MATEMÁTICA EEAR

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Matemática - Versão Base
2020
Militar Concursos - Matemática
Sumário
Conjuntos 6
Conceitos e Simbologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Operações com Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Conjunto das Partes e Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Conjunto Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Conjuntos Numéricos 9
Conceitos e Classificações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Conjuntos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Divisibilidade 13
Conceito da Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Critérios da Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Equações Modulares 16
Conceitos de Módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Equações Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Exemplo de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1
Militar Concursos - Matemática
Equações do 1º Grau 18
Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Como encontrar as raízes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Exemplo de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Equações Redutíveis ao Segundo Grau 20
Equações Biquadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Achando as Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Equações do Terceiro Grau Incompletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Equações do 2º Grau 24
Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Classificação de uma Equação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Resolvendo uma Equação do 2º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Expressões Numéricas 27
Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Ordenação das Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Fatoração e Produtos Notáveis 28
Produtos Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Fatoração de Expressões Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2
Militar Concursos - Matemática
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Frações 31
Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Tipos de Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Operações com Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Frações Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Potenciação e Radiciação 34
Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Propriedades da Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Propriedades da Radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Problemas sobre as 4 Operações 36
Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Proporcionalidade 38
Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Tipos de Proporcionalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3
Militar Concursos - Matemática
Propriedades da Proporcionalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Regra de Três e Proporção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Sistemas de Numeração 40
Conceitos e Classificações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Sistema de Numeração Decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Exemplo de Ordem e Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Base Binária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Demais Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Inequações 1º Grau 43
Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Resolução de uma Inequação do Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Propriedades da Inequação do Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Inequações Simultâneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Congruência de Triângulos 46
Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Casos de Congruência de Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4
Militar Concursos - Matemática
Equações Exponenciais 49
Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Resolvendo uma Equação Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Exemplo de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 50
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Equações Logarítmicas 51
Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Propriedades dos Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Resolvendo uma Equação Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Inequações Modulares 53
Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Condição de Existência da Inequação Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Exemplo de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Sistemas Lineares 56
Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Classificação dos Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Métodos de resolver um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Exemplo de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
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Conjuntos
Conceitos e Simbologia
Define-se como conjuntos o agrupamento de elementos que possuem pelo menos uma característica em comum.
Os conjuntos podem ser de pessoas, letras, símbolos, números, características, mas emmatemática, usaremos primor-
dialmente os conjuntos numéricos e suas finalidades em proposições. Simbolizamos um conjunto pelos diagramas,
sendo o mais comum o Diagrama de Venn, que popularmente é conhecido pelos “círculos” que são regiões que de-
limitam a participação dos elementos, em forma algébrica, representamos os conjuntos por letras maiúsculas, com os
seus elementos entre chaves. Vejamos ambas formas de representação abaixo:
Além disso, temos as simbologias mais usadas entre conjuntos e elementos, sendo que de conjunto para conjunto,
usamos contém ou está contido, já para elemento com conjunto, usa-se pertence ou não pertence.
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Operações com Conjuntos
Dados pelo menos dois conjuntos temos as seguintes operações bem definidas entre eles: união e interseção, já
entre dois conjuntos temos a diferença ou o complementar de um em relação ao outro. Denotamos como união de
dois ou mais conjuntos como a junção dos elementos de um com o outro, sem a repetição dos elementos que estão
simultaneamente em ambos, já a interseção é a operação que revela os elementos que estão em ambos conjuntos
simultaneamente. Dados dois conjuntos A e B, temos as seguintes simbologias:
1. A ∪B: “Lê-se A união B”, se x pertence a união, então dizemos que x está em A ou em B.
2. A ∩B: “Lê-se A interseção B”, se x pertence a interseção, então dizemos que x está em A e em B.
3. A − B: Diferença de A com B, se x pertence a diferença de A com B, então dizemos que são os elementos que
estão em A mas não estão em B.
4. B − A: Diferença de B com A, se x pertence a diferença de B com A, então dizemos que são os elementos que
estão em B mas não estão em A.
OBSERVAÇÃO: A−B ̸= B −A.
Conjunto das Partes e Subconjuntos
Denotamos como subconjuntos, conjuntos que estão dentro de um conjunto “maior” que abrange todos esses
menores conjuntos, quando temos a pertinência de um conjunto sobre outro, dizemos que se um conjunto A contém
B, ou que B está contido em A, considera-se que todos os elementos de B estão em A. Logo, B é subconjunto de A. O
conjunto das partes de um conjunto é a fragmentação em pequenos subconjuntos de um conjuntomaior, sendo forma-
dos por combinações entre seus elementos. Dado um conjunto com n elementos a expressão que permite calcularmos
quantos subconjuntos este conjunto tem é dada por:
Q(n) = 2n
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Onde Q(n) é a quantidade de subconjuntos de um conjunto com n elementos.
Observações: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, representamos vazio por: { } ou simplesmente
por ∅, o conjunto unitário é todo aquele que possui apenas um único elemento. Todo conjunto é subconjunto dele
mesmo.
Conjunto Universo
Para determinadas situações, temos elementos que não se adequamnemao conjunto A,B,C e assim sucessivamente,
mas são elementos que ainda estão dentro da amostra de análise, concluímos então que esses elementos estão fora
dos conjuntos adotados mas estão no conjunto UNIVERSO, que abrange todos as pequenas ramificações de conjuntos
nos quais definimos. Podemos representar o conjunto universo, da seguinte forma:
Para encontrar o número de elementos de A união B usamos a expressão:
n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B)
n(A) = NÚMERO DE ELEMENTOS DO CONJUNTO A
Esta expressão é conhecida como Princípio da Inclusão e Exclusão.
Exercícios Resolvidos
Nível 1
Dados os conjuntos A = {0, 1}, B = {0, 1, 2} e C = {2, 3}, determine (A U B) ∩ (B U C).
Solução:
A = {0, 1}B = {0, 1, 2}C = {2, 3}
A U B = {0, 1, 2}
B U C = {0, 1, 2, 3}
(A U B) ∩ (B U C) = {0, 1, 2}
Nível 2
Considerando que A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A ∩ B = {4, 5} e A – B = {1, 2, 3}, determine o conjunto B.
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Solução:
Resolveremos o exercício com o auxílio dos Diagramas de Venn. Observe:
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A ∩ B = {4, 5}A – B = {1, 2, 3}
O conjunto B é formado pelos seguintes elementos: {4, 5, 6, 7, 8}.
Nível 3
O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e 60% contra cinomose. Deter-
mine o porcentual de animais que foram vacinados contra as duas doenças.
Solução:
Usando o Princípio de Inclusão e Exclusão, temos que:
80 – x + x + 60 – x = 100140 – 2x + x = 100– x = 100 – 140– x = – 40x = 40
O porcentual de animais vacinados contra as duas doenças é de 40%.
Conjuntos Numéricos
Conceitos e Classificações
Os conjuntos numéricos são aqueles cujos elementos são números, sendo divididos emNATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS,
IRRACIONAIS, REAIS e os COMPLEXOS. Sendo o conjunto dos complexos um assunto que veremos isoladamente no fu-
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turo, já que não é objeto de estudo para todos os concursos. Podemos dizer que desses conjuntos, temos a seguinterelação:
Conjuntos Numéricos
Definiremos neste tópico quem é cada conjunto numérico e dar exemplos de cada um, já que como os números
são infinitos, estes conjuntos também são.
1. CONJUNTO DOS NATURAIS (N)
Ele reúne do zero para cima, isto é, todos os números inteiros e positivos até o infinito.
N = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 999, ...}
N∗= {1, 2, 3, 4, ..., 999, ...} (são os naturais exceto o zero).
2. CONJUNTO DOS INTEIROS (Z)
Ele reúne todos os números inteiros, não decimais, que podem ser positivos ou negativos, isto é, o conjunto
contém do menos infinito até o mais infinito.
Z = {..., -888, ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ..., 888, ....}
Z∗= {..., -888, ..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ..., 888, ....} (inteiros exceto zero).
Z+= {0, 1, 2, 3, 4, ..., 888, ....} (inteiros positivos)
Z−= {..., -888, ..., -4, -3, -2, -1, 0} (inteiros negativos)
3. CONJUNTO DOS RACIONAIS (Q)
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Ele reúne todos os números que podem ser escritos da forma ab com a e b racionais e b ̸= 0. Também possuem
as mesmas classificações dos acima, ou seja, racionais exceto zero, racionais positivos e negativos, com isso
apontaremos somente os RACIONAIS como um todo:
Q = {2,443, 5,33, 1/2, 5/4, ...}
OBSERVAÇÃO: AS DÍZIMAS PERIÓDICAS SÃO NÚMEROS RACIONAIS.
4. CONJUNTO DOS IRRACIONAIS (I)
Ele reúne todos os números decimais que não são exatos, as raízes inexatas, e as dízimas não periódicas, ou
seja, números infinitos que não seguem um padrão numérico. Ele possui os mesmos subconjuntos dos inteiros,
positivos ou negativos, já que zero não é irracional.
I = {π,
√
2, 1,30204030..., ...}
5. CONJUNTO DOS REAIS (R)
Ele reúne a união de todos os conjuntos anteriores, ou seja, todos os conjuntos anteriores são subconjuntos dos
Reais.
