Matemática para Ensino Superior Resumo MA11 2

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Capítulo 1 – Conjuntos 
 
IMPLICAÇÃO LÓGICA INCLUSÃO ENTRE CONJUNTOS 
 
 
 
 significa 
Exemplo: 
 
 
 significa 
 
Seja o Conjunto Universo. 
 
i) (Princípio do Terceiro Excluído) 
ii) (Princípio da Não-Contradição) 
iii) 
Se então: 
i) (reflexibilidade) 
ii) Se e então (anti-simetria) 
iii) Se e então (transitividade) 
 
 
 
 
 Contra-positiva 
Exemplo de Contra-positiva: 
se é um múltiplo de 4 então é par se não é par então não é múltiplo de 4 
 
Resolver uma equação é utilizar uma sequência de implicações lógicas. 
 
Operações de reunião e intersecção entre conjuntos 
 
 Comutativa 
 e 
 Associativa 
 e 
 Distributiva 
 e 
 
 e 
 e 
 
Capítulo 2 – Números Naturais 
 
 
Axiomas de Peano 
i) Todo número natural tem um único sucessor; 
ii) Dois números com o mesmo sucessor são iguais; 
iii) Existe um único número natural (chamado um) que não é sucessor de nenhum outro; 
iv) Se e tal que e então (Axioma da Indução) 
 
Adição e Multiplicação 
Entre os números naturais estão definidas duas operações fundamentais: a adição, que aos números faz 
corresponder a soma e a multiplicação, que lhes associa o produto . 
A soma é o número natural que se obtém a partir de aplicando-se vezes seguidas a operação de tomar um 
sucessor. Quanto ao produto, põe-se por definição e, quando , é a soma de parcelas iguais a . 
 
Adição 
: sucessor de 
 
Esta última igualdade diz que se sabemos somar a todos os números naturais , sabemos também somar : a 
soma é simplesmente o sucessor de . O axioma da indução garante que a soma está 
definida para qualquer . 
Multiplicação 
 
 
 Multiplicar um número por não o altera. E se sabemos multiplicar todos os números naturais por , sabemos 
também multiplicá-los por : basta tomar . Por indução, sabemos multiplicar todo por qualquer 
. 
 
Ordem entre os números naturais 
Dados dizemos que é menor que , para significar que existe algum tal que . 
Se então: 
i) se e então (transitividade); 
ii) , vale uma, e somente uma, das alternativas: 
, ou (tricotomia) 
iii) se então, para qualquer , tem-se e 
Princípio da Boa Ordenação 
 
“Todo subconjunto não vazio possui um menor elemento”. 
 
Isto significa que existe um elemento que é menor do que todos os demais elementos de . 
 
Capítulo 3 – Números Cardinais 
 
Função Injetiva 
 Uma função chama-se injetiva quando elementos diferentes em são transformados por em elementos 
diferentes em , ou seja, é injetiva, quando 
 
ou (contrapositiva) 
 
Função Sobrejetiva 
 Diz-se que uma função é sobrejetiva quando, para qualquer elemento , pode-se encontrar (pelo 
menos) um elemento tal que . 
 
Função Bijetiva 
 Uma função chama-se bijeção, ou uma correspondência biunívoca entre e quando é ao mesmo tempo 
injetiva e sobrejetiva. 
 
Correspondência Biunívoca 
 Diz-se que dois conjuntos e têm o mesmo número cardinal quando se pode definir uma correspondência 
biunívoca . 
 
Conjuntos Finitos 
 Dado , indiquemos com a notação o conjunto dos números naturais de até . Assim, , 
, e, mais geralmente, um número natural pertencente a se, e somente se, . 
Seja um conjunto. Diz-se que é finito, e que tem elementos quando se pode estabelecer uma 
correspondência biunívoca . O número chama-se então número cardinal . Para todo , o conjunto é finito e 
seu cardinal é . Diz-se que um conjunto é infinito quando ele não e finito. 
i) O número de elementos de um conjunto finito é o mesmo, seja qual for a contagem que se adote; 
ii) Todo subconjunto de um conjunto finito é . Tem-se somente quando ; 
iii) Se e são finitos então é finito e tem-se ; 
iv) Sejam , conjuntos finitos. Se , nenhuma função é injetiva e nenhuma função é 
sobrejetiva (Princípio da Casa dos Pombos ou Princípio das Gavetas). 
 
