1 - Circuitos magnéticos

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Circuitos magnéticos
Isabela Oliveira Guimarães
Sandro Davison de Souza Vieira
Descrição
Este conteúdo apresenta conceitos introdutórios fundamentais para o estudo dos circuitos magnéticos. Além
disso, constam análises da geometria e materiais que os compõem.
Propósito
Conhecer e se inteirar das características básicas e fundamentais para iniciar o estudo referente aos circuitos
magnéticos e seus comportamentos. Se inteirar das possíveis geometrias em que estes podem ser
encontrados e entender a sua aplicação no contexto da conversão de energia.
Preparação
Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, tenha em mãos papel e caneta para anotações e uma calculadora.
Você também pode usar a do seu computador ou celular.
Objetivos
Módulo 1
Introduzir os circuitos magnéticos com fontes de excitação.
Ao final deste módulo, você será capaz de introduzir os circuitos magnéticos com fontes de excitação.
Módulo 2
Empregar os circuitos magnéticos com entreferro.
Ao final deste módulo, você será capaz de empregar os circuitos magnéticos com entreferro.
Módulo 3
Identi�car circuitos com ímãs permanentes.
Ao final deste módulo, você será capaz de identificar circuitos com ímãs permanentes.
Introdução aos circuitos magnéticos

AVISO: orientações sobre unidades de medidas
rientações sobre unidades de medidas
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de tecnologia e
didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km).
Logo, os relatórios técnicos e demais materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de
separação dos números e das unidades.
1 - Introduzir os circuitos magnéticos com fontes de
excitação
Ao �nal deste módulo, você será capaz de introduzir os circuitos magnéticos com fontes de
excitação.
Circuitos Magnéticos com Fontes de Excitação
Neste vídeo, o especialista apresenta as características principais dos circuitos magnéticos e como
solucioná-los.
Circuitos magnéticos com fonte de excitação
Introdução aos circuitos magnéticos
A conversão de energia é o nome dado ao processo de transformação de um tipo de energia em outra. Este
processo segue os princípios básicos da primeira lei da Termodinâmica, enunciada no fim do século XVIII por
Antoine Laurent Lavoisier:
“Na natureza nada se cria, nada se perde; tudo se transforma.”
Existem diversas formas de conversão de energia, contudo, o objetivo principal desta disciplina é o estudo do
processo, bem como dos dispositivos utilizados na conversão eletromecânica. Para isso, é importante
conhecer os efeitos eletromagnéticos que regem o funcionamento do circuito em estudo, também conhecido
por circuito magnético. A análise destes, é feita de forma similar aos circuitos elétricos, facilitando o cálculo
em diversos cenários.
A conversão de eletromecânica em energia ocorre por meio de acoplamentos de campos identificados em
um circuito magnético, como mostra a imagem 1. Inicialmente, o processo é considerado ideal, isto implica
que toda energia (mecânica ou elétrica) será convertida, o que não ocorre na prática. Os circuitos magnéticos

são formados por materiais magnéticos, sendo possível, em alguns casos, como em transformadores,
observar a presença de outros meios em junção com o material magnético.
Imagem 1: Diagrama de Conversão de Energia.
Para compreender a importância do estudo deste conteúdo, faz-se necessário compreender as aplicações da
conversão de energia e como ela ocorre no cotidiano. A seguir, são exemplificadas algumas transformações
com as quais nos deparamos diariamente:
Energia elétrica transformada em energia luminosa. Ocorre em
lâmpadas.
Energia elétrica transformada em energia mecânica. Ocorre em
Motores.
Energia mecânica transformada em energia elétrica. Ocorre em
geradores
Os princípios dessa disciplina têm como objetivo introduzir ao aluno os circuitos básicos para o estudo das
máquinas rotativas.
Lei de Ampère (Relação H-I) e Lei de Gauss
Lei de Ampère
Para solucionar, de forma precisa e detalhada, as equações referentes aos circuitos magnéticos, é necessário
um vasto conhecimento e aplicação das Equações de Maxwell (Eletromagnetismo). Como este não é
objetivo do presente estudo, serão feitas algumas considerações a fim de simplificar as análises
apresentadas.
A lei de Ampère, em sua forma integral, permite calcular os campos magnéticos B
(densidade) e H (intensidade), produzidos pela corrente em um fio retilíneo.
A equação seguinte, modelada por Maxwell, é referida por lei de Ampère e permite calcular a intensidade do
campo magnético induzido em um condutor, quando este é percorrido por uma corrente:
Equação 1
Rotacione a tela. 
A direção dos campos H e B pode ser determinada pela aplicação da regra do polegar, como mostra a
imagem 2, em que o polegar aponta na direção da corrente e os demais se fecham, acompanhando as linhas
∮ →H ⋅ d→l = ∫∫◯→ȷ ⋅ d→a
de campo.
Imagem 2: Regra da Mão direita ou Regra do Polegar.
Atenção!
O campo induzido também é conhecido por força magnetizante e a unidade de medida é:
Para melhor entendimento e fixação do conteúdo apresentado, confira o exemplo a seguir:
Considera-se, como exemplo, o condutor da imagem 3, cuja corrente que circula pelo mesmo é dada
por “i”. Sabe-se que o raio desse condutor é definido por “r”.
Imagem 3: Condutor Retilíneo.
Solução:
A fim de determinar se é possível aplicar a Equação 1, o primeiro passo é avaliar a geometria do
problema. Como, neste caso, se trata de um condutor, há simetria e a aplicação se faz possível.