R = {1, π, -3, 4,555..., ...}
R = N ∪ Z ∪Q ∪ I
Exercícios Resolvidos
Nível 1
A respeito dos conjuntos numéricos, de suas definições e das relações de inclusão existentes entre eles, justifique
as sentenças abaixo em verdadeiro ou falso.
a) O conjunto dos números naturais é formado pelos números inteiros positivos.
b) O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números inteiros positivos e negativos.
c) O conjunto dos números racionais contém o conjunto dos números reais.
d) O conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais.
e) O conjunto dos números reais é disjunto do conjunto dos números racionais.
Solução:
a) Incorreta!
O conjunto dos números naturais é formado pelos números inteiros positivos e pelo zero, que é inteiro nulo. Alguns
autores não consideram o zero um número natural, mas nesses exercícios nós assim o consideramos.
b) Incorreta!
O conjunto dos números inteiros é formado pelos inteiros positivos e negativos e pelo zero, que é nulo.
c) Incorreta!
É o conjunto dos números reais que contém o conjunto dos números racionais, e não o contrário.
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d) Correta!
e) Incorreta!
Dois conjuntos são disjuntos quando não possuem nenhum elemento em comum. Entretanto, o conjunto dos
números reais contém o conjunto dos racionais. Logo, todo racional também é real.
Nível 2
A soma entre os 10 sucessores de um número natural é igual a 155. Que número natural é esse?
Solução:
O sucessor de um número natural é obtido somando uma unidade a ele. Supondo que esse número natural é x, a
soma entre seus 10 sucessores é:
x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 5 + x + 6 + x + 7 + x + 8 + x + 9 + x + 10 = 155
Observe que a proposta é encontrar a soma entre os sucessores do número – portanto, ele não entra nessa soma.
Resolvendo essa equação, teremos:
10x + 55 = 155
10x = 155 – 55
10x = 100
x = 10010
x = 10
O número natural procurado é 10.
Nível 3
A soma entre 7 números ímpares consecutivos é igual a 301. Qual é o primeiro desses números?
Solução:
Para que um número seja ímpar, é necessário que ele se enquadre na seguinte definição:
2n + 1, onde n é natural.
Para encontrar o sucessor de um número ímpar, basta somar a ele 2 unidades. Dessa maneira, a soma de 7 números
ímpares consecutivos, cujo resultado é 301, pode ser representada por:
2n + 1 +
2n + 1 + 2 +
2n + 1 + 2 + 2 +
2n + 1 + 2 + 2 + 2 +
2n + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 +
2n + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +
2n + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 301
Resolvendo a equação teremos:
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Militar Concursos - Matemática
14n + 49 = 301
14n = 301 – 49
14n = 252
x = 25214
n = 18
O primeiro número ímpar que foi somado está representado por 2n + 1. Portanto:
2n + 1 = 2·18 + 1 = 36 + 1 = 37.
Divisibilidade
Conceito da Divisão
Definimos como divisão a operação matemática que se relaciona com certa fragmentação de um número em partes
iguais, consideramos a divisão como operação inversa da multiplicação e sabe-se que ela está presente no nosso
cotidiano. Os termos da divisão são: dividendo, divisor, quociente e resto, o dividendo é o termo que queremos dividir,
ou seja, é o valor que será fragmentado em partes, em seguida temos o divisor que é o valor numérico responsável pela
quantidade de fragmentações, o quociente é o resultado da divisão e o resto é o valor que sobra e o que determine
se a divisão é exata ou não.
Sabe-se que a armação acima é a divisão pelo método da chave e que o maior resto possível de uma divisão é o
valor do divisor menos 1.
Critérios da Divisibilidade
Classificamos uma divisão entre dois números como exata, se e só se, o resto desta divisão é igual a zero (0), e se
isso acontece, dizemos que o divisor divide o dividendo. Mas como saber se a divisão entre dois números é exata?
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Em primeiro instante pode-se simplesmente dividir um pelo outro e avaliar o resto, entretanto pode-se tornar um
tanto trabalhoso para números maiores, por isso a justificativa dos Critérios de divisibilidade, que são basicamente
regras que possibilitam analisarmos se é divisível ou não sem necessariamente dividir um número pelo outro.
1. Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 se ele for considerado par, isto é, se terminar em 0,2,4,6 ou 8.
Exemplos de números divisíveis por 2: 1006, 2068, 1998376.
2. Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos resultar num número que é múltiplo de 3.
Exemplos: 123 (1+2+3=6 que é múltiplo de 3), 252 (2+5+2=9 que é múltiplo de 3), 1065(1+0+6+5=12 que é múltiplo de
3).
3. Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 se seus dois últimos algarismos terminam em 00 ou se forem um múltiplo de 4.
Exemplo: 1200 (termina em 00), 5632 (termina em 32 que é múltiplo de 4), 716 (termina em 16 que é múltiplo de
4).
4. Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo termina em 0 ou 5.
Exemplo: 100, 455, 875.
5. Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 se é simultaneamente divisível por 2 e 3, isto é, deve ter o último algarismo par e a
soma de todos os seus algarismos deve ser um múltiplo de 3.
Exemplo: 126 (termina em par e 1+2+3=6 que é múltiplo de 3), 3024 (termina em par e 3+0+2+4=9 que é múltiplo
de 3) e 15420 (termina em par e 1+5+4+2+0=12 que é múltiplo de 3).
6. Divisibilidade por 7
Um número é divisível por 7 se ao pegarmos seu último algarismomultiplicarmos por 2 e pegarmos os algarismos
restantes (sem incluir o último) e subtrair do dobro do algarismo final resultar num número múltiplo de 7.
Exemplo: 574 (último algarismo: 4 x 2 = 8, 57 – 8 = 49 que é múltiplo de 7), 7644( último algarismo: 4 x 2 = 8, 764 –
8 = 756 e repetindo novamente: último algarismo: 6 x 2 = 12, 75 – 12 = 63, que é múltiplo de 7).
7. Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 se termina em 000 ou se todos os seus últimos 3 algarismos são divisíveis por 8.
Exemplo: 15000, 1354880, 245678888.
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8. Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos resulta em um múltiplo de 9.
Exemplo: 1575, 524871, 459.
9. Divisibilidade por 10, 100, 1000
Um número é divisível por 10, 100 ou 1000, a partir da quantidade de zeros que ele termina, se por 10 termina em
1, se100 termina em 2 e 1000 com 3.
Exemplos: 50000 é divisível por 10, 100 e 1000. 450 é divisível só por 10 e 34500 é divisível por 10 e 100.
Exercícios Resolvidos
Nível 1
No número 34N27, qual é o valor de N para que o número seja divisível por 9?
Solução:
Para um número ser divisível por 9, a soma de seus algarismos deve estar na tabuada de 9, logo sua soma é:
3 + 4 + N + 2 + 7 = 16 + N, logo se N = 2, o número é divisível por 9.
Nível 2
Prove que 510 é divisível por 2,3,5 e por 30 simultaneamente.
Solução:
Como o número é par, fica entendido que é divisível por 2, como termina em o também é divisível por 5 e se
somarmos seus algarismos (5+1+0 = 6, que está na tabuada de 3), conclui-se que também é divisível por 3 e se é
divisível por 2,3 e 5 simultaneamente também é divisível pelo produto dos divisores, isto é, também é divisível por
2x3x5 = 30.
Nível 3
Um número é composto por 3 algarismos sendo que o algarismo da dezena é o 7 e o da unidade é 4. A soma dos
possíveis algarismos da centena desse número de modo que ele seja divisível por 3 é?
Solução:
Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é um múltiplo de 3, sabe-se que o número é dito por
N74 e N + 7 + 4 = 11 + N, então se N = 1, N = 4 ou N = 7 teremos como soma os resultados: 12,15 e 18, respectivamente e
sendo todos divisíveis por 3. Logo 1,4,7 são possibilidades para algarismos da centena, e sua soma é: 1 + 4 + 7 = 12.
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Equações Modulares
Conceitos de Módulo
Denotamos como módulo de um número real como sendo o valor absoluto deste número, isto é, o valor positivo
daquele número que significa geometricamente, a distância dele até a origem, nos Reais a ORIGEM é o marco zero.
Representamos o módulo de um número x qualquer da forma |x| sendo definido da seguinte forma:
|x| =
 −x, x < 0x, x ≥ 0
A forma acima é chamada de definição do módulo de um número real ‘x’, vale ressaltar que o módulo de um número é
sempre o valor POSITIVO do número pela própria DEFINIÇÃO de módulo.
Equações Modulares
Toda equação modular é apresentada da forma |x| = a ou similares, isto é, podemos colocar qualquer equação
dentro do módulo ou até mesmo fora dele, tendo módulos duplos, entretanto para resolvermos as equações básicas
da forma apresentada anteriormente, basta seguirmos a regra prática:
1. Usar a definição formal de módulo, igualando x = a e depois x = -a, já que o módulo de valores negativos se
transforma em positivo, logo não podemos desconsiderar;
2. Após acharmos as raízes, substituímos na equação para avaliar se ela satisfaz a igualdade (É NECESSÁRIO TESTAR
AS RAÍZES ENCONTRADAS).
