 523.
523 = 2 · ?”
• Múltiplos de 4
Como vimos, para determinar os múltiplos do número 4, devemos multiplicar o número 4 por números intei-
ros. Assim:
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3= 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
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14
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
Portanto, os múltiplos de 4 são:
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
Divisores de um Número
Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, vamos dizer que b é divisor de a se o número b for múltiplo 
de a, ou seja, a divisão entre b e a é exata (deve deixar resto 0).
Veja alguns exemplos:
– 22 é múltiplo de 2, então, 2 é divisor de 22.
– 63 é múltiplo de 3, logo, 3 é divisor de 63.
– 121 não é múltiplo de 10, assim, 10 não é divisor de 121.
Para listar os divisores de um número, devemos buscar os números que o dividem. Veja:
– Liste os divisores de 2, 3 e 20.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1, 3}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Observe que os números da lista dos divisores sempre são divisíveis pelo número em questão e que o maior 
valor que aparece nessa lista é o próprio número, pois nenhum número maior que ele será divisível por ele.
Por exemplo, nos divisores de 30, o maior valor dessa lista é o próprio 30, pois nenhum número maior que 
30 será divisível por ele. Assim:
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.
Propriedade dos Múltiplos e Divisores
Essas propriedades estão relacionadas à divisão entre dois inteiros. Observe que quando um inteiro é múl-
tiplo de outro, é também divisível por esse outro número.
Considere o algoritmo da divisão para que possamos melhor compreender as propriedades.
N = d · q + r, em que q e r são números inteiros.
Lembre-se de que:
N: dividendo; 
d, divisor; 
q: quociente; 
r: resto.
– Propriedade 1: A diferença entre o dividendo e o resto (N – r) é múltipla do divisor, ou o número d é divisor 
de (N – r).
– Propriedade 2: (N – r + d) é um múltiplo de d, ou seja, o número d é um divisor de (N – r + d).
Veja o exemplo:
Ao realizar a divisão de 525 por 8, obtemos quociente q = 65 e resto r = 5. 
Assim, temos o dividendo N = 525 e o divisor d = 8. Veja que as propriedades são satisfeitas, pois (525 – 5 
+ 8) = 528 é divisível por 8 e:
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15
528 = 8 · 66
— Números Primos
Os números primos são aqueles que apresentam apenas dois divisores: um e o próprio número6. Eles fazem 
parte do conjunto dos números naturais.
Por exemplo, 2 é um número primo, pois só é divisível por um e ele mesmo.
Quando um número apresenta mais de dois divisores eles são chamados de números compostos e podem 
ser escritos como um produto de números primos.
Por exemplo, 6 não é um número primo, é um número composto, já que tem mais de dois divisores (1, 2 e 
3) e é escrito como produto de dois números primos 2 x 3 = 6.
Algumas considerações sobre os números primos:
– O número 1 não é um número primo, pois só é divisível por ele mesmo;
– O número 2 é o menor número primo e, também, o único que é par;
– O número 5 é o único número primo terminado em 5;
– Os demais números primos são ímpares e terminam com os algarismos 1, 3, 7 e 9.
Uma maneira de reconhecer um número primo é realizando divisões com o número investigado. Para facili-
tar o processo, veja alguns critérios de divisibilidade:
– Divisibilidade por 2: todo número cujo algarismo da unidade é par é divisível por 2;
– Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 
3;
– Divisibilidade por 5: um número será divisível por 5 quando o algarismo da unidade for igual a 0 ou 5.
Se o número não for divisível por 2, 3 e 5 continuamos as divisões com os próximos números primos meno-
res que o número até que:
– Se for uma divisão exata (resto igual a zero) então o número não é primo.
– Se for uma divisão não exata (resto diferente de zero) e o quociente for menor que o divisor, então o nú-
mero é primo.
– Se for uma divisão não exata (resto diferente de zero) e o quociente for igual ao divisor, então o número é 
primo.
Exemplo: verificar se o número 113 é primo.
Sobre o número 113, temos:
– Não apresenta o último algarismo par e, por isso, não é divisível por 2;
– A soma dos seus algarismos (1+1+3 = 5) não é um número divisível por 3;
– Não termina em 0 ou 5, portanto não é divisível por 5.
Como vimos, 113 não é divisível por 2, 3 e 5. Agora, resta saber se é divisível pelos números primos menores 
que ele utilizando a operação de divisão.
Divisão pelo número primo 7:
6 https://www.todamateria.com.br/o-que-sao-numeros-primos/
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Divisão pelo número primo 11:
Observe que chegamos a uma divisão não exata cujo quociente é menor que o divisor. Isso comprova que 
o número 113 é primo.
Operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão. Resolução de 
problemas
As operações matemáticas abrangem os cálculos que são utilizados para a resolução das equações. Basi-
camente têm-se a adição, a subtração, a divisão e a multiplicação, que, apesar de abrangerem um raciocínio 
simples, são de suma importância para realização de qualquer cálculo matemático, como por exemplo, na ta-
buada. As escolas já apresentam esses conteúdos nas séries iniciais e à medida que os alunos vão avançando 
compreendem os conceitos mais complexos.
Adição
Na adição existe o cálculo de adicionar números naturais a outros. Essa operação matemática também é 
conhecida popularmente como soma. O resultado final da adição é chamado de total ou soma e os números 
utilizados são as parcelas. O operador aritmético, ou seja, o sinal que indica o seu cálculo é o (+). Observe o 
exemplo:
6 (parcela) + 2 (parcela) = 8 (soma ou total)
As propriedades da adição são:
- Elemento neutro: zero, ou seja, qualquer número somado a zero terá como resultado ele mesmo. Ex.: 6 + 
0 = 6.
- Comutatividade: a ordem de duas parcelas não altera o resultado final. Ex.: 8 + 2 = 10 e 2 + 8 = 10.
- Associatividade: a ordem de mais de duas parcelas também não altera o resultado, mas é necessário 
considerar a regra do uso dos parênteses, que significa que deve-se iniciar a adição a partir do que está dentro 
deles. Ex.: 8 + (2 + 1) = 11 e (8 + 2) + 1 = 11.
- Números negativos e positivos: os números positivos e negativos podem ser somados, mas existem algu-
mas regras que devem ser consideradas. Quando os números possuem sinais diferentes (negativos e positi-
vos) o resultado acompanhará o sinal do número maior. Ex.: (-3) + 4 = 1. Já no caso de dois números negativos, 
o resultado também será negativo. Ex.: (-8) + (-7) = - 1.
Subtração
A subtração abrange a redução de um número por outro. Os seus elementos são: minuendo, subtraendo e 
diferença ou resto. O (-) é o sinal utilizado na operação. Veja o exemplo:
8 (minuendo) – 2 (subtraendo) = 6 (diferença ou resto)
As propriedades da subtração são:
- O resultado é alterado no caso de mudança na ordem de apresentação dos valores, e nesse caso a dife-
rença terá o sinal trocado. Ex.: 8 - 2 = 6 é diferente de 2 - 8 = -6.
- Não existe elemento neutro.
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Multiplicação
A Multiplicação está intimamente relacionada à adição, pois pode-se dizer que ela é a soma de um número 
pela quantidade de vezes que deverá ser multiplicado. O símbolo mais conhecido é o (x), mas muitas pessoas 
utilizam o (*) ou (.) para representar essa operação. Os nomes dados aos seus elementos são fatores e produ-
tos. Vejamos um exemplo:
4 (fator) x 4 (fator) = 16 (produto)
Observe que o exemplo também poderia ser representado: 4 + 4 + 4 + 4 = 16.
As propriedades da Multiplicação são:
- Comutatividade: a ordem dos fatores não altera o produto. Ex.: 4 x 2 = 8 e 2 x 4 = 8.
- Associatividade: quando tem mais de dois fatores não importa a sua ordem, pois o resultado será o mes-
mo. Ex.: (3 x 5) x 2 = 30 ou 3 x (5 x 2) = 30
- Distributividade: quando temos que multiplicar e somar devemos iniciar o cálculo pela multiplicação, mes-
mo que a soma esteja dentrode parênteses. Ex.: 2 x (3 + 3) = (2 x 3) + (2 x 3) = 6 + 6 = 12.
- Elemento neutro: número 1, sendo que qualquer número multiplicado por ele resultará nele mesmo.
Divisão
Nessa operação é possível dividir dois números em partes iguais. Essa operação tem os seguintes elemen-
tos: dividendo, divisor, quociente e resto. O sinal utilizado é (÷), mas podemos ver também os sinais (/) ou (:). 
Observe o exemplo:
31 (dividendo) ÷ 2 (divisor) = 15 (quociente) 1 (resto)
Ao dividir 31 por 2 não temos um resultado exato, sendo assim, temos o 15 como quociente e 1 de resto. 
As propriedades da divisão são as seguintes:
- A ordem dos elementos altera o resultado final, pois não é comutativa. Ex.: 8 ÷ 2 = 4 é diferente de 2 ÷ 8 
= 0,25.
- Não é associativa; na divisão os parênteses devem ser resolvidos primeiro. Ex.: (6 ÷ 3) ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 1 é 
diferente de 6 ÷ (3 ÷ 3) = 6 ÷ 1 = 6.
- Elemento neutro: número 1, ou seja, o valor dividido por ele terá como resultado ele mesmo.
- Números positivos e negativos: os sinais interferem no resultado final, sendo assim, quando forem iguais 
ele fica positivo, mas quando forem diferentes ele ficará negativo. Ex.: +10 ÷ +5 = +2; -10 ÷ -5 = +2; +10 ÷ -5 = 
-2.
Vale destacar que essas são as operações matemáticas mais básicas. Apesar disso, elas são utilizadas na 
realização de diversas outras operações, como, por exemplo, soma de frações e subtração de frações.
Fonte: Disponível em: https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/operacoes-matematicas. 
Acesso em: 16.fev.2023.
PROBLEMAS COM AS QUATRO OPERAÇÕES
Os cálculos desse tipo de problemas, envolvem adições e subtrações, posteriormente as multiplicações 
e divisões. Depois os problemas são resolvidos com a utilização dos fundamentos algébricos, isto é, criamos 
equações matemáticas com valores desconhecidos (letras). Observe algumas situações que podem ser descri-
tas com utilização da álgebra.
É bom ter mente algumas situações que podemos encontrar:
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Exemplos:
(PREF. GUARUJÁ/SP – SEDUC – PROFESSOR DE MATEMÁTICA – CAIPIMES) Sobre 4 amigos, sabe-
-se que Clodoaldo é 5 centímetros mais alto que Mônica e 10 centímetros mais baixo que Andreia. Sabe-se 
também que Andreia é 3 centímetros mais alta que Doralice e que Doralice não é mais baixa que Clodoaldo. Se 
Doralice tem 1,70 metros, então é verdade que Mônica tem, de altura:
(A) 1,52 metros.
(B) 1,58 metros.
(C) 1,54 metros.
(D) 1,56 metros.
Resolução:
Escrevendo em forma de equações, temos:
C = M + 0,05 ( I )
C = A – 0,10 ( II )
A = D + 0,03 ( III )
D não é mais baixa que C
Se D = 1,70 , então:
( III ) A = 1,70 + 0,03 = 1,73
( II ) C = 1,73 – 0,10 = 1,63
( I ) 1,63 = M + 0,05
M = 1,63 – 0,05 = 1,58 m
Resposta: B
(CEFET – AUXILIAR EM ADMINISTRAÇÃO – CESGRANRIO) Em três meses, Fernando depositou, ao 
todo, R$ 1.176,00 em sua caderneta de poupança. Se, no segundo mês, ele depositou R$ 126,00 a mais do que 
no primeiro e, no terceiro mês, R$ 48,00 a menos do que no segundo, qual foi o valor depositado no segundo 
mês?
(A) R$ 498,00
(B) R$ 450,00
(C) R$ 402,00
(D) R$ 334,00
(E) R$ 324,00
Resolução:
Primeiro mês = x
Segundo mês = x + 126
Terceiro mês = x + 126 – 48 = x + 78
Total = x + x + 126 + x + 78 = 1176 
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3.x = 1176 – 204
x = 972 / 3
x = R$ 324,00 (1º mês)
* No 2º mês: 324 + 126 = R$ 450,00
Resposta: B
(PREFEITURA MUNICIPAL DE RIBEIRÃO PRETO/SP – AGENTE DE ADMINISTRAÇÃO – VUNESP) 
Uma loja de materiais elétricos testou um lote com 360 lâmpadas e constatou que a razão entre o número de 
lâmpadas queimadas e o número de lâmpadas boas era 2 / 7. Sabendo-se que, acidentalmente, 10 lâmpadas 
boas quebraram e que lâmpadas queimadas ou quebradas não podem ser vendidas, então a razão entre o 
número de lâmpadas que não podem ser vendidas e o número de lâmpadas boas passou a ser de
(A) 1 / 4.
(B) 1 / 3.
(C) 2 / 5.
(D) 1 / 2.
(E) 2 / 3.
