Matemática para Ensino Superior gabarito (15)

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Unidade 8 
 
Seção 1 
 
1. Dados no plano um círculo Γ e um ponto P sobre o mesmo mostre que a reta 
tangente a Γ em P é única. 
 
Solução: 
 
Seja t uma reta tangente a Γ passando por P, então r é perpendicular à �������� 
(Proposição 1). Suponha agora que exista outra reta r ≠ t e que r é tangente a Γ e 
passa por P, então r é perpendicular à �������� (Proposição 1). Como toda reta pode 
ser definida pela sua declividade e por um ponto e as retas r e t têm o ponto P 
em comum e a mesma declividade, então r = t. 
 
 
5. Temos no plano duas retas concorrentes r e s. Dado um real R > 0, construa 
todos os círculos de raio R tangentes simultaneamente a r e a s. 
 
Solução: 
 
1- Traçamos as bissetrizes b1 e b2 dos ângulos formados pelas retas r e s. 
2- Traçamos duas retas, p1 e p2 , paralelas a r a uma distância R. 
3- Marcamos os pontos O1, O2 , O3 e O4 nas intersecções das retas p1 e p2 com as 
bissetrizes b1 e b2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4- Com o compasso aberto na medida R e a ponta seca nos pontos O1, O2 , O3 e O4 
construímos os círculos Γ1 , Γ2 , Γ3 e Γ4 
 
 
 
Seção 2 
 
1. Construa o triângulo ABC conhecendo os comprimentos do raio R do círculo 
circunscrito e a e b dos lados BC e AC, respectivamente. 
 
Solução: 
 
1 – Abra o compasso com a medida do raio R e construa o círculo de centro O. 
2 – Marque o ponto C no círculo. 
3 – Abra o compasso com a medida b e com a ponta em C construa um arco. 
4 – Marque o ponto A na interseção desse arco com o círculo. 
5 – Abra o compasso com a medida a e com a ponta em C construa um arco. 
6 – Marque o ponto B na interseção desse arco com o círculo. 
 
7 – Construa o triângulo ABC. 
 
 
 
 
 
 
Unidade 9 
 
6. Sejam ��� um triângulo com o circulo circunscrito Γ, e � 	 �′ pontos situados 
sobre o arco �� de Γ que não contém o ponto B. se 
 e 
′ denotam 
respectivamente as retas de Simson-Wallace de � 	 �′ em relação a ���, prove 
que o ângulo entre 
 e 
′ é igual à metade da medida do arco �′� de Γ que não 
contém o vértice A. 
 
 
Solução: 
 
Sejam ��� um triângulo com o circulo circunscrito Γ, e � 	 �′ pontos situados 
sobre o arco �� de Γ que não contém o ponto B e sejam 
 e 
′ as retas de Simson-
Wallace de � 	 �′ respectivamente, em relação a ���. Seja � 	 �′ tais que � ≠ � e 
�′ ≠ �′ são pontos de intersecção entre das retas �� 	 �′�′ , respectivamente, com o 
circulo Γ. Então temos, pelo problema 05, que r / /AQ e r / /A Q′ ′ ′
���� �����
. Como �� 	 �′�′ são 
perpendiculares a �� , segue que �� // �′�′ . 
Pelo teorema do ângulo inscrito, 
PPˆPQ P
2
′
′ ′ = . Como �� // �′Q’ , então 
PQ P Q PQ′ ′ ′≡
� �
, segue que Q PQ Q AQ′ ′≡
��
, pois está no mesmo arco capaz. Como 
r / /AQ e r / /A Q′ ′ ′
���� �����
 , segue-se que: 
PP
PQ P Q PQ Q AQ r Gr
2
′
′ ′ ′ ′ ′≡ ≡ ≡ =
� � ��
 . Com isso, 
conclui-se que o ângulo entre r e r′ é igual à metade da medida do arco P′P de Γ que não 
contém o vértice A. 
 
 
 
 
7. Um polígono convexo é inscritível se existir um círculo passando por seus 
vértices, dito o círculo circunscrito ao polígono. Prove que um polígono 
convexo é inscritível se e somente se as mediatrizes de seus lados concorrem em 
um único ponto. 
 
 
Solução: 
 
Se um polígono convexo é inscritível se existir um círculo passando por seus vértices 
então deve existir um ponto que seja eqüidistante de todos os vértices (centro O do 
círculo). Como o LG dos pontos eqüidistantes de dois pontos, por exemplo, A1 e A2 é a 
mediatriz m1 do segmento A1A2, então se tomarmos os vértices dois a dois o ponto 
eqüidistante de todos os vértices será o encontro dessas mediatrizes. 
Reciprocidade: 
Se duas ou mais mediatrizes se encontrarem em um mesmo ponto O sempre poderemos 
construir um círculo de centro O e passando pelos pontos A1, A2, ... e a união desses 
pontos forma um polígono convexo. 
 