Substituindo na Equação 1.1, tem-se:
[  Ampères  −  espira 
 metro 
=
Ae
m
]
Exemplo comentado 
H(2πr) = i
Onde é o comprimento da seção do condutor.
Lei de Gauss
A Lei de Gauss, assim como a Lei de Ampère, é descrita por uma das equações de Maxwell. Esta, quando
aplicada em campos magnéticos, afirma que, em uma superfície gaussiana fechada, não há saída liquida de
fluxo magnético, ou seja, a densidade (B) de campo magnético é conservada. Por definição, a Lei de Gauss é
descrita pela Equação 2:
Equação 2
Rotacione a tela. 
Onde:
 Refere-se à densidade de campo magnético dado em Tesla [T];
 O vetor normal orientado para fora, cuja magnitude se refere à uma parcela infinitesimal da superfície gaussiana.
Analisando a imagem 4, pode-se notar que as linhas de campo magnético, diferente do que ocorre em um
campo elétrico, não são divergentes. Dessa forma, ao delimitar uma superfície de integração, o fluxo que
entra na superfície se equivale àquele que sai da mesma.
Imagem 4: Linhas de Fluxo Magnético.
Solução dos circuitos magnéticos
A fim de aplicar os conceitos apresentados e compreender o funcionamento de máquinas e equipamentos
que serão fundamentais para a formação do engenheiro, considera-se o circuito apresentado na imagem 5.
2πr
∫∫◯ →B ⋅ d→a = 0
B :
da :
Imagem 5: Circuito Magnético.
O presente circuito é composto por um núcleo constituído de material ferromagnético, cuja característica
principal é a elevada permeabilidade A permeabilidade do material, por sua vez, é o que permite maior
confinamento do fluxo magnético na estrutura do circuito e, por consequência, reduz as perdas
associadas à dissipação.
Tal consideração pode ser observada na imagem 4, na qual é possível constatar que as linhas de campo são
fechadas. Em um exemplo como o da imagem 5, as mesmas se dispersariam da estrutura, esse efeito será
desprezado nas análises, uma vez que se assume que a maior parte do fluxo está confinado na estrutura
magnética.
Na análise do circuito magnético, apresentada na imagem 5, são feitas as seguintes considerações:
Por ser magnético e de alta permeabilidade, considera-se , em que se refere à
permeabilidade no vácuo e à permeabilidade do material.
A área da seção reta é uniforme.
O enrolamento, responsável pela excitação, possui N espiras (voltas) e é encarregado de conduzir uma
corrente de valor “i”.O enrolamento percorrido por uma corrente, por sua vez, produz um campo magnético no material, cuja
direção pode ser encontrada pela regra do polegar (ou regra da mão direita), anteriormente mencionada.
Atenção!
A permeabilidade no vácuo é dada por:
Onde a unidade de medida é 
Pela lei de Ampère já apresentada, tem-se para o mesmo circuito:
Equação 3
(μ).
(ϕ)
μ ≫ μ0 μ0
μ
μ0 = 4π × 10
−7H/m
H/m
 Henry 
 metro 
.
∮ →H ⋅ d→l = ∫∫◯→ȷ ⋅ d→a
Rotacione a tela. 
Onde:
 ao ser integrado, proporciona o valor da corrente líquida ou é a densidade de corrente que atravesse uma
superfície e , o vetor normal orientado para fora, cuja magnitude se refere à uma parcela infinitesimal da superfície.
Assim, por simplificação, a Equação 3, aplicada ao circuito da imagem 5, se resume em:
Equação 3
Rotacione a tela. 
Pela lei de Ampère, tem-se que um campo magnético é produzido de acordo com a circulação de corrente em
um condutor. O circuito exemplo, imagem 5, contém um enrolamento de N espiras, sendo esta a fonte
produtora de campo. Para tal caso, a corrente líquida é dada pelo produto , pois a bobina faz com que a
corrente passe vezes pela superfície de integração descrita pela Equação 
Substituindo , na equação 3, e aplicando as simplificações, tem-se:
Equação 4
Rotacione a tela. Equação 5
Rotacione a tela. 
Destaca-se que as simplificações que permitem a redução da equação 3 para a
equação 5 só são possíveis em casos nos quais a análise pode ser reduzida a um
problema unidimensional, como o que ocorre no circuito apresentado.
Como dito anteriormente, esse circuito é composto de um material de elevada permeabilidade e, por isso, o
fluxo magnético gerado, em sua maioria, fica confinado na estrutura, ou seja, no núcleo. As linhas de campo,
por sua vez, percorrem o caminho delimitado pelo comprimento da estrutura e, devido à uniformidade da
seção transversal, a densidade de fluxo (B) também é uniforme. O fluxo que atravessa uma dada superfície
pode ser calculado pela seguinte equação:
Equação 6
Rotacione a tela 
∫∫◯→ȷ ⋅ d→a : Iliq ⋅ J
da
→H ⋅ →l = i
Ni
N 4.
Ni
∮ →H ⋅ d→l = Ni
→H ⋅ →l = Ni
∅ = ∫∫◯ →B ⋅ d→a
Rotacione a tela. 
Sendo:
 Fluxo magnético, cuja unidade é o Weber ou Wb;
 Vetor normal orientado para fora, sendo que a magnitude deste se refere a uma parcela infinitesimal da superfície.
A Equação 6 descreve que o fluxo magnético é dado pela integral de superfície de todos os componentes
normais do vetor densidade B. Assumindo a superfície uniforme, imagem 4, bem como a uniformidade do
fluxo, a equação 6 pode ser simplificada, como pode ser observado na Equação 7:
Equação 7
Rotacione a tela. 
Sendo:
 Área da Seção transversal, dada em .