Exemplo de Solução
Consideremos a equação modular a seguir: |x+ 4| = 3x− 2 . Para acharmos a solução, faremos:
Caso 1) QUANDO x ≥ 0.
|x+ 4| = 3x− 2 → x+ 4 = 3x− 2 → −2x = −6 → x = 3
Caso 2) QUANDO x<0.
|x+ 4| = 3x− 2 → x+ 4 = −3x+ 2 → 4x = −2 → x = −1
2
Testando as soluções, temos que:
|x+ 4| = 3x− 2 → 3 + 4 = 3 (3)− 2 → 7 = 7 (x = 3 é solução)
|x+ 4| = 3x− 2 →
∣∣∣∣−12 + 4
∣∣∣∣ = 3(−12
)
− 2 →
∣∣∣∣ 72
∣∣∣∣ = −72 (x = −12 NÃO é solução)
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Militar Concursos - Matemática
Exercícios Resolvidos
Nível 1
Resolva a equação modular |3x – 1| = |2x + 6|.
Solução:
Para resolver a equação modular proposta, precisamos nos lembrar da seguinte propriedade:
|x| = |y| ↔

x = y
ou
x = −y
De acordo com essa propriedade, podemos montar as duas seguintes equações:
3x-1=2x+6 3x-1=-(2x+6)
3x-2x=6+1 3x-1=-2x-6)
x=7 x=-1
Temos então o seguinte conjunto solução: S = {–1, 7}.
Nível 2
(PUC – SP) O conjunto solução S da equação |2x – 1| = x – 1 é igual a quais valores?
Solução:
Como o módulo |2x – 1| não pode ser negativo, precisamos que x – 1 seja maior ou igual a zero.
x− 1 ≥ 0
x ≥ 1
Resolvendo a equação modular |2x – 1| = x – 1, podemos estabelecer outras duas igualdades:
2x-1=x-1
2x-x=-1+1
x=0
2x-1=-(x-1)
3x=2
x = 23
Portanto, o conjunto solução seria S={0, 23}, mas pela condição inicial, vimos que x ≥ 1e os dois valores da solução
são menores do que 1. Portanto, a solução correta é S = Ø, isto é CONJUNTO VAZIO.
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Militar Concursos - Matemática
Nível 3
(Mackenzie – SP) A soma dos valores de x que satisfazem a igualdade |x² – x – 2| = 2x + 2 é igual a quanto?
Solução:
Sabendo que o módulo |x² – x – 2| não pode ser negativo, temos a condição inicial de que 2x + 2 deve ser maior ou
igual a zero. Logo:
2x+ 2 ≥ 0
2x ≥ −2
x ≥ −22
x ≥ −1
Resolvendo a equação modular |x² – x – 2| = 2x + 2, podemos criar duas equações do 2◦ grau, que resolveremos
através da fórmula de Bháskara:
Portanto, o conjunto solução é S={−1, 0, 4}. Todos os valores encontrados pertencem à solução, pois a condição
inicial estabelece que x ≥ −1. No entanto, o enunciado pede o valor da soma dos valores de x, logo, – 1 + 0 + 4 = 3.
Logo, a SOMA dos valores da SOLUÇÃO da equação modular é igual a três.
Equações do 1º Grau
Conceitos
Define-se como uma equação do 1º grau, toda expressão algébrica da forma básica igual a ax+b=0 onde chamamos
de “x” a incógnita ou variável na qual queremos descobrir seu valor, outro nome dado a “x” é raiz da equação, cujo
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Militar Concursos - Matemática
significado da mesma é “valor que torna a equação nula”. Temos que b é um número real qualquer e o a deve ser
diferente de zero. Para ser uma equação do primeiro grau, o expoente do x deve ser estritamente igual a 1, o que
simboliza apenas uma única raiz. Caso o expoente de x seja maior que um, a equação terá mais raízes e não será do
primeiro grau.
Como encontrar as raízes?
Em toda equação existente na matemática, nosso objetivo fundamental é encontrar a(s) raiz(es) que é(são) o(s)
valor(es) da incógnita “x”, por exemplo. Lembrando que a equação pode vir acompanhada de qualquer letra, sendo
uma única letra em uma equação, as “letras” são também chamadas de valores desconhecidos. Para encontrarmos o
valor desconhecido em uma equação do primeiro grau, seguimos os seguintes passos:
1. Isolamos os termos com “letra” de um lado e os termos numéricos do outro lado;
2. Ao mudarmos um termo de lado (direita para esquerda ou vice versa) é importante mudar o SINAL dele;
3. Toda vez que tivermos um número multiplicando ou dividindo “x” e passamos para o outro lado, muda-se a
operação na qual ele estava participando;
4. Lembre-se: Adição e Subtração são contrárias entre si e o mesmo vale para Multiplicação e Divisão;
5. Depois de x isolado, encontrarás o valor dele na equação.
Exemplo de Solução
Consideremos a equação do primeiro grau: 2x+ 34 = 100− x , qual o valor de x?
1. Isolar o x;
2. Mudar de lado e mudar o sinal;
3. Encontrar x.
2x+ 34 = 100− x → 2x+ x = 100− 34 → 3x = 66 → x = 66
3
= 22 → x = 22.
Exercícios Resolvidos
Nível 1
Qual o valor da incógnita x que torna a equação 4x – 9 = 1 - x verdadeira?
Solução:
Usando das regras mencionadas anteriormente, temos que:
4x− 9 = 1− x −→ 4x+ x = 1 + 9 → 5x = 10 → x = 10
5
= 2 → x = 2.
19
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Nível 2
Júlio nasceu 10 anos depois de seu irmão Gabriel. Em determinado momento da vida, Gabriel possuía o dobro da
idade de Júlio. Qual a idade de cada um?
Solução:
Como não sabemos as idades de cada um, usaremos a equação do primeiro grau para encontrarmos as idades já
que elas são incógnitas para nós. Se tomarmos como x a idade de Gabriel então a idade de Júlio é x - 10, já que ele
nasceu 10 anos depois. Num dado momento podemos dizer que:
x = 2(x− 10) → x = 2x− 20 → x− 2x = −20 → −x = −20 → x = 20.
Logo, Gabriel tem 20 anos e Júlio 10 anos nesse dado momento.
Nível 3
Em um concurso os participantes devem responder a um total de 20 questões. Para cada resposta certa o candidato
ganha 3 pontos e para cada errada ele perde 2 pontos. Determine o número de acertos e erros que teve se um candidato
totalizou 35 pontos.
Solução:
Primeiro vamos definir que o número de acertos é dado por x e, consequentemente, como o total é 20 questões
então o total de erros é (20-x). Com isso, temos a equação:
3x− 2(20− x) = 35 → 3x− 40 + 2x = 35 → 5x = 35 + 40 → 5x = 75 → x= 15
Logo, o candidato acertou 15 questões e errou 5 questões.
Equações Redutíveis ao Segundo Grau
Equações Biquadradas
Define-se como uma equação biquadrada como toda equação descrita da forma: ax4+ bx² + c = 0 de maneira em
que podemos substituir o termo x² por outra variável e transformar esta equação numa equação do segundo grau.
Chamando x² = y temos que a equação anterior se transforma em ay² + by + c = 0 que em termos de y se torna uma
equação do segundo grau. Vale ressaltar que uma equação biquadrada pode aparecer de várias formas distintas e não
somente como potências de 4 e 2, basta apenas que a potência de x que acompanha a e a potência de x que acompanha
b sejam uma o dobro da outra, ou seja, TODA EQUAÇÃO BIQUADRADA PODE SER DESCRITA DA FORMA: AX2n+BXn + C = 0.
E ela possui sempre “2n” raízes complexas podendo ser menos raízes reais.
20
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Achando as Raízes
Consideremos uma equação biquadrada igual a: x4 − 5x²+ 6 = 0 , para acharmos suas raízes:
1. Substituímos y = x²;
2. Calculamos as raízes da nova equação em termos de y;
3. Tiramos as raízes quadradas da equação em termos de y.
Tomando x² = y temos que:
y2 − 5y + 6 = 0
△ = (−5)²− 4(1)(6)
△ = 25− 24 = 1
y′ = 5+12 = 3
y′′ = 5−12 = 2
Tiramos as raízes das soluções encontradas e temos que:
x′ = +
√
2
x′′ = −
√
2
x′′′ = +
√
3
x′′′′ = −
√
3
São as quatro soluções da equação biquadrada de quarto grau.
Equações do Terceiro Grau Incompletas
Consideremos como equação do TERCEIRO GRAU toda equação da forma: ax³ + bx² + cx + d = 0 com a não sendo
nulo, isto é, igual a zero. Como buscamos equações redutíveis ao segundo grau, nossa ênfase nesta etapa será para
equações do terceiro grau incompletas com o coeficiente independente “d” igual a zero, ou seja, equações da forma:
ax³ + bx² + cx = 0 implicando diretamente em uma das três raízes sendo obrigatoriamente igual a zero.