Resolução: 
Chamemos o número de lâmpadas queimadas de ( Q ) e o número de lâmpadas boas de ( B ). Assim:
B + Q = 360 , ou seja, B = 360 – Q ( I )
 , ou seja, 7.Q = 2.B ( II )
Substituindo a equação ( I ) na equação ( II ), temos:
7.Q = 2. (360 – Q)
7.Q = 720 – 2.Q
7.Q + 2.Q = 720
9.Q = 720
Q = 720 / 9
Q = 80 (queimadas)
Como 10 lâmpadas boas quebraram, temos:
Q’ = 80 + 10 = 90 e B’ = 360 – 90 = 270
Resposta: B
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Regra de três simples
Regra de Três Simples
A regra de três simples funciona na relação de apenas duas grandezas, que podem ser diretamente ou 
inversamente proporcionais. 
Exemplo 1: Para fazer um bolo de limão utiliza-se 250 ml do suco da fruta. Porém, foi feito uma encomenda 
de 6 bolos. Quantos limões serão necessários?
Reparem que as grandezas são diretamente proporcionais, já que o aumento no pedido de bolos pede uma 
maior quantidade de limões. Logo, o valor desconhecido é determinado pela multiplicação cruzada:
x = 250 . 6
x = 1500 ml de suco
Exemplo 2: Um carro com velocidade de 120 km/h percorre um trajeto em 2 horas. Se a velocidade for 
reduzida para 70 km/h, em quanto tempo o veículo fará o mesmo percurso?
Observa-se que neste exemplo teremos uma regra de três simples inversa, uma vez que ao diminuirmos 
a velocidade do carro o tempo de deslocamento irá aumentar. Então, pela regra, uma das razões deverá ser 
invertida e transformada em direta.
70x = 120 . 2
70x = 240
x = 240/70 
x = 3,4 h
Regra de Três Composta
A regra de três composta é a razão e proporção entre três ou mais grandezas diretamente ou inversamente 
proporcionais, ou seja, as relações que aparecem em mais de duas colunas.
Exemplo: Uma loja demora 4 dias para produzir 160 peças de roupas com 8 costureiras. Caso 6 funcionárias 
estiverem trabalhando, quantos dias levará para a produção de 300 peças?
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Inicialmente, deve-se analisar cada grandeza em relação ao valor desconhecido, isto é:
- Relacionando os dias de produção com a quantidade de peças, percebe-se que essas grandezas são 
diretamente proporcionais, pois aumentando o número de peças cresce a necessidade de mais dias de trabalho. 
- Relacionando a demanda de costureiras com os dias de produção, observa-se que aumentando a quantidade 
de peças o quadro de funcionárias também deveria aumentar. Ou seja, as grandezas são inversamente 
proporcionais. 
Após análises, organiza-se as informações em novas colunas:
4/x = 160/300 . 6/8
4/x = 960/2400
960x = 2400 . 4
960x = 9600
 x = 9600/960 
x = 10 dias
Porcentagem
A porcentagem representa uma razão cujo denominador é 100, ou seja, .
O termo por cento é abreviado usando o símbolo %, que significa dividir por 100 e, por isso, essa razão 
também é chamada de razão centesimal ou percentual7.
Saber calcular porcentagem é importante para resolver problemas matemáticos, principalmente na 
matemática financeira para calcular descontos, juros, lucro, e assim por diante.
— Calculando Porcentagem de um Valor
Para saber o percentual de um valor basta multiplicar a razão centesimal correspondente à porcentagem 
pela quantidade total.
Exemplo: para descobrir quanto é 20% de 200, realizamos a seguinte operação:
Generalizando, podemos criar uma fórmula para conta de porcentagem:
7 https://www.todamateria.com.br/calcular-porcentagem/
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Se preferir, você pode fazer o cálculo de porcentagem da seguinte forma:
1º passo: multiplicar o percentual pelo valor.
20 x 200 = 4.000
2º passo: dividir o resultado anterior por 100.
Calculando Porcentagem de Forma Rápida
Alguns cálculos podem levar muito tempo na hora de fazer uma prova. Pensando nisso, trouxemos dois 
métodos que te ajudarão a fazer porcentagem de maneira mais rápida.
Método 1: Calcular porcentagem utilizando o 1%
Você também tem como calcular porcentagemrapidamente utilizando o correspondente a 1% do valor.
Vamos continuar usando o exemplo do 20% de 200 para aprender essa técnica.
1º passo: dividir o valor por 100 e encontrar o resultado que representa 1%.
2º passo: multiplicar o valor que representa 1% pela porcentagem que se quer descobrir.
2 x 20 = 40
Chegamos mais uma vez à conclusão que 20% de 200 é 40.
Método 2: Calcular porcentagem utilizando frações equivalentes
As frações equivalentes representam a mesma porção do todo e podem ser encontradas dividindo o 
numerador e o denominador da fração pelo mesmo número natural.
Veja como encontrar a fração equivalente de .
Se a fração equivalente de é , então para calcular 20% de um valor basta dividi-lo por 5. Veja 
como fazer:
— Calcular porcentagem de aumentos e descontos
Aumentos e descontos percentuais podem ser calculados utilizando o fator de multiplicação ou fator 
multiplicativo.
Apostila gerada especialmente para: Jhenyffer Biankha 112.950.164-78
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Essa fórmula é diferente para acréscimo e decréscimo no preço de um produto, ou seja, o resultado será 
fatores diferentes.
Fator multiplicativo para aumento em um valor
Quando um produto recebe um aumento, o fator de multiplicação é dado por uma soma.
Fator de multiplicação = 1 + i.
Exemplo: Foi feito um aumento de 25% em uma mercadoria que custava R$ 100. O valor final da mercadoria 
pode ser calculado da seguinte forma:
1º passo: encontrar a taxa de variação.
2º passo: aplicar a taxa na fórmula do fator multiplicativo.
Fator de multiplicação = 1 + 0,25.
Fator de multiplicação = 1,25.
3º passo: multiplicar o valor inicial pelo fator multiplicativo.
100 x 1,25 = 125 reais.
Um acréscimo de 25% fará com que o valor final da mercadoria seja R$ 125.
Fator multiplicativo para desconto em um valor
Para calcular um desconto de um produto, a fórmula do fator multiplicativo envolve uma subtração.
Fator de multiplicação = 1 - 0,25.
Exemplo: Ao aplicar um desconto de 25% em uma mercadoria que custa R$ 100, qual o valor final da 
mercadoria?
1º passo: encontrar a taxa de variação.
2º passo: aplicar a taxa na fórmula do fator multiplicativo.
Fator de multiplicação = 1 - 0,25.
Fator de multiplicação = 0,75.