Força magneto-motriz
Considerando, ainda, o circuito apresentado como exemplo, na imagem 5, no qual o produto Ni é responsável
por produzir o campo magnético, tal produto é chamado de força magneto-motriz (FMM), sendo importante
ressaltar que, nos casos onde existam mais bobinas, esta é dada pela soma algébrica de todos os
enrolamentos atuantes. Assim, a equação 5 pode ser reescrita como:
Equação 8
Rotacione a tela. 
Onde:
 Força Magneto-Motriz, cuja unidade é dada em Ampère-espira ou Ae.
Durante a análise de um circuito magnético, considera-se que o comprimento percorrido pelas linhas de fluxo
é próximo ao valor médio do núcleo. Durante os cálculos, serão usados valores médios referentes à estrutura
magnética, o que permite simplificar a Equação 8, como mostrado na Equação 9.
Equação 9
Rotacione a tela. 
Ø :
d→a :
∅ = BA
A : m2
∮ →H ⋅ d→l = Ni = F
F :
→H ⋅ →l = Ni = F
Relação entre os campos magnéticos
Foi dito anteriormente que, por meio da Lei de Ampère, é admissível o cálculo dos campos magnéticos B e H.
Isso ocorre devido à relação existente entre os mesmos. Ao variar a corrente de excitação do circuito, por
observação da Equação 1, é possível concluir que haverá uma variação do campo produzido, que dependerá
não somente da corrente como do material constituinte do núcleo.
A resposta deste em relação à variação do campo pode ser representada pelas chamadas curvas de
magnetização, mostradas na imagem 6. Por meio destas, é possível observar que, para uma mesma
intensidade de campo aplicado (ou força magnetizante, H), o que pode ser relacionado diretamente à FMM
(Equação 9), tem-se densidades de magnetização (B) distintas. Isso permite concluir que alguns materiais
magnetizam mais facilmente que outros devido à propriedade conhecida como permeabilidade.
Imagem 6: Curvas de Magnetização.
Por observação do gráfico apresentado na imagem 6, é praticável observar que há uma característica não
linear ao descrever o comportamento dos materiais. Porém, inicialmente, adota-se, para o estudo presente,
que os valores utilizados se encontram na faixa linear dos mesmos. Assim, torna-se visível que os campos
magnéticos densidade e intensidade (B e H) relacionam-se por meio da propriedade do material, ou seja, da
permeabilidade.
Admitindo a relação linear entre os campos B e H, esta pode ser descrita pela Equação 10:
Equação 10
Rotacione a tela. 
A permeabilidade dos materiais magnéticos lineares, pode, ainda, ser expressa em relação ao ar, como
pode ser observado na Equação 11:
Equação 11
→B = μ →H
μ,
Rotacione a tela. 
É importante ressaltar que os valores típicos de variam de a 
para os materiais usados em transformadores e máquinas rotativas.
μ = μrμ0
μr 2.000 80.000
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Para o circuito da imagem A.1, considere os dados a seguir:
A corrente que passa pela bobina é de ;
O número de espiras é igual a 150;
Considere ;
As medidas do núcleo estão em cm.
Quais são as: intensidade e a densidade de fluxo magnético, para esse circuito, respectivamente?
Imagem A.1 Circuito Magnético.
0, 2A
μr = 2000
A 1000 Ae/m; 20Wb
B 505 Ae/m; 2,6Wb
Parabéns! A alternativa D está correta.
Em primeiro lugar, é importante destacar que os dados devem ser utilizados em metros.
Destaca-se, também, que o fluxo percorre o comprimento médio do núcleo. Assim:
Questão 2
Considere o toroide a seguir, na imagem A.2, onde o corte da seção transversal revela uma área circular
de raio Calcule o fluxo que circula a estrutura, sabendo que a intensidade de fluxo é de
 e a permeabilidade relativa é igual a 
C 107 Ae/m; 20Wb
D 107,14 Ae/m; 0,269Wb
E 107,14 Ae/m; 5,69Wb
l = (8) ⋅ 2 + (6) ⋅ 2 = 28cm
Hl = Ni
H =
Ni
l
H =
150 ⋅ 0, 2
0, 28
= 107, 143Ae/m
B = μH
B = 0, 269Wb
r = 1cm.
1000Ae/m 1000.
Imagem A.2: Circuito Magnético toroidal.
Parabéns! A alternativa C está correta.
Considerando a equação que descreve o fluxo magnético, tem-se:
Mas, 
Porém, , assim:
Substituindo os valores, temos:
A 0,017T
B 0,028T
C 0,039T
D 0,040T
E 0,051T
∅ = BA
B = H ⋅ μ
μ = μrμ0
B = H ⋅ μrμ0
Como a área é circular, temos que:
Logo, o fluxo , é igual a:
2 - Empregar os circuitos magnéticos com entreferro.
Ao �nal deste módulo, você será capaz de empregar os circuitos magnéticos com entreferro.
B = 1000 ⋅ 1000 ⋅ μ0
B = 1, 26Wb
A = π(0, 1)2 = 0, 0314m2
∅ = BA
∅ = 0, 039T

Circuitos Magnéticos com Entreferro
Neste vídeo, o especialista apresenta os circuitos magnéticos com entreferro, bem como os impactos que
este promove na análise. Assim, são apresentadas técnicas para solução dos circuitos sob a presença dos
mesmos.
Circuitos com entreferro
No módulo anterior, foram apresentados circuitos magnéticos simples e possíveis geometrias, bem como as
características de funcionamento dos mesmos. Alguns circuitos, contudo, podem conter um espaçamento na
estrutura, conhecido por entreferro (“gap”), visto que certos equipamentos possuem partes móveis em sua
constituição. A imagem 7, a seguir, é referente a um circuito magnético com entreferro.