Considere a equação do terceiro grau:
x³− 5x²+ 6x = 0 → x(x²− 5x+ 6) = 0
→ x′ = 0
→ x′′ = 2
→ x′′′ = 3
Note que em primeiro lugar colocamos “x” em evidência e a equação resultante dentro do parêntesis se transforma
na forma de umado segundo grau, para achar suas raízes basta utilizarmos a TÉCNICADE BHÁSKARA e assim fechamos
as três raízes de uma equação do terceiro grau.
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Exercícios Resolvidos
Nível 1
Determine o conjunto solução da seguinte equação biquadrada: x4 – 5x² + 4 = 0.
Solução:
Nível 2
Resolva a equação 3x².(x² – 5) = 5 – x².
Solução:
22
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Nível 3
Calcule as raízes da seguinte equação x6 + 117x³ – 1000 = 0.
Solução:
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Equações do 2º Grau
Conceitos
Define-se como uma equação do segundo grau toda aquela descrita da forma: ax² + bx + c = 0 com a, b e c per-
tencente aos REAIS e com a ̸= 0. A mesma possui 2 raízes podendo ser iguais, diferentes ou até mesmo, em casos
específicos, inexistentes no conjunto dos REAIS. Utilizamos a fórmula de Bháskara para acharmos os valores das raízes
em caso de equações completas e(ou) incompletas, entretanto nas incompletas existem métodos mais simples de se
achar as raízes.
Classificação de uma Equação
No caso de uma equação do 2º grau, podemos classificá-la em dois tipos: completa ou incompleta, baseando-
se nos valores dos coeficientes que acompanham os “x” e o termo independente “c”. Sabe-se que uma equação do
segundo grau tem a forma algébrica: ax² + bx + c = 0 e com a não sendo nulo.
24
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Chamamos de EQUAÇÃO COMPLETA quando TODOS os coeficientes são diferentes de 0, isto é:
a ̸= b ̸= c ̸= 0
Chamamos de EQUAÇÃO INCOMPLETA quando pelo menos um dos coeficientes é igual a zero (exceto o a), isto é:
b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0
Resolvendo uma Equação do 2º Grau
Consideremos a equação do segundo grau completa da forma: ax² + bx + c = 0, para acharmos suas raízes x1 e x2 cal-
culamos em primeiro lugar os valores dos coeficientes a,b e c da equação dada, sendo eles o valor real que acompanha
x² após o valor real que acompanha x e por fim o termo independente (que não acompanha letra), respectivamente.
Em segundo lugar o valor numérico do discriminante △ que possui a seguinte expressão em função dos coeficientes
da EQUAÇÃO:
△ = b²− 4ac
CONDIÇÕES PARA△:
SE DELTA É MAIOR QUE ZERO, A EQUAÇÃO TEM DUAS RAÍZES REAIS E DISTINTAS;
SE DELTA É IGUAL A ZERO, A EQUAÇÃO TEM DUAS RAÍZES REAIS E IGUAIS;
SE DELTA É MENOR QUE ZERO, A EQUAÇÃO NÃO TEM RAÍZES REAIS.
Após acharmos o△, utilizamos a fórmula de Bháskara para acharmos as raízes, sendo elas iguais a:
x′ = −b+
√
△
2a e x′′ =
−b−
√
△
2a
(Não importa qual raiz irá calcular primeiro).
Caso a equação seja INCOMPLETA, veremos os casos a seguir:
1. B = 0−→ AX² + C = 0
Neste caso as raízes são da forma: ±
√
−C
A COM
−C
A SENDO ESTRITAMENTE POSITIVO.
2. C = 0−→ AX² + BX = 0
Neste caso obrigatoriamente uma raiz é igual a zero e a equação na forma fatorada fica igual a:
X(AX + B) = 0 a segunda raiz é da forma −BA .
3. B = C = 0
Neste caso existe uma raiz dupla igual a 0.
OBSERVAÇÃO: Em todas as equações incompletas pode-se usar a fórmula de Bháskara assim como nas equações
completas.
OBSERVAÇÃO: Toda equação do 2º grau pode ser escrita na sua forma FATORADA:
a(x− x′)(x− x′′) = 0
Com x’ e x” sendo suas RAÍZES, e “a” o coeficiente que acompanha x².
25
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Exercícios Resolvidos
Nível 1
Um criador de aves verificou que após colocar (n+2) aves em cada um dos n viveiros disponíveis, sobraria apenas
uma ave. O número total de aves, para qualquer valor de n natural é sempre um número definido como o que?
Solução:
O número total de aves é igual ao produto n(n+2) + 1 (pois sobrou uma ave), resultando na seguinte expressão
algébrica:
n(n+2) + 1 = n² + 2n + 1 e com ajuda da FATORAÇÃO do segundo grau, temos que a equação anterior possui apenas
uma única raiz igual a -1, logo: n² + 2n + 1 = (n + 1)² E ISSO IMPLICA DIZER QUE PARA TODO N NATURAL, temos que o
número total de aves sempre será um QUADRADO PERFEITO.
Nível 2
Quais as soluções da equação abaixo?
x+ 3
x− 1
=
3x+ 1
x+ 3
Solução:
Antes de resolvermos a equação do 2º grau, precisamos acha-la fazendo o produto cruzado na expressão acima.
x+ 3
x− 1
=
3x+ 1
x+ 3
→ (x+ 3)(x+ 3) = (3x+ 1)(x− 1) → x²+ 6x+ 9 = 3x²− 2x− 1 → −2x²+ 8x+ 10 = 0
DIVIDINDO A EQUAÇÃO POR (-2), temos que:
−2x² + 8x + 10 = 0 → x² − 4x − 5 = 0 com isso, resolveremos a equação do segundo grau igual a: x² - 4x – 5 = 0
SENDO A = 1, B = -4 e C = -5.
△ = (−4)² − 4(1)(−5) → △ = 16 + 20 = 36 → △ = 36 (como delta é maior que zero, existem duas raízes reais e
distintas).
Agora usaremos a expressão de Bháskara para acharmos as raízes distintas:
x′ =
−(−4) +
√
36
2(1)
=
4 + 6
2
=
10
2
= 5
x′′ =
−(−4)−
√
36
2(1)
=
4− 6
2
=
−2
2
= −1
Logo, as soluções da equação são iguais a 5 e -1.
Nível 3
Sabendo que a equação: x² + mx + 16 = 0 possui duas raízes reais e iguais, descubra o valor de M para que isso seja
verdadeiro.
26
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Solução:
Como a equação possui duas raízes reais e iguais, então resta dizer que o discriminante (delta) é igual a zero, então
basta igualarmos a expressão: △ = b²− 4aca ZERO.
Pela equação dada, temos que: A = 1, B = M e C = 16, LOGO:
△ = (m)²− 4(1)(16) = 0 → m²− 64 = 0 → m² = 64 → m = ±
√
64
→ m = ±8.
Então os possíveis valores de m são mais ou menos 8 para que a equação tenha duas raízes reais e iguais.
Expressões Numéricas
Conceitos
Denominamos como expressões numéricas sequências de no mínimo duas operações distintas que seguem uma
determinada ordenação. Estas determinadas ordenações são chamadas de regras da expressão numérica e veremos
elas a seguir.
Ordenação das Operações
Nas expressões numéricas seguimos a seguinte ordenação nas operações a serem feitas (do primeiro ao último),
sendo elas listadas a seguir:
1º) POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO;
2º) MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO;
3º) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO.
Lembrando que é importante ressaltar que se tivermos numa expressão operaçõesna mesma ordem, fazemos
sempre a operação que aparece primeiro da esquerda para a direita. Caso existam símbolos especiais (parêntesis,
colchetes e (ou) chaves) não mudamos a ordem das operações, no entanto devemos operar seguindo a ordem:
1º) RESOLVER OPERAÇÕES QUE ESTÃO DENTRO DOS PARÊNTESIS;
2º) RESOLVER OPERAÇÕES QUE ESTÃO DENTRO DOS COLCHETES;
3º) RESOLVER OPERAÇÕES QUE ESTÃO DENTRO DAS CHAVES;
Exercícios Resolvidos
Nível 1
Resolva a seguinte expressão numérica: 900− 4.2.(3 + 5)
27
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Solução:
Seguindo as regras da ordenação das operações, temos que:
900− 4.2.(3 + 5) = 900− 4.2.8 = 900− 8.8 = 900− 64 = 836.
Nível 2
Qual o resultado de um quinto do resultado desta expressão numérica:
[(64− 16.4) + (48.10− 180)].5
Solução:
Seguindo a ordenação das expressões numéricas, calcularemos primeiro o resultado da expressão acima, posteri-
ormente dividiremos o resultado por cinco.
[(64− 16.4) + (48.10− 180)].5 = [(64− 64) + (480− 180)].5 = [0 + 300].5 = 300.5 = 1500
Como o resultado é 1500, tomando 1500/5 = 300.