3º passo: multiplicar o valor inicial pelo fator multiplicativo.
100 x 0,75 = 75 reais.
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Geometria básica
A geometria é uma área da matemática que estuda as formas geométricas desde comprimento, área e volu-
me8. O vocábulo geometria corresponde a união dos termos “geo” (terra) e “metron” (medir), ou seja, a “medida 
de terra”.
A Geometria é dividida em três categorias:
- Geometria Analítica; 
- Geometria Plana;
- Geometria Espacial;
Assim, a geometria analítica, também chamada de geometria cartesiana, une conceitos de álgebra e 
geometria através dos sistemas de coordenadas. Os conceitos mais utilizados são o ponto e a reta.
Enquanto a geometria plana ou euclidiana reúne os estudos sobre as figuras planas, ou seja, as que não 
apresentam volume, a geometria espacial estuda as figuras geométricas que possuem volume e mais de uma 
dimensão.
— Geometria Plana
É a área da matemática que estuda as formas que não possuem volume. Triângulos, quadriláteros, retângulos, 
circunferências são alguns exemplos de figuras de geometria plana (polígonos)9.
Para geometria plana, é importante saber calcular a área, o perímetro e o(s) lado(s) de uma figura a partir 
das relações entre os ângulos e as outras medidas da forma geométrica. 
Algumas fórmulas de geometria plana:
— Teorema de Pitágoras
Uma das fórmulas mais importantes para esta frente matemática é o Teorema de Pitágoras.
Em um triângulo retângulo (com um ângulo de 90º), a soma dos quadrados dos catetos (os “lados” que 
formam o ângulo reto) é igual ao quadrado da hipotenusa (a aresta maior da figura).
Teorema de Pitágoras: a² + b² = c²
— Lei dos Senos
Lembre-se que o Teorema de Pitágoras é válido apenas para triângulos retângulos. A lei dos senos e lei dos 
cossenos existe para facilitar os cálculos para todos os tipos de triângulos.
Veja a fórmula abaixo. Onde a, b e c são lados do triângulo.
Para qualquer triângulo ABC inscrito em uma circunferência de centro O e raio R, temos que:
8 https://www.todamateria.com.br/matematica/geometria/#:~:text=A%20geometria%20%C3%A9%20
uma%20%C3%A1rea,Geometria%20Anal%C3%ADtica
9 https://bityli.com/BMvcWO
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— Lei dos Cossenos
A lei dos cossenos pode ser utilizada para qualquer tipo de triângulo, mesmo que ele não tenha um ângulo 
de 90º. Basta conhecer o cosseno de um dos ângulos e o valor de dois lados (arestas) do triângulo.
Veja a fórmula abaixo. Onde a, b e c são lados do triângulo.
Para qualquer triângulo ABC, temos que:
— Relações Métricas do Triângulo Retângulo
As relações trigonométricas no triângulo retângulo são fórmulas simplificadas. Elas podem facilitar a resolução 
das questões em que o Teorema de Pitágoras é aplicável.
Para um triângulo retângulo, sua altura relativa à hipotenusa e as projeções ortogonais dos catetos, temos 
o seguinte:
- Onde a é hipotenusa;
- b e c são catetos;
- m e n são projeções ortogonais;
- h é altura.
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— Teorema de Tales
O Teorema de Tales é uma propriedade para retas paralelas.
Se as retas CC’, BB’ e AA’ são paralelas, então:
— Fórmulas Básicas de Geometria Plana
Polígonos
O perímetro é a soma de todos os lados da figura, ou seja, o comprimento do polígono.
Onde A é a área da figura, veja as principais fórmulas:
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Fórmulas da Circunferência
Conversão para radiano, comprimento e área do círculo:
Conversão de unidades: π rad corresponde a 180°.
Comprimento de uma circunferência: C = 2 · π · R.
Área de uma circunferência: A = π · R²
— Geometria Espacial 
É a frente matemática que estuda a geometria no espaço. Ou seja, é o estudo das formas que possuem três 
dimensões: comprimento, largura e altura.
Apenas as figuras de geometria espacial têm volume.
Uma das primeiras figuras geométricas que você estuda em geometria espacial é o prisma. Ele é uma 
figura formada por retângulos, e duas bases. Outros exemplos de figuras de geometria espacial são cubos, 
paralelepípedos, pirâmides, cones, cilindros e esferas. Veja a aula de Geometria espacial sobre prisma e esfera.
— Fórmulas de Geometria Espacial
Fórmula do Poliedro: Relação de Euler
Para saber a quantidade de vértices e arestas de uma figura espacial, utilize a Relação de Euler:
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Onde V é o número de vértices, F é a quantidade de faces e A é a quantidade de arestas, temos:
V + F = A + 2
Fórmulas da Esfera
Fórmulas do Cone
Onde r é o raio da base, g é a geratriz e H é a altura.
Área lateral do cone: Š = π · R . g
Área da base do cone: A = π · R²
Área da superfície total do cone: S = Š + A
Volume do cone: V = 1/3 . A . H
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Fórmulas do cilindro
Área da base de um cilindro: Ab = π · r².
Área da superfície lateral de um cilindro: Al = 2 · π · r · h.
Volume de um cilindro: V = Ab · h = π · r² · h.
Secção meridiana: corte feito na “vertical”; a área desse corte será 2r · h.
Fórmulas do Prisma
O prisma é um sólido formado por laterais retangulares e duas bases. Na imagem a seguir, o prisma tem 
base retangular, sendo um paralelepípedo. O cubo é um paralelepípedo e um prisma.
Diagonal de um paralelepípedo: 
Área total de um paralelepípedo: .
Volume de um paralelepípedo: .
Prismas retos são sólidos cujas faces laterais são formadas por retângulos.
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Volume de um prisma: 
Fórmulas da Pirâmide Regular
Para uma pirâmide regular reta, temos:
Área da Base (AB): área do polígono que serve de basepara a pirâmide.
Área Lateral (AL): soma das áreas das faces laterais, todas triangulares.
Área Total (AT): soma das áreas de todas as faces: AT = AB + AL.
Volume (V): V = . AB . h.
E sendo a (apótema da base), h (altura), g (apótema da pirâmide), r (raio da base), b (aresta da base) e t 
(aresta lateral), temos pela aplicação de Pitágoras nos triângulos retângulos.
h² + r² = t²
h² + a² = g²
Fórmulas do Tetraedro Regular
Para o tetraedro regular de aresta medindo a, temos:
Altura da face = 
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Altura do tetraedro = 
Área da face: AF = 
Área total: AT = 
Volume do tetraedro: 
— Geometria Analítica
A geometria analítica utiliza coordenadas e funções do plano cartesiano para solucionar perguntas 
matemáticas. É a área da matemática que relaciona a álgebra com a geometria. A álgebra utiliza variáveis para 
representar os números e u utiliza fórmulas matemáticas.