Imagem 7: Circuito magnético com entreferro.
Para o presente circuito, é importante destacar os seguintes pontos:
Em um circuito no qual se identificaa presença de um entreferro, se a medida deste, ou seja, “g”, é muito
pequena, considera-se que o fluxo seguirá o caminho definido pelo núcleo e pelo gap, sem que haja
dispersão.
Em situações no qual o entreferro é grande o suficiente, o fluxo passa a dispersar pelos lados do
entreferro, como pode ser observado na imagem 8. Esse efeito também é conhecido como espraiamento.
Imagem 8: Circuito magnético com entreferro.
Análise do circuito sem espraiamento
Considera-se, inicialmente, que o comprimento do entreferro presente no circuito magnético não é grande o
suficiente para que haja aumento da seção reta, promovendo, com isso, a dispersão do fluxo. Assim, a
análise do circuito pode ser feita considerando as equações apresentadas no Módulo anterior, sem o gap. O
fluxo magnético que percorre o núcleo é linear. Dado que a geometria é a mesma em toda estrutura, tem-se
que:
Equação 12
Rotacione a tela. 
Onde:
 Vem do termo em inglês core, ou seja, núcleo.
Destaca-se que, ainda que o fluxo seja o mesmo em toda estrutura, a densidade B é distinta, pois existem
dois materiais compondo a estrutura:
Material ferromagnético;
Ar.
Como visto no módulo 1, os materiais apresentam diferentes densidades magnéticas para uma mesma força
aplicada. Dessa forma, para o entreferro, tem-se:
Equação 13
Rotacione a tela. 
∅ = BcAc
c :
ϕ = BgAc
Onde:
 Refere-se ao entreferro, ou gap.
Observa-se que, na equação, a área utilizada é a do núcleo. Isso ocorre uma vez que
o entreferro é pequeno e não impacta na dispersão do fluxo.
A essa altura, é sabido que os campos magnéticos densidade e intensidade (B e H, respectivamente) se
relacionam por meio da permeabilidade magnética, e que se considera a linearidade do material para fins de
estudo. Do módulo 1, tem-se que:
Rotacione a tela. 
Como o campo B é distinto para os materiais presentes nas estruturas, a Equação 14 pode ser reescrita para
o material ferromagnético, como mostra a Equação 15:
Rotacione a tela. 
Para o entreferro, por sua vez:
Rotacione a tela. 
Sabe-se que a permeabilidade do material pode, ainda, ser representada por sua relação com o ar. Uma
análise da Equação 18, já apresentada no módulo anterior, permite concluir que é igual a , quando o
meio em análise é o ar.
Rotacione a tela. 
Atenção!
Se o meio é o ar, tem-se que:
O que, por sua vez, ao ser substituído na equação 18 , resulta em 
g :
→B = μ →H
→Bc = μ →Hc
→Bg = μ →Hg
μr 1
μ = μrμ0
μ = μ0
μr = 1
O produto Ni é responsável pela produção do campo magnético. Este, por sua vez, é chamado de força
magnetomotriz (FMM), como apresentado no módulo anterior. Em um circuito composto de material
magnético e entreferro, a relação que descreve a FMM atuante e a intensidade de campo é dada como
mostra a Equação 19. Do módulo 1, tem-se que:
Rotacione a tela. 
Contudo, das Equações 16 e 17, nota-se que existem dois campos de intensidade distintos, dessa forma:
Equação 14
Rotacione a tela. 
Relutância
Em circuitos magnéticos, há uma grandeza chamada relutância, que pode ser associada à resistência que os
mesmos apresentam à passagem de fluxo magnético. Para descrever matematicamente essa grandeza,
parte-se da Equação 14, que pode ser manipulada e reescrita como observa-se a seguir:
Equação 15
Rotacione a tela. 
Substituindo a densidade de fluxo pelo fluxo gerado, a Equação 15 pode ser reescrita desta forma:
Equação 16
Rotacione a tela. 
Onde:
Equação 17
Rotacione a tela 
F = ∮ →H ⋅ d→l
F = →Hc ⋅ →lc + →Hg ⋅ →lg
F =
Bc
μ
lc +
Bg
μ0
lg
F =
∅
μAc
lc +
∅
μ0Ag
lg
Rc =
lc
μAc
Rotacione a tela. Equação 18
Rotacione a tela. 
Sendo a relutância do material, que possui analogia com a resistência em circuitos elétricos. Para um
circuito magnético modelado pela sua relutância, destacam-se os seguintes pontos:
A relutância total do circuito é dada pela associação das mesmas, sendo que esta é feita de forma similar
à resistência dos circuitos elétricos:
Relutâncias em série:
somam-se as relutâncias.
Relutâncias em paralelo:
somam-se os inversos.
Análise do circuito com espraiamento
Na prática, quando o fluxo magnético passa pelo entreferro, observa-se a existência de sua dispersão, ou
seja, o chamado efeito do espraiamento. Isso indica que nem todas as linhas de fluxo ficam confinadas na
estrutura do núcleo. Esse fenômeno, por sua vez, promove um aumento na área efetiva por onde o fluxo
circula (área da seção reta), dessa forma, essa se torna maior que a área geométrica do entreferro.
Assim, faz-se necessário aplicar alguns recursos matemáticos para sua correção, visando ajustar e incluir o
efeito nos cálculos. Considere que a imagem 9 representa o corte de um circuito magnético, em que é
possível observar a presença do entreferro. A dispersão de fluxo, para esse caso, é grande o suficiente e deve
ser levada em consideração, pois a presença do entreferro faz com que haja alteração na área efetiva
atravessada pelo fluxo.
Rg =
lg
μ0Ag
R

Imagem 9: Representação do entreferro.
Assim, matematicamente, a correção da área, mediante a presença do entreferro, é realizada de forma
aproximada pela Equação 20.
Equação 19
Rotacione a tela. 
Onde:
 Área do entreferro, quando o mesmo não pode ser desprezado dos cálculos.
Para melhor entendimento e fixação do conteúdo, confira o exemplo a seguir:
Considere um circuito magnético como exemplo para cálculo, este possui comprimento médio do
núcleo (sem o entreferro) de 20cm. A área da seção transversal é de 25cm² e a permeabilidade
relativa é 1000. Esse circuito possui um entreferro de 0.01cm que promove um aumento de 5% na
área da seção. Qual o efeito observado na corrente ao considerar o entreferro nos cálculos, uma vez
que se deseja manter o fluxo no núcleo?
Seja e 
Solução:
O primeiro passo para solução do exercício é desconsiderar a presença do entreferro.
Para o cálculo da magnitude da intensidade de fluxo magnético, aplica-se a seguinte equação:
Ag = (a + lg) (b + lg)
Ag :
Exemplo comentado 
N = 100 i = 0, 1A.
Ni = Hl
Onde:
Assim, da relação entre os campos, é possível obter a magnitude da densidade de fluxo:
Logo, para cálculo do fluxo, aplica-se:
A segunda parte do exercício é a inclusão do entreferro, garantindo que o fluxo seja o mesmo. Assim,
para que o fluxo seja mantido, tem-se agora densidade e intensidade de fluxo calculadas para o
entreferro:
Dessa forma, a corrente pode ser calculada da seguinte forma:
Observa-se, então, que a presença do entreferro faz com que o circuito demande maior quantidade de
corrente para que o fluxo estabelecido seja o mesmo.
Atenção: o valor do entreferro deve ser descontado do comprimento médio total, fornecendo assim
um novo valor.
H = 100 ⋅
0, 1
0, 20
= 50Ae/m
B = 1000 ⋅ μ0 ⋅ H
B = 0, 6283Wb
∅ = BA
∅ = 0, 0016T
Bg =
∅
Ag
Bg =
0, 0016
1, 5Ac
Bg = 0.042Wb
Hg =
Bg
μ0
Hg =
Bg
μ0
= 333.333Ae/m
Ni = Hclc + Hglg
i = 0, 1028A
Lei de Faraday
Ao aplicar uma corrente alternada para excitação de um dado circuito magnético, tem-se, pela lei de Faraday,
o surgimento de uma tensão induzida, modelada matematicamente pela Equação 20:
Equação 20
Rotacione a tela. 
Considerando que a forma de onda da corrente pode ser descrita por uma senoidal, o fluxo gerado por ela é
também alternado, e pode ser representado como segue:
Equação 21
Rotacione a tela. 
Aplicando a Equação 21 na Equação 20, tem-se:
Equação 22
Rotacione a tela. Equação 23
Rotacione a tela. 
Onde:
 Amplitude da tensão induzida ou 
Dessa forma, é possível reescrever a tensão induzida pela Equação 24:
Equação 24
Rotacione a tela. 
Sabe-se que:
e = −N
d∅
dt
∅ = ∅m sen(ωt)
e = −
Nd∅m sen(ωt)
dt
e = −Nω∅m cos(ωt)
Nω∅m : Emax.
e = −Emax cos(ωt)
 : Refere-se à 
Assim:
Rotacione a tela. 
O sinal negativo indica que essa tensão gera uma corrente oposta à corrente
responsável pela variação do campo principal.
Usualmente, o interesse é trabalhar com valores eficazes de tensão e corrente, por simplificação,pode-se
aplicar diretamente a equação, uma vez que a forma de onda utilizada neste estudo é senoidal.
Equação 25
Rotacione a tela. 
ω 2πf
Emax = 2πfNABmax
Eef =
2π
√2
fNABmax = √2πfNABmax
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
(Agente Técnico Legislativo Especializado Engenharia Elétrica, AL SP, FCC, 2010) A oposição à
passagem do fluxo magnético é uma característica do material. Tal característica denomina-se:
A Reatância
B Histerese
C Remanescência
Parabéns! A alternativa D está correta.
A relutância do material possui analogia com a resistência em circuitos elétricos. Dessa forma, opõe-se
à passagem de fluxo magnético, assim como a resistência se opõe à passagem de corrente.
Questão 2
Avalia-se inicialmente um circuito magnético de geometria retangular. Em seguida é inserido, neste
circuito, um entreferro de comprimento g promovendo dispersão do fluxo. Referente a esse circuito.
Marque a alternativa que melhor descreve o efeito do entreferro, visto que se deseja manter o mesmo
fluxo magnético no núcleo:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Sem o entreferro a corrente que circula pelo circuito pode ser descrita por:
D Relutância
E Permeabilidade
A A inserção do entreferro é desconsiderada neste caso.
B O entreferro faz com que a demanda de corrente para o mesmo fluxo seja maior.
C Por ser pequeno, entreferro não impacta na área da seção.
D O Entreferro reduz a intensidade de campo magnético.
E O Entreferro reduz a densidade de campo magnético.
Quando o entreferro é inserido, a corrente passa a ser modelada da seguinte maneira:
É desejado que o fluxo magnético antes e após a inserção do gap seja o mesmo, logo:
Onde
Corrente após o gap é maior.
3 - Identi�car circuitos com ímãs permanentes.
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car circuitos com ímãs
H =
Hl
N
I =
Hlnúcleo + Hglg
N
F1
R
= ∅ =
F2
R1 + Rg
F1 = NI1 = ∅R
F2 = NI2 = ∅(R1 + Rg)MaiorCorrente
Circuitos Magnéticos com ímãs permanentes
Neste vídeo, o especialista apresenta as imas permanentes, bem como a forma que estes operam dentro do
circuito. Ainda, são apresentadas as propriedades dos materiais que compõem dos circuitos magnéticos.
Propriedades magnéticas
Para distinguir o funcionamento dos ímãs permanentes dos demais materiais, é necessário compreender
algumas propriedades dos materiais magnéticos. Os materiais ferromagnéticos são os mais comuns em
circuitos magnéticos e, em geral, compostos de ferro ou ligas de ferro e outro material, como cobalto,
alumínio etc. Esses, em um cenário no qual não se encontram magnetizados, não apresentam fluxo
magnético líquido.
Aplicação de corrente contínua no núcleo
Para visualizar o comportamento do material ferromagnético, considera-se a aplicação de uma força
magnetizante em uma amostra, isto é, (proveniente de uma corrente contínua). Com isso, passa a existir
fluxo na estrutura, pois os chamados “momentos” magnéticos passam a se alinhar com o campo aplicado,
existindo assim um campo densidade de valor elevado. O efeito de alinhamento dos momentos magnéticos
ocorre até que todos estejam alinhados ao campo. A partir disso, observa-se o efeito de saturação, e então o
aumento da força magnetizante não promove mais efeitos.

H
Em outras palavras, pode-se dizer:
Ao elevar a corrente contínua aplicada, tem-se um aumento da densidade de campo (ou força
magnetizante), o que pode ser observado pela Equação ;
Como e possuem relação dada pela permeabilidade, um aumento de , promove aumento no
campo densidade, efeito descrito por meio da imagem 10;
A relação de magnetização pode também ser descrita por meio do gráfico fluxo versus FMM, como mostra
a imagem 11, e ;
Haverá um momento em que a elevação da corrente não afetará na produção do campo B, diz-se então
que o material se encontra saturado.
Imagem 10: Curva de Magnetização.
Figura 11: Curva de Magnetização FMM versus fluxo.
Aplicação de corrente alternada no núcleo
Repetindo a análise anterior, contudo aplicando uma excitação alternada, o material ferromagnético
comporta-se de maneira distinta. Considerando uma corrente senoidal e um material desmagnetizado, isto é,
o fluxo inicial na estrutura é nulo. Da mesma forma que foi feito para CC, a corrente alternada (CA) é aplicada
e aumentada gradualmente. Destacam-se então os seguintes efeitos no material, que podem ser analisados
na imagem 12: 
À medida que a corrente aumenta, o fluxo percorre o caminho destacado por ab no gráfico, até atingir a
saturação.
(Hl = Ni)
H B H
(∅ = BA F = Hl = Ni)
Ao observar a redução de corrente, o fluxo não segue o mesmo caminho utilizado na magnetização (ab),
este passa agora por bc.
O fluxo oposto, desmagnetizante, não cruza a origem quando a força é levada a zero, isto é, a estrutura
retém uma magnetização chamada de residual.
Atenção!
É importante observar nesta análise que, para obter um fluxo nulo, que se refere à desmagnetização da
estrutura, é necessária a aplicação de um H negativo, que se chama FMM coercitiva. A redução da corrente
até que o fluxo se reduza é visível na figura pelo caminho bcd, de onde o ciclo magnético reinicia.
Essa memória da estrutura magnética, que impede que o caminho se repita, é chamada histerese, onde
bcdeb é chamado de laço de histerese.
Imagem 12: Ciclo de Histerese.
Vale ressaltar que:
O efeito associado à histerese é o que impede a linearidade do material.
No geral, as aplicações práticas podem ser feitas considerando a curva de magnetização CC.
Ímãs permanentes
No tópico anterior, foi apresentado o comportamento do material magnético quando submetido à uma
corrente alternada. Esta, após ser retirada da estrutura, a deixa com um fluxo residual. Dentre os materiais
magnéticos encontram-se os ímãs, que podem ser subdivididos em: 
Naturais: naturalmente apresentam propriedades magnéticas;
Artificiais: produzidos para conterem propriedades magnéticas;
Temporários. 
Os ímãs permanentes encontram-se na classe dos artificiais e seguem esse mesmo princípio de
funcionamento apresentado no tópico anterior. São construídos partindo de misturas de minerais e têm o
intuito de naturalmente manter o fluxo em sua estrutura, até que seja aplicada uma força desmagnetizante
no mesmo. 
A composição deste permite variar a intensidade do fluxo residual, isto é, diferentes materiais possuem
intensidades distintas. Ao utilizar um ímã permanente em um circuito, garante-se a produção de fluxo na
ausência de uma excitação externa e é amplamente utilizado na construção de equipamentos como motores
elétricos. Em suma, as principais características dos ímãs permanentes são:
Remanência
Capacidade de retenção de campo magnético quando o campo externo é retirado.
Coercividade
É necessária elevada força aplicada para que o mesmo seja desmagnetizado, isto é, há uma elevada
resistência em manter o campo residual.
Os ímãs, assim como os demais materiais magnéticos, submetem-se à alteração em sua estrutura, uma vez
que atinjam a temperatura (ou ponto) de Curie. Dessa forma, esse material, ao atingir tal ponto, poderá ser
desmagnetizado. Essa temperatura é, contudo, elevada, não sendo alcançada facilmente.
Circuito magnético excitado por campo residual
Considere incialmente a imagem 13 que representa um circuito magnético com a presença de um entreferro e
de um ímã permanente.
Imagem 13: Circuito com ímã permanente.
Para o circuito apresentado, é possível fazer as seguintes afirmações, partindo dos conceitos apresentados:
A força magneto-motriz FMM é igual a zero, pois não há enrolamentos presentes na estrutura. Isso pode
ser comprovado pela Equação 9 (Módulo 1), onde:
Rotacione a tela. 
Existem três materiais distintos, logo a intensidade do campo magnético H é diferente para cada um deles,
como mostra a Equação 26:
Equação 26
Rotacione a tela. 
Onde:
 vem do inglês magnetic e é utilizado aqui para representar o ímã.
Ainda utilizando o circuito da imagem 13,destaca-se que, neste caso, o núcleo possui permeabilidade
infinita, isso permite desconsiderar o campo intensidade, pois o mesmo tenderá a zero. Assim, a Equação 26
se reduz à Equação 27:
Equação 27
Rotacione a tela. 
Visando à fixação do conteúdo, confira o exemplo a seguir:
Partindo da representação do circuito dada pela imagem 13, considere os dados abaixo de análise e
solução do problema proposto:
O comprimento do entreferro presente é de 0,2cm.
A permeabilidade do material ferromagnético é infinita.
O material magnético permanente possui 1cm de comprimento.
As áreas das seções transversais de todos os materiais são iguais a 4m².
Para esse circuito, deseja-se calcular a densidade de fluxo no entreferro (B) considerando que o
material magnético é o Alnico 5, cuja magnetização é mostrada na imagem 14.
F = Ni = 0
→Hc→lc + →Hg→lg + →Hm→lm = 0
m :
→Hc→lc + →Hm→lm = 0
Exemplo comentado 
Imagem 14: Segundo quadrante da curva de Histerese Alnico 5.
Solução:
Nesta solução, vamos trabalhar com os valores em módulos.
De início, é possível fazer algumas conclusões referentes ao problema. Como a permeabilidade do
material que constitui o núcleo é alta, isto é, , a intensidade do campo é desprezada,
permitindo o uso da Equação:
Manipulando as variáveis da equação acima, tem-se que:
Nesta análise, deseja-se calcular a densidade B, no material magnético. Sabe-se, pelas definições já
estudadas, que o fluxo é constante e como a área definida é igual para todos os materiais, a
dispersão do mesmo é desprezada. Dessa forma:
onde:
Assim, igualando as duas equações, tem-se:
μ → ∞
Hglg + Hmlm = 0
Hg = −
Hmlm
lg
∅ = BA
ϕ = BgAg
ϕ = BmAm
BgAg = BmAm
Bg =
BmAm
Ag
Pela relação existente entre os campos densidade e intensidade:
Substituindo na relação as equações anteriormente obtidas:
Onde:
, neste caso, pode ser substituído por 5, uma vez que para esse problema, temos os dados
das variáveis. Logo:
Observando a imagem 14, é possível obter a relação entre a densidade e intensidade de campo para o
Alnico 5, representada pela reta de carga. Assim, obtém-se:
Perdas
No módulo 1, foi apresentado um diagrama de conversão considerado ideal. No contexto real, sabe-se que
todo processo acomete em perdas, assim, esta variável passa a ser incluída nos cálculos do circuito. Seja um
circuito magnético percorrido por corrente alternada, tem-se a produção de uma densidade fluxo no material,
parte da energia associada ao campo é então dissipada. Pode-se observar as seguintes perdas a serem
calculadas: 
Perdas por histerese, associadas à natureza cíclica do processo.
Perdas ôhmicas, ou aquecimento, que ocorrem pelo surgimento de correntes induzidas, também
chamadas de correntes parasitas, que se opõem à variação de fluxo no núcleo. 
As correntes parasitas surgem no material por meio de indução, uma vez que há ação de um campo
magnético variável. As perdas atribuídas às correntes parasitas podem ser minimizadas pela aplicação de
duas técnicas: 
Laminação do núcleo.
B = μH
Bm = −μ0 (
Ag
Am
)( lm
lg
)Hm
Ag
Am
lm
lg
Bm = −5μ0Hm
Bm = −6, 8 × 10
−6Hm
Bm = 0, 30T
Utilização de materiais com alta resistência elétrica, o que pode ser obtido por meio da inserção de outro
material (%) na construção do núcleo. 
O processo conhecido por laminação consiste na construção do núcleo e por meio de chapas (ou folhas
laminadas) de material magnético, separadas por um isolante, como pode ser visto na imagem 15. Esse
processo promove aumento da resistência ao surgimento das correntes parasitas.
Imagem 15: Laminação do núcleo.
O uso de diversas chapas altera área da seção transversal, assim como ocorre quando há entreferro
compondo a estrutura. Assim, é necessário aplicar a correção na área efetiva a ser percorrida. Essa correção
pode ser dada ela equação 28:
Equação 28
Rotacione a tela. 
Onde:
 Refere-se à área a ser percorrida pelo fluxo.
 Área da estrutura.
 Fator de laminação.
Atenção!
A área geométrica é maior que a área magnética. Sendo assim, o fator de laminação é menor que 1.
Ao laminar o núcleo, o volume bruto da peça é menor que o volume efetivo, devido ao fato de existir entre as
placas um espaçamento isolante. Assim, o fator de empacotamento, descrito pela Equação 28, pode também
ser representado pelo volume, como mostra a Equação 29.
