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Instituto de Matemática - UFRJ
Cálculo 1 - Semipresencial
Aula 12 – Máximos e mı́nimos
Este material foi produzido no âmbito do projeto “Elaboração de material para disciplinas na
modalidade semi-presencial”, do Departamento de Matemática do IM/UFRJ.
Equipe:
Coordenação: Paulo Amorim
Participantes: Bruno Telch, Rafael Lobosco, Leonardo Damasceno
Considere uma função real f cujo gráfico é descrito na imagem abaixo.
c1 c2
f(x)
c3
Note que, no intervalo representado, a função f assume o seu menor valor em c3 e que,
em c2 , a função f assume o seu maior valor.
Definição. Seja f : D ⊆ R→ R uma função real e c ∈ D. Dizemos que f(c) é um valor
máximo absoluto (respectivamente, valor mı́nimo absoluto) (ou global) de f em D
se f(c) ≥ f(x) para todo x ∈ D (respectivamente, f(c) ≤ f(x) para todo x ∈ D). Neste
caso, dizemos que c é um ponto de máximo absoluto (respectivamente, ponto de
mı́nimo absoluto) (ou global).
Costuma-se chamar valores extremos de f os valores máximos e mı́nimos globais de f .
Agora note na figura anterior que, se restringirmos f para valores “próximos” de c1, o
ponto c1 passará a ser um ponto onde f atinge um valor mı́nimo.
Definição. Dizemos que um número f(c), com c no domı́nio de f é um valor máximo
local (respectivamente, valor mı́nimo local) se f(c) ≥ f(x) (respectivamente, f(c) ≤
f(x)) quando x “está próximo” de c.
Observação. Neste caso, dizemos que uma propriedade é verdadeira próximo a c se essa
propriedade é verdadeira em algum intervalo aberto que contém c.
Segue da definição acima que todo valor máximo (respectivamente, mı́nimo) global é
também local.
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Exemplo. Ache os valores máximos e mı́nimos (locais e globais) de
a) f(x) = x2, com x ∈ R.
Como x2 ≥ 0 para todo x ∈ R, segue que 0 = f(0) é um valor mı́nimo absoluto
global. Por outro lado, f não possui nenhum máximo local pois f é decrescente
em (−∞, 0], isto é, f(x) ≥ f(y) sempre que x ≤ y, onde x, y ≤ 0, e crescente em
[0,∞), isto é, f(x) ≤ f(y) sempre que x ≤ y, onde x, y ≥ 0.
-4
-2
0
2
4
6
8
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) = x2
x
b) f(x) = cos x, x ∈ R.
Como −1 ≤ cosx ≤ 1 para todo x ∈ R, segue que, se n for um número inteiro par,
então f(nπ) (que é igual a 1) é um valor máximo absoluto global e f(nπ) = −1,
com n um número inteiro ı́mpar, é um valor mı́nimo absoluto global. Esses são os
únicos máximos e mı́nimos locais.
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-6 -4 -2 0 2 4 6
f(x) = cos x
x
Note que uma função pode ter vários pontos onde o máximo global é atingido, pois
nesses pontos o valor da função apenas tem de ser maior ou igual que nos outros
todos, e não estritamente maior.
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Note que nem todas as funções possuem valores máximos ou mı́nimos locais ou globais.
Por exemplo, f(x) = x3, com x ∈ R, não possui nem valores máximos nem valores
mı́nimos locais ou globais.
-10
-5
0
5
10
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) = x3
x
Como garantir a existência de tais valores? O resultado a seguir nos garante que para
certas funções é sempre posśıvel obter máximos e mı́nimos globais.
Teorema (Teorema dos Valores Extremos – TVE). Se f for qualquer função real cont́ınua
em um intervalo fechado e limitado [a, b] então existem pelo menos dois números c e d
pertencentes ao intervalo [a, b] tais que f assume um valor máximo global f(c) e um valor
mı́nimo global f(d).
f(d)
f(c)
a = d c b
x
f(x)
No exemplo ilustrado acima, vemos que f(x) atinge o seu valor máximo global em c e
que atinge o seu mı́nimo global em a. O fato de um desses pontos ser um dos extremos
do intervalo é coincidência; isso pode acontecer, ou não. Além disso, f pode atingir seus
extremos globais em mais do que um ponto. Por exemplo, no gráfico seguinte todos os
extremos estão no interior do intervalo [a, b], e f tem dois pontos de mı́nimo global, d1 e
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d2. Ainda, vemos que as extremidades a e b do intervalo são pontos de máximo local da
função, mas não global.
f(c)
a d1 c d2 b
x
f(x)
Note que o TVE nos garante a existência de valores extremos. Porém, ele não nos dá um
método para encontrá-los. Além disso, se retirarmos uma das hipóteses do Teorema (por
exemplo, se f não for cont́ınua ou se o domı́nio não for um intervalo limitado e fechado)
é posśıvel encontrar funções que não satisfazem a conclusão do teorema:
a c b
x
Neste exemplo, f tem máximo global
mas não tem mı́nimo global em [a, b].
O que falha é que f não é cont́ınua em
todo o intervalo [a, b].
f(x)
a b
Aqui, f não tem máximo global, mas
tem mı́nimo global em [a, b]. O que fa-
lha é que f não está definida em todo o
intervalo fechado [a, b].
