Matemática para Ensino Superior Trigonometria - Teoria

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Trigonometria 
 
Primordialmente recordemos as razões trigonométricas no triângulo retângulo. 
 
 
ou seja, as razões trigonométricas dependem do ângulo tomado. 
Admitindo a hipotenusa como sendo 1 unidade temos: 
 
Tomemos uma circunferência de raio unitário cujo centro coincida com a origem do sistema de coordenadas 
cartesianas. Desta forma as coordenadas de um determinado ponto que pertence à circunferência podem ser dadas da 
seguinte maneira: 
 
Utilizando a relação pitagórica no triângulo retângulo encontrado, temos: 
 
expressão esta conhecida como relação fundamental da trigonometria. 
 
Função Seno 
 Seja dada definida por . 
O gráfico desta função possui o seguinte aspecto: 
 
Algumas características importantes da função seno: 
 A função seno é periódica com período ; 
 A função seno é uma função ÍMPAR pois . 
Algumas relações importantes da função seno: 
 
 
 
 
 
Função Arco-Seno 
 Consideremos a função , com domínio no intervalo e imagem no intervalo . A 
função inversa de , é chamada arco cujo seno, e é definida por: 
 
 
A comparação entre o gráfico de , e função identidade é: 
 
 
 
 
 
Função Cosseno 
 Seja dada definida por . 
O gráfico desta função possui o seguinte aspecto: 
 
Algumas características importantes da função cosseno: 
 O gráfico da função cosseno é uma translação horizontal do gráfico da função seno em ; 
 A função cosseno é periódica com período ; 
 A função cosseno é uma função PAR pois . 
Algumas relações importantes da função cosseno: 
 
 
 
 
 
Função Arco-Cosseno 
 Consideremos a função com domínio no intervalo e imagem no intervalo . A função 
inversa de , é chamada arco cujo cosseno, e é definida por: 
 
 
A comparação entre o gráfico de , e função identidade é: 
 
 
 
 
Função Tangente 
 Retornando ao triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 1 unidade temos: 
 
Logo temos a razão: 
 
Aplicando esta relação à circunferência de raio unitário temos: 
 
Utilizando semelhança de triângulo temos a seguinte proporção: 
 
 Desta forma podemos definir a função tangente como: 
 definida por . 
O gráfico desta função possui o seguinte aspecto: 
 
Algumas características importantes da função tangente: 
 A função tangente é periódica com período ; 
 A função tangente é uma função ÍMPAR pois 
 
 
Função Arco-Tangente 
 Dada a função , com domínio e imagem em , a função inversa de , denominada arco-
tangente é definida por: 
 
 
A comparação entre o gráfico de , e função identidade é: 
 
 
Função Secante 
 Chamemos de secante de um ângulo a relação dada por: 
 
 Como o denominador da fração nunca pode se anular temos que o domínio da função secante será dado por: 
 
Desta forma definimos a função secante como sendo: 
 
 
Algumas características importantes da função secante: 
 A função secante é periódica com período ; 
 Como a função secante leva ao inverso do valor do cosseno (que é uma função PAR) então a função secante também 
será PAR: . 
 
 
 
O gráfico desta função possui o seguinte aspecto: 
 
 
 
Nota-se pelo gráfico da função secante que: 
 para todo pertencente ao domínio da secante, temos que ou . Assim o conjunto imagem 
da secante é dado pelos conjuntos: 
 
 quando assume valores próximos de radianos ou radianos, se aproxima de 0, e a razão em valor 
absoluto, tende ao infinito. 
 
Função Cossecante 
 
 Chamemos de cossecante de um ângulo a relação dada por: 
 
 Como o denominador da fração nunca pode se anular temos que o domínio da função cossecante será dado por: 
 
Desta forma definimos a função cossecante como sendo: 
 
 
Algumas características importantes da função cossecante: 
 A função cossecante é periódica com período ; 
 Como a função cossecante leva ao inverso do valor do seno (que é uma função ÍMPAR) então a função cossecante 
também será ÍMPAR: 
 
 
 
 
O gráfico desta função possui o seguinte aspecto: 
 
Nota-se pelo gráfico da função cossecante que: 
 o gráfico da função cossecante trata-se de uma translação horizontal do gráfico da função secante em ; 
 para todo pertencente ao domínio da cossecante, temos que ou . Assim o conjunto 
imagem da cossecante é dado pelos conjuntos: 
 
 quando assume valores próximos de 0, radiano ou radianos, se aproxima de 0, e a razão em valor 
absoluto, tende ao infinito. 
 