Equação 28
Rotacione a tela. 
k =
Amag 
Ageo 
Amag  :
Ageo :
k :
k =
V olefetivo 
V olbruto 
Onde:
 Refere-se ao volume efetivo.
 Volume bruto da peça.
 Fator de laminação.
Cálculo das perdas
É possível estimar as perdas atribuídas às correntes parasitas em um circuito magnético. Estas podem ser
modeladas matematicamente pela Equação 30.
Equação 30
Rotacione a tela. 
Onde:
 É uma constante, que depende do material constituinte do núcleo, bem como da espessura das chapas utilizadas;
 Frequência da excitação.
As perdas por histerese se referem aproximadamente à área interna do ciclo. Porém, devido à relação de não
linearidade, esse cálculo pode se tornar complexo. Assim, matematicamente, as perdas por histerese podem
ser aproximadas pela Equação 31 a seguir:
Equação 31
Rotacione a tela. 
Onde:
 É uma constante, que depende de cada material e pode ser obtido por meio de ensaios
 Varia de 1,5 a 2.
Dessa forma, as perdas totais são dadas pela soma das duas parcelas:
Equação 32
Rotacione a tela. 
Para melhor fixação do conteúdo, confira o exemplo a seguir:
V olefetivo :
V olbruto :
k :
Pe = keB2maxf
2
ke :
f :
Ph = khBnmaxf
kh :
n :
P = Ph + Pe
Considere o circuito da imagem 15 como exemplo, cuja representação refere-se a um núcleo
laminado. Para fins de estudo, aplique a tabela 1 a seguir, na qual estão representados fatores de
laminação e espessuras das chapas.
Espessura (mm) K
0,0127 0,50
0,0258 0,75
0,0508 0,85
0,10 a 0,25 0,90
0,27 a 0,36 0,95
Tabela 1: Espessura e fator de laminação para um dado material magnético.
Elaborada por Isabela Oliveira Guimarães.
Seja a espessura das chapas utilizadas 0,15mm. Deseja-se fazer a correção da área utilizada.
Solução:
O primeiro passo para solução desse problema é calcular a área geométrica da estrutura. Dessa
forma:
Pela Tabela 1, o fator de empacotamento é igual a 0,90. Assim, pela Equação 24:
Exemplo comentado 
Ageo = 5 × 5
Ageo = 25cm
2 = 0, 025m2
k =
Amag
Ageo
0, 90 =
Amag
0, 025
Amag = 0, 0022m
2
Atenção!
Relembrando sempre que os valores das dimensões comprimento e área devem estar em metros e metros2.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considere o circuito laminado a seguir. A área magnética ocupa 95% da área geométrica. Esse circuito é
percorrido por uma corrente alternada, e a densidade de fluxo gerado é descrito pela seguinte equação:
Figura A.1 Circuito laminado.
Calcule o fluxo que percorre a estrutura, sabendo que o enrolamento possui 200voltas.
A 0, 018 sen(ωt)
B 0, 028 sen(ωt)
C 0, 038 sen(ωt)
D 0, 048 sen(ωt)
E
Parabéns! A alternativa C está correta.
Questão 2
Considerando a figura do exercício anterior, determine a corrente máxima (ou seja, a amplitude) que
percorre o enrolamento, sabendo que a permeabilidade relativa é de 2000.
Parabéns! A alternativa A está correta.
0, 058 sen(ωt)
 Ageo  = 0, 2 ⋅ 0, 2 = 0, 04m2
 Amag  = 0, 95 ⋅ 0, 04m2 = 0, 038m2
∅ = BA
∅ = 1 sen(ωt)0, 038
∅ = 0, 038 sen(ωt)
A imáx = 0, 56A
B imáx = 0, 66A
C imáx = 0, 76A
D imáx = 0, 86A
E imáx = 0, 96A
Considerações �nais
O presente conteúdo abordado teve por objetivo a apresentação e o estudo dos circuitos magnéticos,
pontuando as principais simplificações utilizadas, bem como algumas geometrias comumente encontradas
na prática.
No módulo 1, foram expostas definições e características físicas dos circuitos, bem como uma revisão das
principais equações a serem utilizadas no conteúdo. Em seguida, o módulo 2 complementa o anterior, com a
apresentação de circuitos mais complexos, com a presença de entreferro. Finalmente, no módulo3, são
levantadas as características não lineares dos materiais magnéticos e como estas podem afetar a
magnetização.
Com isso, é possível observar que os módulos possuem relação entre si, sendo indispensável que todos
sejam devidamente estudados para melhor entendimento do seguinte.
Podcast
Bmáx  = 1
Hmáx  = 1/μrμ0
Hmáx  = 397, 88Ae
Nimáx  = Hmáx (l)
(200)imáx  = Hmáx (0, 28)
imáx  = 0, 56A

Explore +
Para compreender um pouco mais sobre as propriedades do magnetismo, consulte as referências abaixo:
BIM, E. Máquinas Elétricas e Acionamento. Rio de Janeiro: Elsevier, 2009.
DEL TORO, V. Fundamentos de máquinas elétricas. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1994.
HALLIDAY, D. Fundamentos de física. 10. ed. v. 3. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
KOSOW, I. Máquinas Elétricas e Transformadores. Rio de Janeiro: Editora Globo, 1986.
TIPLER, P.; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. 6. ed. v. 2. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
Referências
UMANS, S. D. Máquinas elétricas de Fitzgerald e Kingsley. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2014.
CHAPMAN, S. J. Fundamentos de máquinas elétricas. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
C. SEN. Principles of Electric Machines and Power Electronics. Nova York: John Wiley and Sons, 2007.
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