Observe os gráficos das funções que ilustram o TVE. O que acontece com a reta tangente
ao gráfico dessas funções nos pontos de máximo e mı́nimo locais? Aparentemente, quando
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esse ponto não é uma das extremidades do intervalo, a tangente parece horizontal. Lembre
que a inclinação da reta tangente num ponto é precisamente o valor da derivada nesse
ponto. Será que esse comportamento sempre acontece para tais pontos? O Teorema de
Fermat nos dá a resposta que, para certos casos, esse comportamento sempre acontece,
ligando o fato de um ponto ser máximo ou mı́nimo com a derivada da função nesse ponto.
Teorema (Fermat). Se f tiver um máximo ou mı́nimo local em c e se f ′(c) existir, então
f ′(c) = 0.
Observação. Este teorema não afirma nada se a função assumir um máximo ou um
mı́nimo nas extremidades do intervalo. De fato, nesse caso, a função não é derivável de
certeza (pois apenas pode, na melhor das hipóteses, ter derivada lateral nesse ponto), e
portanto o teorema não se aplica.
Demonstração. Para fixar as ideias, faremos apenas o caso em que c é um máximo local
de f .
Como c é um máximo local de f , para h > 0 suficientemente pequeno temos f(c) ≥
f(c+ h). Portanto,
f(c) ≥ f(c+ h) =⇒ f(c+ h)− f(c) ≤ 0
=⇒ f(c+ h)− f(c)
h
≤ 0
h
= 0
=⇒ lim
h→0+
f(c+ h)− f(c)
h
≤ lim
h→0+
0 = 0.
Como f ′(c) existe,
lim
h→0+
f(c+ h)− f(c)
h
= lim
h→0
f(c+ h)− f(c)
h
= f ′(c)
e, portanto, f ′(c) ≤ 0.
Do mesmo modo, como c é um máximo local de f , para h < 0 suficientemente pequeno
f(c) ≥ f(c+ h). Portanto,
f(c) ≥ f(c+ h) =⇒ f(c+ h)− f(c) ≤ 0
=⇒ f(c+ h)− f(c)
h
≥ 0
h
= 0, pois h < 0
=⇒ lim
h→0−
f(c+ h)− f(c)
h
≥ lim
h→0−
0 = 0.
Como f ′(c) existe,
lim
h→0−
f(c+ h)− f(c)
h
= lim
h→0
f(c+ h)− f(c)
h
= f ′(c)
e, portanto, f ′(c) ≥ 0.
Logo, f ′(c) = 0 como queŕıamos demonstrar.
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Observação. O Teorema de Fermat nos diz que se f(c) for um valor máximo (ou mı́nimo)
local e se f ′(c) existir, f ′(c) será igual a 0. Entretanto, se f ′(x0) = 0 para algum número
x0 no domı́nio de f , não podemos afirmar que f(x0) é um valor máximo (ou mı́nimo)
local.
Exemplo. Considere a função f(x) = x3, com x ∈ R. Sabemos que f ′(x) = 3x2 para
todo x ∈ R e que f ′(x) = 0 se, e somente se, x = 0, mas 0 não é um máximo ou mı́nimo
local de x3 pois esta função não admite máximos ou mı́nimos locais (nem globais).
Existem funções que não satisfazem as hipóteses do Teorema de Fermat mas satisfazem a
sua conclusão, isto é, podem existir máximos ou mı́nimos locais em valores cuja derivada
não existe.
Exemplo. Considere a função f(x) = |x|, com x ∈ R. Sabemos que f ′(0) não existe,
porém 0 é um ponto de mı́nimo local de f pois
f(x) = |x| ≥ 0 = f(0) para todo x ∈ R.
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) = |x|
x
Definição. Dizemos que um número c no domı́nio de f é um ponto cŕıtico de f se f ′(c)
não existeou f ′(c) = 0.
Exemplo. Calcule os pontos cŕıticos da função f(x) = 2x3 − 6x2 − 9, x ∈ R.
Como a derivada de um polinômio existe para todos os valores do seu domı́nio, os únicos
pontos cŕıticos de f são os pontos x ∈ R tais que f ′(x) = 0, isto é,
0 = f ′(x) = 2 · 3x2 − 6 · 2x = 6x2 − 12x =⇒ 6x (x− 2) = 0
=⇒ x = 0 ou x = 2 .
Portanto, os únicos pontos cŕıticos de f são 0 e 2.
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Exemplo. Calcule os pontos cŕıticos da função f(x) = x3/5(4− x), x ∈ R.
Como
f ′(x) =
(
x3/5
)′ · (4− x) + x3/5 · (4− x)′
=
3
5
x3/5−1 (4− x) + x3/5 · (−1) = 3(4− x)
5x2/5
− x3/5
=
12− 3x− 5x3/5+2/5
5x2/5
=
12− 8x
5x2/5
,
x é um ponto cŕıtico de f se, e somente se, f ′(x) não existir, isto é,
x2/5 = 0 =⇒ x = 0
ou se f ′(x) = 0 e x 6= 0, isto é,
12− 8x = 0 =⇒ x = 3
2
.
Portanto, os únicos pontos cŕıticos de f são 0 e
3
2
.
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