Matemática para Ensino Superior Medias

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Médias 
 
 Dada certa lista de elementos , caso consigamos encontrar um determinado valor que substitua dos 
os elementos da lista dada sem alterar uma certa característica, este valor é chamado de média da lista. 
 Dependendo da característica analisada podemos determinar: 
 média aritmética (A): quando desejamos somar todos os elementos da lista; 
 média geométrica (G): quando desejamos multiplicar todos os elementos da lista; 
 média harmônica (H): quando desejamos somar os inversos dos elementos da lista; 
 média quadrática (Q): quando desejamos somar os quadrados dos elementos da lista. 
 
Média Aritmética (A) 
 Suponha que seja dada uma lista de elementos e que somemos todos seus elementos. Daí temos: 
 
 Caso consigamos substituir todos seus elementos pelo valor temos: 
 
Igualando as expressões temos: 
 
 
Média Geométrica (G) 
 Suponha que multipliquemos todos os elementos da lista de elementos . Teremos então: 
 
 Substituindo todos seus elementos pelo valor temos: 
 
Igualando as expressões temos: 
 
 
Média Harmônica (H) 
 Suponha que seja dada uma lista de elementos e que somemos todos seus os inversos de seus 
elementos. Desta forma temos: 
 
Substituindo todos os elementos da lista por temos: 
 
Igualando as expressões temos: 
 
 
Média Quadrática (Q) 
 Suponha que seja dada uma lista de elementos e que somemos todos os quadrados de seus 
elementos. Temos então: 
 
Substituindo todos os elementos da lista por temos: 
 
Igualando as expressões temos: 
 
 
Princípio das Gavetas de Dirichlet ou Princípio das Casas dos Pombos 
 
Uma importante propriedade da média aritmética nos diz que dada uma lista de elementos ao 
determinarmos sua média aritmética , pelo menos um dos elementos de é maior ou igual a . 
 Suponha, por absurdo, que todos os elementos da lista fossem menores que . Desta forma teríamos: 
 
Isto significa que somando todos elementos da lista a soma seria menor que a soma de parcelas de . Temos 
então que: 
 
 Uma conseqüência direta desta propriedade é o chamado Princípio das Gavetas que nos garante que: 
 
“Se ou mais objetos são colocados em ou menos gavetas, 
então pelo menos uma gaveta recebe mais de um objeto.” 
 
 Imagine que tenhamos objetos que devam ser guardados em . Desta forma o número médio de elementos 
que serão guardados em cada gaveta é dado por . Como o numerado é maior que o denominador isso acarreta que o 
quociente entre elas deverá ser no mínimo 1, ou seja, cada gaveta deverá ter mais que um objeto guardado. 
 
A Desigualdade das Médias 
 
I. Média aritmética é sempre maior ou igual do que a média geométrica (A  G) 
Sejam os números e reais e positivos. As respectivas médias aritméticas (A) e geométrica (G) entre tais 
números são dadas por: 
 
Caso a média aritmética seja maior que a média geométrica então a diferença da primeira para a segunda deve ser 
um valor positivo, ou seja, . Desta forma temos: 
 
Sabemos que qualquer número elevado ao quadrado resulta num valor positivo e, dividindo um número positivo por 2 
também obtemos um valor positivo. Então temos: 
 
Caso tenhamos a relação encontrada fica: 
 
Tal resultado nos mostra que a média aritmética é sempre MAIOR que a média geométrica entre dois números reais e 
é IGUAL apenas no caso dos números serem idênticos. 
 
II. Média geométrica é sempre maior ou igual do que a média harmônica (G  H) 
Sabemos que a média aritmética é sempre maior ou igual do que a média geométrica entre dois números reais. Desta 
forma, sejam os números e reais e positivos, temos: 
 
A média harmônica (H) entre estes dois números é dada por: 
 
Substituindo o resultado de (*) em (**) temos: 
 
Desta forma chegamos a conclusão de que a média harmônica entre dois números reais positivos é sempre MENOR 
OU IGUAL que a média geométrica dos números dados, ou seja: 
 
 
III. Média quadrática é sempre maior ou igual do que a média aritmética (Q  A) 
Sabemos que o quadrado de qualquer número sempre resulta num valor positivo. Sejam os números e reais e 
positivos. Desta forma temos: 
 
Desenvolvendo tal expressão encontramos: 
 
Adicionando e em ambos membros, temos: 
 
 
Dividindo ambos membros por,temos: 
 
Reunindo as conclusões obtidas temos que: