Matemática para Ensino Superior Probabilidade

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Probabilidade 
 
 Um experimento é chamado de aleatório quando repetido sob as mesmas condições apresenta resultados diferentes. 
Realizando um experimento aleatório como, por exemplo, o lançamento de um dado, o lançamento de uma moeda, a retirada 
de uma carta de um baralho ou a retirada de uma bola em uma urna podemos compor um modelo probabilístico simples. 
As duas principais características de um evento aleatório é possuir um espaço amostral e uma probabilidade de 
ocorrer. 
Chamamos de espaço amostral () o conjunto de possíveis resultados que o experimento aleatório pode ter. Por 
exemplo, no lançamento de um dado comum os possíveis resultados são  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 A probabilidade de um evento aleatório ocorrer é um número não negativo atribuído a cada um destes resultados, de 
modo que a soma seja 1. A probabilidade sempre indica a frequência de um evento ocorrer se repetido um grande número de 
vezes. 
 Desta forma para cada caso relativo de um evento ocorrer existe uma probabilidade associada a ele. 
 
 
 
Denominamos de evento um determinado subconjunto do espaço amostral, por exemplo, . Para calcular a 
probabilidade do evento A ocorrer devemos somar a probabilidade dos casos relativos de evento ocorrer, ou seja, 
. 
Para atribuir uma probabilidade a um evento ocorrer podemos recorrer à estatística para fazer uma estimativa do 
comportamento deste evento. 
Outra forma de atribuir uma probabilidade a um evento é trabalhar com modelos equiprováveis. Tais modelos sempre 
possuem um tipo de simetria associado a eles que nos proporciona que qualquer evento relativo associado a ele tem a mesma 
probabilidade de ocorrer. Por exemplo, um dado é um poliedro regular que, se construído de um material homogêneo, possui a 
característica de qualquer uma de suas faces cair para cima ao ser lançado. No caso do dado temos: 
 
 
 Num modelo equiprovável a probabilidade de cada evento ocorrer é a mesma, ou seja: 
 
 
Os modelos equiprováveis mais comuns são lançamento de moedas, retirada de bolas de uma urna, escolha de uma 
carta no baralho, lançamento de dados, etc. Os objetos utilizados em modelos equiprováveis são projetados especificamente 
para a realização deles. Por exemplo, uma moeda que possui uma face de cobre e outra de ferro não deve ser utilizada em 
modelos equiprováveis pois a face de ferro possui o centro de gravidade mais próxima. 
 
 
1. Uma moeda “honesta” é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair 2 caras e 1 coroa? 
Vamos utilizar o diagrama de árvore para resolver este tipo de exercício. 
 
 Das 8 possibilidades existentes no lançamento da moeda, 3 delas apresentaram 2 caras e 1 coroa. Logo a 
probabilidade deste evento ocorrer é . Em símbolos temos: 
 
 
Observe que a probabilidade de ocorrer o evento é a mesma de ocorrer , que é . Desta forma caso lançássemos 
a moeda honesta dez vezes a probabilidade de ocorrer e também é a mesma e vale (existem 
duas possibilidades de ocorrer cada face em 10 lançamentos). Neste caso não devemos confundir a situação exposta com 
outra; a de verificar se é mais fácil saírem 10 coroas ou 6 coroas e 4 caras. 
 
2. Os alunos de uma turma organizaram uma rifa, na qual 15 alunos compraram 1 bilhete, 10 alunos compraram 2 bilhetes e 
5 alunos compraram 3 bilhetes. É mais provável que o aluno sorteado tenha comprado 1, 2 ou 3 bilhetes? 
Os 15 alunos que compraram 1 bilhete cada compraram ao todo 15 bilhetes; os 10 alunos que compraram 2 bilhetes 
cada compraram 30 bilhetes; e os 5 alunos que compraram 3 bilhetes compraram ao todo 15 bilhetes. Ao todo foram vendidos 
15 + 30 + 15 = 60 bilhetes. 
Os alunos do primeiro grupo possuem de chances de serem sorteados; os alunos do segundo grupo possuem 
 de chances de serem sorteados e os alunos do terceiro grupo possuem chances de serem sorteados. Logo os 
alunos que compraram 2 bilhetes possuem mais chances de serem sorteados. 
 
 
Início
Cara
Cara
Cara
Coroa
Coroa
Cara
Coroa
Coroa
Cara
Cara
Coroa
Coroa
Cara
Coroa
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
3. Existe um jogo em que ao lançar dois dados o jogador deve apostar R$ 10,00. Caso saia uma soma 7 o jogador ganha R$ 
50,00. Este jogo vale a pena? 
Primeiramente devemos determinar o espaço amostral () deste experimento aleatório. No primeiro dado existem 6 
possíveis resultados e no segundo dado também existem 6 possíveis resultados. Logo temos possibilidades de 
termos resultados ao lançar dois dados. 
Em seguida devemos determinar o número de casos favoráveis ao problema. As possíveis somas que resultam em 7 
são (1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); (5, 2) e (6, 1), ou seja, 6 possibilidades. Desta forma temos: 
 
 Este resultado significa que em 1/6 das vezes que jogarmos os dois dados ocorrerá de sair uma soma 7. Logo para 
que o jogo seja considerado justo o valor que recebo ao apostar certa quantia deverá ser, no mínimo, 6 vezes o valor que eu 
apostar. Como estou recebendo apenas 5 vezes aquilo que invisto o jogo NÃO é justo da maneira formulada. 
 
4. Dois times T e U vão se enfrentar em uma melhor-de-três. A probabilidade de T vencer U em um jogo é igual a 0,6. 
a) qual é a probabilidade de T vencer a série? 
Chamemos de A a vitória do time T no 1º jogo e de B a vitória do time T no 2º jogo. Também chamemos de 
 a probabilidade do evento A ocorrer simultaneamente com o evento B. 
Caso os eventos A e B sejam independentes temos que , ou seja, a probabilidade dos 
eventos A e B ocorrerem simultaneamente é dada pelo produto da probabilidade do evento A ocorrer com a probabilidade do 
evento B ocorrer. 
No caso dos eventos A e B não serem independentes temos que determinar o produto da probabilidade do evento A 
ocorrer com a probabilidade condicional do evento B ocorrer na certeza que o evento A ocorreu, ou seja, 
. 
 Vamos supor que os resultados dos jogos são independentes, ou seja, o resultado do 1º jogo não influenciará no 
resultado do 2º jogo. Para analisar os possíveis andamentos deste tipo de jogo basta construirmos um diagrama de árvore. 
 
 Cada um dos percursos da raiz até as folhas é uma probabilidade de um dos times vencerem. Como os eventos são 
independentes, basta calcularmos o produto entre os valores do percurso para determinarmos a probabilidade de cada time 
vencer. Assim temos: 
 Probabilidade do time T vencer: 
 Probabilidade do time U vencer: 
Início
T
T
U
T
U
U
T
T
U
U
0,6 
0,4 
0,6 
0,6 
0,4 
0,6 
0,4 
0,4 
0,4 
0,6 
Logo o time T possui 64,8% de chance de vencer a melhor-de-três enquanto o time U possui 35,2% de chance de 
vencer a série de jogos. Note que 0,648 + 0,352 = 1. 
b) Dado que T venceu a série de jogos, qual é a probabilidade de que o tenha feito em 3 jogos? 
Para resolvermos este item devemos determinar a probabilidade de 3 jogos terem ocorridos na certeza de que T 
venceu a série, ou seja, . Vamos novamente recorrer ao diagrama de árvores excluindo os ramos que 
não satisfazem ao solicitado. Temos assim: 
 
 Vamos calcular a probabilidade de T ter vencido a série: 
 
 Agora vamos calcular a probabilidade de T ter realizado 3 jogos: 
 
Generalizando temos: 
 
Calculando a probabilidade condicional temos: 
 
 
5. Dois jogadores de mesma habilidade disputam um prêmio de R$ 2 000,00 em uma série de partidas: o primeiro a obter 10 
vitórias ganha o prêmio. O jogo é interrompido quando o jogador A tem 9 vitória e o jogador B, 7 vitórias. Como o prêmio 
deve ser dividido? 
Resolveremos este problema utilizando o diagrama de árvores. 
 
Início
T
T
U T
U T T
9 X 7
10 X 7
9 X 8
10 X 8
9 X 9
10 X 9
9 X 10
0,6 
0,4 
0,6 
0,4 
0,6 
0,6 0,6 
A 
venceu 
B 
venceu 
A 
venceu 
B 
venceu 
A 
venceu 
B 
venceu 
Calculando as probabilidades temos: 
 
Logo a chance de B ganhar este jogo é de enquanto que a chance de A ganhar o jogo é . Desta forma B deveriaganhar R$ 250,00 enquanto que A deveria ganhar R$ 1 250,00. 
 
Interpretando a probabilidade como uma função 
 
Chamemos o conjunto de eventos de . A probabilidade de ocorrer é uma função de em de tal 
forma que a probabilidade do evento todo ocorrer é igual a 1 (evento certo); a probabilidade de ocorrer um evento A 
(subconjunto do espaço amostral) seja um número entre 0 e 1 e, tendo dois eventos A e B mutuamente excludentes entre si, 
então a probabilidade de ambos eventos ocorrerem é a soma das probabilidades individuais de cada evento. Em símbolos 
temos: 
 
i) ; 
ii) ; 
iii) se , então , 
Definindo probabilidade utilizando esta linguagem de conjuntos temos algumas conseqüências: 
 a probabilidade de um evento NÃO ocorrer é dada pela probabilidade do complementar deste evento; 
 
 a probabilidade de não ocorrer nenhum evento é nula; 
 
 a probabilidade de um evento ocorrer SEM que o outro ocorra é igual a probabilidade do primeiro evento ocorrer menos a 
probabilidade de ambos ocorrerem simultaneamente; 
 
 a probabilidade de dois eventos ocorrerem sem sabermos se os eventos são disjuntos é dada por: 
 
 se um primeiro evento contém outro segundo evento, a probabilidade do primeiro evento ocorrer é maior ou igual do que a 
probabilidade do segundo evento ocorrer; 
 
 
9 X 7
10 X 7
9 X 8
10 X 8
9 X 9
10 X 9
9 X 10
 
 
 
 
 
 
Probabilidade Condicional 
 
 Seja um espaço amostral  e de seus dois subconjuntos A e B pertencentes. Observe o diagrama abaixo: 
 
Supomos que o evento A tenha ocorrido COM CERTEZA. Vamos determinar a probabilidade do evento B ocorrer 
tendo certeza que o evento A já ocorreu. Em notação escrevemos . 
Sabemos que existem resultados em A (azuis), em B (verdes), em A e B (pretos) e fora de A e B (vermelhos) . 
 
Como tenho certeza que o evento A ocorreu os eventos fora do evento A são nulos. 
 
Desta forma temos um novo espaço amostral que nada mais é do que a própria probabilidade do evento A ocorrer, 
ou seja, . 
Como desejamos saber a probabilidade de B ocorrer na certeza de A, sobraram apenas os “pontos pretos” em B para 
considerarmos, ou seja, . Desta forma temos: 
 
A definição de probabilidade condicional também pode ser escrita de outra maneira: 
 
Isto significa dizer que a probabilidade de dois eventos ocorrerem simultaneamente é a probabilidade de UM dos 
eventos ocorrer multiplicada pela probabilidade do OUTRO evento ocorrer na CERTEZA que o primeiro já ocorreu. 
 
Exemplo) Do total de mulheres na faixa de 40 anos de idade que participam dos exames de rotina, 1% têm câncer de mama. 
80% das mulheres que têm câncer de mama recebem resultado positivo no exame da mamografia. 9,6% das mulheres que 
não têm câncer de mama também recebem resultado positivo no exame de mamografia. Uma mulher nessa faixa etária fez 
uma mamografia de rotina e recebeu resultado positivo. Qual a probabilidade de ela realmente ter câncer de mama? 
 
 
 
 Chamemos de A o evento das mulheres terem a doença e B é o evento o resultado ser positivo. A questão pergunta 
qual a probabilidade de ter a doença sabendo que o resultado é positivo, ou seja, o evento B é CERTO. Dado assim devemos 
calcular . 
Primeiramente calcularemos . Para isto optaremos calcular a probabilidade da mulher ter a doença ( ) 
multiplicada pela probabilidade da mulher receber um resultado positivo sabendo que tem a doença ( . 
Em seguida temos que calcular a probabilidade do resultado ser positivo ( ). Neste caso temos que analisar se 
ela possui (80%) ou não a doença (9,6%). Como tratam-se de eventos mutuamente excludentes (ou a pessoa têm ou a pessoa 
não têm a doença) a probabilidade da mulher receber o resultado positivo é a soma entre a probabilidade da mulher ter a 
doença e receber o resultado positivo ( ) e probabilidade da paciente receber o resultado positivo não 
tendo a doença ): 
 
Aproveitaremos o resultado para determinar , ou seja, a probabilidade da mulher receber um resultado 
positivo sabendo que tem a doença. 
 
Utilizando a definição de probabilidade condicional temos: 
 
Vamos resolver o problema utilizando o diagrama de árvore: 
 
A probabilidade do resultado ser positivo ( ) é: 
 
 A probabilidade do resultado ser positivo e a pessoa ser doente ( é: 
 
Logo a probabilidade condicional é dada por: 
 
 
População
É doente
Teste deu 
positivo
Teste deu 
negativo
É saudável
Teste deu 
positivo
Teste deu 
negativo
0,99 
0,01 
0,80 
0,20 
0,096 
0,904 
 
 
Exemplo) Uma gaveta contém duas bolas brancas, e uma outra gaveta contém uma bola branca e uma bola preta. Escolhe-se 
uma gaveta ao acaso e dela retira-se uma bola, também ao acaso. Sabendo que a bola retirada é branca, qual a probabilidade 
de a outra bola da mesma gaveta também ser branca? 
 Chamemos de A o evento de retirarmos uma bola branca na 1ª retirada e de B o evento retirarmos uma bola branca 
na 2ª retirada. Desejamos conhecer a probabilidade da segunda bola ser branca dada a certeza que retiramos uma bola 
branca na primeira vez, ou seja, . 
 Para isto devemos calcular a probabilidade das duas bolas retiradas serem brancas ( ). Como vamos retirar 
a segunda bola da mesma gaveta que retirarmos a primeira isto só pode ocorrer se escolhermos a 1ª gaveta, pois somente ela 
possui duas bolas brancas. A probabilidade disto ocorrer é . 
Em seguida determinaremos a probabilidade de retirarmos uma bola branca logo na primeira retirada ( . Para 
que isto ocorra temos que escolher a primeira gaveta e retirar a bola branca ou escolher a segunda gaveta e 
retirar a bola branca . Adicionando tais probabilidades temos . 
Utilizando a definição de probabilidade condicional temos: 
 
Resolvendo este exercício utilizando o diagrama de árvores temos: 
 
A probabilidade de retirarmos uma bola branca logo na primeira retirada ( é: 
 
 A probabilidade de retirarmos duas bolas brancas ( ) é: 
 
Logo a probabilidade condicional é dada por: 
 
Início
1ª gaveta
Bola 
branca
2ª gaveta
Bola 
branca
Bola preta