Semelhança e Congruencia de Triângulos

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SEMELHANÇA E CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS 
 
Dois triângulos são congruentes se, e somente se, é possível estabelecer uma 
correspondência entre seus vértices de modo que: 
 
(i) seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outro; 
(ii) seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângulos do outro. 
 
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, é possível estabelecer uma 
correspondência entre seus vértices de modo que: 
 
(i) três ângulos são congruentes (na mesma ordem); 
(ii) seus lados correspondentes são proporcionais. 
 
A razão entre dois lados correspondentes ou entre dois triângulos semelhantes (k) é 
chamada de razão de semelhança, nos triângulos congruentes essa razão de semelhança é 1. 
 
 
 
Teorema fundamental: 
Se houver uma reta paralela a um dos lados de um triângulo e ela intercepta os outros 
dois lados em pontos distintos, dois triângulos serão formados e eles serão semelhantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Casos de semelhança: 
Para se verificar que dois triângulos são semelhantes/congruentes, não é necessário 
conferir se todos os lados correspondentes são proporcionais e que todos os ângulos são 
congruentes. Há alguns casos em que a comprovação da semelhança é facilitada. 
 
 
1º) Caso LLL (Lado, Lado, Lado) 
Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem os três lados 
correspondentes proporcionais. Caso os lados sejam iguais, os triângulos serão congruentes. 
 
 
 
 
 
 
2°) Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado) 
Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem dois lados 
correspondentes proporcionais e se os ângulos formados por esses lados forem congruentes. 
 
 
 
 
3º) Caso AA (Ângulo, Ângulo) 
Sejam dois triângulos ABC e DEF. Eles serão semelhantes se, e somente se, dois de 
seus ângulos forem congruentes. 
 
 
Casos de congruência: 
A definição de congruência de triângulos dá 5 condições que devem ser satisfeitas para 
que dois triângulos sejam congruentes. Existem condições mínimas para que dois triângulos 
sejam congruentes. Estas condições são denominadas casos ou critérios de congruência. 
 
1°) Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado) – Idem anterior 
 
2º) Caso LLL (Lado, Lado, Lado) – Idem anterior 
 
3°) Caso ALA (Ângulo, Lado, Ângulo) 
Dois triângulos serão congruentes se, e somente se, tiverem dois ângulos 
correspondentes e o lado formado por eles congruentes entre si. 
 
 
 
4°) Caso LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto) 
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e um 
ˆangulo oposto a esse lado, então eles são congruentes 
 
 
 
 
 
5°) Caso Especial 
Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, 
então eles são congruentes. 
 
Consequências da definição: 
 
Semelhança de triângulos e perímetro 
 Se a razão de semelhança entre dois triângulos é k, então a razão entre seus perímetros 
também será k. 
 
Semelhança de triângulos e altura 
Se a razão de semelhança entre dois triângulos é k, então a razão entre suas alturas 
também será k. 
 
Semelhança de triângulos e área 
A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é dada pelo quadrado da razão de 
semelhança entre eles. Portanto, teremos que: 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) João quer calcular a altura de uma caixa d’água. Com a ajuda de Marcelo, ele descobriu que, 
em certa hora do dia, sua sombra mede 0,75m, enquanto a sombra da caixa d’água mede 2,5 
m. Se João mede 1,8 m, qual é a altura da caixa? 
a)
 5,4 m 
b) 3,6 m 
c) 5 m 
d) 6 m 
e) 7,2 m 
 
 
 
 
 
 
2) Na figura abaixo, são dados AC= 8cm e CD= 4cm. A medida de BD é, em cm: 
 
a) 9 
b)10 
c)12 
d)15 
e)16 
 
 
 
 
 
 
 
3) Uma praça tem a forma de um triângulo ABC, retângulo em A, cuja 
hipotenusa a mede 250 metros e o cateto c mede 200 metros. Para 
garantir a execução de um serviço, houve necessidade de 
se interditar uma parte da praça com uma corda MN perpendicular à 
hipotenusa, distando 150 metros do vértice B, com M na hipotenusa 
e N no cateto c. O comprimento dessa corda, em metros, é: 
 
a) 112,5 
b)125,5 
c) 150,5 
d) 175,5 
e) 200,5 
 
 
4) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes 
de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são 
descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos 
perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC 
representam cabos de aço que serão instalados. 
 
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? 
a) 1m 
b) 2m 
c) 2,4m 
d) 3m 
e) 2√6 m
 
 
 
5) Observe a figura. Nela, AB=8, BC=12 e BFDE é um losango 
inscrito no triângulo ABC. A medida do lado do losango é: 
 
a) 4 
b) 4,8 
c) 5 
d) 5,2 
e) 6 
 
 
6) Na figura a seguir, consideremos os quadrados de lados x cm, 6 cm e 9 cm. Determine a 
área do quadrado de lado x. 
 
a) 9 cm2 
b) 12 cm2 
c) 15 cm2 
d) 16 cm2 
e) 18 cm2 
 
 
 
7) Uma folha de papel quadrada, ABCD, que mede 12 cm de lado, é dobrada na reta r, como 
mostrado na figura a seguir: 
Feita essa dobra, o ponto D sobrepõe-se ao ponto N, e o ponto A, ao ponto médio M, do lado 
BC. É CORRETO afirmar que, nessas condições, o segmento CE mede: 
 
a) 7,2 cm. 
b) 7,5 cm. 
c) 8,0 cm. 
d) 9,0 cm. 
e) 10 cm 
 
 
 
 
 
 
 
8) Na figura, ABC e CDE são triângulos retângulos, AB=1, BC=√3 e BE=2DE. Logo, a medida 
de AE é: 
 
a) 
√3
2
 
b) 
√5
2
 
c)
√7
2
 
d)
√11
2
 
e)
√13
2
 
 
 
9) Uma fonte luminosa a 25cm do centro de uma esfera projeta sobre uma parede uma sombra 
circular de 28cm de diâmetro, conforme figura abaixo. 
 
Se o raio da esfera mede 7cm, a distância (d) do 
centro da esfera até a parede em cm, é: 
a) 35 
b) 32 
c) 28 
d) 25 
e) 23 
 
 
10) No retângulo ABCD da figura tem-se CD=2L e AD=2L. Além disso, o ponto E pertence à 
diagonal BD, o ponto F pertence ao lado BC e EF é perpendicular a BD. Sabendo que a área do 
retângulo ABCD é cinco vezes a área do triângulo BEF, então BF mede 
 
a) 2L√2 8⁄ 
b) L√2 4⁄ 
c) L√2 2⁄ 
d) 3L√2 4⁄ 
e) L√2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
1) D 2) C 3) A 4) C 5) B 6) D 7) C 8) C 9) E 10) E