Conhecer essa frente da matemática também é importante para resolver questões de Física. Por exemplo, o 
cálculo da área em um plano cartesiano pode informar o deslocamento (ΔS) se o eixo x e o eixo y informarem 
a velocidade e o tempo.
O primeiro passo para estudar essa matéria é aprender o conceito de ponto e reta.
- Um ponto determina uma posição no espaço.
- Uma reta é um conjunto de pontos.
- Um plano é um conjunto infinito com duas dimensões.
Entender a relação entre ponto, reta e plano é importante para resolver questões com coordenadas no plano 
cartesiano, mas também para responder perguntas sobre a definição de ponto, reta e plano, e a posição relativa 
entre retas, reta e plano e planos.
Para representar um ponto (A, por exemplo) em um plano cartesiano, primeiro você deve indicar a posição 
no eixo x (horizontal) e depois no eixo y (vertical). Assim, segue as coordenadas seguem o modelo A (xa,ya).
— Equação Fundamental da Reta
A equação fundamental da reta que passa pelo ponto P (x0, y0) e tem coeficiente angular m é:
y – y0 = m . (x – x0)
Equação Reduzida e Equação Geral da Reta
• Equação reduzida: y = mx + q e m = tgα.
• Equação geral: ax + by + c = 0.
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— Distância entre Dois Pontos
O ponto médio M do segmento de extremos A(xA, yA) e B(xB, yB) é dado por:
A distância d entre os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) é dada por:
Sistema monetário brasileiro.
O primeiro dinheiro do Brasil foi à moeda-mercadoria. Durante muito tempo, o comércio foi feito por meio da 
troca de mercadorias, mesmo após a introdução da moeda de metal.
As primeiras moedas metálicas (de ouro, prata e cobre) chegaram com o início da colonização portuguesa. 
A unidade monetária de Portugal, o Real, foi usada no Brasil durante todo o período colonial. Assim, tudo se 
contava em réis (plural popular de real) com moedas fabricadas em Portugal e no Brasil. O Real (R) vigorou até 
07 de outubro de 1833. De acordo com a Lei nº 59, de 08 de outubro de 1833, entrou em vigor o Mil-Réis (Rs), 
múltiplo do real, como unidade monetária, adotada até 31 de outubro de 1942. 
No século XX, o Brasil adotou nove sistemas monetários ou nove moedas diferentes (mil-réis, cruzeiro, cru-
zeiro novo, cruzeiro, cruzado, cruzado novo, cruzeiro, cruzeiro real, real). 
Por meio do Decreto-Lei nº 4.791, de 05 de outubro de 1942, uma nova unidade monetária, o cruzeiro – Cr$ 
veio substituir o mil-réis, na base de Cr$ 1,00 por mil-réis. 
A denominação “cruzeiro” origina-se das moedas de ouro (pesadas em gramas ao título de 900 milésimos de 
metal e 100 milésimos de liga adequada), emitidas na forma do Decreto nº 5.108, de 18 de dezembro de 1926, no 
regime do ouro como padrão monetário. 
O Decreto-Lei nº 1, de 13 de novembro de 1965, transformou o cruzeiro – Cr$ em cruzeiro novo – NCr$, 
na base de NCr$ 1,00 por Cr$ 1.000. A partir de 15 de maio de 1970 e até 27 de fevereiro de 1986, a unidade 
monetária foi novamente o cruzeiro (Cr$). 
Em 27 de fevereiro de 1986, Dílson Funaro, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Cruzado (Decreto-Lei nº 
2.283, de 27 de fevereiro de 1986): o cruzeiro – Cr$ se transformou em cruzado – Cz$, na base de Cz$ 1,00 por 
Cr$ 1.000 (vigorou de 28 de fevereiro de 1986 a 15 de janeiro de 1989). Em novembro do mesmo ano, o Plano 
Cruzado II tentou novamente a estabilização da moeda. Em junho de 1987, Luiz Carlos Brésser Pereira, minis-
tro da Fazenda, anunciou o Plano Brésser: um Plano Cruzado “requentado” avaliou Mário Henrique Simonsen. 
Em 15 de janeiro de 1989, Maílson da Nóbrega, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Verão (Medida Pro-
visória nº 32, de 15 de janeiro de 1989): o cruzado – Cz$ se transformou em cruzado novo – NCz$, na base de 
NCz$ 1,00 por Cz$ 1.000,00 (vigorou de 16 de janeiro de 1989 a 15 de março de 1990). 
Em 15 de março de 1990, Zélia Cardoso de Mello, ministra da Fazenda, anunciou o Plano Collor (Medida 
Provisória nº 168, de 15 de março de 1990): o cruzado novo – NCz$ se transformou em cruzeiro – Cr$, na base 
de Cr$ 1,00 por NCz$ 1,00 (vigorou de 16 de março de 1990 a 28 de julho de 1993). Em janeiro de 1991, a 
inflação já passava de 20% ao mês, e o Plano Collor II tentou novamente a estabilização da moeda. 
A Medida Provisória nº 336, de 28 de julho de1993, transformou o cruzeiro – Cr$ em cruzeiro real – CR$, na 
base de CR$ 1,00 por Cr$ 1.000,00 (vigorou de 29 de julho de 1993 a 29 de junho de 1994). 
Apostila gerada especialmente para: Jhenyffer Biankha 112.950.164-78
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Em 30 de junho de 1994, Fernando Henrique Cardoso, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Real: o cru-
zeiro real – CR$ se transformou em real – R$, na base de R$ 1,00 por CR$ 2.750,00 (Medida Provisória nº 542, 
de 30 de junho de 1994, convertida na Lei nº 9.069, de 29 de junho de 1995). 
O artigo 10, I, da Lei nº 4.595, de 31 de dezembro de 1964, delegou ao Banco Central do Brasil competência 
para emitir papel-moeda e moeda metálica, competência exclusiva consagrada pelo artigo 164 da Constituição 
Federal de 1988. 
Antes da criação do BCB, a Superintendência da Moeda e do Crédito (SUMOC), o Banco do Brasil e o Te-
souro Nacional desempenhavam o papel de autoridade monetária. 
A SUMOC, criada em 1945 e antecessora do BCB, tinha por finalidade exercer o controle monetário. A SU-
MOC fixava os percentuais de reservas obrigatórias dos bancos comerciais, as taxas do redesconto e da assis-
tência financeira de liquidez, bem como os juros. Além disso, supervisionava a atuação dos bancos comerciais, 
orientava a política cambial e representava o País junto a organismos internacionais. 