Nível 3
Resolva a seguinte expressão numérica: 1440 : {30.[20 + (49− 35).2]}
Solução:
Usando-se das regras da ordem das expressões numéricas, temos que:
1440 : {30.[20 + (49− 35).2]} = 1440 : {30.[20 + 14.2]} = 1440 : {30.[20 + 28]} = 1440 : {30.48} = 1440 : 1440 = 1.
Fatoração e Produtos Notáveis
Produtos Notáveis
Ao elevar-se um número a uma determinada potência significa que estamos multiplicando este número por si
mesmo a quantidade de vezes no qual aparece a potência dada. Os produtos notáveis são um tópico que se rela-
cionam com expressões que facilitam calcular o quadrado e(ou) cubo de somas ou diferenças, por exemplo, de termos
algébricos ou numéricos. Os produtos notáveis fundamentais, são:
1. QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
(a + b)² = a² + 2ab + b²
28
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2. QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
(a – b)² = a² - 2ab + b²
3. PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA
(a + b)(a – b) = a² - b²
4. QUADRADO DA SOMA DE TRÊS TERMOS
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
5. CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS
(a + b)³ = a³ +3a²b + 3ab² + b³
6. CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
(a – b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
7. SOMA DOS CUBOS DE DOIS TERMOS
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
8. DIFERENÇA DOS CUBOS DE DOIS TERMOS
a³ - b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
Fatoração de Expressões Algébricas
Fatorar está relacionado com encontrar fatores iguais em termos algébricos numa expressão algébrico, de maneira
informal temos que basicamente é “transformar uma expressão grande com vários termos em um produto de termos
com graus menores”. Existem alguns tipos de fatoração essenciais, sendo eles:
1. Fator Comum (Evidência)
Neste caso, basta analisarmos o termo que se repete nos demais e colocamos o mesmo em evidência multipli-
cando os termos restantes. Vejamos o caso a seguir:
AX + DX – EX = X(A + D – E).
(Neste caso a variável “X” se repetiu em todos os termos da expressão, logo foi colocado em evidência).
2. Agrupamento de Termos
Neste caso seguimos o mesmo padrão do anterior, mas agora agrupando cada vez mais os termos iguais em ev-
idência, basicamente a grande “diferença” está na quantidade de vezes em que vamos evidenciar o fator comum,
que é mais de uma, daí o nome AGRUPAMENTO. Vejamos o caso a seguir:
AX + BX + AZ + BZ = X(A + B) + Z(A + B) = (A+ B)(X + Z).
29
Militar Concursos - Matemática
(Neste caso primeiro agrupamos x com a e b depois z com a e b, após isso evidenciamos mais uma vez, só que
agora o “A + B”).
3. QUADRADOS PERFEITOS
Neste caso seguimos os produtos notáveis (quadrado/diferença de dois termos e produto da soma pela difer-
ença), sendo necessário observar se as expressões dadas são quadrados perfeitos, e para isso é necessário seguir os
seguintes passos:
1. TIRAR A RAIZ QUADRADA DO PRIMEIRO E ÚLTIMO TERMO;
2. TOMAR O TERMO DO MEIO E DIVIDÍ-LO POR 2;
3. SE O RESULTADO DO TERMO DO MEIO FOR IGUAL AO PRODUTO DAS RAÍZES QUADRADAS DO PRIMEIRO E ÚLTIMO
TERMO, ENTÃO A EXPRESSÃO É UM QUADRADO PERFEITO, E DEVE-SE REPETIR O SINAL DO MEIO;
4. NOCASODEEXPRESSÕESDAFORMA (A² -B²) BASTATIRARARAIZ ECOLOCAROPRODUTODASOMAPELADIFERENÇA
DOS TERMOS RESULTANTES DAS RAÍZES.
Vejamos os seguintes casos:
EXEMPLO 1) x² + 6x + 9 √
x² = x
√
9 = 3
6x/2 = 3x = PRODUTO DAS RAÍZES QUADRADAS.
CONCLUSÃO: x² + 6x + 9 = (x + 3)².
EXEMPLO 2) x² - 4x + 4 √
x² = x
√
4 = 2
4x/2 = 2x = PRODUTO DAS RAÍZES QUADRADAS.
CONCLUSÃO: x² - 4x + 4 = (x – 2)².
EXEMPLO 3) 4x² - 25 √
4x² = 2x
√
25 = 5
CONCLUSÃO: 4x² - 25 = (2x + 5)(2x – 5).
Exercícios Resolvidos
Nível 1
A soma de dois números é igual a 10 e o produto entre eles é igual a 20, qual o valor da soma dos quadrados deles?
Solução:
30
Militar Concursos - Matemática
Sabe-se que a soma dos quadrados de dois termos é dada por x² + y². Pelo enunciado, temos que:
(x + y) = 10 e xy = 20
(x + y)² = 10² −→ x² + 2xy + y² = 100 −→ x² + y² = 100 - 2xy −→ x² + y² = 100 – 2(20) −→ x² + y² = 60.
Logo, o resultado é igual a 60.
Nível 2
Simplifique a seguinte expressão: x²−8x+16(x−2)(x²−4x) .
Solução:
Usaremos o método de fator comum e quadrado perfeito. Vejamos a seguir:
x²− 8x+ 16
(x− 2)(x²− 4x) =
(x− 4)(x− 4)
(x− 2)x(x− 4)
=
(x− 4)
x(x− 2)
.
Nível 3
Qual o valor da expressão: x4−1(x²+1)(x−1)para x=1999?
Solução:
Primeiro é necessário simplificar a expressão algébrica e depois substituir o valor de x. Simplificando:
x4 − 1
(x²+ 1)(x− 1) =
(x²+ 1)(x²− 1)
(x²+ 1)(x− 1) =
(x²− 1)
(x− 1)
=
(x+ 1)(x− 1)
(x− 1)
= x+ 1.
Basta agora substituirmos o valor de x por 1999, com isso temos: 1999 + 1 = 2000.
Frações
Conceito
Denominamos a fração como uma representação de uma parte pelo todo, isto é, como se repartíssemos um número
inteiro em pequenas partes iguais, de maneira geral podemos concluir que fração é uma divisão. Seus termos são
chamados de: numerador e denominador. Sendo o numerador o número superior e o denominador o número inferior.
1
2
→
→
numerador
denominador
Tipos de Frações
Podemos classificar as frações em 3 tipos fundamentais: próprias, impróprias, aparentes ou mistas. As frações
próprias são aquelas em que o valor numérico do numerador é inferior ao do denominador. Já as impróprias e
31
Militar Concursos - Matemática
aparentes possuem o numerador maior que o denominador, entretanto somente nas aparentes temos como resul-
tado um número inteiro na divisão, isto é, o numerador é um múltiplo do denominador. Por fim, as frações mistas são
aquelas acompanhadas de um número inteiro mais a fração. Vejamos a seguir exemplos de cada tipo de fração:
1) 34 : FRAÇÃO PRÓPRIA
2) 109 : FRAÇÃO IMPRÓPRIA
3) 205 = 4: FRAÇÃO APARENTE
4) 1 23 : FRAÇÃO MISTA
Operações com Frações
1. Adição
Para somarmos frações deveremos averiguar se os denominadores são iguais ou não. Caso sejam iguais, usamos
a regra: repete o denominador e soma o numerador. Caso contrário, devemos tirar o MMC (Mínimo Múltiplo
Comum) dos denominadores, fazendo com que as frações se transformem em equivalentes da seguinte forma:
tomamos oMMC e dividimos pelos denominadores de cada fração antiga e o resultado encontrado, multiplicamos
pelos numeradores das frações iniciais e somamos ao final.
Exemplos:
1) 12 +
4
2 =
5
2
2) 12 +
2
3=
1x3+2x2
6 =
7
6 (NOTE QUE O MMC(2,3) = 6)
2. Subtração
A operação subtração segue o mesmo critério da adição.
Exemplos:
1) 76 −
5
6 =
2
6
2) 74 −
1
3=
7x3−1x4
12 =
17
12 (NOTE QUE O MMC(3,4) = 12)
3. Multiplicação
A multiplicação de frações segue o mesmo princípio da multiplicação só que para ambos os termos, isto é,
mantemos o produto dos numeradores entre si e o mesmo para o produto dos denominadores entre si.
Exemplos:
1) 35x
7
6 =
21
30
2) 15x
8
10 =
8
50
4. Divisão
Para efetuarmos a divisão de duas frações, usamos a regra: “Repete a primeira fração e multiplica pelo inverso
da segunda”. Sabendo que inverso de uma fração é trocar o numerador com o denominador e vice versa.
32
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Exemplos:
1)
1
5
÷ 3
2
=
1
5
x
2
3=
2
15
2)
3
7
÷ 4
2
=
3
7
x
2
4
=
6
28
5. Potenciação
A potenciação de uma fração segue o princípio de elevarmos a mesma potência tanto o numerador, quanto o
denominador.
Exemplos:
1) ( 12 )2 =
1
4
2) ( 35 )4 =
81
625
6. Radiciação
Nesta operação, segue-se o mesmo princípio da anterior, entretanto agora com a raiz ao invés da potência.
Exemplos:
1.