 
Unidade 10 
 
Seção 1 
 
3. Dados segmentos de comprimentos a e b, dizemos que um segmento de 
comprimento x é a terceira proporcional de a e b (nessa ordem) se: 
 
�
=
�
�
 
 
Mostre como construir com régua e compasso tal segmento de comprimento x. 
 
 
Solução: 
 
1 – Trace a reta r e marque o ponto A. 
2 – Abra o compasso com a medida a e marque o ponto B na reta r. 
3 – Abra o compasso com a medida b e marque o ponto C na reta r. 
4 – Trace uma reta s passando pelo ponto C e outras duas retas paralelas a s, t 
passando por B e u passando por A. 
5 – Marque o ponto D na reta u à direita de A. 
6 – Abra o compasso com a medida b e construa um arco de centro em E. 
7 – Marque o ponto E na interseção desse arco com a reta t. 
8 – Trace a reta v passando por D e E. 
9 – Marque o ponto F na interseção da reta v com a reta s. 
O segmento EF tem comprimento x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção2 
 
3. Sejam ABC e A’B’C’ triângulos semelhantes, com razão de semelhança k. 
Sejam ainda ma e m’a, ha e h’a, βa e β’a respectivamente os comprimentos das 
medianas, alturas e bissetrizes relativas a A e A’. Prove que: 
 
��
�′�
=
ℎ�
ℎ′�
=
��
�′�
= � 
 
( ) a
a
BC BC B C BM
k k. k
2 2B C B M
ˆ ˆABC A B C ABC A B C
AB
k
A B
AM
ABM A B M LAL k C.Q.D
A M
 ′ ′
= ⇒ = ⇒ =
′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′ ′∆ ∆ ⇒ ≡

 =
 ′ ′
′ ′ ′⇒ ∆ ∆ ⇒ =
′ ′
∼
∼
 
 
 
( ) a
a
AB
k
ˆABC A B C e AHB A H B 90A B
ˆ ˆABC A B C
AH
ABH A B H LAA k C.Q.D
A H

=
′ ′ ′ ′ ′ ′∆ ∆ ⇒ ≡ = °′ ′
 ′ ′ ′≡
′ ′ ′⇒ ∆ ∆ ⇒ =
′ ′
∼
∼
 
 
 
 
( ) a
a
AB
k
A B
ˆ ˆABC A B C ABC A B C
ˆ ˆ ˆ ˆBAC B A C BAD B A D
AD
ABD A B D ALA k C.Q.D
A D

=
′ ′

′ ′ ′ ′ ′ ′∆ ∆ ⇒ ≡

′ ′ ′ ′ ′ ′≡ ⇒ ≡

′ ′ ′⇒ ∆ ∆ ⇒ =
′ ′
∼
∼
 
 
 
 
 
8. Seja ABC um triângulo tal que ������ = a, ������ = b e ������ = c, e M, N e P pontos 
respectivamente sobre AB, BC e CA, tais que AMNP é um losango. 
a) Calcule, em termos de a, b e c, o comprimento do lado do losango. 
b) Mostre como construir com régua e compasso a posição do ponto M. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Como: 
( )
( )
AB / /PN e AP / /MN MBN PNC ABC AA
x BN ax x c
BN e
b a b aa BN
x c
ax a
a
b
x c
ab ax a
b
abc acx
ax
b
abx acx abc
x ab ac abc
abc
x
ab ac
⇒ ∆ ∆ ∆
⇒ = ⇒ = =
−
⇒ =
−
⇒ =
−
−
⇒ =
⇒ + =
⇒ + =
⇒ =
+
∼ ∼
 
 
 
 
b) Em um losango as diagonais estão contidas nas bissetrizes internas de seus 
ângulos. 
- Traçamos a bissetriz do ângulo A. 
- Marcamos o Ponto N na intersecção da bissetriz com o lado BC. 
- Pelo ponto N traçamos uma reta h paralela ao lado AC. 
- O ponto M é a intersecção da reta h com o lado AB. 
 
 
 
12. Sobre o lado BC de um triângulo ABC marcamos um ponto Z. Em seguida 
traçamos por B e C respectivamente as retas r e s, ambas paralelas a �������. Se �������� 
∩ r = {X} e �������� ∩ s = {Y}, prove que: 
1
������
+
1
������
=
1
������
 
 
Solução: 
 
 
 
 
( )BXC ZAC AA
BX BC
AZ CZ
BX.CZ AZ.BC
∆
⇒ =
⇒ =
∼
 
 
Como CZ BC BZ= − ⇒ 
 
( )BX. BC BZ AZ.BC
BX.BC AZ.BC BX.BZ
BX.BC AZ.BC BX.BZ
BX.BC BX.BC BX.BC
AZ BZ
1
BX BC
− =
⇒ = +
⇒ = +
⇒ = +
 
 
 
Da semelhança: 
 
( )BAZ BYC AA
BZ AZ
BC CY
∆ ∆
⇒ =
∼
 
 
Então: 
( )
AZ AZ
1 AZ
BX CY
1 1 1
C.Q.D
AZ BX CY
= + ÷
⇒ = +