O Banco do Brasil executava as funções de banco do governo, e o Tesouro Nacional era o órgão emissor 
de papel-moeda.
Cruzeiro
1000 réis = Cr$1(com centavos) 01.11.1942
O Decreto-Lei nº 4.791, de 05 de outubro de 1942 (D.O.U. de 06 de outubro de 1942), instituiu o Cruzeiro 
como unidade monetária brasileira, com equivalência a um mil réis. Foi criado o centavo, correspondente à 
centésima parte do cruzeiro. 
Exemplo: 4:750$400 (quatro contos, setecentos e cinquenta mil e quatrocentos réis) passou a expressar-se 
Cr$ 4.750,40 (quatro mil setecentos e cinquenta cruzeiros e quarenta centavos)
Cruzeiro
(sem centavos) 02.12.1964
A Lei nº 4.511, de 01de dezembro de1964 (D.O.U. de 02 de dezembro de 1964), extinguiu a fração do 
cruzeiro denominada centavo. Por esse motivo, o valor utilizado no exemplo acima passou a ser escrito sem 
centavos: Cr$ 4.750 (quatro mil setecentos e cinquenta cruzeiros).
Cruzeiro Novo
Cr$1000 = NCr$1(com centavos) 13.02.1967
O Decreto-Lei nº 1, de 13 de novembro de1965 (D.O.U. de 17 de novembro de 1965), regulamentado pelo 
Decreto nº 60.190, de 08 de fevereiro de1967 (D.O.U. de 09 de fevereiro de 1967), instituiu o Cruzeiro Novo 
como unidade monetária transitória, equivalente a um mil cruzeiros antigos, restabelecendo o centavo. O Con-
selho Monetário Nacional, pela Resolução nº 47, de 08 de fevereiro de 1967, estabeleceu a data de 13.02.67 
para início de vigência do novo padrão.Exemplo: Cr$ 4.750 (quatro mil, setecentos e cinquenta cruzeiros) passou a expressar-se NCr$ 4,75(quatro 
cruzeiros novos e setenta e cinco centavos).
Cruzeiro
De NCr$ para Cr$ (com centavos) 15.05.1970
A Resolução nº 144, de 31 de março de 1970 (D.O.U. de 06 de abril de 1970), do Conselho Monetário Na-
cional, restabeleceu a denominação Cruzeiro, a partir de 15 de maio de 1970, mantendo o centavo. 
Exemplo: NCr$ 4,75 (quatro cruzeiros novos e setenta e cinco centavos) passou a expressar-se Cr$ 
4,75(quatro cruzeiros e setenta e cinco centavos).
Cruzeiros 
(sem centavos) 16.08.1984
A Lei nº 7.214, de 15 de agosto de 1984 (D.O.U. de 16.08.84), extinguiu a fração do Cruzeiro denominada 
centavo. Assim, a importância do exemplo, Cr$ 4,75 (quatro cruzeiros e setenta e cinco centavos), passou a 
escrever-se Cr$ 4, eliminando-se a vírgula e os algarismos que a sucediam.
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Cruzado
Cr$ 1000 = Cz$1 (com centavos) 28.02.1986
O Decreto-Lei nº 2.283, de 27 de fevereiro de 1986 (D.O.U. de 28 de fevereiro de 1986), posteriormente 
substituído pelo Decreto-Lei nº 2.284, de 10 de março de 1986 (D.O.U. de 11 de março de 1986), instituiu o Cru-
zado como nova unidade monetária, equivalente a um mil cruzeiros, restabelecendo o centavo. A mudança de 
padrão foi disciplinada pela Resolução nº 1.100, de 28 de fevereiro de 1986, do Conselho Monetário Nacional. 
Exemplo: Cr$ 1.300.500 (um milhão, trezentos mil e quinhentos cruzeiros) passou a expressar-se Cz$ 
1.300,50 (um mil e trezentos cruzados e cinquenta centavos).
Cruzado Novo
Cz$ 1000 = NCz$1 (com centavos) 16.01.1989
A Medida Provisória nº 32, de 15 de janeiro de 1989 (D.O.U. de 16 de janeiro de 1989), convertida na Lei nº 
7.730, de 31 de janeiro de 1989 (D.O.U. de 01 de fevereiro de 1989), instituiu o Cruzado Novo como unidade 
do sistema monetário, correspondente a um mil cruzados, mantendo o centavo. A Resolução nº 1.565, de 16 de 
janeiro de 1989, do Conselho Monetário Nacional, disciplinou a implantação do novo padrão. 
Exemplo: Cz$ 1.300,50 (um mil e trezentos cruzados e cinquenta centavos) passou a expressar-se NCz$ 
1,30 (um cruzado novo e trinta centavos).
Cruzeiro
De NCz$ para Cr$ (com centavos) 16.03.1990
A Medida Provisória nº 168, de 15 de março de 1990 (D.O.U. de 16 de março de 1990), convertida na Lei 
nº 8.024, de 12 de abril de 1990 (D.O.U. de 13 de abril de 1990), restabeleceu a denominação Cruzeiro para a 
moeda, correspondendo um cruzeiro a um cruzado novo. Ficou mantido o centavo. A mudança de padrão foi 
regulamentada pela Resolução nº 1.689, de 18 de março de 1990, do Conselho Monetário Nacional.
Exemplo: NCz$ 1.500,00 (um mil e quinhentos cruzados novos) passou a expressar-se Cr$ 1.500,00 (um 
mil e quinhentos cruzeiros).
Cruzeiro Real 
Cr$ 1000 = CR$ 1 (com centavos) 01.08.1993
A Medida Provisória nº 336, de 28 de julho de 1993 (D.O.U. de 29 de julho de 1993), convertida na Lei nº 
8.697, de 27 de agosto de 1993 (D.O.U. de 28 agosto de 1993), instituiu o Cruzeiro Real, a partir de 01 de agos-
to de 1993, em substituição ao Cruzeiro, equivalendo um cruzeiro real a um mil cruzeiros, com a manutenção do 
centavo. A Resolução nº 2.010, de 28 de julho de 1993, do Conselho Monetário Nacional, disciplinou a mudança 
na unidade do sistema monetário. 
Exemplo: Cr$ 1.700.500,00 (um milhão, setecentos mil e quinhentos cruzeiros) passou a expressar-se CR$ 
1.700,50 (um mil e setecentos cruzeiros reais e cinquenta centavos).