√
64
36 =
8
6
2. 3
√
27
8 =
3
2
Frações Equivalentes
Denominamos frações equivalentes todo o conjunto de frações onde a razão entre o numerador e o denominador
continua a mesma. Além disso, a fração equivalente que não pode mais ser simplificada, chamamos de fração irre-
dutível e as demais que podem ser reduzidas, chamamos de redutíveis.
Exemplo:
As frações redutíveis e irredutível de 1224são:
12
24=
6
12=
3
6=
1
2 , com a fração
1
2sendo a irredutível.
Exercícios Resolvidos
Nível 1
Juliana tinha R$ 245,00 e gastou 17de
1
5dessa importância. Quanto sobrou?
Solução:
Sabe-se que a fração de um número é o produto do número pela fração, logo ao fazermos 17de
1
5 temos que:
1
7x
1
5 =
1
35com isso, ela gastou 1 parte de 35, restaram 34 partes do total, logo:
34
35x 245 = R$238,00. Logo, sobrou R$ 238,00 para Juliana.
33
Militar Concursos - Matemática
Nível 2
Uma peça de tecido, após a lavagem, perdeu 110de seu comprimento e este ficou medindo 36 metros. Determine o
comprimento, em metros, da peça antes da lavagem.
Solução:
Como a peça perdeu 110 , sobraram
9
10do tecido que representa 36 metros, logo o valor total é a divisão de 36 por
9
10 .
36
1 ÷
9
10 =
36
1 x
10
9 =
360
9 = 40, com isso conclui-se que o comprimento da peça antes do corte é de 40 metros.
Nível 3
Duas empreiteiras farão conjuntamente a pavimentação de uma estrada, cada uma trabalhando a partir de uma
das extremidades. Se uma delas pavimentar 25da estrada e a outra 81 quilômetros restantes, determine a extensão
total dessa estrada.
Solução:
Pode-se concluir que se 25 já foram pavimentados e 81km representa o restante, significa que
3
5de N é igual a 81,
logo o valor total da estrada (N) é dada pela divisão de 81 por 35 , com isso, N = 135km. Logo, o valor total da estrada é
igual a 153 quilômetros.
Potenciação e Radiciação
Potenciação
Denotamos como potência de um número o produto finito de um número por ele mesmo, ou seja, se tomarmos uma
potência abchamamos a de base que significa o número que se repete namultiplicação e b de expoente que simboliza
o número de repetições no produto finito de a por a.
Exemplo:
34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81.
Propriedades da Potenciação
Sejam os números reais a, b e c com a ̸=0, com as seguintes propriedades:
1. Produto de Potências de mesma base:
(ab)x(ac) = a(b+c)
REPETE A BASE E SOMA OS EXPOENTES
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2. Divisão de Potências de mesma base:
ab
ac
= a(b−c)
REPETE A BASE E SUBTRAI OS EXPOENTES
3. Potência de uma Potência:
(ab)c = a(bc)
REPETE A BASE E MULTIPLICA OS EXPOENTES
4. Produto de Bases diferentes e Expoentes iguais:
(ab)(cb) = (ac)b
REPETE O EXPOENTE E MULTIPLICAM A BASE
5. Razão de Bases diferentes e Expoentes iguais:
(
ab
cb
) = (
a
c
)b
REPETE O EXPOENTE E DIVIDE AS BASES
6. Todo número, exceto o zero, elevado a zero é igual a 1.
7. Todo número elevado a 1 é ele mesmo.
8. Potência com Expoente negativo:
(a−b) = (
1
a
)b
INVERTEMOS A BASE E MUDAMOS O SINAL DO EXPOENTE
Radiciação
Definimos como radiciação de um número, a operação matemática inversa a potenciação. Pois enquanto na po-
tenciação temos um produto finito de todos os termos sendo iguais, na radiciação o nosso objetivo é encontrar quem,
de fato, são esses tais fatores.
Nomenclatura e elementos: a
√
b , a é o índice e sabemos que a é um natural maior ou igual a 2, e b é o radicando
sendo um número real, somente se a for ímpar, e se a for par, b deverá ser um real positivo.
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Propriedades da Radiação
Considerando números a, m e n contidos na definição de radiciação mencionada acima, é válido dizer que:
1. n
√
am = a
m
n
2.
n
p
√
a
m
p = n
√
am (o valor do índice e radicando podem ser divididos ou multiplicados pelo mesmo número simul-
taneamente).
3. n
√
m
√
a = mn
√
a
4. n√a. n
√
b = n
√
a.b
5. n
√
a
n√
b
= n
√
a
b
Exercícios Resolvidos
Nível 1
Qual o valor da expressão: 37.
3√9
(3−1)−5 ?
Solução:
37. 3
√
9
(3−1)−5
=
37.
3
√
32
35
=
37.3
2
3
35
= 3(7−5).3
2
3 = 32.3
2
3 = 3(2+
2
3 ) = 3
8
3 =
3
√
38 =
3
√
6561
Nível 2
(OBM) O quociente de 5050 por 2525 é igual a quanto?
Solução:
5050
2525
=
(2.25)50
2525
=
(250)(2550)
2525
= 250.2525 = 425.2525 = 10025
Nível 3
Simplifique o seguinte radical: 3
√
514.72.103 .
Solução:
3
√
514.72.103 = 3
√
514.72.(2.5)3 =
3
√
514.72.23.53 =
3
√
517.72.23 = 2.
3
√
517
3
√
49 =
2
3
√
49
3
√
515.52 = 2.55
3
√
49
3
√
25 = 6250
3
√
49.25 = 6250
3
√
1225
Problemas sobre as 4 Operações
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Adição
Denominamos como adição a operação matemática que une elementos resultando em um total. Os nomes das
parcelas são: 1º parcela, 2º parcela, ..., nº parcela e a soma ou total (que é o resultado). As propriedades da soma se
resumem em: Associatividade, comutatividade e existência do elemento neutro. Na associatividade temos que dados
a, b, c números inteiros, temos que: (a + b) + c = a + b + c = a + (b + c). Na comutatividade temos que: a + b = b + a, e o
elemento neutro da adição é o zero, já que a + 0 = 0 + a = a.
Subtração
Denominamos como subtração a operação matemática que está relacionada com a diferença entre dois termos,
cujos termos são chamados de minuendo, subtraendo e resto ou diferença. As propriedades da subtração não são
iguais da adição, e o elemento neutro da subtração à direita é o zero (0), ou seja, a – 0 = a.
Multiplicação
Denotamos comomultiplicação, a repetição da soma de umdado elemento “x” vezes somados a simesmo, exemplo:
se somarmos 3 + 3 + 3 + 3 = 12 = 3x4. Os termos da multiplicação são: multiplicando, multiplicador e produto. E suas
propriedades básicas e fundamentais consistem em: Comutatividade, Associatividade, Existência do elemento Neutro.
Notemos que o elemento neutro da multiplicação é 1.
Divisão
Denotamos como divisão ou razão entre dois termos, a repartição igualitária do termo maior em n partes menores.
Os termos da divisão são: dividendo, divisor, quociente e resto. Onde o MAIOR RESTO POSSÍVEL é dado por (divisor –
1). E quando a DIVISÃO É EXATA, o resto é igual a ZERO. O elemento neutro da divisão à direita é o 1, já que a ÷ 1 = a.
Exercícios Resolvidos
Nível 1
João possui em sua casa 30 camisas, 45 bermudas, 20 pares de meia e 5 cuecas. Qual o total de vestimentas?
Solução:
Pelo enunciado, temos a presença da palavra total que representa um termo algébrico da soma, logo o total de
vestes de é dado por: 30 + 45 + 20 + 5 = 100.
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Nível 2
Quantos segundos existem em 10 dias?
Solução:
Resolveremos o exercício com o auxílio da multiplicação e pelo conhecimento prévio que 1 dia são 24 horas, e 1
hora são 3600 segundos.
TOTAL DE HORAS EM 10 DIAS: 10 X 24 = 240 HORAS
TOTAL DE SEGUNDOS EM 240 HORAS: 3600 X 240 = 864000 HORAS.
Nível 3
Na divisão de um número N por 13 temos o quociente igual a 23 e o MAIOR RESTO POSSÍVEL, quem é o número N?
Solução:
Usando o Teorema do Resto, temos que:
(DIVIDENDO) = (DIVISOR) X (QUOCIENTE) + (RESTO)
COMO TEMOS O MAIOR RESTO POSSÍVEL E O DIVISOR É 13, ENTÃO O RESTO É 12.
Com isso, podemos substituir na equação acima e encontrar o dividendo, também conhecido como N.
N = 13x23 + 12 = 311.
Logo, o valor de N é igual a 311.
Proporcionalidade
Conceitos
Para entendermos o conceito de proporcionalidade, devemos saber primeiramente o que são grandezas dentro
da área matemática e como a proporção está entre elas. Denotamos como grandeza tudo aquilo em que podemos
medir ou contar, como por exemplo o tempo, dinheiro, idade, velocidade, entre outros. Classificamos as grandezas em
diretamente ou inversamente proporcionais. Sabe-se queo conceito de proporção surge a partir de conhecimentos
prévios de razão, já que dada uma comparação entre duas ou mais grandezas com razões constantes em relação ao
aumento e queda, dizemos que elas se mantêm proporcionais. Podemos citar o valor pago a partir de uma compra de
um produto, já que quanto mais compramos uma certa mercadoria em quantidade, mais pagaremos no caixa. Logo,
preço e quantidade são diretamente proporcionais.