Função Cotangente 
 Chamemos de cotangente de um ângulo a relação dada por: 
 
 Como o denominador da fração nunca pode se anular temos que o domínio da função cotangente será dado por: 
 
Desta forma definimos a função cotangente como sendo: 
 
 
Algumas características importantes da função cotangente: 
 A função cotangente é periódica com período ; 
 Como a função cotangente leva ao inverso do valor da tangente (que é uma função ÍMPAR) então a função cotangente 
também será ÍMPAR: 
 
 
 
 
 
 
O gráfico desta função possui o seguinte aspecto: 
 
 
Comparando o gráfico de algumas funções e suas recíprocas 
o Função Cosseno e Função Secante (para ) 
 
o Função Seno e Função Cossecante (para ) 
 
o Função Tangente e Função Cotangente (para ) 
 
Lei dos Cossenos e Lei dos Senos 
 
 
 
 
 
 
Analogamente: 
 e 
Lei dos Senos 
 
 
 
OBS.: Um triângulo tem 6 elementos (3 lados e 3 ângulos). 
1. Supõe que conhece 3 lados a, b e c. 
 
2. Conhece a, b e o ângulo C. 
 
3. Conheço 2 ângulos e e o lado c. 
Se conhece e por eu conheço o outro ângulo . 
 
4. Conheço a, b e . 
 
encontrando , através e aí cai no caso anterior. 
As fórmulas de adição 
 
 Primeiramente vamos recordar que a distância entre dois pontos do plano e é dada por: 
 
Consideremos então o círculo de raio unitário e os pontos e tais que e . 
 
Como e , a distância entre os pontos e é dada por: 
 
Desenvolvendo os quadrados temos: 
 
 
Lembrando que , temos: 
 
 Mudemos agora o nosso sistema de coordenadas girando os eixos de um ângulo em torno da origem. 
 
Neste novo sistema, o ponto tem coordenadas 1 e 0 e o ponto tem coordenadas e . 
Calculando novamente a distância entre os pontos e , obtemos: 
 
 
 
 
Igualando os valores encontramos (*) e (**), temos: 
 
 
 
Outras três fórmulas decorrem facilmente da que acabamos de obter. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Finalmente, para calcular a tangente de , dividimos as fórmulas (3) e (2). Assim, temos: 
 
 
 
 
 Caso substituímos na fórmula (5) por – , encontramos: 
 
 
Também é conveniente obter as fórmulas que calculam as funções trigonométricas de um arco que é o dobro de um 
arco cujas funções já são conhecidas. Basta então fazer nas fórmulas (2), (3) e na fórmula (5) para encontrar: 
 
 
 
 
 
Fórmulas do Arco-Metade 
 
Primeiramente vamos deduzir a fórmula do cosseno do arco metade. 
Utilizaremos a fórmula do cosseno da soma dos arcos. 
 
Seja . Então: 
 
 
Utilizando a relação fundamental da trigonometria: 
 
Substituindo na expressão encontrada anteriormente temos: 
 
Chamemos e . 
 
 
 
Agora iremos deduzir a fórmula do seno do arco metade. 
Para isso utilizaremos a fórmula do cosseno da soma de arcos. 
 
Seja . Então: 
 
 
Utilizaremos a relação fundamental da trigonometria: 
 
Substituindo na expressão encontrada anteriormente temos: 
 
Chamemos e . 
 
 
 
 
 
Para determinar a tangente do arco metade devemos dividir a fórmula (II) por (I). Assim temos: 
 
 
Parametrização da circunferência 
 
A parametrização usual é 
 
 Utilizando as fórmulas do arco duplo podemos expressar , e racionalmente (isto é, sem 
radicais) em termos de . Com efeito, 
 
Fazendo então , obtemos: 
 
Trabalhando de forma análoga com a identidade encontramos: 
 
 
Para realizarmos a parametrização racional note que: 
 
 
 
 
(Comentário: lembre que a função tangente de um ângulo é uma bijeção entre e ) 
 e é bijetora tal que . Assim: 
 
Temos: 
 
 
 
 
 
A inclinaçãoda reta PB é . 
A cada inclinação associa o ponto . 
 é chamada parametrização racional