 
Números Reais 
 
 consiste de um corpo ordenado completo: 
 Corpo: porque estão definidas as quatro operações: adição, subtração, multiplicação e divisão; 
 Ordenado: porque existe a relação que está interligada com a adição e a multiplicação pelas leis da 
monotonicidade 
 Completeza: equivale a continuidade da reta. 
 
Irracionalidade de 
 
 
Suponhamos que , com primos entre si. 
 
 
 
 
Alguns exemplos de expressões decimais 
 
 
 
 
 
 
 
“A geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é igual à parte não periódica seguida do período 
menos a parte não-periódica e cujo denominador é formado por tantos noves quantos são os algarismos do período, 
seguidos de tantos zeros são os algarismos da parte não periódica.” 
 
 
 
Desigualdades – Propriedades Básicas 
P1) Dado um número real , há três possibilidades que se excluem mutuamente: ou é positivo, ou ou – é positivo; 
P2) A soma e o produto de números positivos são ainda números positivos. 
 
Propriedades Essenciais 
1) Tricotomia: dados vale uma, e somente uma, das alternativas seguintes: , ou ; 
2) Transitividade: se e então ; 
3) Monotonicidade da adição: se então, para todo tem-se ; 
4) Monotonicidade da multiplicação: se então e é positivo tem-se ; 
5) Se então (todo quadrado, exceto 0, é positivo); 
6) Se então (quanto maior for um número positivo, menor será seu inverso); 
7) Se e é negativo então (quando se multiplicam os dois membros de uma desigualdade por um 
número negativo, o sentido dessa desigualdade se inverte). 
 
Intervalos 
Sejam números reais, com . Os nove subconjuntos de abaixo são chamados intervalos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 5 – Funções Afins 
Produto Cartesiano 
A fim de que um subconjunto seja o gráfico de alguma função é necessário e suficiente que cumpra 
as seguintes condições: 
G1) Para todo existe um par ordenado cuja primeira ordenada é ; 
G2) Se e são pares pertencentes a com a mesma primeira coordenada então (isto é, 
). 
 
Função Afim 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados , com , o número chama-se taxa de crescimento da função no intervalo de 
extremos 
LEMBRETE: Uma função , com , chama-se: 
 crescente: quando ; 
 decrescente: quando ; 
 monótona não-decrescente: quando ; 
 monótona não-crescente: quando . 
 
TEOREMA 
“O gráfico de uma função afim é uma linha reta.” 
Para ver isto basta mostrar que três pontos quaisquer são colineares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Linear 
 
 
 
 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DA PROPORCIONALIDADE 
Seja uma função crescente. As seguintes afirmações são equivalentes: 
1) para todo e todo ; 
2) Pondo , tem-se para todo ; 
3) para quaisquer 
 
CARACTERIZAÇÃO DA FUNÇÃO AFIM 
Seja uma função injetiva. Se o acréscimo depender apenas de , mas não de , 
então é uma função afim. 
 
Capítulo 6 – Funções Quadráticas 
 
Exemplo de resolução de equação do 2º grau 
 
 
 
 
 
Generalizando 
 
 
Forma Canônica 
 
 
 
 
 
 
para temos: 
 
 
“Sejam três números reais distintos e números tais que são 
não-colineares em . Existe uma, e somente uma, função quadrática , tal que 
.” 
 
“Se a parábola é o gráfico da função , sua tangente no ponto , onde 
, é a reta que passa por esse ponto e tem inclinação igual a .” 
 
Parábola 
 
 
Parábola de foco F e diretriz d é o conjunto de pontos que eqüidistam de F e de d. 
 
TEOREMA 
“O gráfico da função é a parábola de foco e diretriz .” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja a função afim 
 
 
 
 
 
Seja a função quadrática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CARACTERIZAÇÃO 
Se então é um polinômio do 2º grau. 
 
CARACTERIZAÇÃO DAS FUNÇÕES QUADRÁTICAS 
“A fim de que a função contínua seja quadrática é necessário e suficiente que toda progressão aritmética não 
constante seja transformada por numa progressão aritmética de segunda ordem não degenerada 
.” 
Exemplo: A sequência 
3, 7 , 13 , 21 , 31 , 43 , ... é uma P.A. de segunda ordem 
 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , ... é uma P.A. de primeira ordem 
 
d: primeiro termo = 4 
r: razão = 2