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Tipos de Proporcionalidade
Dizemos que duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais, se no mesmo instante que uma aumenta ou
diminui, acontece simultaneamente o mesmo com a outra. Já para as inversamente proporcionais é o contrário, isto é,
uma aumentando implica na queda da outra e vice versa. Esse “aumento” ou “queda” é responsável por uma constante
advinda da razão entre o valor final de uma grandeza pelo seu valor inicial, chamamos tal constante de constante
de proporcionalidade e representamos por “k”. Se uma grandeza é diretamente proporcional, multiplicamos por k
e se é de forma inversamente proporcional, multiplicamos por 1k . Em dois casos como número de trabalhadores e
o tempo de uma obra é claramente uma grandeza inversamente proporcional, levando em conta que quanto mais
trabalhadores, menos tempo gastarão para finalizar o trabalho. E, em um colégio se analisarmos a quantidade de
alunos e a quantidade de livros necessários, quantomais alunosmaior a quantidade de livros, ou seja, são diretamente
proporcionais.
Propriedades da Proporcionalidade
Sabe-se que a proporcionalidade é uma relação de equivalência pois é reflexiva, simétrica e transitiva. É reflexiva,
porque toda grandeza é proporcional a si mesma, simétrica porque podemos dizer que se a grandeza A é proporcional
a B é o mesmo que B é proporcional a A, ou seja, a ordem não importa, além disso é transitiva, pois se dadas três
grandezas de modo que A seja proporcional a B e B seja proporcional a C, então A é proporcional a C.
Regra de Três e Proporção
Em cálculos, quando tomamos a armação das grandezas em uma regra de três, multiplicamos os valores de forma
cruzada quando temos grandezas diretamente proporcionais e de forma paralela quando são inversamente propor-
cionais.
Exercícios Resolvidos
Nível 1
Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 72 e 128. Determine os valores de x e y.
Solução:
Como x e y são diretamente proporcionais a 40 e 72, podemos concluir que da mesma forma que x está para 40, y
está para 72 e 32 está para 128. Devemos encontrar a constante de proporção dividindo 128 por 32, logo: k = 128 ÷ 32
= 4. E, com isso, x = 40 ÷ 4 = 10 e y = 72 ÷ 4 = 16. Conclusão, x = 10 e y = 16.
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Nível 2
Três caminhões transportam 250m³ de areia. Quantos caminhões iguais a esse serão necessários para transportar
7000m³ de areia?
Solução:
O número de caminhões e a quantidade de areia possível de ser carregada são grandezas diretamente propor-
cionais. Logo:
250
7000 =
3
x −→ 250x = 21000 −→ x =
21000
250 = 84.
Serão necessários 84 caminhões.
Nível 3
Uma maquete de um reservatório cúbico foi construída em escala linear de 1:200. Se o volume da maquete do
reservatório é de 64cm³, a aresta do reservatório cúbico real, em metros, é igual a quanto?
Solução:
Sabendo que o volume do cubo é V = L³, com L sendo o comprimento das arestas. Temos que calcular em primeiro
lugar o comprimento das arestas da maquete. 64 = L³ −→ L = 3
√
64 = 4cm.
Utilizando a escala dada (que é uma razão proporcional), calcularemos o valor da aresta do objeto real.
1
4 =
200
x → x = 4x200 = 800cm = 8 metros (realidade).
Sistemas de Numeração
Conceitos e Classificações
Podemos conceituar como um Sistema de Numeração como a representação de um conjunto numérico de uma
forma consistente e com interpretação própria. Sabe-se que ao decorrer dos anos os sistemas de numeração começaram
a existir e tendo similaridades, o que implicava em conversões. Isto é, um certo valor de um sistema equivalia a outro
valor ou representação noutro sistema. Ao longo das épocas também conclui-se que foram desenvolvidos símbolos
e regras, fortalecendo a existência de novos Sistemas de Numeração. Enfatizaremos como fundamentais os sistemas
de numeração Decimais e Binários e suas respectivas regras.
Sistema de Numeração Decimal
Denotamos como sistema decimal o sistema que é baseado na base dez, também conhecido como sistema de
numeração indo-arábico, basicamente é aquele formado pelos algarismos de 0 (zero) a 9 (nove) e suas respectivas
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combinações. Além de ser um sistema posicional, isto é, a localização do algarismo modifica seu valor, também é
formado por ordens e classes. A ordem é representada por cada um algarismo, já a classe é contada da direita para a
esquerda e a cada três ordens (três algarismos) origina-se uma classe.
Exemplo de Ordem e Classe
Consideremos o número 1.278 sendo decomposto da seguinte forma:
1. Possui 4 algarismos, ou seja, 4 ordens.
2. Possui 2 classes, sendo a 2º incompleta, já que “278” pertence à classe das unidades simples e o “1” a classe dos
milhares.
3. Sua decomposição é dada por: 8 unidades, 7 dezenas, 2 centenas e 1 unidade de milhar.
Segue abaixo a tabela das classes e ordens.
Classe dos Milhões
9ª ordem 8ª ordem 7ª ordem
CentenasDeMilhão Dezenas DeMilhão UnidadesDeMilhão
Classe dos Milhares
6ª ordem 5ª ordem 4ª ordem
CentenasDeMilhar DezenasDeMilhar UnidadesDeMilhar
Classe das Unidades Simples
3ª ordem 2ª ordem 1ª ordem
Centenas Dezenas Unidades
Base Binária
A base binária é aquela que conta apenas com os algarismos 0 e 1, além de poder de simbolizar todos os números
na base decimal. Por exemplo, na base binária o número 12 é representado por 1100 e o 15 da forma 1111. A forma de
conversão para transformar de base 10 para base 2 é a divisão sucessiva do número por 2 até o resto ficar igual a 1 e
o quociente 0. Lembrando que o 0 é o mesmo no decimal e no binário.
DECIMAL BINÁRIO
0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
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Vejamos agora a transformação usada tanto de decimal para binário quanto de binário para decimal:
(78)10 significa que 78 está na base 10.
78 ÷ 2 = 39 RESTO: 0
39 ÷ 2 = 19 RESTO: 1
19 ÷ 2 = 9 RESTO: 1
9 ÷ 2 = 4 RESTO: 1
4 ÷ 2 = 2 RESTO: 0
2 ÷ 2 = 1 RESTO: 0
1 ÷ 2 = 0 RESTO: 1
Colocamos agora todos os restos “de baixo para cima”, isto é, do último resto ao primeiro. Logo:
(78)10 = (1001110)2.
De maneira contrária, para transformar da base binária para a base decimal, fazemos o somatório do produto dos
algarismos que estão na base 2, pela posição significativa do número.
(1001110)2 = “7 números então começamos por 2 elevado a 6, já que vai de 6 a zero, fechando os 7 números.”
(1001110)2 = 1 x 26+ 0 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 = (78)10.
Demais Bases
Além da base decimal e binária, são existentes o sistema de numeração romano e o sistema de numeração embases
hexadecimais. Em respeito ao primeiro, vale dizer que é necessário saber sua representação e tradução aos algarismos
indo-arábicos, já na base hexadecimal temos a presença dos algarismos de 0 a 5 e para transformar da base decimal
para hexadecimal basta dividirmos por 6 e o contrário bastamultiplicarmos por potências de 6 dependendo da posição
dos algarismos, de forma análoga da base 2 para a base decimal.
Exercícios Resolvidos
Nível 1
Considerando o número X sendo composto por 2 classes e 5 ordens, além disso tomemos que os números 1,2,4,6,7
e 8 são os possíveis algarismos distintos de X. Se X é o maior número possível, quem é ele?
Solução:
ComoX é umnúmero composto por 5 ordens podemos afirmar que ele possui cinco algarismos, alémdisso dispondo-
se dos algarismos 1,2,4,6,7 e 8 com X sendo o maior deles, podemos concluir que X começa com o algarismo 8 e vai
seguindo dos menores algarismos, de forma decrescente. Logo:
5ª ordem 4ª ordem 3ª ordem 2ª ordem 1ª ordem
8 7 6 4 2
Logo, X = 87642.
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Nível 2
Qual o menor e o maior número de três algarismos na base 2? Transforme esses números para a base decimal.
Solução:
Como são de três algarismos devemos considerar que não podemos colocar “001”, já que 0 à esquerda não é
algarismo significativo, não tem valor. Logo devemos começar com 1 e como é o menor completamos com 00 e o maior
com 11, então:
MENOR: (100)2
MAIOR: (111)2
Para transformarmos, iremos usar o somatório pelo produto da base 2.
