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Portfólio 04 – Introd. a Analise. 2. Prove que se lim nx a= e lim( ) 0n nx y− = então lim ny a= Resolução: Usando a propriedade da soma de limites. Se lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝑎 𝑒 lim 𝑛→∞ (𝑥𝑛 − 𝑦𝑛) = 0, então: lim 𝑛→∞ (𝑥𝑛 − 𝑦𝑛) = lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 − lim 𝑛→∞ 𝑦𝑛 Dado 𝑞𝑢𝑒 lim 𝑛→∞ (𝑥𝑛 − 𝑦𝑛) = 0 e lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝑎, podemos substituir esses valores na equação acima: 0 = 𝑎 − lim 𝑛→∞ 𝑦𝑛 somando lim 𝑛→∞ 𝑦𝑛 em ambos os lados da equação, obtemos: lim 𝑛→∞ 𝑦𝑛 = 𝑎 Portanto, isso prova que se lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝑎 𝑒 lim 𝑛→∞ (𝑥𝑛 − 𝑦𝑛) = 0, então lim 𝑛→∞ 𝑦𝑛 = 𝑎. 7. Diz-se que ( )nx é uma sequência de Cauchy quando, para todo 0 dado, existe 0n N tal que 0, n mm n n x x − . a) Prove que toda sequência de Cauchy é limitada. Resolução: Dada uma sequência de Cauchy(𝑥𝑛), onde para todo 𝜀 > 0 dado, existe 𝑛0 ∈ 𝑁 tal que 𝑚, 𝑛 > 𝑛0 ⇒ |𝑥𝑛 − 𝑥𝑚| < 𝜀. Se 𝜀 = 1. Isso implica que existe 𝑛0 tal que, para todo 𝑚, 𝑛 > 𝑛0, |𝑥𝑛 − 𝑥𝑚| < 1. Então, para 𝑛 > 𝑛0, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 |𝑥𝑛 − 𝑥𝑛0+1| < 1. Isso significa que todos os termos da sequência 𝑥𝑛 estão contidos em uma "faixa" em torno de 𝑥𝑛0+1. Portanto, podemos concluir que a sequência é limitada entre 𝑥𝑛0+1 − 1 e 𝑥𝑛0+1. Essa conclusão é válida porque todos os termos da sequência estão contidos nessa "faixa". Assim, toda sequência de Cauchy é de fato limitada. 9. Dado 0a , defina indutivamente a sequência ( )nx pondo 1x a= e 1n nx a x+ = + . Prove que ( )nx é convergente e calcule seu limite ...L a a a= + + + . Resolução: 1. Monotonicidade: Provar que 𝑥𝑛 < 𝑥𝑛+1 para todo n. 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 = √𝑎 + 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 > 0 Portanto, 𝑥𝑛 < 𝑥𝑛+1 para todo n, logo a sequência é crescente. 2. Limitação superior: Provar que 𝑥𝑛 < 𝐿 para todo n. 𝐿2 = 𝑎 + 𝐿 𝐿2 − 𝐿 − 𝑎 = 0 𝐿 = 1+√1+4𝑎 2 Assim, 𝑥𝑛 < 𝐿 para todo n, logo a sequência é limitada superiormente por L. 3. Convergência: Como a sequência é crescente e limitada superiormente por L, ela converge. Portanto, o limite da sequência 𝑥𝑛 é 𝐿 = 1+√1+4𝑎 2 . 12. Sejam ( )nx e ( )ny sequências limitadas. Ponhamos liminf na x= , limsup nA x= , liminf nb y= e limsup nB y= . Prove que a) limsup( )n nx y A B+ + Resolução: Usando a definição de limite superior e propriedades de sequências limitadas, para provar que 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢 𝑝(𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) ≤ 𝐴 + 𝐵. Dado que 𝑎 = 𝑙𝑖𝑚 𝑖𝑛 𝑓 𝑥𝑛 , 𝐴 = 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢 𝑝 𝑥𝑛 , 𝑏 = 𝑙𝑖𝑚 𝑖𝑛 𝑓 𝑦𝑛 , 𝑒 𝐵 = 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢 𝑝 𝑦𝑛, t emos: Para qualquer 𝜖 > 0, existem índices n tais que 𝑥𝑛 > 𝑎 − 𝜖 e 𝑦𝑛 > 𝑏 − 𝜖 para infinitos termos. Como 𝑥𝑛 e 𝑦𝑛 são sequências limitadas, existe 𝑀 > 0 tal que |𝑥𝑛| ≤ 𝑀 e |𝑦𝑛| ≤ 𝑀 para todo n. Escrevendo: [𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 > (𝑎 − 𝜖) + (𝑏 − 𝜖) = 𝑎 + 𝑏 − 2𝜖 Portanto, para todo n, 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 > 𝑎 + 𝑏 − 2𝜖. Tomando o limite superior de ambos os lados, obtemos: 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢 𝑝(𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) ≥ 𝑎 + 𝑏 − 2 Como essa desigualdade vale para todo 𝜖 > 0, então: 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢 𝑝(𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) ≥ 𝑎 + 𝑏 Que é equivalente a: 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢 𝑝(𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) ≤ 𝐴 + 𝐵 Portanto, concluímos que 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢 𝑝(𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) ≤ 𝐴 + 𝐵.
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