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SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 297 Como a componente y do momento total do sistema de duas partículas é conservada, mv sen θ − mv sen φ = 0, o que nos dá φ = θ. Como a componente x é conservada, 2mv cos θ = 2mv9. Como, de acordo com o enunciado, v9 = v/2, a equação anterior nos dá cos θ = 1/2. Assim, θ = 60° e o ângulo entre as velocidades iniciais dos dois objetos é 120°. 74. (a) De acordo com a lei de conservação do momento linear, m v m v m v m vA A B B A A B B + = +' ' . Como mA = mB = m = 2,0 kg, as massas se cancelam e obtemos: i j) m/s ( 10 i ′ = + − ′ = + + − +v v v vB A B A ( ˆ ˆ ˆ ˆ15 30 5 jj) m/s i j) m/s i 15 j) m/s.− − + = +( ˆ ˆ ( ˆ ˆ5 20 10 (b) A energia cinética final e a energia cinética inicial são K mv mvf A B= + = − + + + 1 2 1 2 1 2 2 0 5 20 10 152 2 2 2 2 2' ' ( , ) ( )[[ ] = × = + = + 8 0 10 1 2 1 2 1 2 2 0 15 3 2 2 2 2 , ( , ) J K mv mvi A B 00 10 5 1 3 102 2 2 3+ − +[ ] = ×( ) , J. A variação da energia cinética é, portanto, ∆K = –5,0 × 102 J (ou seja, da energia cinética inicial, 500 J são perdidos na colisão). 75. Escolhemos o eixo x no sentido do movimento do próton 1 e especificamos os ângulos da forma usual, de modo que θ = +60° para o próton 1, que após a colisão passa a se mover no primeiro quadrante, e φ = –30° para o próton 2, que após a colisão passa a se mover no quarto quadrante (de acordo com o enunciado, os dois prótons se movem em trajetórias perpendicula- res). Aplicando a lei de conservação do momento linear às componentes x e y, temos: m v m v m v m v m 1 1 1 1 2 2 1 10 = ′ + ′ = ′ + cos cos sen θ φ θ 22 2′v senφ. Como sabemos que v1 = 500 m/s, temos duas equações e duas incógnitas. Além disso, como m1 = m2, as massas se cancelam e não aparecem na solução. (a) Combinando as equações acima e explicitando ′v2, obtemos: ′ = − =v v2 1 500 60 90 sen( ) sen( ) ( )sen( ) sen( θ θ φ m/s ) = 433m/s em que usamos a identidade senθcosφ – cosθ senφ = sen(θ– φ). (b) Explicitando v1′, obtemos: v v ' sen( ) sen( ) ( )sen( ) sen(1 1 500 30= − = − − θ φ θ m/s 990 250 ) = m/s. 76. De acordo com a Eq. 9-88, v v v M M f i i f = + = +rel ln m/s (253m/s) ln 609 105 00 kg 6010 kg m/s. = 108