(100)2 = 1 x 22+ 0 x 21+ 0 x 20 = 4
(111)2 = 1 x 22+ 1 x 21+ 1 x 20 = 7
Nível 3
Considere um livro com número de páginas igual a (101)6 e sabendo que neste livro cada página possui 20 palavras,
tome N = 15k com k inteiro dentro de [0, 50], qual a relação entre o número de palavras do livro e o valor de N?
Solução:
Primeiro é necessário transformar (101)6 na base decimal para multiplicarmos por 20 e obtermos o total de palavras
do livro.
(101)6 = 1 x 62+ 0 x 61+ 1 x 60 = 37 PÁGINAS.
TOTAL DE PALAVRAS = 37 x 20 = 740.
Como N = 15k, vamos considerar que 15k = 740 k é aproximadamente igual a 49,33. Logo, temos como resposta a
seguinte afirmação:
O número de páginas é maior que N se e só se k pertencer ao intervalo [0,49] e o número de páginas é menor que
N se e só se k for igual a 50 (limite superior do intervalo). Não existe k inteiro tal que 740 = N.
Inequações 1º Grau
Conceitos
Define-se como inequações do primeiro grau toda desigualdade de uma variável descrita em uma das formas:
ax + b > 0 ou ax – b < 0 ou ax + b ≥ 0 ou ax + b ≤ 0. Os símbolos nos indicam uma desigualdade em termos de x o
que nos faz encontrar um intervalo no qual x está presente e não exatamente o valor exato de x ao resolvermos uma
inequação.
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Resolução de uma Inequação do Primeiro Grau
Seja a inequação do primeiro grau a seguir: 2x + 10 > 20, sua forma de resolver é a mesma de uma EQUAÇÃO DO
PRIMEIRO GRAU, somente é necessário analisarmos posteriormente o conjunto solução que não será ÚNICO.
2x > 20 – 10 −→ 2x > 10−→ x > 5. Logo, todo x pertencente aos Reais e maior que 5 é uma solução da inequação,
considerando que o conjunto UNIVERSO em questão seja os REAIS.
Para resolvermos uma inequação do primeiro grau seguimos os passos:
1. Isolamos os termos algébricos de um lado e os numéricos doutro;
2. Ao mudar um termo de um lado para o outro mudamos a operação usando a OPERAÇÃO INVERSA;
3. Após acharmos a solução, analisa-se o conjunto UNIVERSO e escrevemos sua solução de forma formal.
Propriedades da Inequação do Primeiro Grau
Considerando x, y e b números reais, então é válido dizer que:
1. x < y↔ x + b < y + b, b ∈ R
2. x < y↔ bx < by, se b > 0
3. x < y↔ bx > by, se b < 0
Inequações Simultâneas
Para o tipo de inequações simultâneas, isto é, mais de uma inequação em forma de produto e(ou) quociente,
devemos encontrar o conjunto solução que satisfaça ambas simultaneamente. Faz se necessário analisarmos o valor
que acompanha a variável “x”, caso seja positiva, à direita da solução na reta REAL teremos valores positivos e se for
negativa, teremos valores negativos à direita. Já no lado esquerdo sempre será o sinal contrário ao lado direito. Se
for uma inequação quociente é necessário lembrar que no denominador NÃO PODE ENTRAR SOLUÇÃO QUE O TORNA
IGUAL A ZERO.
Exercícios Resolvidos
Nível 1
Quais os valores REAIS que podemos atribuir a x que tornam a desigualdade: 3x – 20 < 2x + 6 verdadeira?
Solução:
Em primeiro lugar é válido resolvermos a inequação deixando letra de um lado e número do outro.
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3x – 2x < 6 + 20
x < 26
Logo, como solução temos que: {x ∈ R I x < 26}.
Nível 2
Determine o conjunto solução do sistema a seguir, tomando U = R. 5x+ 1 ≥ x− 23x+ 3 ≤ x+ 1
Solução:
Devemos resolver separadamente as inequações e ao final unificamos os dois conjuntos solução.
INEQUAÇÃO 1:
5x – x≥ -2 -1−→ 4x≥ -3−→ x≥ -3/4
INEQUAÇÃO 2:
3x – x≤ 1 – 3−→ 2x≤ -2−→ x≤ -1
SOLUÇÃO GERAL:
Sabemos que x está no conjunto dos REAIS tal que é menor que -1 ou é maior que -3/4, logo o conjunto solução S
é dado por:
S = {x ∈ R I x≤ -1 ou x≥ -3/4}.
Nível 3
Resolva a inequação quociente a seguir: 3x+15x−6 > 0 considere U = R.
Solução:
Devemos estudar os sinais das inequações separadamente, sendo a primeira do numerador e a segunda do de-
nominador e depois fazemos a interseção das soluções.
INEQUAÇÃO 1:
3x + 15 = 0−→ x = -5 (é raiz da equação)
ESTUDO DO SINAL:
INEQUAÇÃO 2:
x – 6 = 0 x = 6 (é raiz da equação)
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ESTUDO DO SINAL:
INTERSEÇÃO DAS SOLUÇÕES:
Como buscamos valores MAIORES QUE ZERO, o CONJUNTO SOLUÇÃO S é dado por:
S = {x ∈ R I x < -5 ou x > 6}.
Congruência de Triângulos
Conceitos
Definimos geometricamente triângulo como a figura que possui três lados, vértices e ângulos formada por três
pontos não colineares no plano. Dizemos que dois segmentos AB e CD são congruentes quando AB = CD e dizemos que
dois ângulos x e y são congruentes se possuem a mesma medida.
1) Um ângulo é sempre congruente a si mesmo.
2) Vale a transitividade na congruência, isto é, se x = y e y = z então x = z.
Casos de Congruência de Triângulos
Dois triângulos são congruentes se for possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre seus vértices de
modo que seus lados e ângulos correspondentes sejam congruentes. Observação: Se ABC ≡ EFG, quer dizer que os
triângulos ABC e EFG são congruentes e que a congruência leva A em E, B em F e C em G.
1º CASO (LADO, ÂNGULO, LADO)
Dados dois triângulos ABC e EFG, com AB = EG, Â = Ê e AC = EF, então ABC ≡ EFG. (Os três riscos significam a palavra
“congruente”). Logo, o caso 1 de congruência de triângulos é o caso LAL (Lado, Ângulo, Lado).
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2º CASO (ÂNGULO, LADO, ÂNGULO)
Dados dois triângulos ABC e EFG, se B̂ = Ê, AB = EF e Â= F̂ , então ABC ≡ EFG.
3º CASO (LADO, LADO, LADO)
Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB = EF, AC = EG e BC = FG, então ABC ≡ EFG.
4º CASO (LADO, ÂNGULO, ÂNGULO OPOSTO)
Dados dois triângulos ABC e EFG, se possuírem iguais dois ângulos e um lado oposto a um dos ângulos em comum
então concluímos que ABC ≡ EFG.
Exercícios Resolvidos
Nível 1
Na figura, o triângulo ABC é congruente ao triângulo CDE. Quanto vale x + y?
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Solução:
Se os triângulos são congruentes, logo possuem TODOS os lados iguais e isto implica que:
3y + 3 = 18 −→ 3y = 15 −→ y = 5.
2x – 6 = 12 −→ 2x = 18 −→ x = 9.
Então, x + y = 5 + 9 = 14.
Nível 2
Na figura, o triângulo ABD é congruente ao triângulo CBD. Encontre os valores de x e y.
Solução:
Como os triângulos são congruentes, TODOS OS SEUS LADOS SÃO IGUAIS, logo:
1. x = 2y.
2. 2x = 3y + 8.
(SUBSTITUINDO 1 EM 2): 2(2y) = 3y + 8 −→ 4y = 3y + 8 −→ y = 8.
Se y = 8 então x = 2(8) −→ x = 16.
Nível 3
Considere o triângulo isósceles ABC da figura. Seja os segmentos BD e CE sobre a base BC congruentes entre si.
Prove que o triângulo ADE é isósceles.
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Solução:
Como ABC é isósceles, então sabemos que o ângulo C é igual ao ângulo B, e com isso os seus suplementos também
são congruentes: com isso: AB̂D = AĈE, e analisando os triângulos ABD e ACE, temos que:
1. AC = AB, pela proposição.
2. BD = CE, pela proposição.
3. AB̂D = AĈE.
Pelo caso de congruência (LADO, ÂNGULO, LADO) temos que ABD é congruente a ACE e com isso tiramos que AD =
AE −→ ADE tem as duas laterais iguais −→ ADE é ISÓSCELES.
Equações Exponenciais
Conceitos
Denotamos como equação exponencial toda equação da forma: ax = b com a e b positivos e a ̸= 1. O objetivo
de encontrar a(s) raízes da equação se mantém mas agora com o uso das propriedades da potências e com o princí-
pio básico de IGUALARMOS as BASES. Torna-se indispensável o pré conhecimento das PROPRIEDADES BÁSICAS DAS
POTÊNCIAS.
Resolvendo uma Equação Exponencial
Dada uma equação exponencial da forma ax = b ou até mesmo de formas mais complicadas, nosso objetivo fun-
damental é encontrar as possíveis raízes, e seguiremos o seguinte procedimento prático: