Matemática para Ensino Superior Trigonometria

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Trigonometria
Enunciado:
Prove que sen(10◦) é irracional.
solução
Lembretes : cos(20◦) = 1− 2sen2(10◦) e sen(20◦) = 2sen(10◦) · cos(10◦)
De acordo com a sugestão :
1
2
= sen30◦ = sen(20◦ + 10◦)
Mas, sen(20◦ + 10◦) = sen20◦ · cos10◦ + sen10◦ · cos20◦
Substituindo pelos lembretes acima, temos:
2sen10◦ · cos10◦ · cos10◦ + sen10◦ · (1− 2sen210◦) = 1
2
2sen10◦ · cos210◦ + sen10◦ · (1− sen210◦) = 1
2
2sen10◦ · (1− sen210◦) + sen10◦ · (1− sen210◦) = 1
2
−4sen310◦ + 3sen10◦ = 1
2
ou
−8sen310◦ + 6sen10◦ − 1 = 0
Chamando sen10◦ = x , temos uma equação polinomial de grau 3.Assim:
−8x3 + 6x− 1 = 0 . Se a equação tiver ráızes racionais elas pertencerão ao conjunto :{
± 1,±1
2
,±1
4
,±1
8
}
. Como sen10◦ > 0 nenhuma candidata negativa será raiz. Testando
as positivas , vê-se que nenhuma delas é raiz. logo não tem raizes racionais.
sen10◦ é irracional
Luis Alexandre Chiconello , 19/07/2011