Real
CR$ 2.750 = R$ 1(com centavos) 01.07.1994
A Medida Provisória nº 542, de 30 de junho de 1994 (D.O.U. de 30 de junho de 1994), instituiu o Real como 
unidade do sistema monetário, a partir de 01 de julho de 1994, com a equivalência de CR$ 2.750,00 (dois mil, 
setecentos e cinquenta cruzeiros reais), igual à paridade entre a URV e o Cruzeiro Real fixada para o dia 30 de 
junho de 1994. Foi mantido o centavo.
Como medida preparatória à implantação do Real, foi criada a URV - Unidade Real de Valor - prevista na Me-
dida Provisória nº 434, publicada no D.O.U. de 28 de fevereiro de 1994, reeditada com os números 457 (D.O.U. 
de 30 de março de 1994) e 482 (D.O.U. de 29 de abril de 1994) e convertida na Lei nº 8.880, de 27 de maio de 
1994 (D.O.U. de 28 de maio de 1994). 
Exemplo: CR$ 11.000.000,00 (onze milhões de cruzeiros reais) passou a expressar-se R$ 4.000,00 (quatro 
mil reais).
Apostila gerada especialmente para: Jhenyffer Biankha 112.950.164-78
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Banco Central (BC ou Bacen) - Autoridade monetária do País responsável pela execução da política finan-
ceira do governo. Cuida ainda da emissão de moedas, fiscaliza e controla a atividade de todos os bancos no 
País.
Banco Interamericano de Desenvolvimento (BID) - Órgão internacional que visa ajudar países subde-
senvolvidos e em desenvolvimento na América Latina. A organização foi criada em 1959 e está sediada em 
Washington, nos Estados Unidos.
Banco Mundial - Nome pelo qual o Banco Internacional de Reconstrução e Desenvolvimento (BIRD) é co-
nhecido. Órgão internacional ligado a ONU, a instituição foi criada para ajudar países subdesenvolvidos e em 
desenvolvimento.
Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social (BNDES) - Empresa pública federal vinculada 
ao Ministério do Desenvolvimento, Indústria e Comércio Exterior que tem como objetivo financiar empreendi-
mentos para o desenvolvimento do Brasil.
Sistema de medidas: comprimento, superfície, volume, massa, capacidade e tempo
As unidades de medida são modelos estabelecidos para medir diferentes grandezas, tais como comprimento, 
capacidade, massa, tempo e volume10.
O Sistema Internacional de Unidades (SI) define a unidade padrão de cada grandeza. Baseado no sistema 
métrico decimal, o SI surgiu da necessidade de uniformizar as unidades que são utilizadas na maior parte dos 
países.
— Medidas de Comprimento
Existem várias medidas de comprimento, como por exemplo a jarda, a polegada e o pé.
No SI a unidade padrão de comprimento é o metro (m). Atualmente ele é definido como o comprimento da 
distância percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de um segundo.
Assim, são múltiplos do metro: quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam)11.
Enquanto são submúltiplos do metro: decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).
Os múltiplos do metro são as grandes distâncias. Eles são chamados de múltiplos porque resultam de uma 
multiplicação que tem como referência o metro.
Os submúltiplos, ao contrário, como pequenas distâncias, resultam de uma divisão que tem igualmente como 
referência o metro. Eles aparecem do lado direito na tabela acima, cujo centro é a nossa medida base - o metro.
— Medidas de Capacidade
As medidas de capacidade representam as unidades usadas para definir o volume no interior de um 
recipiente12. A principal unidade de medida da capacidade é o litro (L).
O litro representa a capacidade de um cubo de aresta igual a 1 dm. Como o volume de um cubo é igual a 
medida da aresta elevada ao cubo, temos então a seguinte relação:
1 L = 1 dm³
10 https://www.todamateria.com.br/unidades-de-medida/
11 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-comprimento/
12 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-capacidade/
Apostila gerada especialmente para: Jhenyffer Biankha 112.950.164-78
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Mudança de Unidades
O litro é a unidade fundamental de capacidade. Entretanto, também é usado o quilolitro(kL), hectolitro(hL) e 
decalitro que são seus múltiplos e o decilitro, centilitro e o mililitro que são os submúltiplos.
Como o sistema padrão de capacidade é decimal, as transformações entre os múltiplos e submúltiplos são 
feitas multiplicando-se ou dividindo-se por 10.
Para transformar de uma unidade de capacidade para outra, podemos utilizar a tabela abaixo:
Exemplo: fazendo as seguintes transformações:
a) 30 mL em L
Observando a tabela acima, identificamos que para transformar de ml para L devemos dividir o número três 
vezes por 10, que é o mesmo que dividir por1000. Assim, temos:
30 : 1000 = 0,03 L
Note que dividir por 1000 é o mesmo que “andar” com a vírgula três casa diminuindo o número.
b) 5 daL em dL
Seguindo o mesmo raciocínio anterior, identificamos que para converter de decalitro para decilitro devemos 
multiplicar duas vezes por 10, ou seja, multiplicar por 100.
5 . 100 = 500 dL
c) 400 cL em L
Para passar de centilitro para litro, vamos dividir o número duas vezes por 10, isto é, dividir por 100:
400 : 100 = 4 L
Medida de Volume
As medidas de volume representam o espaço ocupado por um corpo. Desta forma, podemos muitas vezes 
conhecer a capacidade de um determinado corpo conhecendo seu volume.
A unidade de medida padrão de volume é o metro cúbico (m³), sendo ainda utilizados seus múltiplos (km³, 
hm³ e dam³) e submúltiplos (dm³, cm³ e mm³).
Em algumas situações é necessário transformar a unidade de medida de volume para uma unidade de 
medida de capacidade ou vice-versa. Nestes casos, podemos utilizar as seguintes relações:
1 m³ = 1 000 L
1 dm³ = 1 L
1 cm³ = 1 mL
Exemplo: Um tanque tem a forma de um paralelepípedo retângulo com as seguintes dimensões: 1,80 m de 
comprimento, 0,90 m de largura e 0,50 m de altura. A capacidade desse tanque, em litros, é:
A) 0,81
B) 810
C) 3,2
D) 3200
Apostila gerada especialmente para: Jhenyffer Biankha 112.950.164-78
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Para começar, vamos calcular o volume do tanque, e para isso, devemos multiplicar suas dimensões:
V = 1,80 . 0,90 . 0,50 = 0,81 m³
Para transformar o valor encontrado em litros, podemos fazer a seguinte regra de três:
Assim, x = 0,81 . 1000 = 810 L.
Portanto, a resposta correta é a alternativa b.
Medidas de Massa
No Sistema Internacional de unidades a medida de massa é o quilograma (kg)13. Um cilindro de platina e 
irídio é usado como o padrão universal do quilograma.
As unidades de massa são: quilograma (kg), hectograma (hg), decagrama (dag), grama (g), decigrama (dg), 
centigrama (cg) e miligrama (mg).
São ainda exemplos de medidas de massa a arroba, a libra, a onça e a tonelada. Sendo 1 tonelada equivalente 
a 1000 kg.
• Unidades de medida de massa
As unidades do sistema métrico decimal de massa são: quilograma (kg), hectograma (hg), decagrama (dag), 
grama (g), decigrama (dg), centigrama (cg), miligrama (mg).
Utilizando o grama como base, os múltiplos e submúltiplos das unidades de massa estão na tabela a seguir.
Além das unidades apresentadas existem outras como a tonelada, que é um múltiplo do grama, sendo que 
1 tonelada equivale a 1 000 000 g ou 1 000 kg. Essa unidade é muito usada para indicar grandes massas.
A arroba é uma unidade de medida usada no Brasil, para determinar a massa dos rebanhos bovinos, suínos 
e de outros produtos. Uma arroba equivale a 15 kg.
O quilate é uma unidade de massa, quando se refere a pedras preciosas. Neste caso 1 quilate vale 0,2 g.
— Conversão de unidades
Como o sistema padrão de medida de massa é decimal, as transformações entre os múltiplos e submúltiplos 
são feitas multiplicando-se ou dividindo-se por 1014.
Para transformar as unidades de massa, podemos utilizar a tabela abaixo:
13 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-massa/
14 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-massa/
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Exemplos: 
a) Quantas gramas tem 1 kg?
Para converter quilograma em grama basta consultar o quadro acima. Observe que é necessário multiplicar 
por 10 três vezes.
1 kg → g
1 kg x 10 x 10 x 10 = 1 x 1000 = 1.000 g
b) Quantos quilogramas tem em 3.000 g?
Para transformar grama em quilograma, vemos na tabela que devemos dividir o valor dado por 1.000. Isto é 
o mesmo que dividir por 10, depois novamente por 10 e mais uma vez por 10.
3.000 g → kg
3.000 g : 10 : 10 : 10 = 3.000 : 1.000 = 3 kg
c) Transformando 350 g em mg.
Para transformar de grama para miligrama devemos multiplicar o valor dado por 1.000 (10 x 10 x 10).
350 g → mg
350 x 10 x 10 x 10 = 350 x 1000 = 350.000 mg
— Medidas de Tempo
Existem diversas unidades de medida de tempo, por exemplo a hora, o dia, o mês, o ano, o século. No 
sistema internacional de medidas a unidades de tempo é o segundo (s)15.
Horas, Minutos e Segundos
Muitas vezes necessitamos transformar uma informação que está, por exemplo, em minuto para segundos, 
ou em segundos para hora.
Para tal, devemos sempre lembrar que 1 hora tem 60 minutos e que 1 minuto equivale a 60 segundos. Desta 
forma, 1 hora corresponde a 3.600 segundos.
Assim, para mudar de hora para minuto devemos multiplicar por 60. Por exemplo, 3 horas equivalem a 180 
minutos (3 . 60 = 180).
O diagrama abaixo apresenta a operação que devemos fazer para passar de uma unidade para outra.
Em algumas áreas é necessário usar medidas com precisão maior que o segundo. Neste caso, usamos seus 
submúltiplos.
Assim, podemos indicar o tempo decorrido de um evento em décimos, centésimos ou milésimos de segundos.
Por exemplo, nas competições de natação o tempo de um atleta é medido com precisão de centésimos de 
segundo.
Instrumentos de Medidas
Para medir o tempo utilizamos relógios que são dispositivos que medem eventos que acontecem em 
intervalos regulares.
15 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-tempo/
Apostila gerada especialmente para: Jhenyffer Biankha 112.950.164-78
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Os primeiros instrumentos usados para a medida do tempo foram os relógios de Sol, que utilizavam a 
sombra projetada de um objeto para indicar as horas.
Foram ainda utilizados relógios que empregavam escoamento de líquidos, areia, queima de fluidos e 
dispositivos mecânicos como os pêndulos para indicar intervalos de tempo.
Outras Unidades de Medidas de Tempo
O intervalo de tempo de uma rotação completa da terra equivale a 24h, que representa 1 dia.
O mês é o intervalo de tempo correspondente a determinado número de dias. Os meses de abril, junho, 
setembro, novembro têm 30 dias.
Já os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro possuem 31 dias. O mês de fevereiro 
normalmente têm 28 dias. Contudo, de 4 em 4 anos ele têm 29 dias.
O ano é o tempo que a Terra leva para dar uma volta completa ao redor do Sol. Normalmente, 1 ano 
corresponde a 365 dias, no entanto, de 4 em 4 anos o ano têm 366 dias (ano bissexto).
Na tabela abaixo relacionamos algumas dessas unidades:
Tabela de Conversão de Medidas
O mesmo método pode ser utilizado para calcular várias grandezas.
Primeiro, vamos desenhar uma tabela e colocar no seu centro as unidades de medidas bases das grandezas 
que queremos converter, por exemplo:
Capacidade: litro (l)
Comprimento: metro (m)
Massa: grama (g)
Volume: metro cúbico (m3)
Tudo o que estiver do lado direito da medida base são chamados submúltiplos. Os prefixos deci, centi e mili 
correspondem respectivamente à décima, centésima e milésima parte da unidade fundamental.
Do lado esquerdo estão os múltiplos. Os prefixos deca, hecto e quilo correspondem respectivamente a dez, 
cem e mil vezes a unidade fundamental.
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Exemplos:
a) Quantos mililitros correspondem 35 litros?
Para fazer a transformação pedida, vamos escrever o número na tabela das medidas de capacidade. 
Lembrando que a medida pode ser escrita como 35,0 litros. A virgula e o algarismo que está antes dela devem 
ficar na casa da unidade de medida dada, que neste caso é o litro.
Depois completamos as demais caixas com zeros até chegar na unidade pedida. A vírgula ficará sempre 
atrás dos algarismos que estiver na caixa da unidade pedida, que neste caso é o ml.
Assim 35 litros correspondem a 35000 ml.
b) Transformando 700 gramas em quilogramas.
Lembrando que podemos escrever 700,0 g. Colocamos a vírgula e o 0 antes dela na unidade dada, neste 
caso g e os demais algarismos nas casas anteriores.
Depois completamos com zeros até chegar na casa da unidade pedida, que neste caso é o quilograma. A 
vírgula passa então para atrás do algarismo que está na casa do quilograma.
Então 700 g corresponde