Matemática para Ensino Superior gabarito (14)

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Universidade Federal de Campina 
Grande 
Centro de Ciências e Tecnologia 
Mestrado Profissional em Matemática 
PROFMAT/CCT-UFCG 
Componente Curricular: MA13 
Aluno: Josiel Pereira da Silva 
 
 
Questão 12. As retas r e s são concorrentes em A e tangentes a um círculo 𝜞 de centro O. 
Pontos 𝑷 ∈ 𝒓 e 𝑸 ∈ 𝒔 são tais que 𝑷𝑸 tangencia 𝜞 e deixa A e O em semiplanos opostos. Se 
𝑷𝑨 𝑸 = 𝟐𝟖°, calcule 𝑷𝑶 𝑸. 
Resolução 
A figura 1 ilustra esse problema. 
 
 
Figura 1. 
onde o ângulo 𝜷 é o valor da medida que procuramos. 
Observe que traçando os segmentos CO, DO e EO na figura 1, obtemos a figura 2. 
 
 
Figura 2. 
 
 
 
Fato 1. Os triângulos OCP e OPD são congruentes. 
Demonstração: 
Por hipotóse, 𝑂𝐶 = 𝑂𝐷 , 𝑃𝐶 𝑂 = 𝑃𝐷 𝑂 e 𝑂𝑃 é um lado comum aos triângulos PCO e 
PDO. Tomemos um ponto E na semi-reta oposta à semi-reta 𝐷𝑃 tal que 𝐷𝐸 = 𝐶𝑃 . Logo, pelo 
caso 𝐿𝐴𝐿, os triângulos 𝑃𝐶𝑂 e 𝑂𝐷𝐸 são congruentes. Daí, 𝑂𝑃 = 𝑂𝐸 e 𝑂𝑃 𝐶 = 𝐷𝐸 𝑂. Logo, 
concluimos que o triangulo 𝑂𝑃𝐸 é isósceles de base 𝑃𝐸. Portanto, 𝑂𝑃 𝐶 = 𝑂𝐸 𝐷 = 𝑂𝑃 𝐷. 
Considerando agora os triângulos 𝑂𝑃𝐶 e OPD, como 𝑂𝑃 é um lado comum aos triângulos 
𝑂𝑃𝐶 e 𝑂𝑃𝐷, 𝑂𝑃 𝐶 = 𝑂𝑃 𝐷 e 𝑃𝐶 𝑂 = 𝑃𝐷 𝑂. Pelo caso 𝐿𝐴𝐴0, os triângulos 𝑂𝑃𝐶 e 𝑂𝑃𝐷 são 
congruentes. Logo, 𝑷𝑶 𝑪 = 𝑷𝑶 𝑫. 
 
 
 
 
Fato 2. Os triângulos ODQ e OQE são Congruentes. 
Demonstração 
Por hipotóse, 𝑂𝐷 = 𝑂𝐸 , 𝑄𝐷 𝑂 = 𝑄𝐸 𝑂 e 𝑂𝑄 é um lado comum aos triângulos OQD e 
OQE. Tomemos um ponto H na semi-reta oposta à semi-reta 𝐸𝑄 tal que 𝐻𝐸 = 𝑄𝐷 . Logo, 
pelo caso 𝐿𝐴𝐿, os triângulos 𝑂𝑄𝐷 e 𝑂𝐸𝐻 são congruentes. Daí, 𝑂𝑄 = 𝑂𝐻 e 𝑂𝑄 𝐷 = 𝑂𝐻 𝐸. Logo, 
concluimos que o triangulo 𝑂𝑄𝐻 é isósceles de base 𝑄𝐻. Portanto, 𝑂𝑄 𝐷 = 𝑂𝐻 𝐸 = 𝑂𝑄 𝐸. 
Considerando agora os triângulos 𝑂𝑄𝐷 e OQE, como 𝑂𝑄 é um lado comum aos triângulos 
𝑂𝑄𝐷 e 𝑂𝑄𝐸, 𝑂𝑄 𝐷 = 𝑂𝑄 𝐸. e 𝑄𝐷 𝑂 = 𝑄𝐸 𝑂. Pelo caso 𝐿𝐴𝐴0, os triângulos 𝑂𝑄𝐷 e 𝑂𝑄𝐸 são 
congruentes. Logo, 𝑫𝑶 𝑸 = 𝑬𝑶 𝑸. 
 
 
 
Logo, o nosso problema se resume em calcular x + y na figura 3. 
 
Figura 3 
Observe que como 𝐶 = 𝐸 = 90° e a soma dos ângulos internos do quadrilátero ACOE 
é 360°, temos: 
28° + 90° + 2 ∙ x + y + 90° = 360° ⟹ 2 x + y = 152 ⟹ 𝐱+ 𝐲 = 𝟕𝟔° 
 
Como 𝛽 = 𝑥 + 𝑦 = 76°, concluímos que 𝑷𝑶 𝑸 = 𝜷 = 𝒙 + 𝒚 = 𝟕𝟔°. Portanto, 𝑷𝑶 𝑸 = 𝟕𝟔°